Теория игр

Размещено на http://www.allbest.ru/

СОДЕРЖАНИЕ

• ВВЕДЕНИЕ
• ГЛАВА 1. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ ИГР
• 1.1 Предмет и задачи теории игр
• 1.2 Терминология и классификация игр
• ГЛАВА 2. РАЗЛИЧНЫЕ ВИДЫ ИГР И СПОСОБЫ ИХ РЕШЕНИЯ
• 2.1 Решение матричных игр в чистых стратегиях
• 2.2 Решение матричных игр в смешанных стратегиях
• 2.3 Решение игр графическим методом
• 2.4 Сведение матричной игры к задаче линейного программирования
• 2.5 Игры с природой
• ГЛАВА 3. ПРАКТИЧЕСКОЕ ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ИГР В ЗАДАЧАХ ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ
• 3.1 Практическое решение матричных игр в смешанных стратегиях с доминированием
• 3.2 Практическое решение игры с природой по различным критериям
• ЗАКЛЮЧЕНИЕ
• СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ
• ВВЕДЕНИЕ
• Теория игр была основана Джоном фон Нейманом и Оскаром Моргенштерном в их первой работе "The Theory of Games and Economic Behavior", изданной в 1944 году. В 1928 году в математических анналах фон Нейманом была опубликована статья "О теории общественных игр", в которой впервые было применено понятие "теория игр". Использование этого понятия объясняется схожестью логики принятия решений в таких играх, как шахматы и покер. Характерным для таких ситуаций является то, что результат для принимающего решение зависит не только от его решения, но и от того, какое решение примут другие. Поэтому оптимальный исход не может быть получен в результате принятия решения одним лицом.
• Другим предшественником теории игр по праву считается французский математик Э. Борель (1871-1956). Некоторые фундаментальные идеи были независимо предложены А. Вальдом (1902-1950), заложившим основы нового подхода к статистической теории принятия решений.
• Первые приложения теория игр нашла в математической статистике. Во время второй мировой войны и сразу после нее теорией игр серьезно заинтересовались военные, которые увидели в ней аппарат для исследования стратегических решений. Ее использовали как плодотворный источник теоретических моделей в экономике и социологии. Методы теории игр используются также в теории операций и в линейном программировании.
• На промышленных предприятиях теория игр может применяться для выбора оптимальных решений, например, при создании рациональных запасов сырья, материалов, полуфабрикатов, когда противоборствуют две тенденции: увеличения запасов, гарантирующих бесперебойную работу производства, и сокращения запасов в целях минимизации затрат на их хранение. В сельском хозяйстве теория игр может применяться при решении таких экономических задач, как выбор для посева одной из возможных культур, урожай которых зависит от погоды, если известны цена единицы той или иной культуры и средняя урожайность каждой культуры в зависимости от погоды (например, будет ли лето засушливым, нормальным или дождливым); в этом случае одним из игроков выступает сельскохозяйственное предприятие, стремящееся обеспечить наибольший доход, а другим -- природа.
• На практике часто появляется необходимость согласования действий фирм, объединений, министерств и других участников проектов в случаях, когда их интересы не совпадают. В таких ситуациях теория игр позволяет найти лучшее решение для поведения участников, обязанных согласовывать действия при столкновении интересов.
• Теория игр все шире проникает в практику экономических решений и исследований. Ее можно рассматривать как инструмент, помогающий повысить эффективность плановых и управленческих решений.
• Цель: изучение теоретических аспектов теории игр и возможности их применения в задачах экономико-математического моделирования.
• Объект исследования: Теория игр
• Предмет исследования: Применение теории игр в экономико-математическом моделировании.
• Задачи исследования:
• · изучить теоретический материал
• · исследовать методику решения различных видов игр
• · рассчитать практические задачи экономико-математического моделирования с помощью теории игр
• Для решения поставленных в работе задач использовались как общенаучные, так и специальные методы анализа и синтеза, логического анализа.
• Информационной базой работы послужили разработки ученых в области экономики и математики. При написании работы использовались учебные пособия и учебники по теории игр и математической экономике.

В первой части работы - теоретической, проводится исследование проблемы на основе теоретических источников; определяются основные понятия и категории, связанные с теорией игр.

Во второй - аналитической части, исследованы принципы решения задач теории игр.

В третьей части рассмотрен пример решения задач по теории игр.

В заключении сделаны общие выводы по теме работы.

ГЛАВА 1. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ ИГР

1.1 Предмет и задачи теории игр

В процессе целенаправленной человеческой деятельности возникают ситуации, в которых интересы отдельных лиц (участников, групп, сторон) либо прямо противоположны (антагонистичны), либо, не будучи непримиримыми, все же не совпадают. Такие ситуации называются конфликтными, поскольку принятие решений каждой из сторон связано с преодолением конфликта и затруднено вследствие неопределенности поведения противоположной стороны.

Простейшими и наиболее наглядными примерами таких ситуаций являются спортивные игры, арбитражные споры, военные учения (маневры), борьба между блоками избирателей за своих кандидатов, в международных отношениях - отстаивание интересов своего государства и т.п. Здесь каждый из участников сознательно стремится добиться наилучшего результата за счет другого участника. Подобного рода ситуации встречаются и в различных сферах производственной деятельности.

Все ситуации, когда эффективность действия одного из участников зависит от действий других, можно разбить на два типа: интересы участников совпадают, и они могут договориться о совместных действиях; интересы участников не совпадают.

