Предмет и метод эконометрики. Эконометрические взаимосвязи

Регрессии, приводимые к линейному виду, подразделяют на два класса:

I. нелинейные относительно включенного в модель фактора (независимой переменной), но линейны относительно результата (зависимой переменной).

К первому классу относятся такие функции как, например:

полиномы разных степеней;

- полином второй степени

- полином третьей степени и т.д.

равносторонняя гипербола: .

II. нелинейные относительно включенного в модель результата, но линейны относительно фактора.

Ко второму классу относятся такие функции как, например:

степенная функция: .

показательная: .

экспоненциальная: .

Рассмотрим линеаризацию наиболее часто применяемых функций.

Линеаризация полиномов разных степеней

Проводится следующим образом.

В параболе второй степени,

(61)

заменяя переменные , получим двухфакторное линейное уравнение регрессии:

(62)

В параболе третьей степени,

(64)

заменяя переменные , получим трехфакторное линейное уравнение регрессии:

(65)

Аналогичным образом поступим с полиномами более высоких порядков.

Из полиномов наибольшее распространение получила парабола второго порядка.

МНК для оценки параметров функция регрессии по линеаризованной параболе второго порядка дает следующую систему уравнений:

(66)

Пример 11. Имеются данные о средней прибыли (млн. руб.) и затратах на рекламу (млн. руб.) за декаду, по выборке, равной 15-ти предприятиях сферы торговли. Рассчитать функцию регрессии параболы второго порядка

Таблица 27

№
1	37,8	0,3
2	38,0	0,5
3	39,0	0,7
4	37,5	0,8
5	39,5	0,9
6	36,8	1,1
7	40,0	1,3
8	40,1	1,6
9	40,0	1,7
10	39,0	2,2
11	38,0	2,5
12	41,0	2,6
13	41,6	2,7
14	41,0	3,0
15	41,9	3,2

Решение. МНК для расчета параметров параболы второго порядка дает систему уравнений:

В таблице 28 рассчитаем все возможные значения:

Таблица 28

№
1	37,80	0,30	0,09	0,027	0,0081	11,34	3,402	38,023560
2	38,00	0,50	0,25	0,125	0,0625	19,00	9,500	38,158005
3	39,00	0,70	0,49	0,343	0,2401	27,30	19,110	38,307508
4	37,50	0,80	0,64	0,512	0,4096	30,00	24,000	38,387907
5	39,50	0,90	0,81	0,729	0,6561	35,55	31,995	38,472071
6	36,80	1,10	1,21	1,331	1,4641	40,48	44,528	38,651694
7	40,00	1,30	1,69	2,197	2,8561	52,00	67,600	38,846375
8	40,10	1,60	2,56	4,096	6,5536	64,16	102,656	39,166634
9	40,00	1,70	2,89	4,913	8,3521	68,00	115,600	39,280917
10	39,00	2,20	4,84	10,648	23,4256	85,80	188,760	39,908803
11	38,00	2,50	6,25	15,625	39,0625	95,00	237,500	40,330713
12	41,00	2,60	6,76	17,576	45,6976	106,60	277,160	40,478879
13	41,60	2,70	7,29	19,683	53,1441	112,32	303,264	40,630810
14	41,00	3,00	9,00	27,000	81,0000	123,00	369,000	41,109192
15	41,90	3,20	10,24	32,768	104,8576	134,08	429,056	41,446938
Итого	591,20	25,10	55,01	137,573	367,7897	1004,63	2223,131	591,200005

Подставим эти значения в систему уравнений.

Разделим каждое из уравнений системы на число при , первое на 15, второе на 25,01 и третье на 55,01.

Далее вычтем из 5-го уравнения 4-е, и из 6-го уравнения 5-е. система примет вид:

Разделим каждое уравнение на число при , 7-е на 0,5183, а 8-е на 0,30924

Вычтем из 10-го уравнения 9-е

Значение параметра

Подставим значение параметра в уравнение (9) и найдем значение параметра

Подставим значение параметров в уравнение (1) и найдем значение параметра

Подставим параметры в уравнение

Подставляя в полученное уравнение и рассчитаем теоретические значения , занесем их в последний столбик таблицы.

Линеаризацию равносторонней гиперболы

(67)

проводят, заменяя на , в результате получим уравнение линейной регрессии:

(68)

МНК для оценки параметров функция регрессии по линеаризованной равносторонней гиперболе дает следующую систему уравнений:

(69)

Также можно использовать уравнения:

(70)

(71)

Пример 12. Имеются данные о средней прибыли (млн. руб.) и затратах на затратах на рекламу (млн. руб.) за декаду, по выборке, равной 15-ти предприятий сферы торговли. Рассчитать функцию регрессии равносторонней гиперболы

Таблица 29

№
1	37,8	0,3
2	38,0	0,5
3	39,0	0,7
4	37,5	0,8
5	39,5	0,9
6	36,8	1,1
7	40,0	1,3
8	40,1	1,6
9	40,0	1,7
10	39,0	2,2
11	38,0	2,5
12	41,0	2,6
13	41,6	2,7
14	41,0	3,0
15	41,9	3,2

МНК для оценки параметров функция регрессии по линеаризованной равносторонней гиперболе дает следующую систему уравнений:

В таблице 30 рассчитаем все возможные значения:

Таблица 30

№
1	37,80	0,30	3,333333	126,000000	11,111111	36,808395
2	38,00	0,50	2,000000	76,000000	4,000000	38,266516
3	39,00	0,70	1,428571	55,714286	2,040816	38,891425
4	37,50	0,80	1,250000	46,875000	1,562500	39,086709
5	39,50	0,90	1,111111	43,888889	1,234568	39,238597
6	36,80	1,10	0,909091	33,454545	0,826446	39,459524
7	40,00	1,30	0,769231	30,769231	0,591716	39,612474
8	40,10	1,60	0,625000	25,062500	0,390625	39,770204
9	40,00	1,70	0,588235	23,529412	0,346021	39,810409
10	39,00	2,20	0,454545	17,727273	0,206612	39,956611
11	38,00	2,50	0,400000	15,200000	0,160000	40,016262
12	41,00	2,60	0,384615	15,769231	0,147929	40,033086
13	41,60	2,70	0,370370	15,407407	0,137174	40,048664
14	41,00	3,00	0,333333	13,666667	0,111111	40,089168
15	41,90	3,20	0,312500	13,093750	0,097656	40,111951
Итого	591,20	25,10	14,269937	552,158190	22,964285	591,199995

Подставим полученные значения в систему уравнений

Разделим первое уравнение на 15, а второе на 14,269937

Вычтем из второго уравнения первое

Подставим значение параметра в первое уравнение и рассчитаем параметр

Уравнение регрессии примет вид

Подставляя в полученное уравнение регрессии значение , рассчитаем .

Линеаризацию степенной функции

(72)

проводят путем логарифмирования обеих частей уравнения, получая уравнение вида:

(73)

Обозначив через , получим линейное уравнение регрессии:

(74)

МНК для оценки параметров функция регрессии по линеаризованной степенной функции дает следующую систему уравнений:

(75)

Также можно использовать уравнения:

(76)

(77)

Рассчитав параметры , и составив линейное уравнение регрессии необходимо провести его потенцирование, что бы вернуться к степенной функции.

(78)

Пример 13. Имеются данные о средней прибыли (млн. руб.) и затратах на затратах на рекламу (млн. руб.) за декаду, по выборке, равной 15-ти предприятий сферы торговли. Рассчитать степенную функцию

Таблица 31.

