Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Введение

Рассматривается задача анализа и прогнозирования роста численности населения Челябинской области.

Цель исследования:

1) Выполнить анализ изменения численности населения Челябинской области путем сравнения фактического изменения численности населения с изменением, описывающимся эталонной моделью.

2) Построение модели для прогнозирования численности населения.

При построении модели используется предположение, что изменение изменения численности населения зависит от следующих факторов.

1. Численности населения моложе пенсионного возраста X1,

2. Численности трудоспособное население - X2,

3. Численности населения старше трудоспособного возраста - X3.

Под эталонной моделью будем понимать такую модель, которая удовлетворяет следующему требованию: численность населения Челябинской области должна увеличиваться при росте численности населения моложе пенсионного возраста.

1. Подготовка данных

В данной работе будет произведен анализ демографического показателя по Челябинской области с 2010 г. по 2032 г. путем построения модели по показателю населения в общем.

Модель базируется на выборке данных из статистики Росстата. При анализе факторов большое значение приобретает как длительность шага наблюдений, так и длительность самого интервала наблюдений. В нашем случае длительность интервала наблюдения анализируемых факторов закреплена нормативно (учетный период -- год).

Целевые факторы, оказывающие существенное влияние на выбранный показатель населения следующие: люди моложе трудового возраста, трудового возраста и старше трудового возраста. Значения данных факторов по годам представлены в таблице 1.

Таблица 1 -- Целевые факторы

Регрессионную модель представить в виде:

, (1)

где --население,

-- люди моложе трудового возраста, трудового возраста,

-- старше трудового возраста.

Необходимо оценить значимость коэффициентов регрессионной модели. Выполнить исследования по улучшению регрессионной модели путем удаления статистически незначимых коэффициентов. Сравнить полученные модели между собой.

2. Прогнозирование численности с помощью классической регрессионной модели

Классический регрессионный анализ строится на исходных значениях переменных. Модель линейной регрессии часто используется и хорошо изучена в эконометрике. А именно изучены свойства оценок параметров, получаемых различными методами при тех или иных предположениях о вероятностных характеристиках факторов и случайных ошибок модели.

Диапазон наблюдений составляет 20 точек, с 1992 по 2011 год с шагом 1 год. Для удобства обозначения численность населения будем обозначать - Y, население, моложе пенсионного возраста S1, трудоспособное население - S2, старше трудоспособного возраста - S3.

Процесс построения регрессионной модели разделим на 2 этапа. Первый этап заключается в формировании обучающей выборки и формировании на ней модели. Для этих целей выделим 16 наблюдений. Второй этап - этап проверки созданной модели на тестовой выборки. Тестовая выборка составит 4 наблюдений.

Построение модели дал следующие результаты:

Коэффициенты 3-х факторной регрессионной модели показаны в табл. 1. Первая строка таблицы содержит значение для коэффициента .

Таблица 1. Линейная регрессия. Трехфакторная модель.

Коэффициент детерминации модели 0,741.

Построенная модель проверяется на диапазоне, который не использовался при построении регрессионной модели. Значения прогноза сравниваются с исходными данными. В результате вычислены шесть видов ошибок:

· Среднее абсолютное отклонение (Mean Absolute Derivation, MAD)

· Среднеквадратическая ошибка (Mean Squared Error, MSE)

· Средняя стандартная ошибка (SSE)

· Средняя абсолютная ошибка в процентах (Mean Absolute Percentage Error, МАРЕ)

· Средняя процентная ошибка (Mean Percentage Error, MPE).

· Стандартная ошибка оценки (Mean Standart Error MSEN)

Ошибки, полученные на тестовой выборке, представлены в табл. 2. На рис. 1 показано изменение общей выручки для тестового диапазона наблюдений, полученное с помощью 3-х факторной модели. На рисунке 2 показан прогноз для полного периода наблюдения.

Таблица 2-- Ошибки прогнозирования модели

Рисунок 1 -- Изменение численности населения для тестового диапазона наблюдений; 3-х факторная модель

Рисунок 2 -- Изменение численности населения для полного диапазона наблюдений; 3-х факторная модель

Для оценки значимости оценок коэффициентов регрессионной модели используется критерий Стьюдента, который при уровне значимости 10% равен 2.13. Анализируя полученные результаты можно сказать, что все полученные коэффициента исходного удовлетворяют этому значению.