Для указанных ситуаций характерно, что эффективность решений, принимаемых в ходе конфликта каждой из сторон, существенно зависит от действий другой стороны. При этом ни одна из сторон не может полностью контролировать положение, так как и той и другой стороне решения приходится принимать в условиях неопределенности. Так, при определении объема выпуска продукции на одном предприятии нельзя не учитывать размеров выпуска аналогичной продукции на других предприятиях. В реальных условиях нередко возникают ситуации, в которых антагонизм отсутствует, но существуют противоположные тенденции. Например, для нормального функционирования производства, с одной стороны, необходимо наличие запасов разнообразных ресурсов, но с другой - стремление к чрезвычайному увеличению этих запасов вызывает дополнительные затраты по их содержанию и хранению. В приведенных примерах конфликтные ситуации возникают в результате сознательной деятельности людей. Однако на практике встречаются неопределенности, которые порождаются не сознательным противодействием другой стороны, а недостаточной информированностью об условиях проведения планируемой операции.

Раздел математики, изучающий конфликтные ситуации на основе их математических моделей, называется теорией игр. Таким образом, теория игр - это математическая теория конфликтных ситуаций, разрабатывающая рекомендации по наиболее рациональному образу действий каждого из участников в ходе конфликтной ситуации, т.е. таких действий, которые обеспечивали бы ему наилучший результат. Игровую схему можно придать многим ситуациям в экономике. Здесь выигрышем могут быть эффективность использования дефицитных ресурсов, производственных фондов, величина прибыли, себестоимость и т.д.

Необходимо подчеркнуть, что методы и рекомендации теории игр разрабатываются применительно к таким специфическим конфликтным ситуациям, которые обладают свойством многократной повторяемости. Если конфликтная ситуация реализуется однократно или ограниченное число раз, то рекомендации теории игр теряют смысл.

Задача теории игр - выработка рекомендаций по разумному поведению участников конфликта, т.е. определение оптимальных стратегий поведения игроков.

От реального конфликта игра отличается тем, что ведется по определенным правилам. Эти правила устанавливают последовательность ходов, объем информации каждой стороны о поведении другой и результат игры в зависимости от сложившейся ситуации. Правилами устанавливаются также конец игры, когда некоторая последовательность ходов уже сделана, и больше ходов делать не разрешается.

Теория игр, как и всякая математическая модель, имеет свои ограничения. Одним из них является предположение о полной (“идеальной”) разумности противников. В реальном конфликте зачастую оптимальная стратегия состоит в том, чтобы угадать, в чем противник “глуп” и воспользоваться этой глупостью в свою пользу.

Еще одним недостатком теории игр является то, что каждому из игроков должны быть известны все возможные действия (стратегии) противника, неизвестно лишь то, каким именно из них он воспользуется в данной партии. В реальном конфликте это обычно не так: перечень всех возможных стратегий противника как раз и неизвестен, а наилучшим решением в конфликтной ситуации нередко будет именно выход за пределы известных противнику стратегий, “удивление” его чем-то совершенно новым, непредвиденным.

Теория игр не включает элементов риска, неизбежно сопровождающего разумные решения в реальных конфликтах. Она определяет наиболее осторожное, “перестраховочное” поведение участников конфликта.

Кроме того, в теории игр находятся оптимальные стратегии по одному показателю (критерию). В практических ситуациях часто приходится принимать во внимание не один, а несколько числовых критериев. Стратегия, оптимальная по одному показателю, может быть неоптимальной по другим.

Сознавая эти ограничения и потому, не придерживаясь слепо рекомендаций, даваемых теорий игр, можно все же выработать вполне приемлемую стратегию для многих реальных конфликтных ситуаций.

В настоящее время ведутся научные исследования, направленные на расширение областей применения теории игр.

1.2 Терминология и классификация игр

Игрой называется упрощенная математическая модель конфликтной ситуации, отличающаяся от реального конфликта тем, что ведется по определенным правилам.

Игра - это совокупность правил, определяющих возможные действия (чистые стратегии) участников игры. Суть игры в том, что каждый из участников принимает такие решения в развивающейся конфликтной ситуации, которые, как он полагает, могут обеспечить ему наилучший исход. Исход игры - это значение некоторой функции, называемой функцией выигрыша (платежной функцией), которая может задаваться либо аналитически выражением, либо таблично (матрицей). Величина выигрыша зависит от стратегии, применяемой игроком.

Человечество издавна пользуется такими формализованными моделями конфликтных ситуаций, которые являются играми в буквальном смысле слова. Примерами могут служить шашки, шахматы, карточные игры и т.д. Все эти игры носят характер соревнования, протекающего по известным правилам и заканчивающего "победой" (выигрышем) того или иного игрока.

Такие формально регламентированные, искусственно организованные игры представляют собой наиболее подходящий материал для иллюстрации и усвоения основных понятий теории игр. Терминология, заимствованная из практики таких игр, применяется и при анализе других конфликтных ситуаций: стороны, участвующие в них, условно именуются "игроками", а результат столкновения - "выигрышем" одной из сторон.

Под "правилами игры" подразумевается система условий, регламентирующая возможные варианты действий обеих сторон.

Стратегией игрока называется совокупность правил, однозначно определяющих последовательность действий игрока в каждой конкретной ситуации, складывающейся в процессе игры.

