Оценка точности и надежности результатов измерений
Значения показателей и коэффициент вариации. Пределы возможных ошибок, исключение ошибочных результатов. Величина доверительных интервалов для заданных значений доверительных вероятностей. Средние квадратичные отклонения. Значения коэффициента доверия.
| Рубрика | Экономико-математическое моделирование |
| Вид | лабораторная работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 01.03.2011 |
| Размер файла | 38,4 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
ОЦЕНКА ТОЧНОСТИ И НАДЕЖНОСТИ РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ
Цель работы: по данным результатов измерений найти предварительные значения показателей вариации, оценить пределы возможных ошибок и после исключения ошибочных результатов найти точные показатели вариации, определить величину доверительных интервалов для заданных значений доверительных вероятностей. Сделать выводы.
Исходные данные: варианты заданий приведены в таблице 2.
При проведении измерений, опытов, экспериментов возникают ошибки двух видов: систематические и случайные.
Систематические ошибки связаны с погрешностями измерительных приборов при измерениях.
Случайные ошибки не связаны с измерениями и обусловлены случайными внешними причинами (сбои, отказы аппаратуры, скачки напряжений в сети питания, сейсмические сотрясения, отвлечение внимания оператора, описки в записях и мн. др.)
При однократном измерении ошибка может быть обнаружена только путем логического анализа или сопоставлением результата с априорным представлением о нем. Установив и устранив причину ошибки, измерение можно повторить.
При многократном измерении одной и той же величины ошибки проявляются в том, что результаты отдельных измерений значительно отличаются от остальных. Иногда это отличие настолько большое, что ошибка очевидна, поэтому данный результат можно отбросить как заведомо неверный. Если отличие небольшое, то оно может быть следствием как ошибки, так и рассеяния отсчета. Определить возможность исключения сомнительного результата измерения позволяет «правило трех сигм», которое гласит:
если при многократном измерении одной и той же величины постоянного размера сомнительное значение результата отличается от среднего значения хср больше, чем на 3?, то с вероятностью 0,997 оно является ошибочным и его следует отбросить.
При построении вариационных рядов каждый вариант или интервал имеет определенную частость, которая при большом количестве измерений стремится к вероятности попадания значения в данный интервал.
Одной из наиболее распространенных форм распределения случайной величины является нормальное распределение (распределение Гаусса).
С ним приходится сталкиваться при анализе производственных погрешностей, контроле технологических процессов и режимов и т.д.
Если весь массив экспериментальных данных подчиняется закону нормального распределения, то все значения измеряемой величины должны группироваться вокруг среднего значения, и выпадение какого-либо отдельного значения результата из этого массива позволяет предположить, что он ошибочный.
Чтобы дать представление о точности и надежности оценки результата пользуются доверительными интервалами и доверительными вероятностями.
Доверительный интервал определяет, на какую величину может отличаться отдельное значение результата измерения при нормальном распределении от своего среднего значения.
Неравенство
P(хср - ? < x0 < хср+?) (1)
означает, что с вероятностью P значение измеряемого параметра x0 попадает в интервал
Ip = (хср - ?, хср + ?)
Например, известно, что с вероятностью P = 0,5 измеряемое значение при нормальном распределении попадет в интервал
(хср ± ?);
с P = 0,68 в интервал (хср ± ?)
с P = 0,95 в интервал (хср ± 2?)
с P = 0,99 в интервал (хср ± 2,6?)
с P = 0,997 в интервал (хср ± 3?)
Эта вероятность называется доверительной вероятностью, а интервал - доверительным интервалом.
Доверительный интервал измеряемого параметра x0 приближенно находится по формуле
(2)
где tр определяет число средних квадратичных отклонений, которое нужно отложить вправо и влево от центра рассеивания для того, чтобы вероятность попадания x0 в полученный интервал была равна P;
n - общее количество измерений.
