Размещено на http://www.allbest.ru/

6

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

ПСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Контрольная работа

"Методы принятия управленческих решений"

Студентка: Соколова Е.В.

Преподаватель: Дятлов Ю.Н.

• Псков 2013
• Задание 1
• симплексный программирование производство транспортный

Для производства трех видов продукции (А, В и С) предприятие использует два вида сырья, удельный расход которого представлен в таблице 1.

Таблица 1. Расход сырья и прибыль от реализации 1 т продукции

Составить математическую модель задачи. С использованием симплексного метода решения задач линейного программирования рассчитать такой суточный объем производства каждого вида продукции, при котором прибыль от его реализации будет максимальной.

Решение.

Экономико-математическая модель задачи имеет следующий вид:

Переменные:

х₁ - объем реализации продукции А, ед.

х₂ - объем реализации продукции В, ед.

х₃ - объем реализации продукции С, ед.

Целевая функция:

Максимум прибыли от реализации продукции, тыс. д.е.

f(х) = 26х₁+34х₂+16х₃mах

Ограничения:

По использованию сырья 1 вида, т/сут.

16х₁+36х₂+34х₃12600

По использованию сырья 1 вида, т/сут.

34х₁+16х₂+26х₃15400

Условие не отрицательности переменных х₁0, х₂0, х₃0.

Алгоритм симплексного метода включает следующие этапы:

1.Составление первого опорного плана

Система ограничений задачи, решаемой симплексным методом задана в виде неравенств смысла " " , правые части которых в_i0. Перейдем от системы неравенств к системе уравнений путем введения неотрицательных дополнительных переменных х₄; х₅. Они образуют базис, называются базисными переменными и определяют объемы неиспользованных ресурсов:

Матрица коэффициентов А=(а_ij) этой системы уравнений имеет вид:

Решим систему уравнений относительно базисных переменных:

Функцию цели запишем в виде уравнения f(х) = 0 - (-26х₁ - 34х₂ - 16х₃). Полагая что основные переменные х₁=0 х₂=0 х₃=0, получим первый опорный план, х₄=в₁; х₅=в₂ f(x) =0; который заносим в симплексную таблицу 2. Она состоит из коэффициентов системы ограничений и свободных членов. Последняя строка таблицы называется индексной и заполняется коэффициентами функции цели, взятыми с противоположным знаком:

Таблица 2. Первый план симплексной таблицы

2. Проверка плана на оптимальность

Если все коэффициенты индексной строки симплексной таблицы при решении задачи на максимум неотрицательны (0), то план является оптимальным.

Если найдется хотя бы один коэффициент индексной строки меньше нуля, то план неоптимальный и его можно улучшить.

Первый опорный план, представленный в первой симплексной таблице неоптимальный, т.к. в индексной строке находятся отрицательные коэффициенты: -26; -34; -16.

Полагая что основные переменные х₁=0; х₂=0; х₃=0, а дополнительные переменные х₄=12600; х₅=15400; f(x)=0. Следовательно, продукция не продается, а сырье не используется, доход равен нулю. В этом случае переходим к следующему этапу алгоритма.

3. Определение ведущих столбца и строки

Из отрицательных коэффициентов индексной строки выбираем наибольший по абсолютной величине, что и определяет ведущий столбец, который показывает, какая переменная на следующей итерации перейдет из свободных в базисные.

Затем элементы столбца свободных членов симплексной таблицы делим на положительные элементы ведущего столбца. Результаты заносим в отдельный столбец(_i). При этом всегда _i 0. В других случаях ставится прочерк. Строка симплексной таблицы соответствующая минимальному значению_i, является ведущей. Она определяет переменную х_i, которая на следующей итерации выйдет из базиса и станет свободной.

Элемент симплексной таблицы, находящийся на пересечении ведущих столбцов, называют разрешающим и выделяют кружком.

За ведущий столбец выберем столбец, соответствующий переменной х_1, т.к. сравнивания по модулю [-34] >[-26]; [-16].

Вычислим значения _iпо строкам и выберем наименование 12600/36 = 350 (min); 15400/16=962,5; следовательно, строка х₄ является ведущей.

Разрешающий элемент равен 36 и находится на пересечении ведущего столбца и ведущей строки.

4. Построение нового плана.