3. Прогнозирование численности населения с помощью регрессии главных компонент

Главным отличием классического регрессионного анализа от регрессии главных компонент в том, что во втором случае в качестве исходных данных берутся не исходные признаки, а главные факторы.

Для построения модели с помощью регрессии главных компонент необходимо вычислить главные компоненты ковариационной матрицы независимых переменных. Результаты вычисления представлены в табл. 3. В последней строке таблицы указана дисперсия, соответствующая главным факторам.

Таблица 3. Весовые коэффициенты главных компонент

Если модель будет построена на основе всех главных факторов, то мы получим модель, соответствующую классической 3-х факторной регрессионной модели (таблица 1).

Требуется определить, какая модель, и на основе каких главных факторов будет наиболее полно описывать текущее финансовое положение салона красоты. Для этого построим регрессионные модели и сравним их показатели ошибок. Скажем сразу, что третья главная ввиду своей малой значимости, будет отброшена. Другой причиной является то, что главные компоненты с низкой дисперсией в большинстве случаев группируют в себе ошибочные данные (выбросы).

Таблица 4-- Ошибки прогнозирования: первый главный фактор

Таблица 5--. Ошибки прогнозирования: второй главный фактор

Таблица 6 -- Ошибки прогнозирования: первый и второй главный фактор

Качества полученных моделей определяются по наименьшим показателям ошибок MPE, MAPE и MSEN. Сравнивая полученные данные, можно определить, что модель, состоящая из первого и второго главного фактора, имеет наименьшие показатели ошибок. Поэтому для построения модели воспользуемся первой и третьей главной компонентой.

Получим двухфакторную модель, оценки коэффициентов которой показаны в табл. 7. Первая строка таблицы содержит значение для коэффициента .

Таблица 7. Регрессия главных компонент. Двухфакторная модель.

Все коэффициенты значимости удовлетворяют критерию Стьюдента. Построенная модель проверяется на диапазоне, который не использовался при построении регрессионной модели. Прогнозные значения сравниваются с исходными данными

На рис. 3 показано изменение общей выручки с помощью тестовой выборки и изменение общей выручки, вычисленные с помощью 2-х факторной модели. На рисунке 4 показан прогноз для полного периода наблюдения.

Рисунок 3. Изменение общей выручки для тестового диапазона наблюдений; 2-х факторная модель

Рисунок 4. Изменение общей выручки для полного диапазона наблюдений; 2-х факторная модель

Сравнивая результаты анализа на исходных признаках и главных факторах можно сказать, что формально регрессия главных компонент дала менее точный прогноз, чему свидетельствуют таблицы ошибок. Но следует учесть тот факт, что в период с 2001 по 2003 на графике рисунка 2 имеются два выброса, один из которых отсутствует на рисунке 4, каждый из которых описывает аналогичный период наблюдения. Подобное поведение было вызвано отсутствием в регрессионной модели третьей главной компоненты, что, конечно же, повлияло на показания ошибок.

4. Анализ численности населения

Исключительной особенностью анализа главных компонент является то, что он способен декомпозировать состояние объекта, т.е. представлять в виде набора составляющих. Каждая из таких составляющих называется собственным состоянием объекта.

Для анализа численности населения используется методика анализа состояния экономических объектов, которая включает в себя следующие этапы:

1. Формирование набора ключевых факторов, позволяющих оценить изменения, происходящие на предприятии. К ним относятся следующие факторы: Моложе пенсионного возраста, трудоспособный возраст и Старше трудоспособного возраста.

2. Выбор целевых факторов и формулировка требований к модели управления экономическим объектом:

В качестве целевого фактора выбирается общий объем населения.

Требование к эталонной модели: рост общего числа населения должен осуществляться через увеличение числа молодежи и трудоспособного населения.

3. Разложение процесса изменения набора ключевых факторов на суммы независимых подпроцессов (главных компонент), существующие в наборе данных. Дисперсия показывает вклад того или иного процесса в суммарную дисперсию ключевых факторов.