№
1	37,8	0,3
2	38,0	0,5
3	39,0	0,7
4	37,5	0,8
5	39,5	0,9
6	36,8	1,1
7	40,0	1,3
8	40,1	1,6
9	40,0	1,7
10	39,0	2,2
11	38,0	2,5
12	41,0	2,6
13	41,6	2,7
14	41,0	3,0
15	41,9	3,2

Решение. Для расчета параметров данной функции проведем ее линеаризацию, прологарифмировав обе части уравнения

Обозначив через , получим линейное уравнение регрессии:

МНК для оценки параметров функция регрессии по линеаризованной степенной функции дает следующую систему уравнений:

В таблице 32 рассчитаем все возможные значения:

Таблица 32

№
1	37,80	0,30	1,577492	-0,522879	-0,824837	37,183851
2	38,00	0,50	1,579784	-0,301030	-0,475562	37,910774
3	39,00	0,70	1,591065	-0,154902	-0,246459	38,397333
4	37,50	0,80	1,574031	-0,096910	-0,152539	38,592153
5	39,50	0,90	1,596597	-0,045757	-0,073056	38,764817
6	36,80	1,10	1,565848	0,041393	0,064815	39,060772
7	40,00	1,30	1,602060	0,113943	0,182544	39,308870
8	40,10	1,60	1,603144	0,204120	0,327234	39,619441
9	40,00	1,70	1,602060	0,230449	0,369193	39,710581
10	39,00	2,20	1,591065	0,342423	0,544817	40,100534
11	38,00	2,50	1,579784	0,397940	0,628659	40,295293
12	41,00	2,60	1,612784	0,414973	0,669262	40,355237
13	41,60	2,70	1,619093	0,431364	0,698418	40,413002
14	41,00	3,00	1,612784	0,477121	0,769493	40,574705
15	41,90	3,20	1,622214	0,505150	0,819461	40,674075
Итого	591,20	25,10	23,929804	2,037398	3,301443	590,961438
В среднем			1,595320	0,135827	0,220096
				0,089930



Подставим полученные значения в уравнение

Выполним потенцирование полученного уравнения

Подставляя в полученное уравнение значение фактора , рассчитаем .

Линеаризацию показательной функции

Показательная функция

(79)

также проводят путем логарифмирования обеих частей уравнения:

(80)

Обозначив через , получим линейное уравнение регрессии:

(81)

МНК для оценки параметров функция регрессии по линеаризованной степенной функции дает следующую систему уравнений:

(82)

Также можно использовать уравнения:

(83)

(84)

Рассчитав параметры , и составив линейное уравнение регрессии необходимо провести его потенцирование, что бы вернуться к показательной функции.

(85)

Пример 14. Имеются данные о средней прибыли (млн. руб.) и затратах на затратах на рекламу (млн. руб.) за декаду, по выборке, равной 15-ти предприятий сферы торговли. Рассчитать показательную функцию

Таблица 33

№
1	37,8	0,3
2	38,0	0,5
3	39,0	0,7
4	37,5	0,8
5	39,5	0,9
6	36,8	1,1
7	40,0	1,3
8	40,1	1,6
9	40,0	1,7
10	39,0	2,2
11	38,0	2,5
12	41,0	2,6
13	41,6	2,7
14	41,0	3,0
15	41,9	3,2

Решение. Для расчета параметров данной функции проведем ее линеаризацию, прологарифмировав обе части уравнения

Обозначив через , получим линейное уравнение регрессии:

МНК для оценки параметров функция регрессии по линеаризованной степенной функции дает следующую систему уравнений:

В таблице 34 рассчитаем все возможные значения:

Таблица 34

№
1	37,80	0,30	1,577492	0,473248	37,806262
2	38,00	0,50	1,579784	0,789892	38,032035
3	39,00	0,70	1,591065	1,113745	38,259157
4	37,50	0,80	1,574031	1,259225	38,373226
5	39,50	0,90	1,596597	1,436937	38,487635
6	36,80	1,10	1,565848	1,722433	38,717477
7	40,00	1,30	1,602060	2,082678	38,948692
8	40,10	1,60	1,603144	2,565031	39,298106
9	40,00	1,70	1,602060	2,723502	39,415272
10	39,00	2,20	1,591065	3,500342	40,006365
11	38,00	2,50	1,579784	3,949459	40,365268
12	41,00	2,60	1,612784	4,193238	40,485616
13	41,60	2,70	1,619093	4,371552	40,606323
14	41,00	3,00	1,612784	4,838352	40,970608
15	41,90	3,20	1,622214	5,191085	41,215278
Итого	591,20	25,10	23,929804	40,210718	590,987319
В среднем		1,673333	1,595320	2,680715
		0,867289

Получили линеаризованное уравнение

Произведем потенцирование линейного уравнения для возврата к показательной функции.

Подставим в полученное уравнение значения фактора , рассчитаем значения .

2.4.1.5 Коэффициенты эластичности в парных моделях

Коэффициенты регрессии выражены в натуральных единицах, то есть являются именованными величинами, поэтому коэффициенты регрессии, выраженные в разных единицах несопоставимы между собой. Для сопоставления разноименных коэффициентов корреляции линейных и нелинейных моделей удобно использовать коэффициент эластичности.

(86)

где:

- первая производная функции регрессии для соответствующей формы связи.

Так как коэффициент эластичности не всегда величина постоянная, а часто зависит от значения , обычно рассчитывают средний коэффициент эластичности.

(87)

Коэффициент средней эластичности для некоторых функций рассчитывается как:

уравнения прямой :

(88)

парабола второго порядка

уравнение равносторонней гиперболы :

(89)

степенного уравнения :

(90)

показательного уравнения :

(91)

Коэффициент средней эластичности показывает, на сколько процентов в среднем изменится результативный признак, если факторный признак увеличится на один процент.

Коэффициент средней эластичности позволяет ранжировать факторы по силе влияния на результат, чем больше коэффициент для -го фактора, тем сильнее данный фактор влияет на результат.

Пример 15. Исходя из рассчитанных уравнений регрессии (табл. 35) рассчитать коэффициенты средней эластичности для линейной функции, полинома второй степени, равносторонней гиперболы, степенной и показательной функций.

Таблица 35

Функция	Уравнение регрессии
Линейная		1,6713
Парабола второй степени
Равносторонняя гипербола
Степенная
Показательная

Рассчитать коэффициенты средней эластичности для каждого уравнения регрессии.

Решение.

1. Для линейной функции

2. Для полинома второй степени

3. Для равносторонней гиперболы

4. Для степенной функции

5. Для показательной функции

Пример 16. По группе предприятий, рассчитаны уравнения парной линейной регрессии, отражающие зависимость средней прибыли от уровня оплаты труда и затрат на маркетинг (табл. 36).

Таблица 36

Признак-фактор	Уравнение парной линейной регрессии	Среднее значение фактора
Уровень оплаты труда,		62,4
Затраты на маркетинг,		189,07

Используя коэффициенты средней эластичности определить степень влияния каждого из факторов.

Решение.

По формуле коэффициента средней эластичности для линейной функции рассчитаем данный коэффициент по каждому из факторов.

а) по фактору



б) по фактору

Исходя из рассчитанных коэффициентов средней эластичности, можно сказать, что фактор оказывает более сильное влияние на урожайность, чем фактор .

2.4.1.6 Парная нелинейная корреляция

В нелинейных моделях для определения силы связи рассчитывают индекс корреляции:

(92)

где;

- остаточная дисперсия результативного признака.

- общая дисперсия результативного признака.