Оптимальной называется стратегия, которая при многократном повторении игры обеспечивает данному игроку максимально возможный средний выигрыш.

Основное предположение, исходя из которого находят оптимальные стратегии, состоит в том, что противник, по меньшей мере, так же разумен, как и сам игрок, и делает все для того, чтобы добиться своей цели.

Количество стратегий у каждого игрока может быть конечным или бесконечным, в зависимости от этого игры подразделяются на конечные и бесконечные.

Всякая игра состоит из отдельных партий.

Партией называется каждый вариант реализации игры определенным образом. В свою очередь, в партии игроки совершают конкретные ходы.

Ходом называется выбор и реализация игроком одного из допустимых вариантов поведения.

Ходы бывают личные и случайные. При личном ходе игрок самостоятельно и осознанно выбирает и реализует ту или иную чистую стратегию. Набор возможных вариантов при каждом личном ходе регламентирован правилами игры и зависит от всей совокупности предшествующих ходов обеих сторон. Например, в шахматах каждый ход является личным. При случайном ходе выбор чистой стратегии производится с использованием какого-либо механизма случайного выбора, например с применением таблицы случайных чисел. Примером могут служить бросание монеты или игральной кости.

Конфликтные ситуации, встречающиеся в практике, порождают различные виды игр. Классифицировать игры можно по разным признакам. Различают, например, игры по количеству игроков. В игре может участвовать любое конечное число игроков.

Если в игре игроки объединяются в две группы, преследующие противоположные цели, то такая игра называется игрой двух лиц (парная игра).

В зависимости от количества стратегий в игре они делятся на конечные или бесконечные. В зависимости от взаимоотношений участников различают игры бескоалиционные (участники не имеют права заключать соглашения), или некооперативные, и коалиционные, или кооперативные. По характеру выигрышей игры делятся на игры с нулевой суммой и ненулевой суммой.

Игрой с нулевой суммой называется игра, в которой общий капитал игроков не меняется, а лишь перераспределяется в ходе игры, поэтому сумма выигрышей равна нулю (проигрыш принимается как отрицательный выигрыш).

В играх с ненулевой суммой сумма выигрышей отлична от нуля. Например, при проведении лотереи часть взноса участников идет организатору лотереи.

По виду функции выигрыша игры делятся на матричные, биматричные, непрерывные, выпуклые, сепарабельные и др.

Матричной игрой (при двух участниках) называется игра, в которой выигрыши первого игрока (проигрыши второго игрока) задаются матрицей.

В биматричных играх выигрыши каждого игрока задаются своей матрицей. Другие типы таких игр различаются видом аналитического выражения платежной функции. По количеству ходов игры делятся на одноходовые (выигрыш распределяется после одного хода каждого игрока) и многоходовые (выигрыш распределяется после нескольких ходов). Многоходовые игры в свою очередь делятся на позиционные, стохастические, дифференциальные и др. В зависимости от объема имеющейся информации различают игры с полной и неполной информацией.

В реальных конфликтных ситуациях каждый из игроков сознательно стремится найти наилучшее для себя поведение, имея общее представление о множестве допустимых для партнера ответных действий, но не ведая о том, какое же конкретное решение будет выбрано им в данный момент. В этом проявляется в равной мере неопределенность ситуации для каждого из партнеров.

Игры, в которых участники стремятся добиться для себя наилучшего результата, сознательно выбирая допустимые правилами игры способы действий, называются стратегическими.

Однако в экономической практике нередко приходится формализовать (моделировать) ситуации, придавая им игровую схему, в которых один из участников безразличен к результату игры. Такие игры называют играми с природой, понимая под термином "природа" всю совокупность внешних обстоятельств, в которых сознательному игроку (его называют иногда статистиком, а соответствующую игру - статистической) приходится принимать решение. Например, выбор агрономической службой сельскохозяйственного предприятия участков для посева той или иной культуры в надежде получить в предстоящем году наилучший урожай; определение объема выпуска сезонной продукции в ожидании наиболее выгодного для ее реализации уровня спроса; формирование пакета ценных бумаг в расчете на высокие дивиденды и т.п. Здесь в качестве второго игрока выступает: в первом примере - в буквальном смысле природа; во втором - уровень спроса; в третьем - размеры ожидаемой прибыли.

В играх с природой степень неопределенности для сознательного игрока (статистика) возрастает. Например, если в стратегических играх каждый из участников постоянно ожидает наихудшего для себя ответного действия партнера, то в статистических играх "природа", будучи индифферентной в отношении выигрыша инстанцией, может предпринимать и такие ответные действия (реализовывать такие состояния), которые ей совершенно невыгодны, а выгодны сознательному игроку (статистику).

ГЛАВА 2. РАЗЛИЧНЫЕ ВИДЫ ИГР И СПОСОБЫ ИХ РЕШЕНИЯ

2.1 Решение матричной игры в чистых стратегиях

В простейшей математической модели конечной конфликтной ситуации имеется два участника и выигрыш одного равен проигрышу другого. Такая модель называется антагонистической игрой двух лиц с нулевой суммой. Игра состоит из двух ходов: игрок А выбирает одну из возможных стратегий А_i, , а игрок В выбирает одну из возможных стратегий В_j, . Каждый выбор производится при полном незнании выбора соперника. В результате выигрыш игроков составит соответственно a_ij и (- a_ij ). Цель игрока А - максимизировать величину a_ij, а игрока В - минимизировать эту величину.

