Математические модели задач и их решение на ЭВМ

ЗАДАНИЕ № 1

Из пункта А в пункт Б ежедневно отправляются пассажирские и скорые поезда. Наличный парк вагонов разных типов, из которых ежедневно можно комплектовать данные поезда, и количество пассажиров вмещающихся в каждом вагоне приведены в таблице.

Пропускная способность дороги не позволяет пройти в день более чем 10 поездам.

Определить оптимальное число скорых и пассажирских поездов, при которых будет перевозиться максимальное число пассажиров.

В данном случае неизвестными являются число скорых и пассажирских поездов Х1 и Х2

Составим математическую модель этой задачи.

Максимальное число пассажиров перевозимых данными поездами обозначим L. Тогда целевая функция будет иметь вид:

L= 0*(1*х1+1*х2)+58*(5*х1+8*х2)+40*(6*х1+4*х2)+32*(3*х1+1*х2) - max

Ограничение на искомое решение следующее:

1*х1+1*х2

5*х1+8*х2

6*х1+5*х2

3*х1+1*х2

Х1+х2<=10

ЗАДАНИЕ №2.

1. решить задачу геометрическим методом.

2. составить двойственную задачу для исходной.

2х₁+5х₂?10

5х₁+2х₂?10

3х₁+4х₂?24

4х₁+3х₂?24

Х₁-2х₂ ?4

Z=3х₁+х₂>мах

Х₁?0;Х₂? 0.

Х1+5x2>5

5x1+x2>5

X1+X2<7

3x1-4x2<12

-4x1+3x2<12

Z=4x1-3x2 - max

X1>0 X2>0

РЕШЕНИЕ

1. Поскольку рассматривается задача на максимум, то все ограничения следует привести к виду «?». Для этого обе части первого и второго неравенств следует умножить на «-1». Получим: - -2х₁-5х₂?-10

-5х₁-2х₂?-10

3х₁+4х₂?24

4х₁+3х₂?24

Х₁?0;Х₂? 0.

2. Составим расширенную матрицу системы.

-2 -5 -10

-5 -2 -10

А₁₌ 3 4 24

4 3 24

3 1 Z

3. Найти матрицу А_1т, транспонированную к А_1.

-2 -5 3 4 3

А_1т = -5 -2 4 3 1

-10 -10 24 24 Z

4. Сформулируем двойственную задачу:

Z= -10у₁ -10у₂ +24у₃ +24у₄ > min.

-2 у₁ - 5 у₂ + 3 у₃ + 4 у₄?3

-5у₁ - 2 у₂ + 4 у₃ + 3 у₄?1

у₁ ?0; у₂?0; у₃?0; у₄ ?0.

ЗАДАНИЕ №3

Составить математическую модель задачи и решить ее на ЭВМ.

Найти оптимальный план перевозки, при котором транспортные расходы будут минимальны

Данные для каждого варианта приведены

1.тарифы перевозок единицы груза от каждого поставщика каждому потребителю

2.запасы груза каждого поставщика

3.потребности в грузе каждого потребителя.

РЕШЕНИЕ

А₁ + А ₂ + А ₃ + А ₄ + А ₅ = 30+20+10+27+30=117

В₁ + В₂ + В ₃ + В ₄ =30+40+50+10=130

Спрос превышает предложение и поэтому добавляем пятого фиктивного постивщика.130-117=13 Отсюда:

Х11+Х12+Х13+Х14+Х15 = 30

Х21+Х22+Х23+Х24+Х25 = 20

Х31+Х32+Х33+Х34+Х35 = 10

Х41+Х42+Х43+Х44+Х45 = 27

Х51+Х52+Х53+Х54+Х55 = 30

Х61+Х62+Х63+Х64+Х65=13

F = 7Х11+8Х12+5Х13+5Х14+5Х15+9Х16+1Х21+

+4Х22+2Х23+5Х24+9Х25+ 3Х31+5Х32+3Х33+8Х34+7Х35

+9Х36+2Х41+8Х42+7Х43+4Х44+5Х45+9Х46min.



