Метод Форда

Размещено на http://www.allbest.ru/

Введение

В данной курсовой работе мы рассмотрим метод Форда и определим кратчайший маршрут решения задачи. Алгоритм Форда, необходим для решения сетевой транспортной задачи. Большое внимание уделим достижению конечного результата, который производится в 4 этапа. Излагаемые этапы иллюстрируются схемами и графиками. Выбранная мною эта тема, достаточно актуальная в наши дни. Этот метод интересен инженерам, экономистам и научным работникам, интересующихся применением математики к обоснованию оптимальных решений.

1. Постановка сетевой транспортной задачи

На практике часто встречается задача определения кратчайшего маршрута по заданной сети из начального пункта до конечного пункта маршрута. Транспортная сеть может быть представлена в виде графа (рис.1), дуги которого - транспортные магистрали, а узлы - пункты отправления и назначения. Графически транспортная сеть изображается в виде совокупности n пунктов P1,P2,...,Pn, причем некоторые упорядоченные пары (Pi,Pj) пунктов назначения соединены дугами заданной длинны (Pi,Pj)=lij. Некоторые или все дуги могут быть ориентированы, т.е. по ним возможно движение только в одном направлении, указанном стрелками.

На рис.1 построена ориентированная транспортная сеть, содержащая шесть пунктов P1,P2,...,P6, которые связаны между собой восьмью транспортными путями.

Необходимо определить кратчайший маршрут из пункта P1 в P6. Определение кратчайшего маршрута состоит в указании последовательности прохождения маршрута через промежуточные пункты и суммарной длинны маршрута.

Например, маршрут из пункта P1 в пункт P6: P1P2P4P6; L=l12+l24+l46=10.

Постановка задачи приобретает смысл в том случае, если имеется несколько вариантов маршрута из начального пункта в конечный. В этом случае физический смысл функции цели задачи состоит в минимизации общей длины маршрута, т.е. в определении кратчайшего пути из P1 в Pn.

2. Описание метода и алгоритма решения

Метод Форда бал разработан специально для решения сетевых транспортных задач и основан, по существу, на принципе оптимальности.

Алгоритм метода Форда содержит четыре этапа (схема 1). На первом этапе производится заполнение исходной таблицы расстояний от любого i-го пункта в любой другой j-й пункт назначения. На втором этапе определяются для каждого пункта некоторые параметры i и j по соответствующим формулам. Далее на третьем этапе определяются кратчайшие расстояния. Наконец, на четвертом этапе определяются кратчайшие маршруты из пункта отправления Р1 в любой другой пункт назначения Рj, j=1,2,...,n.

Рассмотрим подробнее каждый из этих четырех этапов.

2.1 Первый этап: Составление исходной таблицы расстояний

Данная таблица содержит n+1 строк и такое же количество столбцов; Pi - пункты отправления; Pj - пункты назначения. Во второй строке и втором столбце проставляется значения параметров i иj, определение значений которых производятся на втором этапе решения задачи. В остальных клетках таблицы проставляются значения расстояний lij из i-го пункта в j-й пункт. Причем заполняем клетки таблицы, лежащие выше главной диагонали. Если пункт Pi не соединен отрезком пути с пунктом Pj, то соответствующая клетка таблицы не заполняется.

2.2 Второй этап: Определение i и j

Определяется значение параметров в соответствии с формулой:

j=min(i+lij); i=1,2,...,n; j=1,2,...,n, (1)

где 1=0.

Эти значения заполняются во второй строке и во втором столбце.

2.3 Третий этап: Определение длины кратчайших путей

Возможны два случая определения длинны кратчайших путей из пунктов Pi в пункты Pj, i=1,2,...,n; j=1,2,...,n.

В первом случае, если выполняются неравенство:

j - i lij; lij0; j=1,2,...,n; j=1,2,...,n, (2)

то значения параметров 1,...,n удовлетворяют условиям оптимальности. Каждое значение j есть не что иное, как кратчайшее расстояние от пункта Pi до пункта Pj, j=2,3,...,n.

Во втором случае, если для некоторых клеток (i,j) таблицы имеет место неравенство:

j - i > lij; i=1,...,n; j=1,...,n, (3)

то значения j и i могут быть уменьшены.

Если справедливо (3), тогда исправим значение j0, пересчитав его по формуле:

j0=i0+li0j0. (4)

2.4 Четвертый этап: Нахождение кратчайшего пути

Определения последовательности пунктов кратчайшего маршрута. С этой целью для каждого столбца определяют величину:

lr1,j = j - r1, (5)

где lr1,j берется из таблицы, причем r1 выбирается так, чтобы выполнилось равенство (5). Таким образом определим r1. Далее продолжим ту же операцию, но будем считать, последней не Pn, а Pr1. Будем продолжать до тех пор, пока rn=1.

Таким образом, кратчайший маршрут проходит через Pr1,Pr2,...,Prn, а длинна маршрута Lmin=lr2,r1+lr3,r2+...+lrn-1,rn.

Рис. 1

3. Описание программы

Программа “FORD” написана на языке высокого уровня - Pascal, в интегрированной среде разработки “Turbo Pascal 7.0” фирмы Borland Inc.

Программа предназначена для нахождения кратчайшего пути в сетевом графе по методу Форда. Программа легка в использовании, что достигается за счет использования дружественного интерфейса и иерархического меню. Вначале программы производится ввод данных, затем нахождение кратчайшего маршрута и вычисление его длинны, далее выводится результат. Вывод результатов возможен как в файл, так и на экран.

В программе предусмотрена возможность повторного решения задачи с другими исходными данными.

4. Описание подпрограмм и процедур

4.1 Подпрограммы и функции

4.2 Таблица идентификаторов

5. Примеры решения контрольных задач

Исходная таблица расстояний для одного из вариантов ранжированного графа:

транспортный задача программа ford

После обработки таблицы с заданными исходными данными, программа выдает следующие результаты: кратчайший маршрут: 1-2-4-6, длина кратчайшего маршрута: 10

Исходная таблица расстояний для одного из вариантов не ранжированного графа:

После обработки таблицы с заданными исходными данными, программа выдает следующие результаты:

- кратчайший маршрут: 1-5-4-2-6

- длинна кратчайшего маршрута: 8

Программа работоспособна при любых других вариантах исходных данных.

Заключение

Анализ алгоритма операций, необходимых при решении сетевой транспортной задачи методом Форда в заданной постановке подтверждает:

Достижение конечного результата производится в четыре этапа.

Каждый этап описывается простыми математическими операциями и может быть записан на одном из языков программирования.

Составлена программа на алгоритмическом языке высокого уровня “Pascal”, позволяющая решать задачу в диалоговом режиме, удобном для пользователя не программиста.

Алгоритм решения транспортной задачи методом Форда является универсальным, что позволяет производить расчёты как с ранжированными, так и с не ранжированными графами. Возможность реализаций для удобства работы пользователя в программе сервисной части.

Возможность неоднократного решения задачи методом Форда при различных исходных данных.

Список используемой литературы

1. Вентцель Е.С. «Исследование операций» М.: Сов. Радио 1972 г.

2. Захаров В.Н. «Алгоритмические методы решения задач оптимального планирования и управления» ВАД. 1986 г.

3. Зубов В.С. «Программирование на языке Turbo Pascal» М.: Филин 1997 г.

Размещено на Allbest.ru