Разработка математической модели и оптимального режима технологического процесса

Размещено на http://www.allbest.ru/

Реферат

Курсовая работа выполнена на тему: разработка математической модели и оптимального режима технологического процесса.

Цель работы - разработать оптимальный режим процесса получения максимального выхода химического вещества. В результате работы получена математическая модель процесса с применением метода центральных композиционных ортогональных планов второго порядка.

Проведен регрессионный анализ. В ходе него рассчитаны дисперсии воспроизводимости, проверена значимость коэффициентов уравнения регрессии и выявлена адекватность полученной модели.

Также проведена интерпретация результатов математического моделирования, по результатам которой было оценено влияние каждого фактора на параметр оптимизации и влияние факторов друг на друга. Определены факторы, благоприятно и неблагоприятно влияющие на режим процесса.

В работе проведено исследование поверхности отклика и получен её вид: «гиперболический параболоид». Исходя из результатов исследования поверхности, была проведена оптимизация процесса. Оптимальный режим технологического процесса разрабатывался методами движения вдоль канонических осей и «Ридж - анализа». В результате проведенной оптимизации технологического процесса, на основе математической модели получено три оптимальных режима, выбран наиболее оптимальный.

Курсовая работа состоит из пояснительной записки, которая содержит 30 страниц, 10 таблиц, 6 использованных литературных источника.

Содержание

Введение

1. Описание алгоритма расчёта

1.1 Обоснование выбора методов получения математической модели и оптимизации технологического процесса

1.2 Математическая модель и формулы

1.3 Входная и выходная информация

2. Результаты расчётов и выводы

2.1 Анализ результатов математического моделирования

2.2 Интерпретация результатов математического моделирования

2.3 Принятие решений для дальнейшей работы

2.4 Анализ результатов оптимизации

Заключение

Список использованных источников

Введение

Основой научного подхода к исследованию и оптимизации технологических процессов является их математическое моделирование с последующим использованием моделей для анализа влияния основных факторов и вычисления оптимальных условий ведения процесса. Характерная особенность многих реальных технологических процессов как объектов моделирования и оптимизации - их зависимость от большого числа управляемых и неуправляемых факторов (температуры, продолжительности, состава реагентов, аппаратурного оформления, свойств сырья и т.п.), многие из которых изменяются стохастически. Задачи исследования и оптимизации таких систем успешно решаются с помощью математической статистики. [1]

На сегодняшний день с широким развитием научно-технического прогресса развиваются все отрасли промышленности. Вместе с ними бурное развитие и широкое применение получили методы кибернетик, в химии и химической технологии, на основе накопленных фактических материалов. Это привело к необходимости создать стройную систему знаний, оформившихся в новую отрасль науки - кибернетику химико- технологических процессов.

Имея в качестве объектов исследования физико-химические превращения и их оптимальную реализацию на всех уровнях иерархии от лаборатории до производства, используя в качестве метода познания метод математического моделирования, химическая кибернетика стала основой системного анализа химических производств, их оптимальной организации, функционирования и управления ими.

Одним из важнейших достижений кибернетики является разработка и широкое использование нового метода исследования, получившего название математического (машинного) эксперимента, или математического моделирования. Смысл его состоит в том, что эксперименты производятся не с реальной физической моделью изучаемого объекта, а с его описанием. Описание объекта вместе с программами, реализующими изменения характеристик объекта в соответствии с этим описанием, помещается в память ЭВМ, после чего становится возможным проводить с объектом различные эксперименты: регистрировать его поведение в тех или иных условиях, менять те или иные элементы описания и тому подобное. Огромное быстродействие современных ЭВМ зачастую позволяет моделировать многие процессы в более быстром темпе, чем они происходят в действительности.

Процедура построения математической модели эксперимента во многом зависит от её целевого назначения, свойств объекта, от количества и качества имеющейся информации. [2]

Планирование эксперимента - это оптимальное управление экспериментом в условиях неполной информации о механизме процесса.

В настоящее время методы планирования экс-перимента широко применяются в лабораторных, полузаводских, а также промышленных условиях. Технический прогресс производства создаёт всё новые предпосылки оптимизации эксперимента на всех стадиях изучения процесса. [3]

Компьютерное моделирование химико-технологических систем к настоящему времени полностью доказало свою актуальность и перспективность. С его помощью удается повысить качество управления химико-технологическими процессами и эффективность работы технологической системы. Но особенно большое значение компьютерное моделирование имеет для сокращения сроков проектирования. [2]

1. ОПИСАНИЕ АЛГОРИТМА РАСЧЕТА

1.1 Обоснование выбора методов получения математической модели и оптимизации технологического процесса

Для получения математической модели исследуемого технологического процесса выбираем центральные ортогональные композиционные планы второго порядка, так как они дают наиболее точное описание области, близкой к экстремуму.

Достоинство этих методов:

1. Возможность сократить количество опытов;

2. Ортогональность матрицы, она даёт возможность рассчитать коэффициенты bi независимо друг от друга, поэтому после исключения из уравнения регрессии незначимых факторов оставшиеся факторы пересчитывать ненужно;

3. Компоновка планов путём добавления определённого количества опытов к планам первого порядка. Поэтому, если уравнение регрессии неадекватно, то нет необходимости проводить все опыты снова, достаточно добавить несколько опытов, т.е. достроить план до плана 2-го порядка;

4. Симметричность относительно центра плана.

Выбор метода оптимизации зависит от поверхности отклика. В нашем случае поверхность имеет форму гиперболического параболоида, поэтому в качестве метода оптимизации выбран метод «Ридж - анализ» и метод “Движение вдоль канонических осей”, так как эти методы наиболее просты и надежны в расчетах, обеспечивают высокую скорость движения к экстремуму, практически всегда приводят к точке оптимума. Метод движения вдоль канонических осей позволяет получить два оптимальных режима в связи с симметрией поверхности отклика и выбрать из них наиболее эффективный с точки зрения технологии.