Главные компоненты могут быть вычислены на ковариационной матрице и матрице вторых моментов. В зависимости от типа матрицы смысл весовых коэффициентов главных компонент меняется.

На рисунках 5 и 6 соответственно показаны главные компоненты ковариационной матрицы и матрицы вторых моментов. Рисунки 7, 8, 9 и 10 содержат график реконструкции по ковариационной матрице всех четырех показателей. На рисунках 1, 12, 13 и 14 реконструкция по матрице вторых моментов.

Рисунок 5. Главные компоненты: ковариационная матрица

Рисунок 6. Главные компоненты: матрица вторых моментов

4. Анализ главных компонент на соответствие требованиям модели и сопоставление эталонной модели и реальной численностью населения.

Состояние процесса изменения численности населения описывается четырьмя факторами: Y, X1, X2, X3. Отклонения факторов Y, X1, X2, X3 от их средних значений раскладывается по главным компонентам, выделенным из ковариационной матрицы. Каждая из этих главных компонент описывает собственное состояние процесса изменения численности населения и характеризуются главным фактором.

Если главные компоненты вычисляются с помощью ковариационной матрицы, то первый и второй главные факторы описывается формулами:

 (1)

(2)

С одной стороны, изменение главного фактора не оказывает влияние на другие главные факторы (свойство ортогональности), но с другой стороны, значение главного фактора однозначно определяет отклонения исходных факторов от их средних значений.

Пусть отклонения исходных факторов от их средних значений пропорциональны весовым коэффициентам первого главной компоненты

(3)

(4)

(5)

(6)

Подставляя (3), (4), (5), (6) в уравнение (1) получим

Далее, можно убедится, что такие значения исходных факторов не приведут к изменению остальных главных факторов. Другими словами, если мы подставим (3), (4), (5) и (6) в уравнения второго, третьего и четвертого главного фактора, то получим ноль. Подставляем (2), (3), (4) и (5) в (2):

Аналогичные можно показать, что и .

Получается, что если первый главной фактор положителен () первое собственное состояние будет характеризоваться факторами, первые два из которых будут лежать выше средних значений, а третий -- ниже своего среднего значения.

Проведем анализ изменения численности населения с использованием главных компонент ковариационной матрицы. Главные компоненты ковариационной матрицы описывают собственные состояния процесса изменения численности населения.

В рамках первого собственного состояния увеличение/уменьшение численности населения обусловлено ростом/сокращение численности молодого и трудоспособного населения и уменьшением/ростом численности населения пенсионного возраста. Следует отметить, что темп прироста численности молодого населения меньше темпа прироста численности трудоспособного населения примерно в 33 раза. Другими словами в рамках первого собственного состояния увеличение численности населения обусловлено в основном ростом численности трудоспособного населения и уменьшением численности населения пенсионного возраста и наоборот. Доминирующим фактором является трудоспособное население (X2). Сравнивая темпы роста X1 и X2, можно заметить, что второй значительно больше первого. Такое поведение может быть обусловлено трудовой иммиграцией.

Второе собственное состояние определяет условия, в которых увеличение/уменьшение численности населения обусловлено ростом/сокращение численности молодого населения и населения пенсионного возраста, а также уменьшением/увеличение численности трудоспособного. Доминирующим фактором является молодое население. Темпы изменения численности население пенсионного возраста отличается от темпов трудоспособного и молодого в 45 раз. Другими словами, это собственное состояние не влияет на скорость увеличения населения пенсионного возраста.

В рамках третьего собственного состояния увеличение численности населения обусловлено снижением/увеличение численности молодого населения и ростом/сокращением трудоспособного населения и населения пенсионного возраста. Данное собственное состояние описывает процесс роста общей численности населения за счет прироста население пенсионного возраста. Принимая во внимание от общей дисперсии, который объясняет это собственное состояние, эта тенденция практически отсутствует в модели развития.

Четвертое собственное состояние обусловлено ростом всех четырех факторов, но при этом сокращается общая численность населения. Данное состояние, вероятно, является совокупностью ошибочных наблюдений.