ЗАДАНИЕ №4

Представители одной фирмы могут принять по три стратегии. Матрица эффективности стратегий фирм представлена в таблице.

1. Определить верхнюю и нижнюю цену игры.

2. Найти седловую точку. В случае ее отсутствия составить двойственные задачи мат.програмирования.

К\С	С 1	С 2	С 3
К 1	1	7	2
К 2	5	4	8
К 3	4	6	3
K 4	1	3	2

РЕШЕНИЕ

Нижняя цена игры вычисляется б = max_i min_j h_ij = max_i в_j , где б_i - наименьшее значение в i-той строке.

Верхняя цена игры вычисляется в = min_j max_i h_ij = min_j в_j , где в_j = =max_i h_ij - наибольшее значение в j-том столбце.

К\С	С 1	С 2	С 3		бi
К 1	3	7	3		3
К 2	8	1	5		1
К 3	2	6	4		2
	б=	1
вj	8	7	5	в=	8

Седловая точка отсутствует, значит нужно составить двойственную задачу.

ЗАДАНИЕ №5

Имеются данные эффективности выпуска новой продукции при различных вариантах решений (стратегий) и различных состояниях среды (природы), таблица 1. Выбрать наилучшее решение, стратегию используя критерии:

1. Максимакса

2. Вальда

3. Сэвиджа

4. Гурвица (коэффициент пессимизма р=0,3)

5. Байеса (вероятности для каждого состояния среды р₁=0,2, р₂=0,3, р₃=0,3, р₄=0,2)

6. Лапласа

ТАБЛИЦА 1.

ВАРИАНТЫ РЕШЕНИЙ	СОСТОЯНИЕ ПРИРОДЫ
	П1	П2	П3	П4
А1	7	13	9	15
А2	15	8	11	12
А3	12	6	13	10
А4	11	10	15	14
А5	8	15,5	12	15

РЕШЕНИЕ

1. По критерию максимакса наилучшим признается решение, при котором достигается максимальный выигрыш равный

М = max_imax_j h_ij = max_i M_i

Находим М=max_i h_ij, табл.2, т.е.максимальное значение в i-той строке.



ТАБЛИЦА 2.

М₁= 15, М₂= 15, М₃=13, М₄= 15, М₅= 15,5.

Максимальное значение М = max_i M_i = 15,5, значит решение А5 оптимально.

2. Согласно критерию Вальда наиболее предпочтительным является решение, при котором W = max_imin_jh_ij = max_i W_i. Находим W_i = min_jh_ij, т.е. минимальное значение W в i-той строке.

Максимальное значение W=10, следовательно решение А4 является наилучшим.

3. В соответствии с критерием Сэвиджа предпочтение отдается решению, для которого максимальные потери при различных вариантах обстановки окажутся минимальными, т.е. достигается значение:

S = min_imax_j r_ij = min_iS_i.

Найдем матрицу потерь (табл.4 и 5): в_j = max_i h_ij; r_ij = в_j - h_ij.

ТАБЛИЦА 4. ВЫИГРЫШИ

ТАБЛИЦА 5. ПОТЕРИ.

Минимальное значение S = 7. Следовательно оптимальным решением является решение А5.

3. По критерию Гурвица предпочитается то решение, при котором G = max_i { min_ih_ij + (1- p) max_j h_ij } = max_i G_i.

Находим G_i = pW_i + (1-p)M_i, р=0,3 по условию задачи.

Находим Gmax = 17,4 значит решение А2 является оптимальным.

4. Согласно критерию Байеса наилучшим является решение, при котором достигается максимум математического ожидаемого выигрыша (или минимум среднеожидаемого риска).

Вероятности для каждого состояния среды по условию задачи таковы:

р₁=0,2, р₂=0,3, р₃=0,3, р₄=0,2. Определяем математическое ожидание выигрышей по каждому решению: МВ1 = ?р_ih_ij.

Определяем максимум ожидаемого математического выигрыша. Он равен 12,85, что соответствует четвертому решению, которое, следовательно, и является оптимальным.

Определяем среднеожидаемый риск по каждому решению.