химический вещество математический модель

1.2 Математическая модель и формулы

Методы планирования экспериментов позволяют свести к минимуму число необходимых опытов и одновременно выявить оптимальное значение искомой функции.

Планы второго порядка отличаются от планов первого порядка тем, что факторы варьируются не на 2-х, а на 3-х, т.е. -1,+1,0.

За основу матрицы планирования эксперимента берут полный факторный эксперимент плана первого порядка типа 2^к. Обычно применяют центральные композиционные планы 2-го порядка, центральными их называют вследствие симметричности относительно центра плана. Композиционными потому, что они компонуются путем добавления определенного количества опытов к плану 1-го порядка.

Поэтому если линейное уравнение получилось неадекватным, то не надо проводить весь эксперимент заново, достаточно добавить несколько опытов, т.е. достроить план до плана 2-го порядка.

Порядок построения плана:

1. К точкам ПФЭ планов 1-го порядка добавляют 2К «звездных» точек, расположенных на координатных осях факторного пространства на одинаковом расстоянии от центра плана (б). Эту величину б называют “звездным плечом” (б=1,41).

2. Добавляем 1 или несколько параллельных опытов в центре плана n₀.

Общее количество опытов в матрице композиционного плана при К факторах составит:

, при К<5 (1)

, при К?5 (2)

где К - количество факторов;

2К - количество «звездных» точек;

n - количество опытов;

n₀ - количество параллельных опытов в центре плана.

3. строим матрицу планирования.

Правило построения матрицы:

- первый столбец матрицы - это фиктивная переменная(x0) всегда равна +1;

- второй столбец - равномерное чередование +1 и -1;

- третий столбец - равномерное чередование двух строк одного знака двух строк другого знака;

-каждый последующий столбец - чередование 2(к-1) одноименных знаков.

Таблица 4 - Матрица композиционного планирования для k = 2 и n₀= 1

n	x0	x1	x2	x1x2	x21	x22	y
1	+1	+1	+1	+1	+1	+1
2	+1	-1	+1	-1	+1	+1
3	+1	+1	-1	-1	+1	-1
4	+1	-1	-1	+1	+1	-1
5	+1	+б	0	0	б2	0
6	+1	-б	0	0	б2	0
7	+1	0	+б	0	0	б2
8	+1	0	-б	0	0	б2
9	+1	0	0	0	0	0

Достоинства: значительное сокращение количества опытов.

Недостатки: нарушение ортогональности столбцов X_iІ между собой и каждого столбцов Х₀ и X_iІ . Это приводит к тому, что коэффициенты b_i закоррелированы между собой и после исключения незначимых факторов, значения придется пересчитывать. Поэтому на практике применяют центрально-композиционные ортогональные планы.

Композиционные планы легко приводится к ортогональным выбором соответствующего «звездного» плеча и преобразованием столбцов X_iІ, при этом достаточно обратить ту часть, которая связана со столбцами X₀ и X_iІ, т.е. с коэффициентами b₀ и b_ii.

Ортогональность столбцов X_iІ между собой достигается изменением количества опытов в центре плана (n0), вследствие чего изменяется длина «звездного» плеча б.

Обычно n₀ задается исследователем, а б находится по таблице в зависимости от количества факторов и n₀

Ортогональность столбцов между Х₀ и Х_iІ обычно достигается преобразованием квадратичных столбцов по формуле:

(3)

где - среднее значение (математическое ожидание);

• х_i - независимые переменные (факторы);
• i - номер строки матрицы;

Таблица 5- Матрица ортогонального планирования для k = 2 и n₀= 1

n	x0	x1	x2	x1x2	x21	x22	y
1	+1	+1	+1	+1	0,33	0,33
2	+1	-1	+1	-1	0,33	0,33
3	+1	+1	-1	-1	0,33	0,33
4	+1	-1	-1	+1	0,33	0,33
5	+1	+1	0	0	0,33	-0,67
6	+1	-1	0	0	0,33	-0,67
7	+1	0	+1	0	-0,67	0,33
8	+1	0	-1	0	-0,67	0,33
9	+1	0	0	0	-0,67	-0,67

Таким образом, получена ортогональная матрица, которая не требует пересчета коэффициентов bi после исключения незначимых факторов.

Получим уравнение регрессии, которое соответствует преобразованной матрице:

_. (4)

Чтобы получить уравнение соответствующее реальному процессу нужно пересчитать b₀ по формуле:

(5)

Причем в этом уравнении учитывают только значимые коэффициенты b_i.

Далее проводят регрессионный анализ.

Регрессионный анализ

Обычно, реализуя активный эксперимент, проводят одинаковое количество параллельных опытов. Поэтому и применяют первую схему регрессионного анализа.

Основная задача регрессионного анализа получение математической модели процесса, проверка адекватности полученной модели и оценка влияния каждого фактора на процесс.

В любой точке плана, но чаще в центре проводят несколько параллельных опытов и по ним рассчитывают:

1. Выборочные математические ожидания y_i по формуле:

(6)

где m - количество параллельных опытов;

y_i - результаты эксперимента;

i - номер строки матрицы.

2. Выборочную построчные дисперсию SІ_i по формуле :

(7)

где m - количество параллельных опытов в центре плана,

у_i - экспериментальные значения параметров оптимизации;

? среднее значение параметров оптимизации;

Затем полученную выборочную дисперсию применяют в качестве

Однородность дисперсий не проверяется.

3. Проверка значимости коэффициентов b_i. Вычисляем их методом наименьших квадратов:

(8)

4) Определяем дисперсию коэффициентов bi:

Планы второго порядка не ротатабельны, то есть точность предсказания на разных расстояниях разная, коэффициенты вычисляем с различной точностью, следовательно, S_bi будет разная.

(9)

5) Проверяем значимость коэффициентов уравнения регрессии по критерию Стьюдента:

 (10)

где t_p -расчетный критерий Стъюдента;

S_bi - дисперсия коэффициентов b_i ;

t_табл.- табличный критерий Стъюдента.