Отсюда: (93)

Величина индекса корреляции может принимать значения от до , то есть, он показывает только тесноту связи, но не показывает ее направление.

Квадрат индекса корреляции - индекс детерминации характеризует долю вариации результативного признака обусловленную влиянием включенного в модель фактора .

(94)

Величина индекса детерминации определяет качество подбора функции регрессии, чем индекс детерминации выше, тем «лучше» выбор формы уравнения регрессии.

Пример 17. По данным примера 12 (функция регрессии равносторонней гиперболы) рассчитать индекс корреляции, (табл. 37).

Решение.

1. Рассчитаем индекс корреляции

Индекс множественной корреляции показывает, что между исследуемыми явлениями существует средняя связь.

Таблица 37

№
1	37,80	36,808395	-1,6133	2,6027	0,9602	0,9220
2	38,00	38,266516	-1,4133	1,9974	-0,2770	0,0767
3	39,00	38,891425	-0,4133	0,1708	0,1071	0,0115
4	37,50	39,086709	0,0867	0,0075	0,2649	0,0702
5	39,50	39,238597	-1,9133	3,6607	-1,6938	2,8690
6	36,80	39,459524	-2,6133	6,8293	-2,6529	7,0379
7	40,00	39,612474	0,5867	0,3442	0,3964	0,1571
8	40,10	39,770204	0,6867	0,4716	0,3409	0,1162
9	40,00	39,810409	0,5867	0,3442	0,2013	0,0405
10	39,00	39,956611	-0,4133	0,1708	-0,9428	0,8889
11	38,00	40,016262	-1,4133	1,9974	-2,0016	4,0064
12	41,00	40,033086	1,5867	2,5176	0,9984	0,9968
13	41,60	40,048664	2,1867	4,7817	1,5664	2,4536
14	41,00	40,089168	1,5867	2,5176	0,9265	0,8584
15	41,90	40,111951	2,4867	6,1837	1,8040	3,2544
Сумма	591,2000			34,5973		23,7596
В среднем	39,4133

Рассчитаем индекс детерминации

Индекс детерминации показывает, что вариация результативного признака на 31% обусловлена влиянием включенного в модель фактора.

2.4.1.7 Оценка надежности параметров парной нелинейной регрессии и корреляции

Как и в парной линейной регрессии, в регрессии нелинейной оценку надежности уравнения в целом проводят с помощью критерия Фишера, а оценку параметров уравнения и коэффициента детерминации проводят с помощью критерия Стьюдента.

Общая формула фактический F-критерия имеет вид;

(95)

где:

- индекс детерминации.

- число наблюдений.

- число параметров при переменных .

В случае нелинейной регрессии отлично для разных видов регрессии, и формула F-критерия различна для различных функций.

Например. Для степенной и показательной и:

(96)

Для параболы второго порядка и:

(97)

Для параболы третьего порядка и:

(98)

Как и в случае линейной регрессии, критерий Фишера фактический сравнивают с критерием Фишера табличным, при определенном уровне значимости или , и числе свободы - , (таблицы Снедекора-Фишера - приложение 2).

Значимость параметров уравнения парной нелинейной регрессии и индекса корреляции проверяется, аналогично парной линейной регрессии используя критерий Стьюдента (см. 2.3.1.3).

Критерий Стьюдента для коэффициента регрессии рассчитывается как;

(51)

где; - коэффициент регрессии.

- стандартная ошибка коэффициента регрессии, рассчитывается как:

(52)

Учитывая, что

(53)

Критерий Стьюдента для параметра рассчитывается как;

(54)

где: - свободный член уравнения регрессии.

- стандартная ошибка параметра , рассчитывается как:

 (55)

или (56)

Критерий Стьюдента для индекса корреляции рассчитывается как;

(57)

или (58)

где: - индекс корреляции.

- стандартная ошибка индекса корреляции, рассчитывается как:

(59)

Качество подбора модели определяют, рассчитывая среднюю ошибку аппроксимации. Для расчета средней ошибки аппроксимации используют формулы:

(99)

(100)

где (101)

(102)

Чем меньше средняя ошибка аппроксимации, тем выше качество модели. Допустимый предел не более 10%.

Пример 18. Необходимо оценить существенность уравнения регрессии равносторонней гиперболы

, при:

где: - индекс детерминации.

- число наблюдений.

Решение. Оценку существенности уравнения нелинейной регрессии проведем, используя критерий Фишера (F-критерий)

.

- число параметров при переменных .

Найдем критерий Фишера табличный, при уровне значимости , и числе свободы - , (таблицы Снедекора-Фишера - приложение 2) - .

Так как уравнение регрессии признаем статистически значимым.

Пример 19. По данным примеров 7; 11; 12; 13; 14 рассчитаем средние ошибки аппроксимации для линейной функции, функции параболы второй степени, равносторонней гиперболы, степенной и показательной функций.

Решение. Для расчета средней ошибки аппроксимации используем формулу:

, где

Расчет произведем в таблице 38. Средние ошибки аппроксимации составили для:

линейной функции

параболы второго порядка

функции равносторонней гиперболы

степенной функции

показательной функции

Соответственно линейная функция наиболее качественно описывает существующую взаимосвязь между исследуемыми явлениями. Но все регрессии находятся в допустимых пределах ( не более 10%).

Таблица 38

№		Линейная	Парабола второго порядка	Гипербола
1	37,8	37,792344	0,007656	0,020254	38,023560	0,223560	0,591429	36,808395	0,991605	2,623294
2	38,0	38,028410	0,028410	0,074763	38,158005	0,158005	0,415803	38,266516	0,266516	0,701358
3	39,0	38,264476	0,735524	1,885959	38,307508	0,692492	1,775621	38,891425	0,108575	0,278397
4	37,5	38,382510	0,882510	2,353360	38,387907	0,887907	2,367752	39,086709	1,586709	4,231224
5	39,5	38,500543	0,999457	2,530271	38,472071	1,027929	2,602352	39,238597	0,261403	0,661780
6	36,8	38,736609	1,936609	5,262524	38,651694	1,851694	5,031777	39,459524	2,659524	7,226967
7	40,0	38,972676	1,027324	2,568310	38,846375	1,153625	2,884063	39,612474	0,387526	0,968815
8	40,1	39,326775	0,773225	1,928242	39,166634	0,933366	2,327596	39,770204	0,329796	0,822434
9	40,0	39,444808	0,555192	1,387980	39,280917	0,719083	1,797708	39,810409	0,189591	0,473978
10	39,0	40,034974	1,034974	2,653779	39,908803	0,908803	2,330264	39,956611	0,956611	2,452849
11	38,0	40,389074	2,389074	6,287037	40,330713	2,330713	6,133455	40,016262	2,016262	5,305953
12	41,0	40,507107	0,492893	1,202178	40,478879	0,521121	1,271027	40,033086	0,966914	2,358327
13	41,6	40,625140	0,974860	2,343413	40,630810	0,969190	2,329784	40,048664	1,551336	3,729173
14	41,0	40,979240	0,020760	0,050634	41,109192	0,109192	0,266322	40,089168	0,910832	2,221541
15	41,9	41,215306	0,684694	1,634115	41,446938	0,453062	1,081294	40,111951	1,788049	4,267420
Итого	591,2			32,182820			33,206244			38,323509
В среднем				2,145521			2,213750			2,554901