МР_i = ?p_j r_ij

Определяем минимум среднеожидаемого риска. Он равен 2,3, что соответствует пятому решению, которое, следовательно, является оптимальным по данному критерию.

5. Определяем значения для каждого решения по критерию Лапласа.

ВЫИГРЫШИ:

Максимальный выигрыш составит 12,625 что соответствует 2-ому оптимальному решению.

ПРОИГРЫШИ:

Минимальный проигрыш составит 2,5, что соответствует 5-ому оптимальному решению.

ЗАДАНИЕ №6.

По экспериментальным данным опроса восьми групп семей о расходах на продукты питания, в зависимости от уровня дохода семьи, приведенным в таблице, требуется:

1. Построить линейную однофакторную модель зависимости расходов на питание от дохода семьи.

2. Определить коэффициент корреляции и оценить тесноту связи между доходами семьи и расходами на питание.

3. Определить коэффициент детерминации и коэффициент эластичности, объяснить их смысл.

4. Определить среднюю по модулю относительную ошибку аппроксимации и оценить точность построенной модели.

Доходы семьи (х), тыс.грн.	2.2	3,6	4,2	5,8	6,7	7,9	8,6	10,6
Расходы на продукты (у)	1,2	2,0	2,6	2,9	3,1	3,9	4,5	5

РЕШЕНИЕ. Подготовим вспомогательную таблицу:

Табл 1

Табл 2

1. По формуле определим коэффициенты а₀, и а₁.

А₀= ?уi*?xi^2-?xiyi*?xi / n*?x^2-?xi*?xi

Ai=n*?xiyi-?xi*?yi /n*?x^2-?xi*?xi.

Тогда регрессионная модель, согласно формуле, запишется:

Y^=А0+Аi*x

Построим график зависимости и отметим экспериментальные точки.

2. Для полученной модели определим:

А) коэффициент корреляции по формуле и оценим тесноту связи между доходами семьи и расходами на питание.

Xcp=?xi/n Ycp=?yi/n XYcp=?xiyi/n

Для этого вычислим средние значения доходов и расходов при помощи EXCEL. Расчеты приведены в табл 2

3. Хср= 49.6/8 = 6.2; Уср= 25.2/8 = 3.2 XcpУср=180,9/8 = 22,6.

Для вычисления среднеквадратических ошибок Sy, Sx имеем формулу:

Sy=v?(yi-y^i)/n Sx=v?(xi-x^)^2/n

Коэффициент корреляции вычислим по формуле:

rxy=xy^-x^*y^/sy*sx

3. Рассчитаем коэффициент детерминации: R²xy = 0,972111224. Значит, 97,2% величины расходов семьи на питание зависит от изменения доходов семьи, а остальные 2,8% связаны с изменением других, не включенных в модель факторов.

Вычислим коэффициент эластичности:

Эху=aix^/y^

С увеличением доходов семьи на 1% расходы на питание увеличатся в среднем на 0,8781%.

3. Найдем среднюю по модулю линейную относительную ошибку аппроксимации по формуле: d=1/n*?(yi-y^)

Коэффициент низкий что значит точность построения модели высока.

ЗАДАНИЕ №7.

1. По исходным данным из задачи 6 рассчитаем Se, Sa₀, Sa₁ по формулам. Для этого подготовим таблицу:



Se = v1/n-2*?e^2

Sa_0=Se*v ?x ^2/?(xi-x^)^2

Sa₁ = Se*v 1/?(x-x^)^2

Согласно задаче имеем:

А₀ = 0,3837079 А₁ = 0,4461762. для вычисления фактических значений t-критерия воспользуемся формулами: t_a0 = a₀/ Sa₀ = 1.84707; t_a1 = 14,4617.

По таблице 1 приложения А найдем табличное значение t-критерия для степеней свободы df = 8-1-1 = 6 и уровня зависимости 6%,т.е. t_табл = 1,943.

При уровне значимости 6% имеет место неравенство:

t_a1 = 0,073525 ‹ t_табл = 1,943. Значит, с уверенностью 94% можно утверждать, что оценка А₁ = 0,747263097 не является статистически значимой.

