Доверительные интервалы прогноза. Оценка адекватности и точности моделей

1.1 Доверительные интервалы прогноза

Заключительным этапом применения кривых роста является экстраполяция тенденции на базе выбранного уравнения. Прогнозные значения исследуемого показателя вычисляют путем подстановки в уравнение кривой значений времени t, соответствующих периоду упреждения. Полученный таким образом прогноз называют точечным, так как для каждого момента времени определяется только одно значение прогнозируемого показателя.

На практике в дополнении к точечному прогнозу желательно определить границы возможного изменения прогнозируемого показателя, задать "вилку" возможных значений прогнозируемого показателя, т.е. вычислить прогноз интервальный.

Несовпадение фактических данных с точечным прогнозом, полученным путем экстраполяции тенденции по кривым роста, может быть вызвано:

1. субъективной ошибочностью выбора вида кривой;

2. погрешностью оценивания параметров кривых;

3. погрешностью, связанной с отклонением отдельных наблюдений от тренда, характеризующего некоторый средний уровень ряда на каждый момент времени.

Погрешность, связанная со вторым и третьим источником, может быть отражена в виде доверительного интервала прогноза. Доверительный интервал, учитывающий неопределенность, связанную с положением тренда, и возможность отклонения от этого тренда, определяется в виде:

 (1.1.),

где n - длина временного ряда;

L -период упреждения;

y_n+L -точечный прогноз на момент n+L;

t_a- значение t-статистики Стьюдента;

S_p- средняя квадратическая ошибка прогноза.

Предположим, что тренд характеризуется прямой:

Так как оценки параметров определяются по выборочной совокупности, представленной временным рядом, то они содержат погрешность. Погрешность параметра а_о приводит к вертикальному сдвигу прямой, погрешность параметра a₁- к изменению угла наклона прямой относительно оси абсцисс. С учетом разброса конкретных реализаций относительно линий тренда, дисперсию можно представить в виде:

(1.2.),

где - дисперсия отклонений фактических наблюдений от расчетных;

t₁ - время упреждения, для которого делается экстраполяция;

t₁ = n + L ;

t - порядковый номер уровней ряда, t = 1,2,..., n;

- порядковый номер уровня, стоящего в середине ряда,

Тогда доверительный интервал можно представить в виде:

(1.3.),

Обозначим корень в выражении (1.3.) через К. Значение К зависит только от n и L, т.е. от длины ряда и периода упреждения. Поэтому можно составить таблицы значений К или К*= t_aK . Тогда интервальная оценка будет иметь вид:

(1.4.),

Выражение, аналогичное (1.3.), можно получить для полинома второго порядка:

(1.5.),

или

(1.6.),

Дисперсия отклонений фактических наблюдений от расчетных определяется выражением:

 (1.7.),

где y_t- фактические значения уровней ряда,

- расчетные значения уровней ряда,

n- длина временного ряда,

k - число оцениваемых параметров выравнивающей кривой.

Таким образом, ширина доверительного интервала зависит от уровня значимости, периода упреждения, среднего квадратического отклонения от тренда и степени полинома.

Чем выше степень полинома, тем шире доверительный интервал при одном и том же значении S_y, так как дисперсия уравнения тренда вычисляется как взвешенная сумма дисперсий соответствующих параметров уравнения

Рисунок 1.1. Доверительные интервалы прогноза для линейного тренда

Доверительные интервалы прогнозов, полученных с использованием уравнения экспоненты, определяют аналогичным образом. Отличие состоит в том, что как при вычислении параметров кривой, так и при вычислении средней квадратической ошибки используют не сами значения уровней временного ряда, а их логарифмы.

По такой же схеме могут быть определены доверительные интервалы для ряда кривых, имеющих асимптоты, в случае, если значение асимптоты известно (например, для модифицированной экспоненты).

В таблице 1.1. приведены значения К* в зависимости от длины временного ряда n и периода упреждения L для прямой и параболы. Очевидно, что при увеличении длины рядов (n) значения К* уменьшаются, с ростом периода упреждения L значения К* увеличиваются. При этом влияние периода упреждения неодинаково для различных значений n : чем больше длина ряда, тем меньшее влияние оказывает период упреждения L.

Таблица 1.1.

Значения К* для оценки доверительных интервалов прогноза на основе линейного тренда и параболического тренда при доверительной вероятности 0,9 (7).

Глава 2. Практическая часть

Задание 1.5. Использование адаптивных методов в экономическом прогнозировании

1. Рассчитать экспоненциальную среднюю для временного ряда курса акций фирмы ЮМ. В качестве начального значения экспоненциальной средней взять среднее значение из 5 первых уровней ряда. Значение параметра адаптации а принять равным 0,1.

Таблица 1.2.

Курс акций фирмы IBM

2. По данным задания №1 рассчитать экспоненциальную среднюю при значении параметра адаптации а равным 0,5. Сравнить графически исходный временной ряд и ряды экспоненциальных средних, полученные при а=0,1 и а =0,5. Указать, какой ряд носит более гладкий характер.

3. Прогнозирование курса акций фирмы IBM осуществлялось на основе адаптивной полиномиальной модели второго порядка

,

где - период упреждения.

На последнем шаге получены следующие оценки коэффициентов:

Рассчитать прогноз курса акций:

• на 1 день вперед (=1);

• на 2 дня вперед (=2).

Решение задания 1.5

1. Определим

Найдем значения экспоненциальной средней при а=0,1.

. а=0,1 - по условию;

; S₁ = 0,1 х 510 + 0,9 х 506 = 506,4;

; S₂ = 0,1 х 497 + 0,9 х 506,4 = 505,46;

; S₃ = 0,1 х 504 + 0,9 х 505,46 = 505,31 и т.д.

Результаты расчетов представлены в таблице 1.3.

2.

а=0,5 - по условию.

; S₁ = 0,5 х 510 + 0,5 х 506 = 508;

; S₂ = 0,5 х 497 + 0,5 х 508 = 502,5 и т.д.

Результаты расчетов представлены в таблице 1.3.

Таблица 1.3.

Экспоненциальные средние

Рисунок 1.2. Экспоненциальное сглаживание временного ряда курса акций: А - фактические данные; В - экспоненциальная средняя при альфа = 0,1; С - экспоненциальная средняя при альфа = 0,5

При а=0,1 экспоненциальная средняя носит более гладкий характер, т.к. в этом случае в наибольшей степени поглощаются случайные колебания временного ряда.

3. Прогноз по адаптивной полиномиальной модели второго порядка формируется на последнем шаге, путем подстановки в уравнение модели последних значений коэффициентов и значения - времени упреждения.

Прогноз на 1 день вперед (= 1):

(дол.)

Прогноз на 2 дня вперед (= 2):

(дол.)

Список используемой литературы

1. Дуброва Т.А. Статистические методы прогнозирования в экономике: Учебное пособие / Московский государственный университет экономики, статистики и информатики. - М.: МЭСИ, 2003. - 52с.

2. Афанасьев В.Н., Юзбашев М.М. Анализ временных рядов и прогнозирование М.: Финансы и статистика, 2001.

3. Лукашин Ю.П. Регрессионные и адаптивные методы прогнозирования. Учебное пособие. - М.: МЭСИ, 1997.