Продолжение табл. 38

№		Степенная	Показательная
1	37,8	37,183851	0,616149	1,630024	37,806262	0,006262	0,016566
2	38,0	37,910774	0,089226	0,234805	38,032035	0,032035	0,084303
3	39,0	38,397333	0,602667	1,545300	38,259157	0,740843	1,899597
4	37,5	38,592153	1,092153	2,912408	38,373226	0,873226	2,328603
5	39,5	38,764817	0,735183	1,861223	38,487635	1,012365	2,562949
6	36,8	39,060772	2,260772	6,143402	38,717477	1,917477	5,210535
7	40,0	39,308870	0,691130	1,727825	38,948692	1,051308	2,628270
8	40,1	39,619441	0,480559	1,198401	39,298106	0,801894	1,999736
9	40,0	39,710581	0,289419	0,723548	39,415272	0,584728	1,461820
10	39,0	40,100534	1,100534	2,821882	40,006365	1,006365	2,580423
11	38,0	40,295293	2,295293	6,040245	40,365268	2,365268	6,224389
12	41,0	40,355237	0,644763	1,572593	40,485616	0,514384	1,254595
13	41,6	40,413002	1,186998	2,853361	40,606323	0,993677	2,388647
14	41,0	40,574705	0,425295	1,037305	40,970608	0,029392	0,071688
15	41,9	40,674075	1,225925	2,925835	41,215278	0,684722	1,634181
Итого	591,2			35,228156	590,987320		32,346303
В среднем				2,348544			2,156420

2.4.1.8 Прогнозирование на основе парной модели регрессии

Расчет доверительных интервалов для прогнозного значения , параметров уравнения регрессии и коэффициента (индекса) корреляции .

Парные модели регрессии позволяют прогнозировать значение результативного признака как точечный прогноз путем подстановки в уравнение регрессии соответствующего конкретного прогнозного значения .

Естественно, что полученное точечное значение рассчитанное для не может быть на 100% точным, поэтому необходим дополнительный расчет стандартной ошибки для функции регрессии и для индивидуальных значений зависимой переменной, и построение соответствующих интервалов которые с заданной вероятностью (- уровень значимости) накрывают неизвестное значение . Также доверительные интервалы рассчитываются для параметров уравнения регрессии и коэффициента (индекса) корреляции .

Расчет доверительного интервала для функции регрессии

Доверительный интервал для уравнения регрессии имеет вид:

(103)

где:

- предельная ошибка

(104)

- стандартная ошибка

(105)

- остаточное стандартное отклонение на одну степень свободы

(106)

- табличное значение критерия Стьюдента для числа степеней свободы и определенного уровня значимости .

Необходимо помнить, что прогноз значений результативного признака по уравнению регрессии тем точнее, чем значение фактора ближе к . Если же значение выходит за рамки обследованных значений результаты прогноза ухудшаются тем больше, чем больше разница между и .

Расчет доверительного интервала для индивидуальных значений результативного признака

При построение доверительного интервала для индивидуальных значений результативного признака , в отличие от доверительного интервала для функции регрессии необходимо учитывать вариацию вокруг линии регрессии. В результате стандартная ошибка индивидуальных значений при равна

(107)

Доверительный интервал примет вид:

(108)

где

- предельная ошибка

(109)

Точность интервала рассчитывают как отношение максимального значения интервала к минимальному значению

(110)

Чем меньше отношение, тем меньше интервал, то есть он более точен.

Расчет доверительных интервалов для параметров уравнения регрессии

Для свободного члена уравнения регрессии доверительный интервал имеет вид:

(111)

Где

- предельная ошибка

(112)

- стандартная ошибка

(55)

Для коэффициента регрессии доверительный интервал имеет вид:

(113)

где

- предельная ошибка

(114)

- стандартная ошибка

(52)

Пример 20. По данным примера 7 и примера 9, необходимо:

1. провести прогнозирование на основе парной линейной модели регрессии для индивидуального значения результативного признака при .

2. рассчитать доверительные интервалы для

а) функции регрессии

б) индивидуального прогнозного значения , при

в) свободно члена уравнения регрессии

г) коэффициента регрессии

Решение.

1) Рассчитаем прогнозное значение результативного признака, подставив индивидуальное значение фактора в линейное уравнение регрессии

2) Рассчитаем доверительные интервалы

a) Доверительный интервал прогноза для функции регрессии рассчитаем как:

Где:

Для расчетов используем таблицу 39.

табличное значение критерия Стьюдента для числа степеней свободы и определенного уровня значимости .

Доверительный интервал прогноза показывает, что с вероятностью прогнозное значение средней прибыли по совокупности предприятий для конкретного значения фактора будет находиться в интервале от 35,187403 до 41,223517, не принимая нулевых значений, т.е. являются статистически значимыми.

Таблица 39

№
1	37,80	0,30	0,09	37,792344	1,886044	0,000059
2	38,00	0,50	0,25	38,028410	1,376710	0,000807
3	39,00	0,70	0,49	38,264476	0,947377	0,540996
4	37,50	0,80	0,64	38,382510	0,762711	0,778824
5	39,50	0,90	0,81	38,500543	0,598044	0,998914
6	36,80	1,10	1,21	38,736609	0,328711	3,750454
7	40,00	1,30	1,69	38,972676	0,139378	1,055395
8	40,10	1,60	2,56	39,326775	0,005378	0,597877
9	40,00	1,70	2,89	39,444808	0,000711	0,308238
10	39,00	2,20	4,84	40,034974	0,277378	1,071171
11	38,00	2,50	6,25	40,389074	0,683378	5,707675
12	41,00	2,60	6,76	40,507107	0,858712	0,242944
13	41,60	2,70	7,29	40,625140	1,054045	0,950352
14	41,00	3,00	9,00	40,979240	1,760045	0,000431
15	41,90	3,20	10,24	41,215306	2,330712	0,468806
Итого	591,20	25,10	55,01	591,199992	13,009333	16,472942
В среднем		1,673333

б) Рассчитаем доверительный интервал для индивидуального прогнозного значения , при

Доверительный интервал примет вид:

Доверительный интервал прогноза показывает, что с вероятностью прогнозное значение индивидуальной средней прибыли для конкретного значения фактора будет находиться в интервале от 35,148114 до 41,262806, не принимая нулевых значений, т.е. являются статистически значимыми.

в) Рассчитаем доверительный интервал для свободного члена уравнения .

где

Доверительный интервал прогноза показывает, что с вероятностью значение параметра находится в интервале от 36,147123 до 38,729365, не принимая нулевых значений, т.е. являются статистически значимыми.

г) Для коэффициента регрессии доверительный интервал имеет вид:

где

Доверительный интервал показывает, что с вероятностью прогнозное значение будет находиться в интервале от 0,505907 до 0,674425, не принимая нулевых значений, т.е. является статистически значимым.

2.4.2 Множественная регрессия. Множественная Корреляция

2.4.2.1 Множественная регрессия

В тех случаях, когда известно, что на результативный признак существенное влияние оказывает не один, как в парной модели, а несколько факторов, причем их влиянием нельзя пренебречь рассчитывают функцию не парной, а множественной регрессии.

(115)

Множественная модель позволяет установить связь результативного признака с каждым отдельно взятым фактором, при условии неизменяемости других включенных в модель факторных признаков.

При построении функции множественной регрессии, как и в парной регрессии, необходимо решить две задачи:

1. отбор факторов,

2. спецификация модели.

Отбор факторов модели множественной регрессии

Так как, во множественной регрессии исследуют влияние на результат нескольких факторов, то в отличии от парной модели, имеются особые требования к их отбору.

Все факторы должны быть выражены в количественных единицах. Качественные факторы, при включении их в модель, необходимо перевести в количественные, например, путем пересчета в баллы.