Матрица, составленная из величин a_ij, ,,

является платежной матрицей, или матрицей игры. Каждый элемент платежной матрицы a_ij, ,равен выигрышу А (проигрышу В), если он выбрал стратегию А_i, , а игрок В выбирал стратегию В_j, .

Задача каждого из игроков - найти наилучшую стратегию игры, при этом предполагается, что противники одинаково разумны, и каждый из них делает все, чтобы получить наибольший доход.

Если игрок А выбрал стратегию А_i, , то в худшем случае (например, если его ход известен В) он получит выигрыш . Предвидя такую возможность, игрок А должен выбрать такую стратегию, чтобы максимизировать свой минимальный выигрыш.

.

Величина - гарантированный выигрыш игрока А называется нижней ценой игры. Стратегия A_iопт, обеспечивающая получение выигрыша , называется максиминной.

Если первый игрок будет придерживаться своей максиминной стратегии, то у него есть гарантия, что он в любом случае выиграет не меньше .

Аналогично определяется наилучшая стратегия второго игрока. Игрок В при выборе стратегии В_j, в худшем случае получит проигрыш . Он выбирает стратегию B_jопт, при которой его проигрыш будет минимальным и составит

.

Величина - гарантированный проигрыш игрока В называется верхней ценой игры. Стратегия B_jопт, обеспечивающая получение проигрыша , называется минимаксной.

Если второй игрок будет придерживаться своей минимаксной стратегии, то у него есть гарантия, что он в любом случае проиграет не больше .

Фактический выигрыш игрока А (проигрыш игрока В) при разумных действиях партнеров ограничен верхней и нижней ценой игры. Для матричной игры справедливо неравенство .

Если = =v, т.е.

=,

то выигрыш игрока А (проигрыш игрока В) определяется числом v. Оно называется ценой игры.

Если = =v, то такая игра называется игрой с седловой точкой, элемент матрицы а_{iопт jопт} = v, соответствующий паре оптимальных стратегий (A_iопт, B_jопт), называется седловой точкой матрицы. Этот элемент является ценой игры.

Седловой точке соответствуют оптимальные стратегии игроков. Их совокупность - решение игры, которое обладает свойством: если один из игроков придерживается оптимальной стратегии, то второму отклонение от своей оптимальной стратегии не может быть выгодным.

Если игра имеет седловую точку, то говорят, что она решается в чистых стратегиях.

Наличие седловой точки в игре - это далеко не правило, скорее, исключение. Существует разновидность игр, которые всегда имеют седловую точку, и, значит, решаются в чистых стратегиях. Это так называемые игры с полной информацией.

Игрой с полной информацией называется такая игра, в которой каждый игрок при каждом личном ходе знает всю предысторию ее развития, т.е. результаты всех предыдущих ходов.

Каждая игра с полной информацией имеет седловую точку, следовательно, решается в чистых стратегиях, т.е. имеется пара оптимальных чистых стратегий, дающая устойчивый выигрыш, равный .

Если такая игра состоит только из личных ходов, то при применении каждым игроком своей оптимальной чистой стратегии она должна кончаться выигрышем, равным цене игры. Скажем, шахматная игра, как игра с полной информацией, либо всегда кончается выигрышем белых, либо всегда - выигрышем черных, либо всегда - ничьей.

2.2 Решение матричной игры в смешанных стратегиях

Если платежная матрица не имеет седловой точки, т.е. < и , то поиск решения игры приводит к применению сложной стратегии, состоящей в случайном применении двух и более стратегий с определенными частотами.

Сложная стратегия, состоящая в случайном применении всех стратегий с определенными частотами, является смешанной.

В игре, матрица которой имеет размерность m n, стратегии первого игрока задаются наборами вероятностей (x₁, x₂,..., x_m), с которыми игрок применяет свои чистые стратегии. Эти наборы можно рассмотреть как m-мерные векторы, для координат которых выполняются условия

, x_i 0, .

Аналогично для второго игрока наборы вероятностей определяют n-мерные векторы (y₁, y₂,..., y_n), для координат которых выполняются условия

= 1, y_j 0, .

Выигрыш первого игрока при использовании смешанных стратегий определяют как математическое ожидание выигрыша, т.е. он равен

.

Согласно теории Неймана, каждая конечная игра имеет, по крайней мере, одно решение, возможно, в области смешанных стратегий. Применение оптимальной стратегии позволяет получить выигрыш, равный цене игры: v . Применение первым игроком оптимальной стратегии _опт должно обеспечить ему при любых действиях второго игрока выигрыш не меньше цены игры. Поэтому выполняется соотношение

, .

Аналогично для второго игрока оптимальная стратегия _опт должна обеспечить при любых стратегиях первого игрока проигрыш, не превышающий цену игры, т.е. справедливо соотношение

, .

Если платежная матрица не содержит седловой точки, то задача определения смешанной стратегии тем сложнее, чем больше размерность матрицы. Поэтому матрицы большой размерности целесообразно упростить, уменьшив их размерность путем вычеркивания дублирующих (одинаковых) и не доминирующих стратегий. Дублирующие стратегии - это стратегии, у которых соответствующие элементы платежной матрицы одинаковы.

Если все элементы i-й строки платежной матрицы больше соответствующих элементов k-й строки, то i-я стратегия игрока А будет доминирующей над k-й стратегией. Если все элементы j-го столбца платежной матрицы меньше соответствующих элементов k-го столбца, то j-я стратегия игрока В является доминирующей над k-й стратегией.

