Основы решения эконометрических задач

5

Содержание

Задание 1 2

Задание 2 6

Задание 3 8

Задание 4 10

Задание 5 13

Список литературы 17

Задание 1

1. Определите, на какой диаграмме показаны временные данные, а на какой пространственные (рис.1 и рис. 2).

Рисунок 1 - Структура использования денежных доходов за 2001 г

Рисунок 2 - Структура использования денежных доходов за 2001 г

Ответ:

Прогнозы часто осуществляются на основе некоторых статистических показателей, которые изменяются во времени. Если эти показатели имеют значения на определенные промежутки времени, следующие друг за другом, то образуются некоторые ряды данных с определенными тенденциями. Ряд расположенных в хронологической последовательности значений статистических показателей, представляют собой временной (динамический) ряд.

Динамическим рядом называется ряд чисел или ряд однородных статистических величин, показывающих изменения размеров какого-либо явления или признака во времени.

Каждый временной ряд состоит из двух элементов: отрезки времени (периоды), в рамках которых был зафиксирован определенный статистический показатель и статистические показатели, характеризующие объект исследования (уровни ряда). Эти данные представлены на рис. 1.

На рис. 2 представлены пространственные данные, т.е. совокупность каких-либо параметров (в данном случае структуры денежных расходов) за один временной период (за декабрь).

2. Дайте определение регрессии.

Исследуя природу, общество, экономику, необходимо считаться со взаимосвязью наблюдаемых процессов и явлений. При этом полнота описания так или иначе определяется количественными характеристиками причинно-следственных связей между ними. Оценка наиболее существенных из них, а также воздействия одних факторов на другие является одной из основных задач статистики.

Задачи регрессионного анализа лежат в сфере установления формы зависимости, определения функции регрессии, использования уравнения для оценки неизвестных значений зависимой переменной.

Аппроксимация данных с учетом их статистических параметров относится к задачам регрессии. Они обычно возникают при обработке экспериментальных данных, полученных в результате измерений процессов или физических явлений, статистических по своей природе (как, например, измерения в радиометрии и ядерной геофизике), или на высоком уровне помех (шумов). Задачей регрессионного анализа является подбор математических формул, наилучшим образом описывающих экспериментальные данные.

Математическая постановка задачи регрессии заключается в следующем. Зависимость величины (числового значения) определенного свойства случайного процесса или физического явления Y от другого переменного свойства или параметра Х, которое в общем случае также может относиться к случайной величине, зарегистрирована на множестве точек xk множеством значений yk, при этом в каждой точке зарегистрированные значения yk и xk отображают действительные значения Y(хk) со случайной погрешностью sk, распределенной, как правило, по нормальному закону. По совокупности значений yk требуется подобрать такую функцию f(xk, a0, a1, … , an), которой зависимость Y(x) отображалась бы с минимальной погрешностью. Отсюда следует условие приближения:

yk = f(xk, a0, a1, … , an) + sk.

Функцию f(xk, a0, a1, … , an) называют регрессией величины y на величину х. Регрессионный анализ предусматривает задание вида функции f(xk, a0, a1, … , an) и определение численных значений ее параметров a0, a1, … , an, обеспечивающих наименьшую погрешность приближения к множеству значений yk. Как правило, при регрессионном анализе погрешность приближения вычисляется методом наименьших квадратов (МНК). Для этого выполняется минимизация функции квадратов остаточных ошибок:

s?a0, a1, … , an) =[f(xk, a0, a1, … , an) - yk]2.

Для определения параметров a0, a1, … , an функция остаточных ошибок дифференцируется по всем параметрам, полученные уравнения частных производных приравниваются нулю и решаются в совокупности относительно всех значений параметров. [3]

Таким образом, регрессия - это односторонняя вероятностная зависимость между случайными величинами: y = f(x)

3. Определите виды регрессий:

y = 12,5 - 1,44 x1 + 5 x2 - 2.27 x3 + e

y = 1/ (11+10,.45x1 - 9,44 x2 + 3.33 x3 - 1.37x4 + e)

y = e45.45+100x + e

Покажите, где здесь результирующая, а где объясняющие переменные. Что обозначает е в уравнениях регрессии?

Виды регрессии обычно называются по типу аппроксимирующих функций: полиномиальная, экспоненциальная, логарифмическая и т.п.

Таким образом, можно говорить о том, что

y = 12,5 - 1,44 x1 + 5 x2 - 2.27 x3 + e - это полиномиальная регрессия

y - результирующая переменная

x1, x2, x3 - объясняющие переменные

e - ошибка регрессии

y = 1/ (11+10,.45x1 - 9,44 x2 + 3.33 x3 - 1.37x4 + e) - это гипербола

y - результирующая переменная

x1, x2, x3, х4 - объясняющие переменные

e - ошибка регрессии

y = e45.45+100x + e - это экспоненциальная регрессия

y - результирующая переменная

x - объясняющая переменные

e - ошибка регрессии

Задание 2

1. Дайте определение парной регрессии.