Факторы, включенные в модель не должны быть интеркоррелированы, то есть факторы во множественной модели не должны находится в сильной корреляционной связи между собой, сила связи между факторами не должна быть выше чем сила связи между каким то фактором и результатом. В статистике говорят, что факторы явно коррелированны если коэффициент корреляции между ними , а если связь между ними близка к функциональной, то наличие такой связи называется мультиколлинеарностью.

Спецификация модели множественной регрессии

Функция множественной регрессии может, как и парной регрессии, иметь линейный или нелинейный вид.

Наиболее широкое распространение получила линейная функция:

(116)

Но при значительной вариации признаков возможно применение нелинейных функций. Данные функции, так же, как и в парной регрессии должны иметь возможность свей линеаризации. Из всего множества нелинейных функций чаще всего используют:

Множественная степенная функция

(117)

2. Множественная показательная функция

(118)

3. Множественная экспонента

(119)

4. Множественная гипербола

(120)

5. Множественная парабола второго порядка

(121)

Выбор вида функции проводится аналитическим или экспериментальным методами.

Расчет параметров уравнения множественной регрессии

Параметры множественной регрессии, как и параметры парной регрессии можно определить, используя МНК. Так для расчета параметров уравнения множественной линейной регрессии:



МНК даст систему уравнений:

(122)

Параметры уравнения находим как отношение частных определителей к определителю системы

, , ,…, (123)

где

- определитель системы, находится, как:

(124)

- частные определители системы рассчитывают, заменяя соответствующий столбец матрицы определителя системы данными левой части системы.

Параметр во множественной регрессии называется свободным членом уравнения регрессии и также как в парной регрессии не имеет экономической интерпретации. Параметр - коэффициентом регрессии, он показывает, на сколько единиц, в среднем, изменится результативный признак , если соответствующий данному коэффициенту фактор увеличится на одну единицу при постоянной величине остальных факторов.

Коэффициенты регрессии можно рассчитать и используя уравнения регрессии в стандартизованном виде представив все переменные уравнения как центрированные и нормированные. Для этого выразим их как отношение их отклонений от средних величин на их стандартное отклонение:

(125)

где

- стандартизованные переменные:

(126)

(127)

- стандартизованные коэффициенты регрессии , показывают на сколько, в среднем, среднеквадратических отклонений изменится вариация результативного признака, если вариация соответствующего фактора увеличится на одно среднеквадратическое отклонение, при постоянной величине остальных факторов. Расчет параметров уравнения в стандартизированной форме более прост, так как, по сравнению с уравнением в натуральной форме отсутствует параметр .

МНК для уравнения множественной регрессии в стандартизированном масштабе даст следующую систему уравнений:

(128)

где

- коэффициент парной корреляции (38)

или (39)

Как, и в уравнении в натуральном масштабе параметры стандартизированного уравнения можно найти методом определителей:

(129)

где:

(130)

Определитель получается из определителя , заменой в нем соответствующего столбца столбцом свободных членов исходной системы.

Кроме того, можно рассчитать используя их взаимосвязь с коэффициентами парной линейной корреляции. Так, например, для двухфакторной линейной модели, выраженной в стандартизованном масштабе, рассчитываются, как:

(131)

Определив значение ?-коэффициентов и зная, что между ?-коэффициентами и коэффициентами регрессии в натуральном масштабе существует следующая взаимосвязь:

или (132)

От уравнения множественной регрессии в стандартизованном виде

(125)

перейдем к уравнению в натуральном масштабе

(116)

параметр , который мы не рассчитали в стандартизованном уравнении, рассчитаем, как

(133)

Расчет параметров нелинейных уравнений множественной регрессии ведется так же, как и в линейной модели используя МНК. Разница заключается в том, что нелинейные модели вначале линеаризуются, и расчет параметров проводится по преобразованным данным (см. парную регрессию).

2.4.2.2 Частные уравнения регрессии

Частные уравнения регрессии, рассчитываются на основе множественного уравнения регрессии:

(116)

Они показывают изолированное влияние одного конкретного фактора на результативный признак , при зафиксированном, на среднем уровне, положении остальных, включенных в модель факторов. Влияния зафиксированных факторов в уравнениях частной регрессии присоединены к свободному члену уравнения регрессии .

Частные множественные регрессии записываются, как:

(134)

Обозначение показывает, что изучается влияние на результат , фактора , при зафиксированном на среднем уровне положении факторов . Обозначение показывает, что изучается влияние на результат , фактора , при зафиксированном на среднем уровне положении факторов , и т, д. Знак в нижнем индексе обозначения отделяет фактор влияния, которого исследуется, от факторов, влияние которых изолируется.

Частные уравнения множественной регрессии для линейной модели имеют вид:

(135)

На основе частных уравнений регрессии рассчитывают частные коэффициенты эластичности:

(136)

Частные коэффициенты эластичности отличаются от средних коэффициентов.

Частный коэффициент эластичности показывает, на сколько, в среднем, процентов изменится результат при подстановке в уравнение регрессии конкретного значения .

Средний коэффициент эластичности показывает, на сколько в среднем процентов изменится результат, если соответствующий данному коэффициенту фактор увеличится на 1%, при зафиксированных, на средних уровнях величин остальных, включенных в модель, факторов.

(137)

Пример 20. Имеются данные по 40 хозяйствам о средней урожайности (ц/га), качества почвы (балов), затратах труда (чел-час./1га.), внесение минеральных удобрений (ц.д.в. на 1га.), стоимость ОС (тыс. руб. на 100 га.) (табл. 42).

Таблица 42

№	Урожайность, ц/га	Качество пашни, балов	Затраты труда чел.-час на 1 га	Внесение мин. удобрений на 1 га ц.д.в.	Стоимость ОФ на тыс.руб. 100 га
1	10,49	67	15,45	0,76	18,21	10,048113
2	8,57	53	16,13	1,06	19,17	9,601560
3	10,95	70	17,59	1,06	20,42	11,593826
4	9,23	51	18,84	0,52	20,00	8,633346
5	11,97	70	18,43	0,99	20,37	11,524121
6	8,56	56	12,44	0,67	21,04	8,887059
7	12,18	55	15,50	1,02	20,25	9,800000
8	7,93	47	16,34	0,44	17,68	7,427264
9	15,75	89	17,13	1,22	28,19	14,929855
10	13,61	74	17,10	0,72	22,63	11,502371
11	13,99	52	27,16	1,59	40,16	15,194027
12	12,57	87	14,92	1,23	21,12	13,414848
13	10,93	65	18,17	0,82	26,01	11,506605
14	9,86	54	17,24	0,98	17,99	9,461020
15	7,39	48	14,64	0,41	21,90	7,917362
16	9,23	61	14,70	0,79	20,47	9,804117
17	15,40	79	28,81	1,20	29,01	15,372985
18	13,14	85	21,87	0,99	23,40	13,824023
19	13,12	83	16,88	0,91	25,53	13,217642
20	10,27	64	16,65	0,83	21,18	10,512752
21	9,12	55	16,10	0,81	20,24	9,395289
22	13,42	72	18,02	1,21	20,22	12,140147
23	10,29	69	16,91	0,78	24,89	11,485126
24	11,55	72	14,90	0,86	20,86	11,101097
25	15,26	87	17,64	1,21	28,42	14,808601
26	12,35	79	14,41	1,20	19,73	12,305857
27	8,24	49	12,62	1,07	18,57	8,749497
28	10,41	64	18,13	0,79	21,07	10,573475
29	9,62	52	17,30	0,77	24,46	9,806811
30	10,76	65	17,16	0,82	20,46	10,532588
31	8,35	51	14,65	0,63	22,82	8,842748
32	10,31	75	13,66	0,79	19,89	10,941740
33	9,38	55	12,07	0,73	22,92	9,174913
34	14,93	72	14,38	1,05	33,99	13,502339
35	12,46	79	14,53	1,03	22,95	12,436891
36	10,45	59	16,54	0,92	23,20	10,534678
37	12,38	80	21,64	0,95	21,64	12,955222
38	7,74	76	10,27	0,65	16,87	9,872332
39	14,49	89	19,44	1,05	24,49	14,236792
40	8,50	47	15,05	0,56	17,89	7,582986
Итого	445,15	2657,00	671,41	36,09	900,31	445,152022
Среднее	11,128750	66,425000	16,785250	0,902250	22,507750
	2,305561	12,959335	3,458573	0,240692	4,463267