2.3 Решение игр графическим методом

Графический метод применим к играм, в которых хотя бы один игрок имеет только две стратегии.

Первый случай. Игра (2 2) с матрицей без седловой точки.

Решением игры являются смешанные стратегии игроков (x₁, x₂) и (y₁, y₂), где x₁ - вероятность применения первым игроком первой стратегии, x₂ - вероятность применения первым игроком второй стратегии, y₁ - вероятность применения вторым игроком первой стратегии, y₂ - вероятность применения вторым игроком второй стратегии. Очевидно, что

x₁ + x₂ = 1, y₁ + y₂ = 1.

Найдем решение игры графическим методом. На оси ОX отложим отрезок, длина которого равна единице. Левый конец (x = 0) соответствует стратегии первого игрока А₁, правый (x = 1) - стратегии А₂. Внутренние точки отрезка будут соответствовать смешанным стратегиям (x₁, x₂) первого игрока, где x₁ =1 - x₂. Через концы отрезка проведем прямые, перпендикулярные оси ОX, на которых будем откладывать выигрыш при соответствующих чистых стратегиях. Если игрок В применяет стратегию В₁, то выигрыш при использовании первым игроком стратегий А₁ и А₂ составит соответственно а₁₁ и а₂₁. Отложим эти точки на прямых и соединим их отрезком В₁В₁. Если игрок А применяет смешанную стратегию, то выигрышу соответствует некоторая точка М, лежащая на этом отрезке. (см. рис.1)



Рис.1. Стратегии игрока А

Аналогично строится отрезок В₂В₂, соответствующий стратегии В₂ игрока В.

Ломаная линия, составленная из частей отрезков, интерпретирующих стратегии игрока В, расположенная ниже всех отрезков, является нижней границей выигрыша, получаемого игроком А.

Стратегии, части которых образуют нижнюю границу выигрыша, будут активными стратегиями.

В игре (2 2) обе стратегии являются активными.

Рис.2. Стратегии игроков А и В

Ломаная В₁NВ₂ является нижней границей выигрыша, получаемого игроком А. (см. рис.2) Точка N, в которой он максимален, определяет цену игры и ее решение. Найдем оптимальную стратегию первого игрока. Запишем систему уравнений

Приравнивая выражения для v из уравнений системы и учитывая, что

x₁ + x₂ = 1, получим

, , (1)

. (2)

Составляя аналогичную систему

и учитывая условие

y₁ + y₂ = 1,

можно найти оптимальную стратегию игрока В:

. (3)

Второй случай. Игра (2 n) с матрицей

.

Для каждой из n стратегий игрока В строится соответствующий ей отрезок на плоскости. Находится нижняя граница выигрыша, получаемого игроком А, и определяется точка на нижней границе, соответствующая наибольшему выигрышу. Выделяются две активные стратегии игрока В, отрезки которых проходят через данную точку. Далее рассматриваются только эти две стратегии игрока В. Игра сводится к игре с матрицей (2 2). Оптимальные стратегии и цену игры находят по формулам (1) - (3).

Третий случай. Рассмотрим игру (m 2) с матрицей

.

Решение игры может быть получено аналогично случаю два. Для каждой из m стратегий игрока А строится соответствующий ей отрезок на плоскости.

Находится верхняя граница проигрыша, получаемого игроком В, и определяется точка на нижней границе, соответствующая наименьшему проигрышу. Выделяются две активные стратегии игрока А, отрезки которых проходят через данную точку.

Далее рассматриваются только эти две стратегии игрока А. Игра сводится к игре с матрицей (2 2). Оптимальные стратегии и цену игры находят по формулам (1) - (3).

2.4 Сведение матричной игры к задаче линейного программирования

Теория игр находится в тесной связи с линейным программированием, так как каждая конечная игра двух лиц с нулевой суммой может быть представлена как задача линейного программирования и решена симплексным методом и, наоборот, каждая задача линейного программирования может быть представлена как конечная игра двух лиц с нулевой суммой. Рассмотрим игру двух лиц с нулевой суммой, заданную платежной матрицей

.

Если платежная матрица не имеет седловой точки, т.е. < и , то решение игры представлено в смешанных стратегиях (x₁, x₂,..., x_m) и (y₁, y₂,..., y_n). Применение первым игроком оптимальной стратегии _опт должно обеспечить ему при любых действиях второго игрока выигрыш не меньше цены игры.

, .

Для задачи отыскания оптимальной стратегии игрока А имеют место ограничения



Величина v неизвестна, однако можно считать, что цена игры v > 0. Последнее условие выполняется всегда, если все элементы платежной матрицы неотрицательны, а этого можно достигнуть, прибавив ко всем элементам матрицы некоторое положительное число.

Преобразуем систему ограничений, разделив все члены неравенств на v.

(4)

Где

, . (5)

По условию x₁ + x₂ + … +x_m = 1.

Разделим обе части этого равенства на v.

.

Оптимальная стратегия (x₁, x₂,..., x_m) игрока А должна максимизировать величину v, следовательно, функция

(6)

должна принимать минимальное значение.

Таким образом, получена задача линейного программирования: найти минимум целевой функции (6) при ограничениях (4), причем на переменные наложено условие неотрицательности (5). Решая ее, находим значения , и величину 1/v, затем отыскиваются значения x_i = vt_i.