При выборе доверительной вероятности необходимо учитывать ответственность поставленной задачи: чем более ответственна задача, тем с большей доверительной вероятностью (надежностью) должны быть оценены полученные параметры статистического анализа. Обычно для технических расчетов их принимают равными от 0,90 до 0,99, т.е. от 90 до 99%.
доверительный вероятность интервал вариация
Порядок выполнения работы
1. По данным пробной выборки рассчитываем предварительные значения показателей вариации
размах вариации
R = Xmax - Xmin. (3)
Средняя арифметическая
(4)
Дисперсия может быть рассчитана по ранее изученной формуле или по упрощенной формуле, наиболее часто применяемой на практике
(5)
Среднеквадратическая погрешность
(5)
Коэффициент вариации
(6)
2. Определяем пределы возможных ошибок. Для этого используем правило «трех сигм». Интервал нахождения истинных значений будет равен
(7)
Найти в ряду значения, которые не попадают в полученный интервал. Эти значения и являются ошибочными, поэтому должны быть отброшены.
3. После удаления из ряда измерений случайных величин производим пересчет показателей вариации. По правилу «трех сигм» определяем пределы возможных ошибок
4. Повторяем п. 3) до тех пор, пока не исключим все ошибки. т.е. все значения будут находиться в интервале (7)
5. После исключения случайных ошибок для каждой заданной доверительной вероятности находим доверительный интервал по формуле
(8)
Параметр tp следует определять по табл. 1 в зависимости от величины заданной доверительной вероятности.
Таблица 1 - Значения коэффициента доверия
|
p |
tp |
p |
tp |
p |
tp |
|
|
0,80 |
1,282 |
0,88 |
1,554 |
0,96 |
2,053 |
|
|
0,81 |
1,310 |
0,89 |
1,597 |
0,97 |
2,169 |
|
|
0,82 |
1,340 |
0,90 |
1,643 |
0,98 |
2,325 |
|
|
0,83 |
1,371 |
0,91 |
1,694 |
0,99 |
2,576 |
|
|
0,84 |
1,404 |
0,92 |
1,750 |
0,995 |
2,807 |
|
|
0,85 |
1,439 |
0,93 |
1,810 |
0,997 |
3,290 |
|
|
0,86 |
1,475 |
0,94 |
1,880 |
|||
|
0,87 |
1,513 |
0,95 |
1,960 |
6. Сделать выводы
- какие значения массива экспериментальных данных являются случайными ошибками, и с помощью какого правила определялось наличие ошибок;
- как изменяются показатели вариации после исключения случайных ошибок;
- как изменяется доверительный интервал при изменении доверительной вероятности.
Исходные данные для выполнения задания
|
Вариант |
Задание |
|
|
1 |
8,5 7,7 8,4 7,3 8,4 8,4 8,3 7,6 8,7 8,4 8,4 6,1 6,2 7,3 8,4 8,3 7,8 8,3 7,5 2,1 11,2 18,1 8,2 8,7 9,9 Доверительные вероятности: p1 =0,85 p2 =0,95 p3 =0,995 |
|
|
2 |
22 24 28 22 24 24 24 33 24 25 24 25 24 24 25 27 26 24 25 25 27 12 34 Доверительные вероятности: p1 =0,8 p2 =0,9 p3 =0,99. |
|
|
3 |
1,3 1,2 1,2 0,9 0,9 0,8 1,2 1,1 1,2 1,5 0,3 1,2 1,3 1,2 1,2 1,2 1,1 1,2 1,2 1,1 2,1 1,2 1,3 Доверительные вероятности: p1 =0,88 p2 =0,98 p3 =0,997. |
|
|
4 |