Необходимо построить уравнение множественной линейной регрессии, рассчитать парные коэффициенты регрессии, частные и средние коэффициенты эластичности, провести прогнозирование урожайности, при различных значениях факторов, то есть рассчитать:

максимально возможную урожайность,

минимальную урожайность,

урожайность для средних значений фактора,

частные уравнения регрессии, при максимальном значении одного фактора и средних значениях двух других факторов.

Решение.

1) Уравнение множественной линейной регрессии для нашего примера имеет вид:



Для решения данного уравнения представим его в стандартизированном масштабе:

где: - стандартизованные переменные:

,

- стандартизованные коэффициенты регрессии

МНК для решения множественного уравнения линейной регрессии в стандартизованном виде дает систему уравнений:

Для нашего примера:

Между стандартизированными переменными и коэффициентами парной корреляции существует следующая взаимосвязь:

2) Рассчитаем коэффициенты парной корреляции. Расчет проведем, используя программу Microsoft, таблица 43.

Таблица 43

	Столбец 1 y	Столбец 2 x1	Столбец 3 x2	Столбец 4 x3	Столбец 5 x4
Столбец 1 y	1,000000
Столбец 2 x1	0,749996	1,000000
Столбец 3 x2	0,545459	0,188222	1,000000
Столбец 4 x3	0,731053	0,474013	0,466501	1,000000
Столбец 5 x4	0,640037	0,223318	0,549570	0,539163	1,000000

3) Подставим значения коэффициентов корреляции в систему.

Для решения системы уравнения воспользуемся методом Гаусса.

4). Составим матрицу, в которую внесем все числа (коэффициенты) при переменных , за горизонтальную черту вынесем итог по каждому уравнению:

 - матрица 1

5) Далее необходимо привести к нулю первые коэффициенты строк 2,3,4, первая строка остается без изменений - рабочая строка. Для этого:

а) Умножим первую (рабочую) строку на число противоположное 1-му коэффициенту второй строки матрицы 1, т.е. на , получим

суммируем полученную строку со второй строкой матрицы 1, получим расчетную строку 1.

б) Умножим первую (рабочую) строку на число противоположное 1-му коэффициенту третьей строки матрицы 1, т.е. на получим

суммируем полученную строку с третьей строкой матрицы 1, получим расчетную строку 2.

в) Умножим первую (рабочую) строку на число противоположное 1-му коэффициенту четвертой строки матрицы 1, т.е. на получим

суммируем полученную строку с четвертой строкой матрицы 1, получим расчетную строку 3.

6) Составим новую матрицу (матрица 2). Первой строкой данной матрицы будет первая строка матрицы 1, второй строкой (рабочей) - расчетная строка 1, третьей - строка 2, четвертой - строка 3.

- матрица 2

7) Далее, необходимо привести к нулю вторые коэффициенты строк 3 и 4 матрицы 2, первая строка остается без изменений, рабочей будет вторая строка. Для этого:

а) Найдем число, которое при умножении на второй коэффициент рабочей строки матрицы 2 - , даст число, противоположное (с другим знаком) второму коэффициенту третьей строки - . Для этого найдем отношение: , так как второй коэффициент третьей строки число положительное, полученное число возьмем со знаком минус и умножим на него вторую (рабочую) строку матрицы 2:

суммируем полученную строку с третьей строкой матрицы 2, получим расчетную строку 4:

б) Найдем число, которое при умножении на второй коэффициент рабочей строки матрицы 2 - , даст число, противоположное (с другим знаком) второму коэффициенту четвертой строки - . Для этого найдем отношение: , так как второй коэффициент четвертой строки число положительное, полученное число возьмем со знаком минус и умножим на него вторую (рабочую) строку матрицы 2:

суммируем полученную строку с четвертой строкой матрицы 2, получим расчетную строку 5:

8). Составим новую матрицу - 3. Первые две строки возьмем без изменений из матрицы два, третьей строкой (рабочей) будет расчетная строка 4, четвертой строкой - расчетная строка 5.

- матрица 3

9) Далее необходимо привести к нулю третий коэффициент строки 4. Для этого:

Найдем число, которое при умножении на третий коэффициент рабочей строки матрицы 3 - , даст число, противоположное (с другим знаком) третьему коэффициенту четвертой строки - . Для этого найдем отношение , так как третий коэффициент четвертой строки число положительное, полученное число возьмем со знакам минус и умножим на него третью (рабочую) строку матрицы 3.

суммируем полученную строку с четвертой строкой матрицы 3

10) Составим новую матрицу - 4. Первые три строки возьмем без изменений из матрицы три, а четвертой строкой - расчетная строка 6.

- матрица 4

11) Подставим полученные коэффициенты в систему



12) Рассчитаем значение стандартизированных коэффициентов регрессии .

а) Из четвертого уравнения системы рассчитаем:

б) Подставим полученное значения в третье уравнение системы и рассчитаем значение :

в) Подставим значения и во второе уравнения системы и получим значение :

г) Подставим значения , , во второе уравнения системы и получим значение :

13) Зная, что между ?-коэффициентами и коэффициентами регрессии в натуральном масштабе существует следующая взаимосвязь:

соответственно

а)

б)

в)

г)

Таким образом, используя метод Гаусса, рассчитали коэффициенты регрессии , параметр найдем по формуле:

14) Подставим рассчитанные параметры в уравнение множественной регрессии:

а) Коэффициент регрессии показывает, что при увеличении фактора - качество пашни на 1 балл, средняя урожайность в среднем возрастет на 0,096083 ц/га., при фиксированном положении остальных факторов.

б) Коэффициент регрессии показывает, что при увеличении фактора - затраты труда на 1 чел.-час./га, средняя урожайность в среднем возрастет на 0,113165 ц/га., при фиксированном положении остальных факторов.

в) Коэффициент регрессии показывает, что при увеличении фактора - внесение минеральных удобрений на 1 ц.д.в./га средняя урожайность в среднем возрастет на 2,243155 ц/га., при фиксированном положении остальных факторов.

г) Коэффициент регрессии показывает, что при увеличении фактора - стоимость ОФ на одну тыс.руб./100га, средняя урожайность в среднем возрастет на 0,15490 ц/га., при фиксированном положении остальных факторов.

15) Проведем прогнозирование средней урожайности на основе полученного уравнения множественной регрессии:

а) Рассчитаем максимально возможную урожайность, для этого по каждому из факторов , в уравнение подставим максимальное значение, если коэффициент регрессии для данного фактора положителен, или минимальное значение, если коэффициент регрессии для данного фактора отрицателен. В нашем примере все коэффициенты регрессии положительны, соответственно значения факторов берем максимальные , , , , и подставляем в уравнение.