Аналогично для второго игрока оптимальная стратегия _опт должна обеспечить при любых стратегиях первого игрока проигрыш, не превышающий цену игры.

, .

Для задачи отыскания оптимальной стратегии игрока B имеют место ограничения

Преобразуем систему ограничений, разделив все члены неравенств на v.

(7) где , . (8)

По условию y₁ + y₂ + … +y_n = 1. Разделим обе части этого равенства на v. .

Оптимальная стратегия (y₁, y₂,..., y_n) игрока В должна минимизировать величину v, следовательно, функция

(9)

должна принимать максимальное значение.

Получена задача линейного программирования: найти максимум целевой функции (9) при ограничениях (7), причем на переменные наложено условие неотрицательности (8).

Таким образом, для нахождения решения игры имеем симметричную пару двойственных задач линейного программирования. Можно найти решение одной из них, а решение второй находится с использованием теории двойственности.

2.5 Игры с природой

В рассмотренных выше матричных играх предполагалось, что в них принимают участие два игрока, интересы которых противоположны. Поэтому действия каждого игрока направлены на увеличение выигрыша (уменьшение проигрыша). Однако в некоторых задачах, приводящихся к игровым, имеется неопределенность, вызванная отсутствием информации об условиях, в которых осуществляется действие (погода, покупательский спрос и т.д.). Эти условия зависят не от сознательных действий другого игрока, а от объективной действительности. Такие игры называются играми с природой. Человек в играх с природой старается действовать осмотрительно, второй игрок (природа, покупательский спрос) действует случайно.

Условия игры задаются матрицей

.

Пусть игрок А имеет стратегии А₁, А₂, …, А_m, а природа - состояния В₁, В₂, …, В_n. Наиболее простой является ситуация, когда известна вероятность p_j каждого состояния природы В_j. При этом, если учтены все возможные состояния, p₁ + p₂ + … + p_j + … + p_n = 1.

Если игрок А выбирает чистую стратегию А_i, то математическое ожидание выигрыша составит p₁ a_i1 + p₂ a_i2 + … + p_n a_in. Наиболее выгодной будет та стратегия, при которой достигается

(p₁Размещено на http://www.allbest.ru/

a_i1 + p₂ a_i2 + … + p_n a_in).

Если информация о состояниях с природой мала, то можно применить принцип недостаточного основания Лапласа, согласно которому можно считать, что все состояния природы равновероятностны:

,

т.е. стратегию, для которой среднее арифметическое элементов соответствующей строки максимальное.

Имеется ряд критериев, которые используются при выборе оптимальной стратегии.

1. Критерий Вальда. Рекомендуется применять максиминную стратегию. Она выбирается из условия

и совпадает с нижней ценой игры. Критерий является пессимистическим, считается, что природа будет действовать наихудшим для человека способом.

2. Критерий максимума. Он выбирается из условия

.

Критерий является оптимистическим, считается, что природа будет наиболее благоприятна для человека.

3. Критерий Гурвица. Критерий рекомендует стратегию, определяемую по формуле:

,

где - степень оптимизма и изменяется в диапазоне [0, 1].

Критерий придерживается некоторой промежуточной позиции, учитывающей возможность как наихудшего, так и наилучшего поведения природы. При = 1 критерий превращается в критерий Вальда, при = 0 - в критерий максимума. На оказывает влияние степень ответственности лица, принимающего решение по выбору стратегии. Чем больше последствия ошибочных решений, больше желания застраховаться, тем ближе к единице.

4. Критерий Сэвиджа. Суть критерия состоит в выборе такой стратегии, чтобы не допустить чрезмерно высоких потерь, к которым она может привести. Находится матрица рисков, элементы которой показывают, какой убыток понесет человек (фирма), если для каждого состояния природы он не выберет наилучшей стратегии.

.

Элементы матрицы рисков находятся по формуле

,

где - максимальный элемент в столбце исходной матрицы.

Оптимальная стратегия определяется выражением .

При принятии решений в условиях неопределенности следует оценивать различные варианты с точки зрения нескольких критериев. Если рекомендации совпадают, можно с большей уверенностью выбрать наилучшее решение; если рекомендации противоречат друг другу, окончательное решение надо принимать с учетом его сильных и слабых сторон.

ГЛАВА 3. ПРАКТИЧЕСКОЕ ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ИГР В ЗАДАЧАХ ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ

3.1 Практическое решение матричной игры в смешанных стратегиях с доминированием

Два конкурирующих предприятия, выпускающих стиральные машины,

имеют следующие доли общего сбыта своей продукции на местном рынке: 53% предприятие 1 и 47% - предприятие 2.

Оба предприятия пытаются увеличить объем своих продаж. Для этого у них имеются следующие альтернативы:

· a₁ (b₁) - расширить сеть сбыта,

· a₂ (b₂) - увеличить затраты на рекламу своей продукции,

· a₃ (b3) - расширить ассортимент (число моделей стиральных машин),

· a₄ (b₄) - ничего не предпринимать.

Анализ показал, что при осуществлении обоими предприятиями указанных мероприятий доля (в %) предприятия на рынке стиральных машин изменится следующим образом:

Требуется сформулировать данную ситуацию в виде игры и определить оптимальные смешанные стратегии обоих предприятий. Можно заметить, что для обоих предприятий есть доминирующие стратегии. Значит можно исключить некоторые стратегии. Так, для предприятия А можно исключить стратегию а_4, для предприятия В - это стратегия b_4.

