- викладка завжди повинна доповнювати сам продукт, перш за все як можна більш наочним чином демонструвати покупцеві його практичне застосування;

- виріб відразу ж має звертати на себе увагу, бути чимось привабливим серед багатьох інших товарів. Форма подачі вироби повинна викликати обов'язково позитивну реакцію споживача. Неприпустимі штучні, фантастичні заклики і мотивації, образливі з точки зору правил хорошого тону;

- викладка повинна підкреслювати унікальні, специфічні властивості товару, його неповторні особливості і переваги в порівнянні з аналогами. Якщо, наприклад, відмітною особливістю вироби вашого підприємства є меншу вагу, то це має бути якось підкреслено при розташуванні товару перед споживачем;

- інформація, що постачає викладене перед споживачем виріб, повинна бути гранично доступна для розуміння споживача. Якщо ж вона занадто багатослівні, можете бути впевнені - більшість покупців не звернуть на неї уваги;

- пропоноване споживачеві виріб повинен бути максимально йому доступно. Споживач повинен мати можливість взяти його в руки або обмацати, уважно розглянути його;

- про форму подачі вироби споживачу найкраще подбати заздалегідь, попрацювати виробнику разом з продавцем над тим, яким чином ваша продукція повинна бути викладена перед покупцями.

Уміння виділитися вимагає і відповідного підходу до розробки упаковки для своїх виробів.

Ще одним варіантом двоступінчастого маркетингу є використання системи торгових марок або купонів. З їх допомогою споживач може отримати певну знижку в разі повторного придбання одного і того ж виробу або яку-небудь премію, подарунок іншого роду. Покупці пред'являють ці купони роздрібним торговцям, а ті - виробникам для відшкодування витрат. Таким чином, у підприємства-виробника є можливість відчувати реакцію споживачів на його вироби, отримувати від торгових посередників інформацію, необхідну для вироблення правильної збутової політики. Межі у вдосконаленні форм і методів просування виробів на ринку не існує. Дбати про це потрібно постійно, тому що те, що було добре і виправдане ще вчора, стає зайвим і непотрібним сьогодні.

1.6 Постановка задачі

Розробка економіко-математичної моделі проводиться на прикладі приватного підприємства "Бардаков".

Потрібно визначити оптимальну виробничу структуру, план використання і поповнення ресурсів, рівень ефективності виробництва на приватному підприємстві.

Для розробки моделі необхідно знати:

- спеціалізацію підприємства та можливості її зміни;

- джерела поповнення ресурсів і ті їх види, обсяги яких визначаються в процесі виконання завдання; враховуються зміни ресурсів; деякі види ресурсів виробляються на підприємстві і споживаються в процесі виробництва;

- джерела задоволення потреб;

- додаткові умови, що впливають на структуру витрат;

- види продукції, за якими встановлюється державне замовлення, обсяги реалізації на ринку, продажу робітникам;

- розміри галузей, які слід обмежити;

Щоб правильно здійснити постановку задачі, а також обгрунтувати вхідну інформацію, необхідно вивчити об'єкт моделювання. Для цього потрібно проаналізувати рівень розвитку виробництва за наступними напрямками:

вартість та структура товарної продукції;

наявність і використання поліпшених і природних угідь;

весь асортимент;

витрати на одиницю продукції, використання залученого праці;

матеріально-грошові витрати;

обсяг реалізації продукції;

рівень інтенсивності виробництва;

собівартість одиниці продукції;

Критерій оптимальності - максимум прибутку. У цьому показнику знаходять відображення рівень організації виробництва, ефективність використання ресурсів, економічні взаємини між приватними підприємствами і державою, покупцями, постачальниками. Виконання та перевиконання плану прибутку створюють сприятливі умови для розширення виробництва, матеріального стимулювання працівників і т.д.

Метою випускної роботи є розробка інформаційної моделі та подальше створення прототипу автоматизованої системи. Для досягнення мети необхідно виконати ряд задач:

* побудувати економіко - математичні моделі, що дозволяють охарактеризувати систему;

* розробити інформаційну модель : необхідно виявити документи, що забезпечують процес товароруху обліку продовольчої продукції. На основі аналізу документів виявити інформаційні об'єкти, встановити зв'язки між ними, побудувати інформаційну модель;

* розробити автоматизований прототип системи: обґрунтувати вибір середовища розробки, визначитися з функціональними можливостями системи та специфікою її взаємодії з користувачем,розробити вихідні документи.

2. Економіко-математичне моделювання процесу

товароруху обліку продовольчої продукції

2.1 Сутність економіко - математичного моделювання

Економіко-математичне моделювання разом з іншими економічними дисциплінами мають спільний об'єкт дослідження - економіку та соціально-економічну систему.