б) Рассчитаем минимально возможную урожайность, для этого по каждому из факторов , в уравнение подставим минимальное значение, если коэффициент регрессии для данного фактора положителен, или максимальное значение, если коэффициент регрессии для данного фактора отрицателен. В нашем примере все коэффициенты регрессии положительны, соответственно значения факторов берем минимальные , , , , и подставляем в уравнение.

в) Рассчитаем среднюю возможную урожайность, для этого по каждому из факторов , в уравнение подставим средние значения , , , .

16) Рассчитаем частные уравнения регрессии

а) Рассчитаем среднюю возможную урожайность при максимальном значении фактора (учитывая знак коэффициента регрессии), и зафиксированных на среднем уровне значении остальных факторов , , .

б) Рассчитаем среднюю возможную урожайность при максимальном значении фактора (учитывая знак коэффициента регрессии), и зафиксированных на среднем уровне значении остальных факторов , , .

в) Рассчитаем среднюю возможную урожайность при максимальном значении фактора (учитывая знак коэффициента регрессии), и зафиксированных на среднем уровне значении остальных факторов , , .

г) Рассчитаем среднюю возможную урожайность при максимальном значении фактора (учитывая знак коэффициента регрессии), и зафиксированных на среднем уровне значении остальных факторов , , .

17) На основе частных уравнений регрессии рассчитаем частные коэффициенты эластичности:

а) При максимальном значении фактора , и зафиксированных на среднем уровне значении остальных факторов , , .

то есть средняя урожайность в среднем возрастет, при подстановке в уравнение регрессии конкретного значения на 0,64%, и зафиксированных на среднем уровне значении остальных факторов.

б) При максимальном значении фактора (учитывая знак коэффициента регрессии), и зафиксированных на среднем уровне значении остальных факторов , , .

то есть средняя урожайность в среднем возрастет, при подстановке в уравнение регрессии конкретного значения на 0,26%, и зафиксированных на среднем уровне значении остальных факторов.

в) При максимальном значении фактора (учитывая знак коэффициента регрессии), и зафиксированных на среднем уровне значении остальных факторов , , .

то есть средняя урожайность в среднем возрастет, при подстановке в уравнение регрессии конкретного значения на 0,28%, и зафиксированных на среднем уровне значении остальных факторов.

г) При максимальном значении фактора (учитывая знак коэффициента регрессии), и зафиксированных на среднем уровне значении остальных факторов , , .

то есть средняя урожайность в среднем возрастет, при подстановке в уравнение регрессии конкретного значения на 0,45%, и зафиксированных на среднем уровне значении остальных факторов.

18) Рассчитаем средние коэффициенты эластичности для каждого фактора:

а) Рассчитаем средний коэффициент эластичности для фактора

то есть средняя урожайность, при увеличении фактора на 1%, в среднем возрастет на 0,57%, при фиксированном положении остальных факторов.

б) Рассчитаем средний коэффициент эластичности для фактора

то есть средняя урожайность, при увеличении фактора на 1%, в среднем возрастет на 0,17%, при фиксированном положении остальных факторов.

в) Рассчитаем средний коэффициент эластичности для фактора

то есть средняя урожайность, при увеличении фактора на 1%, в среднем возрастет на 0,18%, при фиксированном положении остальных факторов.

г) Рассчитаем средний коэффициент эластичности для фактора

то есть средняя урожайность, при увеличении фактора на 1%, в среднем возрастет на 0,31%, при фиксированном положении остальных факторов.

19) Коэффициенты средней эластичности позволяют ранжировать факторы по степени их влияния на результативный признак, для нашего примера:

1. - качество пашни, балов

2. - стоимость ОФ тыс.руб. на 100га

3. - внесение минеральных удобрений на 1га.тыс.руб.

4. - затраты труда, чел.-час.

20) Расчет множественной регрессионной модели в программе Microsoft Excel аналогичен расчету парной регрессии и рассмотрен в примере 1 (вводим входной интервал, выделяя все столбики содержащие факторы ). Для данного примера приведем таблицу, содержащую результаты - рисунок 9.

Рисунок 9.

Параметр в данной таблице находится на пересечении столбика «Коэффициенты» и строки «Y-пересечение», параметр - на пересечении столбика «Коэффициенты» и строки «Переменная Х1», - строки «Переменная Х2», - строки «переменная Х3», - строки «Переменная Х4».

2.4.2.3 Множественная корреляция

Силу связи во множественных моделях изучают с помощью показателя множественной корреляции и его квадрата - показателя множественной детерминации.

Показатель множественной корреляции - показывает тесноту связи между результативным признаком и всеми включенными в модель факторами. Может принимать значения от 0 до 1, то есть в отличие от парной модели не показывает направление связи.

Показатель множественной детерминации - показывает часть вариации результативного признака, которая сложилась под влиянием всех включенных в модель факторов.

В статистике и эконометрике показатель множественной корреляции (детерминации) принято называть индексом или коэффициентом множественной (совокупной) корреляции.

Для линейной множественной функции и для функций нелинейных по переменным (полиномы разных степеней, равносторонняя гипербола и т.п. функции) индекс множественной корреляции совпадает с коэффициентом множественной корреляции.

Коэффициент (индекс) множественной корреляции рассчитывают, используя следующие формулы:

(138)

где:

- остаточная дисперсия (139)

- общая дисперсия для признака (140)

(141)

Коэффициент множественной корреляции можно рассчитать и, как:

(142)

где:

- парные коэффициенты корреляции между результативным признаком и одним из факторов .

Для функций нелинейных по оцениваемым параметрам (степенная, показательная, экспоненциальная и т. п. функции) индекс множественной корреляции не совпадает с коэффициентом множественной корреляции. Его называют «» и определяют как

(143)

Коэффициенты (индексы) множественной детерминации получают, возводя коэффициенты (индексы) корреляции в квадрат, или по формулам.

(144)

(145)

(146)

Скорректированный индекс множественной детерминации

Индекс множественной детерминации используют для определения качества регрессии, чем больше , к единице тем выше качество подбора регрессии.

Но использование только одного индекса детерминации для определения наилучшего уравнения регрессии недостаточно. Необходимо учитывать, что при увеличении факторов включенных в уравнение регрессии, при одном и том же числе наблюдений , при расчете показателей корреляции, за счет использования остаточной дисперсии появляется систематическая ошибка - чем больше число параметров в уравнении регрессии, при одном и том же числе наблюдений , тем больше получается расчетный показатель тесноты связи. Если число факторов приближается к числу наблюдений, то расчетный показатель корреляции будет близок к единице, то есть показывать тесную связь, даже если связь незначительна. Для того чтобы избежать этого рассчитывают скорректированный индекс множественной детерминации.

(147)

или

(148)

Скорректированный индекс множественной корреляции рассчитывают соответственно как:

(149)

или

(150)

где:

- для линейной множественной модели - число факторов включенных в регрессионную модель. Для нелинейной модели - число параметров при и их линеаризации ( и так далее), которое может быть больше числа факторов.

- число наблюдений.

В силу сказанного выше необходимо понимать, что нельзя перегружать множественную модель факторами, так как снижается достоверность расчетов, принято считать, что на каждые 8-10 наблюдений в модель целесообразно включать один фактор.

2.4.2.4 Частная корреляция

Множественный коэффициент (индекс) корреляции показывает тесноту связи между результатом и всеми включенными в модель факторами, для того, чтобы изучить силу связи между результатом и только одним из включенных в модель факторов, рассчитывают частные коэффициенты корреляции, для каждого из факторов включенных в модель.