Известно, что для решения игр смешанных стратегий используются вероятности принятии каждой стратегии игроками. Так как эти вероятности не известны, в Excel можно сформулировать целевые функции, ограничения и с помощью поиска решений найти недостающие данные.

Так, целевые функции будут:

и для I и II соответственно.

А ограничения составят:

Цена игры в таком случае будет . А вероятности применения стратегий составят:

Так как в матрице присутствуют элементы, которые меньше 0, прибавим некоторое число, чтобы получились неотрицательные элементы матрицы. Пусть это будет 6.

В результате получим,



Таким образом, цена игры составила -2,2. Предприятие 1 при многократном повторении игры должно использовать с вероятностью 0,4 стратегию а₁ (расширять сеть сбыта), с вероятностью 0,6 - стратегию a₂ - (расширение рекламной деятельности), а стратегии a₃ (увеличить ассортимент) и a₄ (ничего не предпринимать) не использовать вовсе. При этом доля сбыта предприятия на рынке уменьшится на 2,2%.

В свою очередь, оптимальная смешанная стратегия предприятия 2 заключается в том, чтобы с вероятностью 0,4 использовать стратегию b₁ (расширить сеть сбыта), и с вероятностью 0,6 - стратегию b₃ - (расширение ассортимента). Стратегии b₂ (расширение рекламной деятельности) и b₄ (ничего не предпринимать) не должны применяться. При этом доля сбыта предприятия 2 на рынке увеличится на 2,2%.

Казалось бы, поскольку даже в результате проведения своих мероприятий предприятие 1 “теряет рынок”, ему не следует ничего предпринимать, однако в этом случае оно потеряет еще больше (в соответствии со стратегией a₄) из-за действий предприятия 2, которому они выгодны.

3.2 Практическое решение игры с природой по различным критериям

Задача 1. Возможно строительство четырех типов электростанций: А₁ (тепловых), А₂ (приплотинных), А₃ (бесшлюзовых), А₄ (шлюзовых). Состояния природы выражаются через Р₁, Р₂, Р₃, Р₄. Экономическая эффективность строительства отдельных типов электростанций изменяется в зависимости от состояния природы и задана матрицей

.

1) Согласно критерию Вальда:

,

следует строить бесшлюзовую электростанцию.

2) огласно критерию Сэвиджа матрица рисков будет:

.

В результате оптимальная стратегия будет:

.

В соответствии с этим критерием также предлагается строить бесшлюзовую электростанцию.

3) Воспользуемся критерием Гурвица. Положим =1/2.

,

т.е. следует принять решение о строительстве приплотинной электростанции.

4) Если принять известным распределение вероятностей для различных состояний природы, например считать эти состояния равновероятностными (р₁=р₂=р₃=р₄=1/4), то для принятия решения следует найти математические ожидания выигрыша:

,

,

,

.

Так как максимальное значение имеет М₃, то следует строить бесшлюзовую электростанцию.

Задача 2. Предприятие легкой промышленности, занимающееся выпуском женских вечерних платьев и мужских костюмов, реализует свою продукцию через фирменный магазин. Сбыт продукции зависит от состояния погоды. По данным прошлых наблюдений предприятие в течение апреля -- мая в условиях теплой погоды может реализовать 600 костюмов и 1975 платьев, а при прохладной погоде -- 1000 костюмов и 625 платьев. Известно, что затраты на единицу продукции в течение указанных месяцев составили для костюмов 27 у.е., для платьев 8 у.е., а цена реализации равна соответственно 48 у.е. и 16 у.е.

Задача заключается в максимизации средней величины прибыли от реализации выпущенной продукции с учетом неопределенности погоды в рассматриваемые месяцы. Таким образом, служба маркетинга предприятия должна в этих условиях определить оптимальную стратегию предприятия, обеспечивающую при любой погоде определенный средний доход.

Предприятие располагает в этих условиях двумя чистыми стратегиями: стратегия А -- в расчете на теплую погоду и стратегия Б -- в расчете на холодную погоду. Природа рассматривается как второй игрок также с двумя стратегиями: прохладная погода (стратегия В) и теплая погода (стратегия Г). Если предприятие выберет стратегию А, то в случае прохладной погоды (стратегия природы В) доход составит

600*(48 - 27) + 625*(16 - 8) - (1975 - 625)*8 = 6 800 у.е.,

а в случае теплой погоды (стратегия природы Г) доход будет равен

600*(48 - 27) + 1 975*(16 - 8) = 28 400 у.е.

Если предприятие выберет стратегию Б, то реализация продукции в условиях прохладной погоды даст доход

1 000*(48 - 27) + 625*(16 - 8) = 26 000 у.е.,

а в условиях теплой погоды

600*(48 - 27) + 625*(16 - 8) - (1 000 - 600)*27 = 6 800 у.е.

Следовательно, матрица данной игры (платежная матрица) имеет вид:

Первая и вторая строки этой матрицы соответствуют стратегиям А и Б предприятия, а первый и второй столбцы -- стратегиям В и Г природы.