Если t_р>t_табл коэффициент b_i значим, то есть фактор, соответствующий этому коэффициенту оказывает существенное влияние на процесс. В противном случае коэффициент b_i незначим, фактор, в области факторного пространства не оказывает существенного влияния на процесс, и поэтому исключаем незначимые факторы из уравнения регрессии.

6) Проверка уравнения регрессии на адекватность проводится по критерию Фишера:

(11)

где SІ_ад. - дисперсия адекватности, вычисляется по формуле:

, (12)

где - расчётный параметр оптимизации;

l- количество значимых коэффициентов b_i.

Табличный критерий Фишера, зависит от степеней свободы числителя и знаменателя.

Значения степеней свободы для числителя (f_ч) и знаменателя (f_зн) вычисляют по формулам:

f_ч = n - L, (13)

f_з = m - 1, (14)

где f_ч - степень свободы числителя,

f_з - степень свободы знаменателя.

Если F_p < Fт_абл., то уравнение адекватно, если неадекватно следует перейти к планам более высокого порядка.

В результате преобразований на матрице планирования эксперимента и проведённого регрессионного анализа получаем уравнение регрессии, описывающее данный технологический процесс.

y=b₀+b₁x₁+b₂x₂+b₁₂x₁x₂+b₁₁x ₁²+b₂₂x₂²_.

Исследование поверхности отклика.

Проводим исследование поверхности отклика 2-го порядка. Выбор метода оптимизации плана 2-го порядка зависит от вида поверхности, поэтому необходимо провести исследование поверхности отклика, поскольку по виду полученного уравнения регрессии определить вид поверхности невозможно. Чтобы определить вид поверхности, нужно уравнение регрессии в кодированном виде перевести в канонический вид.[1]

Уравнение регрессии с двумя независимыми переменными имеет вид:

(15)

В канонической форме это уравнение имеет вид:

(16)

где Y_s - координаты центра поверхности отклика,

B_ii - коэффициенты уравнения регрессии в каноническом виде,

X_i - канонические переменные, являющиеся линейными функциями факторов х_i.

Порядок канонического преобразования.

Преобразование уравнения к каноническому виду выполняют в два этапа:

1.Определяем координаты в центре поверхности отклика.

Для этого решаем систему нормальных уравнений

(17)

(18)

Решая эту систему уравнений получим корни уравнений:

(19)

(20)

Для определения Y_s необходимо в исходное уравнение регрессии в кодированном виде вместо Х₁ подставить х_1s и х_2s.

2. Переносим начало координат в центр поверхности отклика (точку S).

При переносе освобождаемся от линейных факторов уравнения регрессии в кодированном виде.

Новые координаты находим по формулам:

(21)

(22)

(23)

Если в уравнении регрессии в кодированном виде подставить новые значения, то получим:

(24)

3. Для того чтобы избавиться от взаимодействия факторов, необходимо повернуть оси координат на угол б до совмещения с осями эллипса.

(25)

В канонической системе координаты связываются следующим уравнением:

(26)

(27)

4.Вычисляем коэффициенты B_ii канонического уравнения. Для вычисления коэффициентов B_ii канонического уравнения составляют характеристический детерминант (определитель):

(28)

Приводим к виду , корни квадратного уравнения определяем по формуле:

 (29)

Коэффициенты могут быть положительными и отрицательными, от знака коэффициента зависит вид поверхности:

а) если коэффициенты имеют одинаковые знаки, то поверхность отклика - эллиптический параболоид. В центре поверхности максимум при B_ii < 0 и минимум при B_ii > 0

б) если коэффициенты имеют разные знаки, то поверхность отклика - гиперболический параболоид. В центре поверхности точка S - “ минимакса”.

в) если один из коэффициентов близок к 0, то поверхность - возвышенность, которая уходит далеко в бесконечность.

На практике для исследования поверхности и оптимизации выбирают два фактора наиболее сильно влияющие на процесс, остальные факторы стабилизируют на центральном уровне и тогда в кодированном виде значения факторов будут равны 0, а для изменяемых - результаты расчета.

Оптимизация технологического процесса.

1 метод - «Ридж-анализ».

Он базируется на методе неопределенных множителей Лагранжа. Для выбора оптимального режима необходимо составить следующую систему уравнений, где количество уравнений равно количеству факторов:

(30)

Количество уравнений равно количеству факторов. Решая систему уравнений, получим корни:

; (31)

, (32)

где л - неопределенный множитель Лагранжа.

Выбор значения л зависит от типа задачи. В случае задачи на Y max, рекомендуется выбирать значение л таким образом, чтобы оно было больше максимального канонического коэффициента B_ii;

л' ? л > B_max (33)

а в случае задачи на Y min значение л должно быть меньше наименьшего канонического коэффициента B_ii;

B_min > л ? л'

где л'- параметр Хорля, который определяется по формуле:

л' = 2(B_max(min) - b_kk) (34)

где b_kk - оставшийся коэффициент в кодированном виде;

B_max(min) - коэффициент в каноническом виде.

Вычисляем Y, для этого берем уравнение регрессии в кодированном виде, вместо Х подставляем вычисленные значения Х₁ и Х₂, получаем Y (Y_жел задаем заранее) и сравниваем его с Y_жел. Если они совпадают, то мы попали в оптимальный режим. Если не получили желаемый результат Y, то изменяем значение л и считаем заново, и так до тех пор, пока не получим желаемый результат.

Оптимальный режим, полученный в кодированном виде, переводим в натуральный вид по формуле:

. (35)

2 метод - «Движение вдоль канонических осей».

Исходными данными является уравнение в каноническом виде. В соответствии с поставленной задачей в канонической системе координат выбирают ось, вдоль которой параметр оптимизации изменяется в желаемом направлении и с максимальной скоростью, т.е. канонический коэффициент должен иметь соответствующий знак: если находим Y_max , то мы должны двигаться в положительную сторону и наоборот.

Затем, задаваясь различными значениями параметра оптимизации, вычисляем соответствующие им режимы и проверяем их экспериментально.