Частный коэффициент корреляции показывает тесноту связи между результативным признаком и только одним фактором при элиминировании (устранении) влияния всех остальных включенных в модель факторов.

В зависимости от того, влияние скольких факторов необходимо исключать различают частные коэффициенты разных порядков: нулевого, первого, второго, третьего и т.д. Так, например:

Коэффициенты частной корреляции нулевого порядка - коэффициенты парной корреляции, так как нет необходимости устранять влияние даже одного фактора.

Коэффициенты частной корреляции первого порядка - коэффициенты частной корреляции, в которых элиминируется влияние одного фактора (,,и т.д.).

Коэффициенты корреляции второго порядка - коэффициенты частной корреляции, в которых элиминируется влияние двух факторов (,,и т.д.) и так далее.

Коэффициенты частной корреляции более высоких порядков рассчитываются через коэффициенты корреляции более низких порядков. Коэффициенты первого порядка через коэффициенты нулевого порядка, второго порядка через коэффициенты первого порядка и т.д. Рекуррентная формула для расчета коэффициентов частной корреляции порядка имеет вид:

(151)

Коэффициенты частной корреляции могут принимать значения в пределах от -1 до 1.

Также частные коэффициенты корреляции можно рассчитать через множественные коэффициенты детерминации. Так коэффициент частной корреляции второго порядка рассчитывается как:

или и т.д. (152)

В общем виде уравнение для расчета коэффициентов частной корреляции порядка имеет вид:

(153)

где

- коэффициент множественной детерминации для всех факторов.

- коэффициент множественной детерминации без включения в модель фактора .

Рассчитанные через множественные коэффициенты детерминации частные коэффициенты корреляции могут принимать значения в интервале от 0 до 1.

Кроме того, частные коэффициенты корреляции можно рассчитать через . Так, например, частные коэффициенты корреляции первого порядка для двухфакторной линейной модели, выраженной в стандартизованном масштабе :

(131)

Отсюда:

и (154)

Возводя в квадрат коэффициенты частной корреляции, получают коэффициенты частной детерминации.

Частные коэффициенты корреляции используют при формировании корреляционно-регрессионной модели, для отбора факторов. При этом из модели исключают факторы несущественные по критерию Стьюдента.

Коэффициент частной детерминации показывает долю вариации результативного признака дополнительно сложившуюся при включении в модель фактора , в вариации признака, не объясненную включенными до этого в модель факторами. Можно рассчитать по формуле на основе коэффициентов множественной детерминации.

(155)

где

- коэффициент множественной детерминации для всех факторов.

- коэффициент множественной детерминации без включения в модель фактора .

Зная коэффициенты частной детерминации, последовательно нулевого, первого, второго и более высоких порядков, определяют коэффициент множественной корреляции.

(156)

Пример 21. По данным примера 20 необходимо рассчитать:

1. линейный индекс множественной корреляции, детерминации

2. линейные коэффициенты частной корреляции первого и второго порядков, детерминации.

Решение.

1. Рассчитаем индекс множественной корреляции по формуле:

В таблице 44 рассчитаем все возможные значения.

Таблица 44

№
1	10,49	0,408002	10,048113	0,195264
2	8,57	6,547202	9,601560	1,064116
3	10,95	0,031952	11,593826	0,414512
4	9,23	3,605252	8,633346	0,355996
5	11,97	0,707702	11,524121	0,198808
6	8,56	6,598477	8,887059	0,106968
7	12,18	1,105127	9,800000	5,664400
8	7,93	10,232002	7,427264	0,252743
9	15,75	21,355952	14,929855	0,672638
10	13,61	6,156602	11,502371	4,442100
11	13,99	8,186752	15,194027	1,449681
12	12,57	2,077202	13,414848	0,713768
13	10,93	0,039502	11,506605	0,332473
14	9,86	1,609727	9,461020	0,159185
15	7,39	13,978252	7,917362	0,278111
16	9,23	3,605252	9,804117	0,329610

Подобные документы

• Особенности эконометрического метода

  Измерения в эконометрике. Парная регрессия и корреляция эконометрических исследований. Оценка существования параметров линейной регрессии и корреляции. Стандартная ошибка прогноза. Коэффициенты эластичности для различных математических функций.
  
  курс лекций [474,5 K], добавлен 18.04.2011
  

• Парная и множественная регрессия и корреляция

  Методика расчета линейной регрессии и корреляции, оценка их значимости. Порядок построения нелинейных регрессионных моделей в MS Exсel. Оценка надежности результатов множественной регрессии и корреляции с помощью F-критерия Фишера и t-критерия Стьюдента.
  
  контрольная работа [3,6 M], добавлен 29.05.2010
  

• Расчет показателей эконометрики

  Поля корреляции, характеризующие зависимость ВРП на душу населения от размера инвестиций в основной капитал. Оценка параметров уравнения парной линейной регрессии. Коэффициент множественной корреляции. Способы оценки параметров структурной модели.
  
  контрольная работа [215,1 K], добавлен 22.11.2010
  

• Эконометрика

  Расчет параметров парной линейной регрессии. Оценка статистической значимости уравнения регрессии и его параметров с помощью критериев Фишера и Стьюдента. Построение матрицы парных коэффициентов корреляции. Статистический анализ с помощью ППП MS EXCEL.
  
  контрольная работа [1,6 M], добавлен 14.05.2008
  

• Корреляционный и регрессионный анализ

  Построение линейного уравнения парной регрессии, расчет линейного коэффициента парной корреляции и средней ошибки аппроксимации. Определение коэффициентов корреляции и эластичности, индекса корреляции, суть применения критерия Фишера в эконометрике.
  
  контрольная работа [141,3 K], добавлен 05.05.2010
  

• Построение двухфакторной модели, моделей парной линейной прогрессии и множественной линейной регрессии

  Выбор факторных признаков для двухфакторной модели с помощью корреляционного анализа. Расчет коэффициентов регрессии, корреляции и эластичности. Построение модели линейной регрессии производительности труда от факторов фондо- и энерговооруженности.
  
  задача [142,0 K], добавлен 20.03.2010
  

• Основы эконометрики

  Параметры уравнений линейной парной регрессии. Показатели корреляции и детерминации. Изменение средней заработной платы и выплат социального характера. Средняя ошибка аппроксимации. Коэффициент эластичности и стоимость активных производственных фондов.
  
  контрольная работа [1,1 M], добавлен 23.06.2011
  

• Модифицированная модель Кейнса. Оценка качества уравнения

  Расчет параметров линейной регрессии. Сравнительная оценка тесноты связи с помощью показателей корреляции, детерминации, коэффициента эластичности. Построение поля корреляции. Определение статистической надежности результатов регрессионного моделирования.
  
  контрольная работа [71,7 K], добавлен 17.09.2016
  

• Основы эконометрики

  Оценка корреляционной матрицы факторных признаков. Оценки собственных чисел матрицы парных коэффициентов корреляции. Анализ полученного уравнения регрессии, определение значимости уравнения и коэффициентов регрессии, их экономическая интерпретация.
  
  контрольная работа [994,1 K], добавлен 29.06.2013
  

• Проверка гипотез относительно коэффициентов линейного уравнения регрессии

  Определение параметров линейной регрессии и корреляции с использованием формул и табличного процессора MS Excel. Методика расчета показателей парной нелинейной регрессии и корреляции. Вычисление значений линейных коэффициентов множественной детерминации.
  
  контрольная работа [110,4 K], добавлен 28.07.2012
  

• главная
• рубрики
• по алфавиту
• вернуться в начало страницы
• вернуться к началу текста
• вернуться к подобным работам