Переход к новому плану осуществляется в результате пересчета симплексной таблицы методом Жордана-Гаусса. Сначала заменим переменные в базисе, т.е. вместо (х_i) (х₄) в базис войдет переменная (х_j) (х₂) соответствующая ведущему столбцу. Разделим все элементы ведущей строки предыдущей симплексной таблицы на разрешающий элемент и результаты деления занесем в начальную строку следующей симплексной таблицы. Все остальные других строк определяются по формуле: Новый элемент = соответствует коэффициент предыдущего плана - (коэффициент ведущего столбца предыдущей таблицы * коэффициент начальной строки нового плана). Выполняя последовательно все этапы алгоритма, составляем второй план (таблица 3).

Таблица 3. Второй план симплексной таблицы

Анализ второго плана:

План не оптимальный т.к. в индексной строке имеется отрицательный коэффициент (-10,904). Максимальный доход в размере 12600 тыс.д.е. торговое предприятие получит от продажи продукции В в количестве 350 ед. (х₂). На третьей итерации получаем план 3 (таблица 4), который является оптимальным т.к. все коэффициенты в индексной строке 0.

Таблица 4. Третий план симплексной таблицы

Анализ третьего плана:

Необходимо продавать продукцию А в количестве 364 ед., а продукцию В в количестве 188 ед. При этом торговое предприятие получает максимальный доход в размере 15856 тыс.д.е. Продукции группы С не реализуются. Ответ: х₁=364 ед., х₂=188 ед., х₃=0 ед., f(x)=15856 тыс. д.е.

Задание 2

Груз должен быть полностью перевезен из трех складов четырем фирмам-потребителям. В транспортной матрице (таблица 3.2) указаны запасы груза на складах (в тоннах), потребности фирм (в тоннах) и стоимость перевозки 1 тонны груза от каждого склада соответствующей фирме (руб.).

Таблица 5. Исходные параметры транспортной задачи

Определить опорный план перевозок с помощью метода северо-западного угла или минимального элемента. Рассчитать оптимальный план перевозок, имеющий минимальную стоимость с использованием метода потенциалов.

Таблица 6. Исходные параметры транспортной задачи

Требуется составить модель транспортной задачи и определить такой план перевозок, при котором весь груз будет доставлен в указанных количествах в каждый магазин с минимальными затратами на перевозку.

Решение.

1. Экономико-математическая модель задачи имеет следующий вид:

Переменные:

X₁₁ - объем груза, перевозимого c I склада в магазин № 1, т;

Х₁₂ - объем груза, перевозимого cо I склада в магазин № 2, т;

Х₁₃ - объем груза, перевозимого c I склада в магазин № 3, т;

Х₁₄ - объем груза, перевозимого c I склада в магазин № 4, т;

Х₂₁ - объем груза, перевозимого cо II склада в магазин № 1, т;

Х₂₂ - объем груза, перевозимого cо II склада в магазин № 2, т;

Х₂₃ - объем груза, перевозимого cо II склада в магазин № 3, т.

Х₂₄ - объем груза, перевозимого cо II склада в магазин № 4, т.

Х₃₁ - объем груза, перевозимого cо III склада в магазин № 1, т;

Х₃₂ - объем груза, перевозимого cо III склада в магазин № 2, т;

Х₃₃ - объем груза, перевозимого cо III склада в магазин № 3, т.

Х₃₄ - объем груза, перевозимого cо III склада в магазин № 4, т.

Ограничения:

1) по возможности I склада, т х₁₁ + х₁₂ + х₁₃+ х₁₄ = 44

2) по возможности II склада, т х₂₁ + х₂₂ + х₂₃ + х₂₄ = 26

3) по возможности II склада, т х₃₁ + х₃₂ + х₃₃ + х₃₄ = 30

4) по потребности магазина № 1, т х₁₁ + х₂₁ +х₃₁ = 34

5) по потребности магазина № 2, т х₁₂ + х₂₂ + х₃₂ = 16

6) по потребности магазина № 3, т х₁₃ + х₂₃ +х₃₃ = 29

7) по потребности магазина № 4, т х₁₄ + х₂₄ +х₃₄ = 21

Целевая функция:

F(x) = 41х₁₁ + 64х₁₂ + 44х₁₃ + 31 х₁₄ +16х₂₁ + 84х₂₂ + 46х₂₃ + 54х₂₄ +74 х₃₁ + 49 х₃₂ + 36 х₃₃ +26 х₃₄>min

2. Проверка задачи на сбалансированность. Баланс соблюдается.