В связи с симметрией поверхности отклика каждому значению параметра оптимизации соответствует два оптимальных режима. Поиск оптимального режима без исследования поверхности отклика дает возможность выявить только один из этих режимов, причем исследователь даже не подозревает о существовании 2-го режима, который может быть более экономичным и технологичным.

Рассмотрим метод на двухфакторной модели:

1)

Значения факторов х₁ вычисляем по формуле:

(36)

Подставляем желаемый результат Y и получаем два оптимальных режима:



2)

Значения факторов х₂ вычисляем по формуле:

(37)

Подставляем желаемый результат Y и получаем два оптимальных режима:

Полученные факторы в каноническом виде переводим в кодированный вид по формулам (26) и (27) и в натуральный вид по формуле (35)

1.3 Входная и выходная информация

Таблица 6 - Входная информация

Xц	-Значение центрального уровня соответствующего фактора
xi	-Значения факторов в кодированном виде
лi	-Интервал варьирования
n0	-Количество опытов в центре плана
б	-Звездное плечо
k	-Количество факторов
Yi	-Значения параметра оптимизации в натуральном виде
Ymax	-Значение параметра оптимизации, которое необходимо получить в оптимальном режиме
n	-Количество опытов
m	-Количество параллельных опытов в точке плана

Таблица 7 - Выходная информация

	-Преобразованное значение фактора для достижения ортогональности полученной матрицы планирования
bi	-Значения коэффициентов уравнения регрессии
S2воспр	-Дисперсия воспроизводимости
tр	-Расчетное значение критерия Стьюдента
tтабл	-Табличное значение критерия Стьюдента
Fр	-Расчетное значение критерия Фишера
Fтабл	-Табличное значение критерия Фишера
f	-Число степеней свободы
S2ад	-Дисперсия адекватности
l	-Количество значимых коэффициентов в уравнении регрессии
x1s, x2s	-Расчетные значения факторов в новом начале координат
ys	-Расчетное значение параметра оптимизации в новом начале координат
B11, B22	-Значения коэффициентов канонического уравнения
л'	-Значение параметра Хорля
л	-Значение неопределенного множителя Лагранжа
Sinб, Cosб	-Синус и косинус угла б, на который нужно повернуть систему координат до совмещения с осями поверхности отклика
Xi	-Значения факторов в каноническом виде
xi	-Расчетные значения факторов в кодированном виде
Xi	-Расчетные значения факторов в натуральном виде
Yi	-Расчетные значения параметра оптимизации

2. РЕЗУЛЬТАТЫ РАСЧЕТОВ И ВЫВОДЫ

Для получения математической модели используем центральные композиционные ортогональные планы 2 -го порядка.

За основу построения матрицы берем полный факторный эксперимент планов 1 -го порядка. Общее количество опытов для К<5:

Количество опытов в центре плана принимаем n₀=1, звездное плечо б=1,41 (таблица5).

Ортогональность между столбцами достигается с помощью преобразований квадратичных столбцов по формуле (4):

В результате расчетов по матрице с преобразованными столбцами x_iІ получаем уравнение регрессии, которое необходимо преобразовать к такому виду, чтобы оно реально описывало процесс. Для этого b₀ пересчитывается по формуле (7), в эту формулу подставляются только те x_iІ которым соответствуют значимые коэффициенты уравнения регрессии.

2.1 Анализ результатов математического моделирования

Для анализа качества полученной математической модели используем регрессионный анализ, задачей которого является получение математической модели процесса, проверка адекватности полученной модели и оценка влияния каждого фактора на процесс.

Регрессионный анализ проводим по 1-ой схеме (таблица 7). Вычисляем коэффициенты уравнения регрессии, определяем дисперсию воспроизводимости S_воспр. (по формуле 12).

Проверку коэффициентов на значимость проводим по критерию Стьюдента (14). Если t_расч.>t_табл., то коэффициент значим. Табличное значение критерия Стьюдента для уровня значимости б=0,05 и числа степеней свободы f=3 равно t_табл=3,18. Получили, что коэффициенты b₀, b₁, b₂ , b₄, b₁₂, b₁₃, b₁₄, b₂₄, b_4пр значимы. Таким образом, факторы, соответствующие этим коэффициентам значимы, то есть оказывают существенное влияние на процесс. Оставшиеся коэффициенты незначимы.

Для того чтобы привести уравнение к виду, которое бы реально описывало процесс необходимо пересчитать коэффициент b₀ по формуле (9). Определили, что b₀ = 74,88.