Системою називають комплекс взаємопов'язаних елементів разом із відношенням (зв'язками) між цими елементами та між їхніми атрибутами, які спільно реалізують певні цілі.

Модель - це уявний або реальний об'єкт - оригінал.

Моделювання - створення та дослідження моделі процесів та явищ, що вивчаються з наступним перенесенням результатів цих досліджень з моделі на превісне явище.

Математичні моделі - моделі, створені за допомогою інструментарія математики (рівняння, нерівностей, функцій тощо):

- прості

- складні

Основним методом дослідження систем є метод моделювання, тобто спосіб теоретичних і практичних дій, спрямованих на створення і використання моделей.

Основним методом дослідження систем є метод моделювання, тобто спосіб теоретичних і практичних дій, спрямованих на створення та використання моделей. Метод моделювання ґрунтується на принципі аналогії, тобто можливостях вивчення реального об'єкта не безпосередньо, а шляхом дослідження подібного йому й більш доступного дослідженню об'єкта - його моделі.

До параметричних методів обчислення норм витрат продукції належать методи: питомих витрат, баловий, кореляційний, агрегатний. Метод питомих, витрат є найпростішим, але найменш точним.

Собівартість продукції, особливо нової -- динамічний показник, який істотно залежить від ступеня освоєння виробництва, а останній -- від кількості виготовлених виробів із початку виробництва. З урахуванням цього емпірично встановлено залежність собівартості нових виробів від їхньої кількості, тобто від порядкового номера виробу з початку освоєння.

Наприклад. Освоюється виробництво нової складної машини. Період освоєння -- 2 роки. Собівартість машини на початковому етапі освоєння (першого зразка) -- 320 тис. грн. За перший рік освоєння передбачається виготовити дві машини, за другий -- чотири. Коефіцієнт освоєння, який характеризує темп зниження собівартості продукції. -- 0,8, а показник степеня відповідно -- 0,322 . Необхідно обчислити прогнозну собівартість виробу на кінець другого року освоєння виробництва, тобто собівартість шостої машини.

Вона становитиме за формулою: (Формула) (1):

С6 = 320*6(0,322) = 179,8 тис. грн.

Знання закономірностей зміни собівартості продукції, особливо складних машин, у процесі освоєння виробництва дає змогу обґрунтовано управляти формуванням витрат, прогнозувати їхній рівень на різних етапах освоєння.

Дослідження математичної моделі дає змогу діставати характеристики реального економічного об'єкта чи системи. Тип математичної моделі залежить як від природи системи, так і від задач дослідження. У загальному випадку математична модель системи містить опис множини можливих станів останньої та закон переходу з одного стану до іншого (закон функціонування).

Розглянемо основні типи економіко-математичних моделей (ЕММ), які класифікують за різними критеріями.

За цільовим призначенням ЕММ поділяються на теоретико-аналітичні, застосовувані для дослідження загальних властивостей і закономірностей економічних процесів (наприклад, модель Кейнса), та прикладні, призначені для розв'язування конкретних економічних задач (моделі економічного аналізу, прогнозування, управління тощо).

ЕММ можуть бути призначені для дослідження як різних функціональних складових економіки (виробничо-технологічної, соціальної, територіальної структури), так і його окремих частин. Розглядають моделі всієї економіки в цілому та її підсистем -- секторів, галузей, регіонів, комплексів моделей виробництва, споживання, формування та розподілу прибутків, трудових ресурсів, ціноутворення, фінансових зв'язків тощо.

Згідно із загальною класифікацією математичних моделей вони поділяються на функціональні та структурні, охоплюючи проміжні форми (структурно-функціональні). У дослідженнях на макрорівні найчастіше використовуються структурні моделі, оскільки для планування та управління велике значення мають взаємозв'язки підсистем. Типовими структурними моделями є моделі міжгалузевих зв'яз-ків. Функціональні моделі широко застосовуються в економічному регулюванні, коли на поводження об'єкта («вихід») впливають, змінюючи «вхід». Прикладом може бути модель поведінки споживачів за умов товарно-грошових відносин. Один і той самий об'єкт може описуватися водночас як структурною, так і функціональною моделлю.

За характером відображення причинно-наслідкових зв'язків розрізняють детерміновані моделі та моделі, що враховують випадковість і невизначеність -- стохастичні.

Залежно від урахування часового чинника економіко-матема-тичні моделі поділяються на статичні та динамічні. У статичних моделях усі залежності стосуються одного моменту або періоду часу. Динамічні моделі характеризують зміни економічних процесів у часі.