3. Построение первоначального опорного плана транспортной задачи.

Занесем исходные данные в распределительную таблицу.

Этап I. Поиск первого опорного плана.

1. Используя метод наименьшей стоимости, построим первый опорный план транспортной задачи.

Суть метода заключается в том, что из всей таблицы стоимостей выбирают наименьшую, и в клетку, которая ей соответствует, помещают меньшее из чисел a_i, или b_j.

Затем, из рассмотрения исключают либо строку, соответствующую поставщику, запасы которого полностью израсходованы, либо столбец, соответствующий потребителю, потребности которого полностью удовлетворены, либо и строку и столбец, если израсходованы запасы поставщика и удовлетворены потребности потребителя.

Из оставшейся части таблицы стоимостей снова выбирают наименьшую стоимость, и процесс распределения запасов продолжают, пока все запасы не будут распределены, а потребности удовлетворены.

В результате получен первый опорный план, который является допустимым, так как все грузы из баз вывезены, потребность магазинов удовлетворена, а план соответствует системе ограничений транспортной задачи.

2. Подсчитаем число занятых клеток таблицы, их 6, а должно быть m + n - 1 = 6. Следовательно, опорный план является невырожденным.

Значение целевой функции для этого опорного плана равно:

F(x) = 41*8 + 64*16 + 44*20 + 16*26 + 36*9 + 26*21 = 3518

Этап II. Улучшение опорного плана.

Проверим оптимальность опорного плана. Найдем предварительные потенциалы u_i, v_i. по занятым клеткам таблицы, в которых u_i + v_i = c_ij, полагая, что u₁ = 0.

u₁ + v₁ = 41; 0 + v₁ = 41; v₁ = 41

u₂ + v₁ = 16; 41 + u₂ = 16; u₂ = -25

u₁ + v₂ = 64; 0 + v₂ = 64; v₂ = 64

u₁ + v₃ = 44; 0 + v₃ = 44; v₃ = 44

u₃ + v₃ = 36; 44 + u₃ = 36; u₃ = -8

u₃ + v₄ = 26; -8 + v₄ = 26; v₄ = 34



Опорный план не является оптимальным, так как существуют оценки свободных клеток, для которых u_i + v_i > c_ij

(1;4): 0 + 34 > 31; ?₁₄ = 0 + 34 - 31 = 3

(3;2): -8 + 64 > 49; ?₃₂ = -8 + 64 - 49 = 7

max(3,7) = 7

Выбираем максимальную оценку свободной клетки (3;2): 49

Для этого в перспективную клетку (3;2) поставим знак "+", а в остальных вершинах многоугольника чередующиеся знаки "-", "+", "-".

Цикл приведен в таблице (3,2; 3,3; 1,3; 1,2). Из грузов х_ij стоящих в минусовых клетках, выбираем наименьшее, у = min (3, 3) = 9. Прибавляем 9 к объемам грузов, стоящих в плюсовых клетках и вычитаем 9 из Х_ij, стоящих в минусовых клетках. В результате получим новый опорный план.

Проверим оптимальность опорного плана. Найдем предварительные потенциалы u_i, v_i. по занятым клеткам таблицы, в которых u_i + v_i = c_ij, полагая, что u₁ = 0.

u₁ + v₁ = 41; 0 + v₁ = 41; v₁ = 41

u₂ + v₁ = 16; 41 + u₂ = 16; u₂ = -25

u₁ + v₂ = 64; 0 + v₂ = 64; v₂ = 64

u₃ + v₂ = 49; 64 + u₃ = 49; u₃ = -15

u₃ + v₄ = 26; -15 + v₄ = 26; v₄ = 41

u₁ + v₃ = 44; 0 + v₃ = 44; v₃ = 44

Опорный план не является оптимальным, так как существуют оценки свободных клеток, для которых u_i + v_i > c_ij

(1;4): 0 + 41 > 31; ?₁₄ = 0 + 41 - 31 = 10

Выбираем максимальную оценку свободной клетки (1;4): 31

Для этого в перспективную клетку (1;4) поставим знак "+", а в остальных вершинах многоугольника чередующиеся знаки "-", "+", "-".

Цикл приведен в таблице (1,4; 1,2; 3,2; 3,4; ).