По платежной матрице видно, что первый игрок (предприятие) никогда не получит доход меньше 6800 у.е. Но если погодные условия совпадают с выбранной стратегией, то выручка (выигрыш) составит 26 000 или 28 400 у.е. Отсюда можно сделать вывод, что в условиях неопределенности погоды наибольший гарантированный доход предприятие обеспечит, если будет попеременно применять то стратегию А, то стратегию Б. Такая стратегия, как отмечалось выше, называется смешанной. Оптимизация смешанной стратегии позволит первому игроку всегда получать среднее значение выигрыша независимо от стратегии второго игрока.

Пусть х означает частоту применения первым игроком стратегии А, тогда частота применения им стратегии Б равна (1 - х). В случае оптимальной смешанной стратегии первый игрок (предприятие) получит и при стратегии В (холодная погода), и при стратегии Г (теплая погода) второго игрока одинаковый средний доход:

6800* + 26 000*(1 - х) = 28 400* + 6800*(1 - х).

Отсюда можно найти, что х = 8/17; 1 - х = 9/17. Следовательно, первый игрок, применяя чистые стратегии А и Б в соотношении 8:9, будет иметь оптимальную смешанную стратегию, обеспечивающую ему в любом случае средний доход в сумме 6800 - (8/17) + 26000 - (9/17 * 16965) у.е. - эта величина и будет в данном случае ценой игры.

Легко рассчитать, какое количество костюмов и платьев должно выпускать предприятие при оптимальной стратегии:

(600 костюмов + 1975 платьев) - 8/17 + (1000 костюмов +625 платьев)* *9/17 = 812 костюмов + 1260 платьев. Следовательно, оптимальная стратегия предприятия заключается в выпуске 812 костюмов и 1260 платьев, что обеспечит ему при любой погоде средний доход в сумме 16 965 у.е.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В условиях альтернативы (выбора) очень часто нелегко принять решение и выбрать ту или иную стратегию. Исследование операций позволяет с помощью использования соответствующих математических методов принять обоснованное решение о целесообразности той или иной стратегии.

На практике были решены задачи выбора оптимальной стратегии поведения на рынке и последствия принятия той или иной стратегии. Также рассмотрен пример выбора типа электростанций.

Так, рассмотренные задачи теории игр позволяют решить актуальные задачи:

§ как сделать так, чтобы природа работала на тебя, а не ты на неё;

§ как получить набольшую выгоду или учет твоих интересов конкурентом, или поставщиком;

§ какой товар лучше производить и т.д.

Таким образом, теория игр, имеющая в запасе арсенал методов решения матричных игр, позволяет эффективно решать указанные задачи несколькими методами и из их множества выбрать наиболее эффективные, а также упрощать исходные матрицы игр.

экономический математический матричный игра

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

1. Берзин, Е. А. Оптимальное распределение ресурсов и теория игр / Под ред. Е. В. Золотова. - М. : Радио и связь, 1983. - 215 с.

2. Блекуэлл, Д. Теория игр и статистических решений / Пер. с англ. И. В. Соловьева. Под ред. Б. А. Севастьянова. С предисл. А. А. Ляпунова. - М. : Изд. иностр. лит., 1958. - 374 с Васин А.А., Морозов В.В. Введение в теорию игр с приложениями к экономике. - М., 2005. - 271 с.

3. Воробьев, Н. Н. Теория игр / Н. Н. Воробьев, д-р физ.-мат. наук. - М. : Знание, 1976. - 64 с.

4. Вильямс, Дж. Д. Совершенный стратег, или Букварь по теории стратегических игр / Дж. Д. Вильямс. - Изд. 2-е. - Москва : URSS : Либроком, 2009. - 268, [1] с.

5. Гамецкий, А. Ф. Теория игр, исследование операций : (Учеб. пособие) / Гамецкий А. Ф., Слободенюк В. А., Спиридонова В. - Кишинев : КГУ, 1987. - 84, [1] с.

6. Горелов, М. А. Информационные аспекты принятия решений в условиях конфликта. - М. : ВЦ РАН, 1994. - 42 с.

7. Громенко, В. М. Теория игр и ее приложение к управлению : Учеб. пособие для студентов спец. «Экон. кибернетика» - М. : МИУ, 1979. - 75 с.

8. Дежурко, Л. Ф. Элементы теории игр. Стратегические игры : Метод. рекомендации : Для студентов экон. спец. / Белорус. гос. экон. ун-т. - Мн. : БГЭУ, 1995. - 43 с.

9. Dutta, P. K. Strategies and games : Theory and practice / Prajit K.Dutta. - Cambridge (Massachusetts); London : The MIT Press, 1999. - 385 р.

10. Жуковский, В. И. Кооперативные игры при неопределенности и их приложения / В.И.Жуковский. - М. : Эдиториал УРСС, 1999. - 334 с.

11. Кузнецова А.В. Экономико-математические методы и модели. - Мн: БГЭУ, 2000. с. 57-96.

12. Лагунов, В. Н. Игры преследования и введение в теорию игр / Твер. гос. ун-т. - Тверь : ТГУ, 1993. - 146 с.

13. Нейман Дж., Моргенштерн О. Теория игр и экономическое поведение.- М., Наука, 1970 - 707 с.

14. Новыш, Б. В. Математические основы теории принятия решений: практикум / Б. В. Новыш, О. Б. Плющ, В. К. Шешолко. - Минск: Академия управления при Президенте Республики Беларусь, 2007. - 123 с.

15. Стрекаловский, А. С. Биматричные игры и билинейное программирование / А. С. Стрекаловский, А. В. Орлов. - Москва : Физматлит, 2007. - 223 с.

Размещено на Allbest.ru