Аналитическое выражение связей между признаками может быть представлена виде уравнений регрессии:

yx = a0+a1x

где х - значение факторного признака

у - значение результативного признака (эмпирические)

ух - теоретические значения результативного признака, полученные по уравнению регрессии.

а0 и а1 - это коэффициенты регрессии, которые определяются путем решения следующей системы уравнений:

na0+a1?x = ?y

a0?x+a1?x = ?xy2

В основе решения данной системы уравнений лежит метод наименьших квадратов, сущность которого заключается в минимизации суммы квадратов отклонений эмпирических значений признака от теоретических, полученных по уравнению регрессии:

?(yi-yx)2 > min

а0 - показывает влияние неучтенных в модели факторов и четкой интерпретации не имеет

а1 - показывает на сколько в среднем изменяется значение результативного признака при изменении факторного признака на единицу собственного измерения [5]

2. По Российской Федерации за 2001 год известны значения двух признаков (табл. 1):

Таблица 1

Месяц	Расходы на покупку продовольственных товаров в общих расходах, % (y)	Средний денежный доход на душу населения, руб. (x)
Январь	69	1954,7
Февраль	65,6	2292,0
Март	60,7	2545,8
Апрель	…	…
Май	…	…
Июнь	…	…
Июль	…	…
Август	…	…
Сентябрь	…	…
Октябрь	53,3	3042,8
Ноябрь	50,9	3107,2
Декабрь	47,5	4024,7

Для оценки зависимости y от x построена парная линейная регрессионная модель с помощью метода наименьших квадратов:

y = a + bx + e, где а = 196/4, b = 1/196

Парный коэффициент корреляции rxy = 1/ (-196) * 78

Средняя ошибка аппроксимации: А = 196/46 + 4,6

Известно, что Fтабл. = 4,96, а Fфакт = 196/2 + 5

Определите коэффициент детерминации. Определите линейную модель через среднюю ошибку аппроксимации и F-критерий Фишера.

Решение:

Найдем коэффициенты парной линейной регрессионной модели:

а = 196/4 = 49

b = 1/196 = 0,0051

Получим уравнение регрессии:

y = 49 + 0,0051x + e,

Значит, с увеличением среднего денежного дохода на 1 руб. доля расходов на покупку продовольственных товаров снижается в среднем на 0,0051 %.

Линейный коэффициент парной корреляции

rxy = 1/ (-196) * 78 = -0,39

(связь умеренная, обратная)

Найдем коэффициент детерминации

rxy2 = (-0,39)2 = 0,158. Вариация результата на 15,8 % объясняется вариацией фактора x.

Средняя ошибка аппроксимации А = 196/46 + 4,6 = 8,86, что говорит о высокой ошибке аппроксимации (недопустимые пределы). В среднем расчетные значения отклоняются от фактических на 8,86 %.

Проверяем F-критерий Фишера. Для этого сравним Fтабл. и Fфакт.

Fтабл. = 4,96

Fфакт.=103

Fтабл. < Fфакт. (4,96<103), значит гипотеза о случайной природе оцениваемых характеристик отклоняется и признается их статистическая значимость и надежность с вероятностью 0,95.

Вывод: линейная парная модель плохо описывает изучаемую закономерность.

Задание 3

В табл. 2 приведены данные, формирующие цену на строящиеся квартиры в двух различных районах.

Таблица 2

Район, а/б	Жилая площадь, м2	Площадь кухни, м2	Этаж, средние/крайние	Дом, кирпич/панель	Срок сдачи, через сколько мес.	Стоимость квартиры, тыс. долл
1	17,5	8	1	1	6	17,7
1	20	8,2	1	2	1	31,2
2	23,5	11,5	2	2	9	13,6
…	…	…	…	…	…	…
1	77	17	2	1	1	56,6
2	150,5	30	2	2	2	139,2
2	167	31	2	1	5	141,5

Имеется шесть факторов, которые могут оказывать влияние на цену строящегося жилья:

район, где расположена строящаяся квартира (а или б);

жилая площадь квартиры;

площадь кухни;

этаж (средний или крайний);

тип дома (панельный или кирпичный);

срок сдачи квартиры (через сколько месяцев).