40 45 44 45 35 46 47 48 43 50 45 47 38 45 44 73 41 44 40 46 44 15 43 Доверительные вероятности: p1 =0,85 p2 =0,99 p3 =0,997. |
|
|
5 |
2 11 10 10 9 10 11 10 9 10 10 10 11 10 9 10 11 10 10 11 10 11 19 Доверительные вероятности: p1 =0,8 p2 =0,85 p3 =0,95. |
|
|
6 |
8,5 8,3 8,4 8,4 8,4 8,4 8,3 8,5 8,6 8,4 1,8 8,4 8,4 7,4 6,2 8,4 8,4 8,3 14,7 8,3 8,3 8,4 8,3 Доверительные вероятности: p1 =0,95 p2 =0,99 p3 =0,997. |
|
|
7 |
8,5 7,7 8,4 1,1 8,4 8,3 7,6 8,7 8,4 7,2 8,4 8,4 6,1 14,5 8,4 8,4 8,3 7,8 8,3 7,5 8,3 7,7 8,8 Доверительные вероятности: p1 =0,86 p2 =0,95 p3 =0,995. |
|
|
8 |
8,5 4,2 8,4 8,3 8,4 8,4 8,3 8,6 8,7 8,4 8,2 8,4 8,4 12,3 9,2 8,3 8,4 8,3 8,4 8,3 8,8 8,8 8,5 8,9 Доверительные вероятности: p1 =0,85 p2 =0,99 p3 =0,997. |
|
|
9 |
12,5 12,8 13,3 12,8 12,7 13,1 12,6 12,9 13 13,8 14,6 12,9 13 13,1 13,3 12,9 13,3 11,4 12,8 2,1 12,2 22,4 13,3 7,8 Доверительные вероятности: p1 =0,95 p2 =0,99 p3 =0,997. |
|
|
10 |
22 24 22 29 24 24 24 24 41 24 25 24 25 24 25 24 25 22 26 24 25 25 8 24 Доверительные вероятности: p1 =0,8 p2 =0,85 p3 =0,9. |
|
|
11 |
1,3 1,2 1,1 1,3 1,3 2,4 1,2 1,3 1,2 1,4 0,1 1,2 1,3 1,1 1,2 1,1 1,2 1,3 1,2 1,2 1,2 1,3 1,2 1,2 Доверительные вероятности: p1 =0,83 p2 =0,88 p3 =0,92. |
|
|
12 |
2,3 2,2 2,1 2,2 3,8 1,8 2,20 2,2 2,2 2,3 0,8 2,2 2,3 2,2 2,3 2,2 2,3 2,2 2,4 2,5 2,5 2,2 2,3 2,8 Доверительные вероятности: p1 =0,8 p2 =0,9 p3 =0,99. |
|
|
13 |
5,3 5,2 5 5,1 4,8 8,8 5,20 5,5 5,2 5,3 5,2 5,5 5,1 5,2 5,3 5,2 2,1 5,5 5,2 5,2 5,5 5,5 5,2 5,3 Доверительные вероятности: p1 =0,9 p2 =0,99 p3 =0,997. |
|
|
14 |
10,3 10,2 13,3 10,9 10,9 10,8 10,20 10,1 10,2 10,5 10,2 10,3 10,2 10,2 10,1 10,2 10,2 10,1 10,1 10,2 10,3 7,1 10,4 Доверительные вероятности: p1 =0,8 p2 =0,92 p3 =0,98. |
|
|
15 |
23 25 26 21 24 25 23,00 35 24 25 24 25 24 22 25 27 26 22 25 25 21 23 27 11 26 22 Доверительные вероятности: p1 =0,83 p2 =0,88 p3 =0,99. |
|
|
16 |
11 12 10 12 10 11 13 22 12 11 14 11 11 13 11 13 14 13 12 10 12 11 12 11 2 17 12 Доверительные вероятности: p1 =0,85 p2 =0,91 p3 =0,98. |
|
|
17 |
12 13,8 13,1 11,8 10,7 11,1 12,20 12,1 13,6 12,8 21,1 10,9 13,1 13,3 13,8 11,9 13,3 3,5 11,1 12,3 11 11,3 12,1 11,9 Доверительные вероятности: p1 =0,82 p2 =0,9 p3 =0,96. |
|
|
18 |
2,1 2,3 2 2,2 2,5 2,3 2,10 2,3 2,2 2,1 2,3 5,2 2,5 2,1 2,1 2,2 2,2 2,2 2,2 2,2 1,9 5,1 2,1 2,3 Доверительные вероятности: p1 =0,81 p2 =0,91 p3 =0,997. |
|
|
19 |
1,1 1,3 1,2 0,95 0,99 1,3 1,10 1,4 1,1 1,7 0,1 1,5 1,2 1,2 1,1 1,2 1,3 1,2 1,2 1,1 1,15 1,2 1,5 2,2 Доверительные вероятности: p1 =0,89 p2 =0,95 p3 =0,97. |
|
|
20 |
22,5 22,8 23,3 22,8 22,7 11,5 22,60 22,9 23,1 23,8 24,6 22,9 23 23,1 22,9 23,3 35,5 23,1 25,5 27,1 23,1 22,1 22,3 23,3 Доверительные вероятности: p1 =0,92 p2 =0,98 p3 =0,995. |
Размещено на Allbest.ru
Подобные документы
Определение среднего арифметического исправленных результатов многократных наблюдений, оценка среднего квадратического отклонения. Расчет доверительных границ случайной составляющей погрешности результата измерения. Методика выполнения прямых измерений.