Из грузов х_ij стоящих в минусовых клетках, выбираем наименьшее, т.е. у = min (1, 2) = 7. Прибавляем 7 к объемам грузов, стоящих в плюсовых клетках и вычитаем 7 из Х_ij, стоящих в минусовых клетках. В результате получим новый опорный план.



Проверим оптимальность опорного плана. Найдем предварительные потенциалы u_i, v_i. по занятым клеткам таблицы, в которых u_i + v_i = c_ij, полагая, что u₁ = 0.

u₁ + v₁ = 41; 0 + v₁ = 41; v₁ = 41

u₂ + v₁ = 16; 41 + u₂ = 16; u₂ = -25

u₁ + v₃ = 44; 0 + v₃ = 44; v₃ = 44

u₁ + v₄ = 31; 0 + v₄ = 31; v₄ = 31

u₃ + v₄ = 26; 31 + u₃ = 26; u₃ = -5

u₃ + v₂ = 49; -5 + v₂ = 49; v₂ = 54

Опорный план не является оптимальным, так как существуют оценки свободных клеток, для которых u_i + v_i > c_ij

(3;3): -5 + 44 > 36; ?₃₃ = -5 + 44 - 36 = 3

Выбираем максимальную оценку свободной клетки (3;3): 36

Для этого в перспективную клетку (3;3) поставим знак "+", а в остальных вершинах многоугольника чередующиеся знаки "-", "+", "-".



Цикл приведен в таблице (3,3; 3,4; 1,4; 1,3; ).

Из грузов х_ij стоящих в минусовых клетках, выбираем наименьшее, т.е. у = min (3, 4) = 14. Прибавляем 14 к объемам грузов, стоящих в плюсовых клетках и вычитаем 14 из Х_ij, стоящих в минусовых клетках. В результате получим новый опорный план.

Проверим оптимальность опорного плана. Найдем предварительные потенциалы u_i, v_i. по занятым клеткам таблицы, в которых u_i + v_i = c_ij, полагая, что u₁ = 0.

u₁ + v₁ = 41; 0 + v₁ = 41; v₁ = 41

u₂ + v₁ = 16; 41 + u₂ = 16; u₂ = -25

u₁ + v₃ = 44; 0 + v₃ = 44; v₃ = 44

u₃ + v₃ = 36; 44 + u₃ = 36; u₃ = -8

u₃ + v₂ = 49; -8 + v₂ = 49; v₂ = 57

u₁ + v₄ = 31; 0 + v₄ = 31; v₄ = 31

Опорный план является оптимальным, так все оценки свободных клеток удовлетворяют условию u_i + v_i <= c_ij.

Минимальные затраты составят:

F(x) = 41*8 + 44*15 + 31*21 + 16*26 + 49*16 + 36*14 = 3343

Анализ оптимального плана.

Из 1-го склада необходимо груз направить в 1-й магазин (8), в 3-й магазин (15), в 4-й магазин (21)

Из 2-го склада необходимо весь груз направить в 1-й магазин

Из 3-го склада необходимо груз направить в 2-й магазин (16), в 3-й магазин (14)

Ответ: груз с I склада 44 т будет доставлен в количестве 8 т в фирму 1, в количестве 15 т в фирму 3 и в количестве 21 т в фирму 4. Со II склада 26 т будут доставлены в фирму 1 в количестве 26 т. С третьего склада 30 т будут доставлены в фирму 2 в количестве 16 т, в фирму 3 в количестве 14 т. Затраты на перевозку составят 3343 руб.

Задание 3

Необходимо выбрать оптимальный вариант специального передвижного оборудования для технического обеспечения процесса управления производством. На основе информации соответствующих заводов-изготовителей определены локальные критерии функционирования оборудования и веса этих критериев (таблица 7).

Таблица 7 Локальные критерии функционирования оборудования

Решение:

Проведем процедуру нормализацию критериев:

1. Время подготовки

a _1.1=

a _2.1=

a_3.1=

a _4.1=

2. Стоимость

a _1.2=

a_2.2=

a _3.2=

a _4.2=

3. Объем памяти

a₁₃=

a₂₃=

a₃₃=

a₄₃=

4. Масса

a _1.4=

a ₂₄=

a ₃₄=

a ₄₄=

5. Число функций

a₁₅=

a₂₅=

a₃₅=

a₄₅=

Вычислим аддитивный критерий оптимальности:

1 = 0,1*0,51 + 0,2*1,6 + 0,1*0,83 + 0,2*0,14 + 0,4*0,85 = 0,82

2 = 0,1*0 + 0,2*0,44 + 0,1*0,54 + 0,2*0 + 0,4*0,41 = 0,89

3 = 0,1*0,65 + 0,2*0 + 0,1*1 + 0,2*0,33 + 0,4*1 = 0,63

4 = 0,1*0,14 + 0,2*0,13 + 0,1*0,71 + 0,2*0,13 + 0,4*0,32 = 0,27

Ответ: таким образом наибольшее значение аддитивного критерия соответствует второму варианту оборудования, следовательно необходимо принять решение по его приобретению.