Предлагается построить эталонную модель изменения численности населения, которая удовлетворяет требованию: рост населения должен осуществляться за счет роста числа молодежи и трудоспособного населения. Этому требованию удовлетворяет только два первых собственных состояния. Первое собственное состояние связывает рост численности населения в основном с ростом численности трудоспособного населения (Х2). Рост численности молодежи хотя и влияет на увеличение численности населения, но очень незначительно. Во втором собственном состояние рост численности населения в основном связан с увеличением численности молодого населения, но при этом численность трудоспособного населения уменьшается. Третье собственное состояние связывает рост численности населения в основном с рост людей пенсионного возраста. Таким образом, эталонная модель будет описываться первым и вторым собственным состояниями.

Рисунок 7 -- Население, моложе пенсионного возраста. Ковариационная матрица

Рисунок 8-- Трудоспособное население. Ковариационная матрица

Рисунок 9 -- Население, старше пенсионного возраста. Ковариационная матрица

Рисунок 10-- Общая численность населения. Ковариационная матрица

Рассмотрим собственные состояния, полученные на основе матрицы вторых моментов. Четыре собственных состояния описываются (7), (8), (9) и (10):

 (7)

(8)

(9)

(10)

Легко показать, что изменение исходных факторов в рамках первого собственного состояния пропорциональны весовым коэффициентам первой главной компоненты

(11)

(12)

(13)

(14)

Подставляя (11), (12), (13), (14) в уравнение (7) получим

Далее можно убедится, что такие значения исходных факторов не приведут к изменению остальных главных факторов. Другими словами, если мы подставим (11), (12), (13), (14) в уравнения второго, третьего и четвертого главного фактора, то получим ноль. Подставляем (11), (12), (13), (14) в (8):

Аналогичные можно показать, что и .

Получается, что если первый главной фактор положителен () первое собственное состояние будет характеризоваться факторами, значения которых будут лежать выше нуля.

Проведем анализ изменения численности населения с использованием собственных состояний, полученных на базе матрицы вторых моментов.

Первого собственного состояния определяет условия, при которых увеличение/уменьшение численности населения обусловлено ростом/сокращением численности молодого и трудоспособного населения и населения пенсионного возраста. Так как это собственное состояние является доминирующем, то следует отметить, что темпы прироста трудоспособного населения больше молодого примерно в три раза. Это значит, трудоспособное население увеличивается быстрее, чем растет численность молодого. Такое поведение можно объяснить лишь трудовой иммиграцией (аналогичное предположение было сделано для первого собственного состояния ковариационной матрицы).

Второе собственное состояние обусловлено средним темпом роста/сокращения общей численности населения при незначительном увеличении/сокращении численности молодого населения, значительным сокращением/увеличением трудоспособной части населения и большим увеличением населения пенсионного возраста и наоборот. Доминирующим фактором является пенсионное население. Другими словами, собственное состояние описывает негативную тенденцию увеличения численности населения, когда прирост осуществляется в основном от людей пенсионного возраста.

Третьего собственное состояния описывает процесс изменения, в котором увеличение/сокращении численности населения обусловлено увеличением/сокращением численности молодого населения и населения пенсионного возраста.

Четвертое собственное состояние обусловлено ростом всех четырех факторов, но при этом сокращается общая численности население. Данное состояние, вероятно, является совокупностью ошибочных наблюдений.

Здесь, как и в ковариационной матрице, четвертая главная компонента носит аналогичный характер - группирует ошибочные данные. Во второй главной компоненте доминирует показатель пенсионной части населения, кроме того наблюдается незначительный рост молодого населения и, что самое плохое, сильная отрицательная динамика роста трудоспособного населения; эта компонента не удовлетворяет нашим требования. Таким образом, эталонная модель будет описываться первым и третьим собственным состоянием.

Рисунок 1 -- Население, моложе пенсионного возраста. Матрица вторых моментов

Рисунок 12-- Трудоспособное население. Матрица вторых моментов

В совокупности собственные состояния будут действовать таким образом, что недостатки одной будут сглаживать достоинствами другой. Для наглядности можно взять первое и второе собственное состояние ковариационной матрицы: показатель прироста численности молодого населения будет дополнен показателем из второго собственного состояния, но этим немного снизится показатель трудоспособного населения. В целом общий темп прироста общей численности населения только усилится.