Определите минимальный объем выборки Nmin. Для оценки зависимости y от х построена линейная множественная регрессионная модель с помощью метода наименьших квадратов:

y = a0 + a1x1 + a2x2 + a3x3 + a4x4 + a5x5 + a6x3 + e

где a0 = -196/11,5

a1 = -196/8-10

a2 = 1/196+0,79

a3 = 0,1-1/196

a4 = 196/5 - 16

a5 = 0,12*196

a6 = 1/196-0,4

Какие фиктивные переменные были использованы в модели? Дайте экономическую интерпретацию полученной модели.

Решение:

Найдем минимальный объем выборки Nmin. Число факторов, включаемых в модель, m = 6, а число свободных членов в уравнении n = 1.

Nmin. = 5 (6+1) = 35

Найдем коэффициенты линейной множественной модели:

a1 = -196/8-10 = -34,5

a2 = 1/196+0,79 = 0,79

a3 = 0,1-1/196 = 0,095

a4 = 196/5 - 16 = 23,2

a5 = 0,12*196 = 23,52

a6 = 1/196-0,4 = -0,39

Получили уравнение регрессии:

y = a0 - 34,55x1 + 0,79x2 + 0,095x3 + 23,2x4 + 23,52x5 -0,39x3 + e

Экономическая интерпретация полученной модели: квартиры в районе а стоят на 34,55% дешевле, чем в районе b. При увеличении жилой площади на 0,79 % стоимость квартиры возрастает на 0,095 %. Квартиры на средних этажах стоят на 0,095 % дороже, чем на крайних. Квартиры в кирпичных домах стоят на 23,2 % дороже, чем в панельных. При увеличении срока сдачи дома на 1 % стоимость квартиры уменьшается на 0,39%.

Фиктивные переменные - это район (принимает значения а или б), этаж (средний или крайний); тип дома (панельный или кирпичный).

Задание 4

Постройте модель сезонных колебаний дохода торгового предприятия, используя первую гармонику ряда Фурье, по данным, приведенным в табл. 2, изобразите графически.

Таблица 2

Месяц	Доход, тыс. руб.
Январь	58,33+112* (1/196) = 58,90
Февраль	52+112* (1/196) = 52,57
Март	43,67+112* (1/196) = 44,24
Апрель	41,02+112* (1/196) = 41,59
Май	42,77+112* (1/196) = 43,34
Июнь	50,01+112* (1/196) = 50,58
Июль	56,6+112* (1/196) = 57,17
Август	64,74 + 112* (1/196) = 65,31
Сентябрь	71,04+112* (1/196) = 71,61
Октябрь	73,54+112* (1/196) = 74,11
Ноябрь	72,16+112* (1/196) = 72,73
Декабрь	66,3+112* (1/196) = 66,87

Воспользуйтесь вспомогательной таблицей 3.

Таблица 3

t	соs t	sin t
0	1,00	0,00
0,523599	0,87	0,50
1,047198	0,50	0,87
1,570796	0,00	1,00
2,0944395	-0,50	0,87
2,617994	-0,87	0,50
3,141593	-1,00	0,00
3,665191	-0,87	-0,50
4,18879	-0,50	-0,87
4,712389	0,00	-1,00
5,235988	0,50	-0,87
5,759587	0,87	-0,50

Решение:

Если мы рассматриваем год как цикл, то n = 12. Параметры уравнения могут быть найдены по формулам:

a0 = ?y/n

a1 =2/n ?y соs t

b1 =2/n ?y sin t

Составим вспомогательную табл. 4.

Таблица 4

Доход, тыс. руб.	соs t	y соs t	sin t	y sin t
58,90	1,00	58,85	0,00	0,00
52,57	0,87	45,69	0,50	26,26
44,24	0,50	22,09	0,87	38,44
41,59	0,00	0,00	1,00	41,54
43,34	-0,50	-21,64	0,87	37,66
50,58	-0,87	-43,96	0,50	25,56
57,17	-1,00	-57,12	0,00	0,00
65,31	-0,87	-56,77	-0,50	-32,63
71,61	-0,50	-35,78	-0,87	-62,26
74,11	0,00	0,00	-1,00	-74,06
72,73	0,50	36,34	-0,87	-63,23
66,87	0,87	58,13	-0,50	-33,41
?= 699,02		5,83		96,13

Получили:

a0 = 699,02/12 = 58,25

a1 =2/12 *5,83 = 0,97

b1 =2/12 *96,13 = 16,02

Получили

yt = 58,25+0,97 соs t + 16,02 sin t

Подставим фактические значения t в полученную первую гармонику ряда Фурье (табл. 5).