лабораторная работа [806,9 K], добавлен 26.05.2014Расчет доверительных интервалов прогноза для линейного тренда с использованием уравнения экспоненты. Оценка адекватности и точности моделей. Использование адаптивных методов в экономическом прогнозировании. Экспоненциальные средние для временного ряда.
контрольная работа [916,2 K], добавлен 13.08.2010Расчет зависимости курса акций от эффективности рынка ценных бумаг. Построение графика экспериментальных данных и модельной прямой. Нахождение значения стандартных погрешностей для определения доверительных интервалов для значений зависимой переменной.
контрольная работа [441,9 K], добавлен 13.10.2014Расчет прогноза среднего значения цены и доверительных интервалов для него, используя статистический подход. Методы построения полей рассеяния между ценой и возрастом автомобиля, между ценой и мощностью автомобиля. Обоснование гипотезы о наличии тренда.
контрольная работа [98,5 K], добавлен 11.09.2010Основные понятия теории графов. Схема построения сетевой модели рынка. Основная идея бутстрэпа. Процедура проверки многих гипотез сравнения распределения вершин двух выборочных MST. Значения доверительных интервалов векторов наблюдений за два года.
курсовая работа [1,0 M], добавлен 19.09.2016Оценка адекватности эконометрических моделей статистическим данным. Построение доверительных зон регрессий спроса и предложения. Вычисление коэффициента регрессии. Построение производственной мультипликативной регрессии, оценка ее главных параметров.
контрольная работа [1,2 M], добавлен 25.04.2010Оценка уравнений парной и множественной регрессии. Ковариация, корреляция, дисперсия. Определение доверительных интервалов для параметров. Статистические уравнения зависимостей. Расчет нормативных микроэкономических показателей хозяйственной деятельности.
дипломная работа [1,9 M], добавлен 20.10.2014Регрессионный анализ. Экспериментальные, средние и расчетные значения выходной переменной. Проверка однородности дисперсий. Оценка значимости коэффициентов модели. Табличные значения критерия Стьюдента для заданных уровней значимости и степеней свободы.
лабораторная работа [2,9 M], добавлен 28.12.2012Определение среднего значения показателя надежности сельскохозяйственной техники и ее элементов. Нахождение коэффициента вариации. Построение графиков дифференциальных и интегральных функций закона распределения Вейбулла. Расчет критерия согласия Пирсона.
курсовая работа [843,0 K], добавлен 07.08.2013Расчет параметров линейной регрессии. Сравнительная оценка тесноты связи с помощью показателей корреляции, детерминации, коэффициента эластичности. Построение поля корреляции. Определение статистической надежности результатов регрессионного моделирования.
контрольная работа [71,7 K], добавлен 17.09.2016