Рассмотрим динамику изменения исходных факторов эталонной модели графики реконструкции исходных данных по первой и второй главной компоненте ковариационной матрицы (рис. 7, 8, 9 и 10). На рисунке 10 видно как исходные данные и восстановленные практически полностью совпадают. Предварительно можно сказать, что выбранная стратегия роста численности населения практически на все 100% описывается выбранной нами моделью, но требуется сопоставить качественную составляющую исходных данных и нашей модели, то есть, определить, какое существует соотношение по всем группам населения. Рассмотрев рисунки 7, 8 и 9 можно сказать, что, как и в случае с рисунком 10, имеется сильная качественная зависимость.

Подводя итог, можно сказать, что выбранная стратегия роста численности населения практически на все 100% описывается выбранной нами моделью, и модель развития общества, в котором приоритет отдается росту численности молодого населения, реализовывается.

Теперь обратимся к реконструкции исходных данных по первой и третей главной компоненте матрицы вторых моментов (рис. 11, 12, 13 и 14). Рассмотрим рисунок 14, который описывает общую численность наблюдения. Конечно, определенная качественная зависимость имеется, но менее четкая по сравнению с моделью от ковариационной матрицы. На всем периоде наблюдения имеются отклонения от выбранной нами модели, что, по меньшей мере, свидетельствует о модели развития общества, в котором, вероятно, доминирование молодого населения не является первоочередным. Напомним, что период наблюдения взят с 2012 по 2032 год. Условно назовем период с 2012 по 2019 год «первым периодом»; с 2019 по 2023 год - «вторым периодом», и далее «третий период». В первом периоде наблюдается отклонение от значений выбранной модели. Отклонение в 40.000 человек нельзя назвать очень большим, но при рассмотрении графиков молодого населения (рис 11), трудоспособного населения (рис. 12) и населения пенсионного возраста (рис. 13), во всех трех также наблюдаются отклонения. Если ситуация с молодым населением относительно нормальная, то у трудоспособного населения наблюдается существенный переизбыток и нехватка у пенсионного. В конечном счете, учитывая то, что во втором периоде рост молодого населения практически останавливается, и далее, в третьем начинает резко падать, все это приведет к формированию «стареющего общества», то есть общества, в котором средний возраст населения увеличивается. На сегодняшний день подобная ситуация наблюдается в странах Западной Европе. Более того, в связи с естественным «освобождением» жилых площадей наблюдается приток эмигрантов из стран Ближнего Востока и Северной Африки, людей с абсолютно иной культурой и взглядами на жизнь. И как мы можем наблюдать, это приводит к межэтническим проблемам в обществе, столкновению культурных и религиозных взглядов, порой приводящих к открытым столкновениям и, как следствиям, к финансовым потерям и нестабильности в обществе.

Ситуация в России может быть несколько иная. С учетом того, что наше государство не является постиндустриальным, формально индустриальным, а по сути сырьевым и сельскохозяйственным, то последствия могут быть серьезнее.

Заключение

В результате выполненных исследований получены следующие результаты:

1. Лучший результат показала двухфакторная модель регрессии главных компонент, основанная на первом и третьем главном факторе. Регрессия главных компонент дала более точный прогноз, чему свидетельствуют таблицы ошибок 14. Значения ошибок регрессии главных компонент более чем в два раза меньше по сравнению с лучшим результатом классического регрессионного анализа.

2. На основе первой главной компоненты, рассчитанной на базе ковариационной матрицы вторых моментов, была построена модель, которая полостью соответствовала заявленным требованиям. Анализ этой модели и сопоставление его показал, что финансовое положение наблюдаемого салона красоты практически полностью совпадает с идеальной моделью. Дальнейшее увеличение чистой прибыли возможно лишь с расширением деятельности салона и привлечением новых клиентов.

население численность стьюдент демографический

Литература

1. В.В. Мокеев. Решение проблемы собственных значений в задачах многофакторного анализа экономических систем //Экономика и математические методы. Москва, 2010. N4, С. 82-90.

2. В.В. Мокеев, В.Г. Плужников. Анализ главных компонент как средство повышения эффективности управленческих решений в предпринимательских структурах //Вестник Южно-Уральского государственного университета, Экономика и менеджмент, 2011 41(258), вып. 20. -- 149-154с.

Размещено на Allbest.ru