Задание 4

Планируется производство легковых автомобилей. Имеются четыре варианта проекта автомобиля R_j (j = 1,..,4). Ожидаемые значения прибыли для различных проектов и состояний спроса на рынке приведены в таблице 8 (млрд. руб.).

Таблица 8. Ожидаемые значения прибыли для различных проектов и состояний спроса на рынке

Проекты автомобиля	Состояние спроса на автомобили
	S1	S2	S3
R1	34	39	31
R2	29	28	26
R3	39	32	28
R4	25	34	44

Определите оптимальную стратегию R_j, используя критерии Лапласа, Вальда, Сэвиджа и Гурвица (). Сделайте выводы.

Решение:

Применим критерий Лапласа. Необходимо учесть, что по условию задачи элементами исходной матрицы являются затраты, то есть потери:



q_i = = 0,33

W₁ = 0,33 (34+39+31)=34,32

W₂ = 0,33 (29+28+26)=27,39

W₃ = 0,33 (39+32+28) =32,67

W₄ = 0,33 (25+34+44)=33,99

Ответ: так как дана матрица потерь, то выбираем стратегию с наименьшим значением затрат 27,39 млрд. руб. Следовательно, наилучшей стратегией развития провозных возможностей является вторая.

Критерий Вальда. Если в исходной матрице каждый элемент V_ij представляет собой потери, то при выборе оптимальной стратегии используют минимаксный критерий Вальда:

В том случае, если элементами матрицы выигрышей, то используется максиминный критерий Вальда:

Выберем оптимальную стратегию с помощью критерия Вальда. В данном случае будет использоваться минимаксный критерий:

max (34; 39; 31 ) =39

max (29; 28; 26) =29

max (39; 32; 28) =39

max (25; 34; 44) =44

W = min (39; 29; 39; 44) =29

Ответ: в соответствии с критерием Вальда наилучшей стратегий будет вторая. Критерий Севиджа. Используется только для матрицы рисков, поэтому если даны матрицы выигрышей или потерь, то их необходимо пересчитать в матрицу рисков.

Для решения данной выше задачи применим критерий Севиджа.

Рассчитаем матрицу рисков:

В соответствии с критерием Севиджа к матрице рисков всегда применяют минимальный критерий (табл. 9).

Таблица 9. Выбор стратегии по минимаксному критерию

Rj	max (rij )	min max (rij )
1	11	4
2	4	-
3	14	-
4	18	-

Ответ: данный критерий указывает на выбор второй, что позволит избежать большого риска.

Критерий Гурвица. Если исходной является матрица выигрышей, то значение данного критерия вычисляется по формуле:



Критерий Гурвица позволяет установить баланс между случаями крайнего пессимизма и оптимизма с помощью коэффициента доверия ?. Значение ? определяется в зависимости от склонности лица принимающего решение к пессимизму или оптимизму. При отсутствии ярко выраженной склонности ? берется равным 0,5.

Применим к условию задачи критерий Гурвица при ? =0,5.

Таблица 10 Выбор оптимальной стратегии по критерию Гурвица

Ответ: в соответствии с данным критерием выбираем в качестве оптимальной вторую стратегию.

Задание 5

Фирма 1 планирует освоить производство одного из четырех однородных товаров (А, В, С, D), которые будет реализовывать на рынке, где возможна продажа конкурентом (фирмой 2) аналогичных товаров. На основе проведенного маркетингового исследования фирме 1 стали известны доли продаж своих товаров при наличии на рынке товаров-конкурентов (табл. 11).

Таблица 11 Платежная матрица игры

Определите чистую цену игры, оптимальные чистые стратегии продвижения товара на рынок фирмами. Укажите долю рынка каждой фирмы в ситуации равновесия.