Таблица 5 - Матрица планирования эксперимента и результаты ее реализации

№ опыта	х0	х1	х2	х3	х4	x1x2	x1x3	x1x4	x2x3	x2x4	x3x4	Х~21	Х~22	Х~23	Х~24	y1
1	1	-1	-1	-1	-1	1	1	1	1	1	1	0,2	0,2	0,2	0,2	85
2	1	1	-1	-1	-1	-1	-1	-1	1	1	1	0,2	0,2	0,2	0,2	42
3	1	-1	1	-1	-1	-1	1	1	-1	-1	1	0,2	0,2	0,2	0,2	55
4	1	1	1	-1	-1	1	-1	-1	-1	-1	1	0,2	0,2	0,2	0,2	30
5	1	-1	-1	1	-1	1	-1	1	-1	1	-1	0,2	0,2	0,2	0,2	75
6	1	1	-1	1	-1	-1	1	-1	-1	1	-1	0,2	0,2	0,2	0,2	63
7	1	-1	1	1	-1	-1	-1	1	1	-1	-1	0,2	0,2	0,2	0,2	65
8	1	1	1	1	-1	1	1	-1	1	-1	-1	0,2	0,2	0,2	0,2	38
9	1	-1	-1	-1	1	1	1	-1	1	-1	-1	0,2	0,2	0,2	0,2	68
10	1	1	-1	-1	1	-1	-1	1	1	-1	-1	0,2	0,2	0,2	0,2	73
11	1	-1	1	-1	1	-1	1	-1	-1	1	-1	0,2	0,2	0,2	0,2	85
12	1	1	1	-1	1	1	-1	1	-1	1	-1	0,2	0,2	0,2	0,2	42
13	1	-1	-1	1	1	1	-1	-1	-1	-1	1	0,2	0,2	0,2	0,2	63
14	1	1	-1	1	1	-1	1	1	-1	-1	1	0,2	0,2	0,2	0,2	78
15	1	-1	1	1	1	-1	-1	-1	1	1	1	0,2	0,2	0,2	0,2	85
16	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	0,2	0,2	0,2	0,2	73
17	1	-1,41	0	0	0	0	0	0	0	0	0	1,2	-0,8	-0,8	-0,8	87
18	1	1,41	0	0	0	0	0	0	0	0	0	1,2	-0,8	-0,8	-0,8	67
19	1	0	-1,41	0	0	0	0	0	0	0	0	-0,8	1,2	-0,8	-0,8	89
20	1	0	1,41	0	0	0	0	0	0	0	0	-0,8	1,2	-0,8	-0,8	58
21	1	0	0	-1,41	0	0	0	0	0	0	0	-0,8	-0,8	1,2	-0,8	75
22	1	0	0	1,41	0	0	0	0	0	0	0	-0,8	-0,8	1,2	-0,8	70
23	1	0	0	0	-1,41	0	0	0	0	0	0	-0,8	-0,8	-0,8	1,2	40
24	1	0	0	0	1,41	0	0	0	0	0	0	-0,8	-0,8	-0,8	1,2	74
25	1	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	-0,8	-0,8	-0,8	-0,8	84
															сумма	1664

Таблица 6 - Результаты регрессионного анализа

Х0Y	Х1Y	X2Y	X3Y	X4Y	Х1Х2Y	Х1Х3Y	Х1Х4Y	Х2Х3Y	Х2Х4Y	Х3Х4Y	Х~21Y	Х~22Y
85	-85	-85	-85	-85	85	85	85	85	85	85	17	17
42	42	-42	-42	-42	-42	-42	-42	42	42	42	8,4	8,4
55	-55	55	-55	-55	-55	55	55	-55	-55	55	11	11
30	30	30	-30	-30	30	-30	-30	-30	-30	30	6	6
75	-75	-75	75	-75	75	-75	75	-75	75	-75	15	15
63	63	-63	63	-63	-63	63	-63	-63	63	-63	12,6	12,6
65	-65	65	65	-65	-65	-65	65	65	-65	-65	13	13
38	38	38	38	-38	38	38	-38	38	-38	-38	7,6	7,6
68	-68	-68	-68	68	68	68	-68	68	-68	-68	13,6	13,6
73	73	-73	-73	73	-73	-73	73	73	-73	-73	14,6	14,6
85	-85	85	-85	85	-85	85	-85	-85	85	-85	17	17
42	42	42	-42	42	42	-42	42	-42	42	-42	8,4	8,4
63	-63	-63	63	63	63	-63	-63	-63	-63	63	12,6	12,6
78	78	-78	78	78	-78	78	78	-78	-78	78	15,6	15,6
85	-85	85	85	85	-85	-85	-85	85	85	85	17	17
73	73	73	73	73	73	73	73	73	73	73	14,6	14,6
87	-122,7	0	0	0	0	0	0	0	0	0	104,4	-69,6
67	94,47	0	0	0	0	0	0	0	0	0	80,4	-53,6
89	0	-125,5	0	0	0	0	0	0	0	0	-71,2	106,8
58	0	81,78	0	0	0	0	0	0	0	0	-46,4	69,6
75	0	0	-105,8	0	0	0	0	0	0	0	-60	-60
70	0	0	98,7	0	0	0	0	0	0	0	-56	-56
40	0	0	0	-56,4	0	0	0	0	0	0	-32	-32
74	0	0	0	104,34	0	0	0	0	0	0	-59,2	-59,2
84	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	-67,2	-67,2
1664	-170,2	-117,7	52,95	161,94	-72	70	72	38	80	2	-3,2	-17,2

Х~23Y	Х~24Y	Yрасч	(Yср-Yрасч)2	№ опыта	Y	(Yi-Yср)^2		Bi	Sbi^2
17	17	88,4735	12,065202	1	84	7,966506	B0	66,56	0,87024
8,4	8,4	62,7035	428,63491	2	90	10,09651	B1	-8,51	1,0878
11	11	75,7025	428,59350	3	91,5	21,87901	B2	-5,8855	1,0878
6	6	31,9325	3,734556	4	81,79	25,32606	B3	2,6475	1,0878
15	15	79,7235	22,311452				B4	8,097	1,0878
12,6	12,6	71,4535	71,461662				B1,2	-4,5	1,35975
13	13	66,9525	3,812256		Сумма=	65,268	B1,3	4,375	1,35975
7,6	7,6	40,6825	7,195806	Yср=	86,8		B1,4	4,5	1,35975
13,6	13,6	85,6675	312,14055	Sвыб^2=	21,8		B2,3	2,375	1,35975
14,6	14,6	77,8975	23,985506				B2,4	5	1,35975
17	17	92,8965	62,354712	Sвыб^2=Sвоспр^2	B3,4	-0,6125	0,1169
8,4	8,4	67,1265	631,34100				B1пр	-0,4	2,7195
12,6	12,6	76,9175	193,69680				B2пр	-2,15	2,7195
15,6	15,6	86,6475	74,779256				B3пр	-2,65	2,7195
17	17	84,1465	0,728462				B4пр	-10,4	2,7195
14,6	14,6	75,8765	8,274252
-69,6	-69,6	95,1991	67,225240
-53,6	-53,6	71,2009	17,647560
-71,2	-71,2	91,498555	6,2427770					tтабл=	3,18
-46,4	-46,4	74,901445	285,65884					S^2адек=	189,042
90	-60	83,2	67,24					Fрасч=	8,68917
84	-56	83,2	174,24					Fтабл=	8,69
-32	48	50,98323	120,63134					Fрасч<Fтабл
-59,2	88,8	73,81677	0,0335732
-67,2	-67,2	83,2	0,64				Вывод:уравнение адекватно
-21,2	-83,2		3024,6692

tрасч	Значимость	B0
71,3499	ЗНАЧИМ	74,88
8,15934	ЗНАЧИМ
5,64298	ЗНАЧИМ
2,53841	не значим
7,76335	ЗНАЧИМ
3,85907	ЗНАЧИМ
3,75187	ЗНАЧИМ
3,85907	ЗНАЧИМ
2,03673	не значим
4,28786	ЗНАЧИМ
0,1072	не значим
0,24256	не значим
1,30375	не значим
1,60695	не значим
6,3065	ЗНАЧИМ