Таблица 5

Месяц	t	yt
Январь	0	58,25+0,97*1 +16,02 *0 = 59,22
Февраль	0,523599	58,25+0,97*0,87 +16,02 *0,5 = 67,1
Март	1,047198	58,25+0,97*0,5 +16,02 *0,87 = 72,67
Апрель	1,570796	58,25+0,97*0 +16,02 *1 = 74,27
Май	2,0944395	58,25+0,97*(-0,5) +16,02 *0,87 = 71,7
Июнь	2,617994	58,25+0,97*(-0,87) +16,02 *0,5 = 65,41
Июль	3,141593	58,25+0,97*(-1) +16,02 *0 = 57,28
Август	3,665191	58,25+0,97*(-0,87) +16,02 *(-0,5) = 49,40
Сентябрь	4,18879	58,25+0,97*(-0,5) +16,02 *(-0,87) = 43,82
Октябрь	4,712389	58,25+0,97*(0) +16,02 *(-1) = 42,23
Ноябрь	5,235988	58,25+0,97*(0,5) +16,02 *(-0,87) = 44,79
Декабрь	5,759587	58,25+0,97*(0,87) +16,02 *(-0,5) = 51,08

Строим график исходных данных и первой гармоники ряда Фурье (рис. 3)

Рисунок 3 - Первая гармоника ряда Фурье

Задание 5

В торгово-розничную сеть поступило 3 вида взаимозаменяемой продукции разных производителей: А1, А2, А3. Предположим, что покупатели приобретают продукцию только одного из них. Пусть в среднем они стремятся поменять ее не более одного раза в год, и вероятности таких изменений постоянны.

Результаты маркетинговых исследований покупательского спроса на продукцию дали следующее процентное соотношение:

Х1 % покупателей продукции А1 переходит на продукцию А2,

Х2 % покупателей продукции А2 - на продукцию А3,

Х3 % покупателей продукции А3 - на продукцию А1,

Где Х1 = (196 - 90)/3

Х2 = (315-196)/5

Х3 = (196 - 90)/4

Требуется:

Построить граф состояний

Составить матрицу переходных вероятностей для средних годовых изменений

Предположить, что общее число покупателей постоянно, и определить, какая доля из их числа будет покупать продукцию А1, А2 и А3 через 2 года

Определить, какая продукция будет пользоваться наибольшим спросом

Решение:

Найдем значения Х1, Х2 и Х3.

Х1 = (196 - 90)/3 = 35,33

Х2 = (315-196)/5 = 24

Х3 = (196 - 90)/4 = 26,5

Построим граф состояний (рис. 4):

Рисунок 4 - Граф состояний системы

Составим матрицу переходных вероятностей:

||Pij|| = =

Зададим вектор начальных вероятностей

Р(0) =

Т.е. Р1 (0) = 1

Р2 (0) = 1

Р3(0) = 1

Определим вероятности состояния Рi (k) после первого шага (после первого года):

Р1(1) = Р1(0)Р11 + Р2(0)Р21 + Р3(0)Р31 = 1*0,647 + 1*0 + 1*0,265 = 0,912

Р2(1) = Р1(0)Р12 + Р2(0)Р22 + Р3(0)Р32 = 1*0,353 + 1*0,76 + 1*0 = 1,113

Р3(1) = Р1(0)Р13 + Р2(0)Р23 + Р3(0)Р33 = 1*0+ 1*0,24 + 1*0,735 = 0,975

Определим вероятности состояний после второго шага (после второго года):

Р1(2) = Р1(1)Р11 + Р2(1)Р21 + Р3(1)Р31 = 0,912*0,647 + 1,113*0 + 0,975*0,265 = 0,848

Р2(2) = Р1(1)Р12 + Р2(1)Р22 + Р3(1)Р32 = 0,912*0,353 + 1,113*0,76 + 0,975*0 = 1,167

Р3(1) = Р1(1)Р13 + Р2(1)Р23 + Р3(1)Р33 = 0,647*0+ 1,113*0,24 + 0,975*0,735 = 0,983

Вывод: через два года 84,8% покупателей будут приобретать продукцию А1, около 98,3 % покупателей - А3, число покупателей продукции А2 увеличится в 1,67 раза.

Продукция А2 будет пользоваться наибольшим спросом.

Список литературы

1. Бахтин А.Е. Математическое моделирование в экономике. Часть 1,2. - Новосибирск, 1995

2. Интрилигатор М. Математические методы оптимизации и экономическая теория. - М., Прогресс,1975.

3. Кубонива Р. Математическая экономика на персональном компьютере. - М., Финансы и статистика,1991.

4. Лопатников Л.И. Экономико-математический словарь. - М., Наука,1987.

5. Рональд У. Ларсен. Инженерные расчеты в Excel : Научно-популярное издание. - М.: Издательский дом “Вильямс”, 2002. - 544 с.

6. Справочник по математике для экономистов. - М., Высшая школа,1987.

7. Эконометрика: Методические указания и задания контрольной работы/ Сост. канд.. тех.наук, доцент А.А. Алетдинова. - Новосибирск: СибУПК, 2003.