Решение:

При определении наилучших стратегий игроков следует учитывать, что противники, участвующие в игре, одинаково разумны, и каждый из них делает все для того, чтобы добиться своей цели. Выбирая i-ю стратегию игрока 1, мы должны рассчитывать, что игрок 2 ответит на нее той из своих j-х стратегий, для которой выигрыш игрока 1 будет минимальным. Найдем минимальное число в каждой строке матрицы и, обозначив его б_i, запишем рядом с платежной матрицей (табл. 12) в добавочный столбец.

Таблица 12. Платежная матрица парной игры с добавочным столбцом и добавочной строкой

Игрок 1, зная свои минимальные выигрыши при любой стратегии игрока 2, будет предпочитать такую стратегию, при которой значение б_i является максимальным, то есть



Величина б - это гарантированный выигрыш, который может обеспечить себе игрок 1. Она называется нижней ценой игры (максимином). Стратегия, обеспечивающая получение нижней цены игры, называется максиминной стратегией. Если игрок 1 будет придерживаться своей максиминной (перестраховочной) стратегии, то ему гарантирован выигрыш не меньший величины б при любом поведении игрока 2.

Игрок 2 заинтересован уменьшить свой проигрыш или, что то же самое, выигрыш игрока 1 обратить в минимум. Поэтому для выбора своей наилучшей стратегии он должен найти максимальное значение выигрыша игрока 1 в каждом из столбцов и среди этих значений выбрать наименьшее. Максимальный элемент в каждом столбце обозначим через в_j. Эти элементы будем записывать в дополнительной строке таблицы 2.13.

Наименьшее значение среди в_j обозначим в - это верхняя цена игры (минимакс), которая определяется по формуле

Использование игроком 2 своей минимаксной стратегии позволит ему при любом поведении игрока 1 проиграть не больше величины в.

Для нижней и верхней цены игры всегда справедливо следующее соотношение:

Игры, в которых нижняя цена равна верхней называются играми с седловой точкой.

Общее значение нижней и верхней цены игры в играх с седловой точкой называется чистой ценой игры г, а стратегии, позволяющие достичь этого значения, - оптимальными чистыми стратегиями. Оптимальные стратегии и чистая цена являются решением игры.

Оптимальные стратегии обладают важным свойством. Они определяют в игре "положение равновесия", которое заключается в том, что каждый из игроков не заинтересован в отходе от своей оптимальной стратегии, так как это ему невыгодно. Чистую цену игры г в игре с седловой точкой при условии одинаковой разумности партнеров игрок 1 не может увеличить, а игрок 2 - уменьшить.

Если игра имеет седловую точку, то говорят, что она решается в чистых стратегиях. Вероятность применения чистой стратегии в игре с седловой точкой равна единице.

Следует отметить, что игра может иметь более одной седловой точки.

1. Найдем нижнюю цену игры:

.

Определим верхнюю цену игры:

.

Игра имеет седловую точку, так как б=в=0,64. Чистая цена игры г=0,64.

Оптимальными чистыми стратегиями являются:

первая стратегия для рассматриваемой фирмы 1 (производство и реализация товара А и С);

вторая стратегия для фирмы 2 (продажа товара А).

2. При выборе каждым игроком своей оптимальной чистой стратегии (ситуация равновесия), гарантированная доля продаж товаров, полученная фирмой 1 составит 0,64.

Ответ: оптимальными чистыми стратегиями будут являться - реализация товара А и С для фирмы 1 и продажа товара А для фирмы 2.

Список литературы

1. Бережная, Елена Викторовна. Математические методы моделирования экономических систем : учеб. пособие для вузов / Е. В. Бережная, В. И. Бережной.-- М. : Финансы и статистика, 2006 .- 432 с.

2. Исследование операций в экономике: учеб. пособие для вузов / под ред. Н. Ш. Кремера.-- М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2006.- 407 с.

3. Конюховский, Павел Владимирович. Математические методы исследования операций в экономике: учеб. пособие для вузов.-- СПб.: Питер, 2002.-- 207 с.

4. Математические методы и модели исследования операций: учеб. для вузов / под ред. В. А. Колемаева.-- М. : ЮНИТИ-ДАНА, 2008 .-- 592 с.

5. Стронгин, Роман Григорьевич. Исследование операций. Модели экономического поведения: учебник / Р. Г. Стронгин.-- М.: Интернет-Университет Информационных Технологий: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2007 .-- 207 с.

Размещено на Allbest.ru