Далее, для того чтобы найти дисперсию адекватности, нужно найти Y_расч, для этого значимые коэффициенты b_i и факторы из матрицы соответствующие им подставляем в уравнение регрессии и считаем:

Yрасч = 74,88 -8,51*Х1 -5,88*Х₂ + 8,1*Х₄ - 4,5*Х1Х2 + 4,37*Х1Х3 + 4,5*Х1Х4 + 5*Х2Х4 - 10,4* Х²₄

Адекватность математической модели проверяем по критерию Фишера:

F_расч = 8,689; F_табл. = 8,69.

Условие F_расч<F_табл. соблюдается, следовательно, математическая модель адекватна, то есть модель вполне соответствует реальному процессу.

2.2 Интерпретация результатов математического моделирования

Далее переходим к интерпретации полученных результатов и изучению влияния факторов.

Интерпретация результатов - это перевод результатов с математического языка на технологический язык.

Интерпретация проводится по результатам планированного (активного) эксперимента, то есть в кодированном виде. В обычных уравнениях регрессии (в натуральном виде) значения коэффициентов b_i нельзя сопоставлять, так как они соответствуют натуральным факторам. В планированном эксперименте факторы приведены к безразмерному кодированному виду, в котором каждый из них варьируется от верхнего до нижнего уровня , что даёт возможность их сопоставлять.

Задача интерпретации решается в несколько этапов:

1. Устанавливаем в какой мере каждый из факторов влияет на параметр оптимизации, а, следовательно, и на процесс. Абсолютная величина коэффициента b_i - количественная мера этого влияния. Чем больше по модулю значение коэффициента b_i, тем больше соответствующий фактор влияет на процесс, b₁> b₄ > b₂ следовательно x₁ > x₄ > x₂ ( продолжительность процесса сильнее влияет на процесс чем температура, которая в свою очередь влияет сильнее чем давление).

О характере влияния фактора говорит и знак коэффициента. В нашем случае параметр оптимизации стремится к максимуму. Коэффициенты b₄ имеет положительный знак, значит с увеличением значений фактора х₄ увеличится и значение параметра оптимизации. Коэффициент b_1, b₂ имеют отрицательный знак, значит с увеличением факторов х_1, х₂ параметр оптимизации будет уменьшаться.

2. Проверяем гипотезу о механизме действия факторов.

Здесь особое внимание уделяется эффектам взаимодействия. В нашем случае значимым является коэффициент:

b₁₂, b₁₃, b₁₄, b₂₄, соответствующий взаимодействию факторов х₁, х_2, х₃и х₄.

b₁= -8,51, b₂=-5,88, b₃= 2,64, b₄= 8,1, b₁₂= -4,5, b₁₃= 5,37, b₁₄= 4,5, b₂₄= 5.

Так как коэффициенты b₄, b₁₄ имеют одинаковые знаки, а b₁ имеет знак противоположный, то в таком случае нельзя однозначно сказать об усилении или ослаблении факторов. Можно лишь предположить что при взаимном влиянии, большее воздействие на процесс оказывает x₄, т.к знаки при b₄ и b₁₄ совпадают. Следовательно для получения продукта с большим выходом следует увеличивать температуру процесса (x₄) и уменьшать продолжительность процесса (x₁).

Так как коэффициенты b₁ , b₂ и b₁₂ имеют одинаковые знаки, то говорят что фактор x₁ влияет тем сильнее, чем больше x₂, в этом случае говорят о синергизме влияния факторов x₁ и x₂, т.е каждый из них при совместном взаимодействии влияет сильнее, чем при раздельном.

Так как коэффициенты b₄ , b₂₄ имеют одинаковые знаки, а b₂ имеет знак противоположный, то в таком случае нельзя однозначно сказать об усилении или ослаблении факторов. Можно лишь предположить что при взаимном влиянии, большее воздействие на процесс оказывает x₄, т.к знаки при b₄ и b₁₄ совпадают. Следовательно для получения продукта с большим выходом следует увеличивать температуру процесса (x₄) и уменьшать давление процесса (x₂).

Так как коэффициенты b₃, b₁₃ имеют одинаковые знаки а b₁ имеет знак противоположный, то в таком случае нельзя однозначно сказать об усилении или ослаблении факторов. Можно лишь предположить что при взаимном влиянии, большее воздействие на процесс оказывает x₃, т.к знаки при b₃ и b₁₃ совпадают. Следовательно для получения продукта с большим выходом следует увеличивать концентрацию катализатора (x₃) и уменьшать продолжительность процесса (x₁).

2.3 Принятие решений для дальнейшей работы

На принятие решений влияет адекватность модели, значимость коэффициентов и информация о положении оптимума. Поскольку квадратичная модель адекватна и часть коэффициентов значима, то переходим к оптимизации процесса.

Оптимизация более эффективна, когда все коэффициенты значимы. Для получения значимости всех коэффициентов необходимо сделать следующее:

1) расширить интервал варьирования по незначимым факторам;

2) перенести центр плана в точку, соответствующую условиям наилучшего результата;

3) стабилизировать не влияющие факторы на определенном уровне и исключить их из плана;

4) увеличить количество параллельных опытов;

5) достроить план до полного факторного эксперимента.