Аналогично проверим для другого параметра. t_a0 = 1,743736 ‹ t_табл = 1,943, значит оценка А₀ = 0,123251901 также не является статистически значимой.



2. Значимость уравнения регрессии в целом и коэффициента тесноты связи R² определяется с помощью критерия Фишера. Значение оценки R² получено в предыдущей задаче, R² = 0,968583448. Фактическое значение F_факт определяем по формуле: F_факт = 184,9821.

Табличное значение F_табл определяем по таблице: F_табл = 5,99.

Поскольку F_факт = 184,9821› F_табл = 5,99, то с уверенностью 94% делается заключение о том, что уравнение регрессии в целом статистически значимо и статистически значим показатель степени связи R², т.е. отвергается нулевая гипотеза о том, что R² = 0.

ЗАДАНИЕ №8.

Имеются следующие исходные данные:

Годы	1997	1998	1999	2000	2001	2002	2003	2004
Объем реализации	10,84	11,12	10,6	11,31	11,62	12,0	12,73	11,12

Коэффициент достоверности аппроксимации для каждого типа линии тренда

1) Линейная у= 0,1795х - 347,71 R^2=0.4163

2) Логорифмическая у=359,19 Ln(x)-2718,8 R^2=0.1464

3) Степенная y=3E-102x^31.059 R^2=0.422

4) Экспонтенциальная у=4Е-13е^0.01558x R^2=0.4218

Как видно из рисунка в 2005г в сравнении с 2004г в среднем реализация продукции увеличилась на 0,42 млн. грн.

ЗАДАНИЕ №9.

Имеются данные испытаний нескольких величин по результатам обследования десяти статистически однородных филиалов фирмы, приведенные в таблице. х₁- фондовооруженность, х₂ - энерговооруженность, у - производительность труда.

Выполнить следующее:

1. Построить линейную регрессионную модель при помощи ПЭВМ.

2. Выполнить команду «Регрессия».

3. Определить по результатам команды «Регрессия» значение коэффициента множественной корреляции и детерминации.

4. Проверить статистическую значимость оценок параметров модели.

5. Проверить статистическую значимость оценки степени достоверности взаимосвязи R² и всей модели в целом.

РЕШЕНИЕ.

1. построить регрессионную модель.

2. выполнить команду «Регрессия», результаты которой показаны ниже.

Рис. Результаты команда «Регрессия»

Регрессионная модель принимает вид:

у^ = 0929087*2,9+ - 0,4502*4,5-3,246374

3. Согласно Рис коэффициенты множественной корреляции и детерминации,в данном случае R = 0,993689; R² = 0,98742.

4. Статистическую значимость оценок параметров модели b,a₁,а₂ осуществим с помощью t-критерия. Для этого определим его табличное значение и его фактические значения для каждого из оцениваемых параметров. По таблице 1 приложения А при уровне значимости 1% найдем табличное значение t-критерия для степеней свободы df = 10-2-1 = 7 и уровня зависимости 7%,т.е. t_табл = 3,143.

Фактическое значение t-критерия для каждого из оцениваемых параметров смотрим на рисунке в столбце t-статистика в нашем случае:

t-a1= 15,73834 ta2= - 0,855361 tb=15,97697

При уровне значимости 7% t-a1= 15,73834> t_табл имеет место равенство: Значит, с уверенностью 99% можно утверждать, что оценка А₁ параметра модели является статистически значимой.

Условие t_a2 = -0,855361< t_табл = 3,143 не выполняется, значит утверждаем, что этот критерий статистически не важен.

Условие t_в = 15.97697> t_табл = 3,143 выполняется, значит и эта оценка статистически значима в модели.

5. Значимость уравнения регрессии в целом и коэффициента тесноты связи R² определяем с помощью критерия Фишера. Фактическое F_факт =274,684752

Табличное значение F_табл определяем по таблице: F_табл = 9,55. Условие F_факт =274684752> F_табл = 9.55 выполняется, поэтому с вероятностью 99% делается заключение о том, что R² статистически значим, и уравнение регрессии в целом значимо, т.е. отвергается нулевая гипотеза R² = 0.