Подходящие для нашего технологического процесса являются значимые факторы х₁ и х₄, поскольку на исследование берутся те значимые факторы, для которых значимо их взаимодействие и хотя бы один квадратичный коэффициент.

Поэтому для оптимизации выбираем два фактора х₁ и х₄ (х₁- продолжительность процесса (час); х₄- температура процесса (%)). Фактор х₂ и х₃ стабилизируем на центральном уровне.

2.4 Анализ результатов оптимизации

В данной курсовой работе мы исследовали поверхность отклика и по формулам (20), (24) и (25) были получены координаты центра поверхности: Х_1s =6,94, X_4s =1,89; у_s =52,99, используя формулы (34) получили значения коэффициентов канонического уравнения: В₁₁ = 0,466 , В₄₄ = -10,866 (таблица 7). В результате было получено уравнение регрессии в каноническом виде:

y-52,99=0,466X₁²-10,866X₄²

Так как коэффициенты имеют разные знаки, то поверхность имеет вид гиперболического параболоида. В этом случае для определения оптимального режима процесса применяем два метода оптимизации: «Ридж - анализ» и «движение вдоль канонических осей».

Проведя «Ридж-анализ», получили следующий режим (таблица 8):

- в кодированном виде:х₁=-2,21;х₂=0,00;х₃=0,00;х₄=-0,07;у=93,78;при л =2

- в натуральном виде:х₁=0,03;х₂=1,0;х₃=15;х₄=48,5;у=93,78; при л=2

Проанализировав полученный режим, можно сказать, что фактор Х₁=0,03ч (продолжительность процесса) выходит за пределы факторного пространства на 97%. Допустим, что на практике провели эксперимент и полученная в работе зависимость между Y и X₁ подтвердилась, тогда: с точки зрения технологии такая малая продолжительность процесса не оптимальна и приведет к тому, что не все сырье успеет прореагировать, а следовательно уменьшится выход продукта. С экономической точки зрения выгодно т.к. малая продолжительность процесса ведет к увеличению производительности, а следовательно снизится себестоимость продукции. Фактор Х₄=48,5 С° (температура процесса) не выходит за границы факторного пространства. С точки зрения технологии такая температура оптимальна, т.к. при такой температуре будет протекать меньше побочных реакций и не произойдет перегрева аппаратуры. С экономической точки зрения при такой температуре нужно будет использовать в качестве теплоносителя горячую воду, поэтому себестоимость продукции увеличится не намного.

Давление Х₂ и концентрация катализатора Х₃ у нас стабильны: Х₂= 1,0 атм., Х₃= 15^%. Давление небольшое, что выгодно как с точки зрения технологии (малая аварийная опасность), так и с экономической точки зрения(не нужно затрат на дорогостоящую аппаратуру, а следовательно снижение себестоимости продукции). Используется небольшая концентрация катализатора, что хорошо с технологической точки зрения (не будут проходить побочные реакции) и с экономической (не нужно лишних затрат на катализатор, а следовательно снижение себестоимости продукции).

По результатам оптимизации методом «движения вдоль канонических осей» (таблица 9) получили два оптимальных режима:

Метод движения вдоль канонических осей:

- 1-ый оптимальный режим в каноническом виде

X₁= 9,266; X₄= 0,000; y=93;

- 2-ой оптимальный режим в каноническом виде:

X₁= - 9,266; X₄= 0,000; y=93;

- 1-ый оптимальный режим в кодированном виде:

X₁= 15,55; X₄=5,15; У=93;

- 2-ой оптимальный режим в кодированном виде:

Х₁= -2,67; X₄=1,39; У=93;

- 1-ый оптимальный режим в натуральном виде:

X₁= 14,24; X₂=1,0; Х₃=15; X₄=152,92; У=93;

- 2-ой оптимальный режим в натуральном виде:

X₁= -0,334; X₂=1,0; Х₃=15; X₄=77,76; У=93;

В первом оптимальном режиме, полученном методом «движения вдоль канонических осей» фактор Х₁=14,24 часа (продолжительность процесса) выходит за пределы факторного пространства на 547,7%. Допустим, что на практике провели эксперимент и полученная в работе зависимость между Y и X₁ подтвердилась, тогда: с точки зрения технологии такая большая продолжительность процесса не оптимальна и приведет к разложению продукта, протеканию побочных реакций. С экономической точки зрения также невыгодно т.к. большая продолжительность процесса ведет к малой производительности, а следовательно увеличится себестоимость продукции.

Фактор Х₄=152,92 С° (температура процесса) - так же выходит за пределы факторного пространства на 218,45%. Допустим, что на практике провели эксперимент и полученная в работе зависимость между Y и X₄ подтвердилась, тогда: с точки зрения технологии такая большая температура не оптимальна т.к. могут проходить побочные реакции и перегрев аппаратуры. С экономической точки зрения также невыгодно т.к. большая температура требует в качестве теплоносителя: перегретый пар, а следовательно увеличение себестоимости продукта.

Во втором оптимальном режиме, полученном методом «движения вдоль канонических осей», фактор Х₁= -0,334 час (продолжительность процесса) выходит за пределы факторного пространства и имеет отрицательное значение, что физически не возможно. Поэтому применять этот режим не возможно.

Давление Х₂ и концентрация катализатора Х₃ во всех режимах у нас стабильны: Х₂= 1,0 атм., Х₃= 15^%. Давление небольшое, что выгодно как с точки зрения технологии(малая аварийная опасность), так и с экономической точки зрения(не нужно затрат на дорогостоящее оборудование, а следовательно снижение себестоимости продукции). Используется небольшая концентрация катализатора, что хорошо с технологической точки зрения(не будут проходить побочные реакции) и с экономической( не нужно лишних затрат на катализатор, а следовательно снижение себестоимости продукции).

Сравнив значения факторов полученных оптимальных режимов методами «Ридж - анализа» и «движения вдоль канонических осей» между собой, выбираем условный оптимальный режим, полученный мето-дом «Ридж - анализа» так как хотя в нем фактор X₁(продолжительность процесса) и выходит за пределы факторного пространства, но при этом фактор Х₄ (температура процесса) имеет самое оптимальное значение из всех полученных и не выходит за пределы факторного пространства. Исходя из технологических и экономических оснований, делаем вывод, что наиболее выгодным является этот режим, полученный методом «Ридж - анализа».

Его характеристики:

Х₁ - продолжительность процесса = 0,03 час;

X₂ - давление =1атм;

X₃ - концентрация катализатора = 15%;

X₄ - температура процесса = 48,5°С

Y - выход продукта = 93,78%

Таблица 7 - Исследование поверхности отклика второго порядка

№ фактора	bi кодир	коорд.центра поверх. отк.	Bi кононич. Урав.
b1	-8,51	x1s=	6,94	B11	0,466
B4	8,097	X4s=	1,89	B44	-10,866
b14	4,5	Ys=	52,998	ctg2a	2,31
b11	0			tg2a	0,433
B44	-10,4			cos2a	0,918
	74,88			cosa	0,983
				sina	0,203

Таблица 8 - Оптимизация. «Ридж анализ»

Исходные данные	Неопред. множ. Лагранжа	Результаты расчёта. кодир.	Опт.режим натур.
Bmax=	0,4659068	л=	15	x1=	-0,26
b44 код.=	-10,4			X4=	0,14
X1центр=	1,8			Y=	77,87
X4центр=	50	л=	5	x1=	-0,78
л1=	0,8			X4=	0,15
л4=	20			Y=	82
л' =	21,731814	л=	2	x1=	-2,21	x1=	0.03
21,73?л>0,466			X4=	-0,07	X4=	48,5
Yжел=	93			Y=	93,78	Y =	93,78

Таблица 9 - Оптимизация. «Движение вдоль канонических осей»

Исходные данные	№ режима	Канон. вид	Кодиров. вид	Натур. вид
B11	0,466	1режим	Х1=	9,265	Х1=	15,55	Х1=	14,24
B44	-10,86		Х4=	0	Х4=	5,15	Х4=	152,91
Ys	52,99	2режим	Х1=	-9,265	Х1=	-2,67	Х1=	-0,334
Ужел	93		Х4=	0	Х4=	1,388	Х4=	77,76
			У=	93	У=	93	У=	93

Заключение

В ходе данной курсовой работы была построена математическая модель технологического процесса с применением метода центральных композиционных ортогональных планов.

Вначале была построена матрица планирования эксперимента и получена адекватная математическая модель процесса, выраженная следующим уравнением:

Yрасч = 74,88 -8,51*Х1 -5,88*Х₂ + 8,1*Х₄ - 4,5*Х1Х2 + 4,37*Х1Х3 + 4,5*Х1Х4 + 5*Х2Х4 - 10,4* Х²₄

Для анализа качества полученной математической модели был использован регрессионный анализ, задачей которого являлось получение математической модели процесса, проверка адекватности полученной модели и оценка влияния каждого фактора на процесс.

Проведя интерпретацию результатов математического моделирования, было оценено влияние каждого фактора на параметр оптимизации и влияние факторов друг на друга. Определены факторы, благоприятно и неблагоприятно влияющие на режим процесса. Интерпретируя результаты математического моделирования, можно сказать, что наибольшее влияние на процесс оказывает температура процесса.

Было принято решение проводить оптимизацию процесса по двум факторам X₁и Х₄.

Также была исследована поверхность отклика, в результате чего был определён её вид - гиперболический параболоид. В ходе расчётов были получены координаты центра поверхности отклика Х_1s=6,94; Х_4s= 1,89; у_s=52,998, в результате чего было получено уравнение регрессии в каноническом виде:

y-52,99=0,466X₁²-10,866X₄²

Оптимизация технологического процесса, согласно виду поверхности отклика, была проведена методом «Ридж-анализа» и методом «Движение вдоль канонических осей». По результатам оптимизации и проведённого сравнения значений режимов был выбран наиболее эффективный оптимальный режим, который характеризуется следующими значениями факторов, влияющих на процесс:

Продолжительность процесса (X₁) - 0,03 час;

Давление (X₂) - 1 атм.;

Концентрация катализатора (X₃) - 15 %;

Температура процесса (X₄) - 48,5 °С.

При этом получается выход продукта (Y) - 93,78 %.

Это удовлетворяет заданному параметру в начале работы. Данный режим по сравнению с остальными является самым технологически и экономически выгодным, но в дальнейшем для разработки нового оптимального режима, взять для оптимизации другие факторы, либо, увеличивая продолжительность процесса, экспериментально проверить как будет изменяться выход продукта; так же можно взять другие интервалы варьирования и, разработав новую математическую модель, провести оптимизацию получившегося процесса.

Список использованной литературы

1. Ахназарова С.Л., Кафаров В.В. Методы оптимизации эксперимента в химической технологии. - М.: Высшая школа, 1985. - 327 с.

2. Кафаров В.В. Методы кибернетики в химической технологии. - М.: Химия, 1985. - 447 с.

3. Сорокина Г.И., Применение ЭВМ в химической технологии. Сборник заданий на курсовые работы: Методические указания по выполнению курсовой работы для студентов специальностей 250401, 250600, 251100, 251200, 320702 всех форм обучения. - Красноярск: СибГТУ, 2004, -24 с.

4. CТП 3.4.204-01.Стандарт предприятия. Требования к оформлению текстовых документов. -Взамен СТП 17-98. Введен с 01.04.01.-Кр-ск: Изд-во СибГТУ, 2001.-45 с.

5. СТП 3.4.104-01. Стандарт предприятия. Курсовое проектирование. Требования к выполнению и представлению. -Взамен СТП 17-87. Введен 01.04.01.-Кр-ск: Изд-во СибГТУ, 2001.-12 с.

6. Блатнер П., Ульрих Л. Использование Microsoft Excel 2000. - М.: Вильямс, 2000.-1020с.

Размещено на Allbest.ru