За тривалістю періоду часу, що розглядається, розрізняють моделі короткострокового (до року), середньострокового (до 5 років), довгострокового (10--15 і більше років) прогнозування та планування. Час в економіко-математичних моделях може змінюватися неперервно або дискретно. Тому розрізняють неперервні та дискретні моделі

Моделі економічних процесів надзвичайно різноманітні за формою математичних залежностей. У загальному випадку виокремлюють лінійні та нелінійні моделі. Особливо важливим є клас лінійних моделей, найзручніших для аналізу й розрахунків, зав-дяки чому вони набули великого поширення.

Відмінності між лінійними та нелінійними моделями істотні не лише з математичного, а й з теоретико-економічного погляду. Адже численні залежності в економіці як на макро-, так і на мікрорівні мають принципово нелінійний характер: вплив податкової та грошово-кредитної політики на економічних суб'єктів, ефективність використання ресурсів з розширенням виробництва, зміна обладнання, моделі управління запасами тощо. Теорія «лінійної економіки» істотно відрізняється від теорії «нелінійної економіки».

Від того, якими -- опуклими чи неопуклими -- вважаються множини виробничих можливостей підсистем (галузей, підприємств), істотно залежать висновки про можливості поєднання централізованого планування та господарської самостійності економічних підсистем.

За співвідношенням екзогенних і ендогенних змінних, які вклю-чаються до моделей, останні поділяють на відкриті і замкнені. Повністю відкритих моделей не існує; модель повинна мати хоча б одну ендогенну змінну. Повністю замкненими (такими, що не містять жодної екзогенної змінної) економіко-математичні моделі бувають надзвичайно рідко. Загалом економіко-математичні моделі різняться за ступенем відкритості.

Макроекономічні моделі поділяють на агреговані та деталізовані. Залежно від того, чи містять ці моделі просторові чинники та умови, чи ні, розрізняють моделі просторові та точкові.

Отже, загальна класифікація ЕММ охоплює понад десять основних ознак. З розвитком економіко-математичних досліджень проблема класифікації застосовуваних моделей дедалі ускладнюється. Поряд з появою нових типів моделей (особливо мішаних типів) і нових ознак їх класифікації відбувається інтеграція моделей різних типів у складніші модельні конструкції.

Розглянемо основні етапи економіко-математичного моделювання. Процес моделювання передбачає наявність трьох структурних елементів:

об'єкта дослідження;

суб'єкта (дослідник);

моделі, яка опосередковує відносини між суб'єктом і об'єктом.

Побудова ЕММ у загальному випадку складається з розглянутих далі етапів:

1. Постановка економічної проблеми та її якісний аналіз. На цьому етапі потрібно сформулювати сутність проблеми, визначити передумови й висловити припущення. Необхідно виокремити найважливіші властивості об'єкта моделювання, вивчити його структуру, дослідити взаємозв'язки між його елементами, а також хоча б попередньо сформулювати гіпотези, що пояснюють поводження й розвиток об'єкта (динаміку руху), дослідити його зв'язки із зовнішнім середовищем тощо.

При цьому складні об'єкти розбиваються на частини (елементи) окремого дослідження: визначаються зв'язки та логічні співвідношення між ними, їхні кількісні та якісні властивості. Зазначені дії становлять етап системного аналізу задачі, у результаті якого об'єкт подається у вигляді системи.

2. Побудова математичної моделі. Цей етап полягає у формалізації економічної моделі, тобто вираженні її у вигляді кон-кретних математичних залежностей (функцій, рівнянь, нерівностей тощо). Процес побудови моделі складається з кількох стадій. Спочатку визначають тип економіко-математичної моделі, вивчають можливості її застосування в розглядуваному конкретному випадку, уточнюють перелік змінних та параметрів, форми зв'язку між ними. Для складних об'єктів доцільно будувати кілька різноаспектних моделей.

3. Математичний аналіз моделі. На цьому етапі суто математичними прийомами досліджують загальні властивості моделей та розв'язків. Може статися, що раніше виконаний системний аналіз привів до такого набору елементів, властивостей і співвідношень, для якого немає прийнятного методу розв'язання задачі. Тоді доводиться повертатися до етапу системного аналізу. Важливим моментом є доведення існування розв'язків сформульованої задачі. У процесі аналітичного аналізу з'ясовують кількість розв'язків (єдиний чи неєдиний), визначають змінні та параметри, які можуть входити до розв'язку, а також межі та тенденції їх зміни.

Проте моделі складних економічних об'єктів дуже погано піддаються аналітичному дослідженню. У таких випадках переходять до чисельних методів дослідження. Як правило, задачі, що виникають в економічній практиці, намагаються звести до відомих моделей, для яких розроблено методи й алгоритми розв'язання.

4. Підготовка вихідної інформації. В економічних задачах це, як правило, найбільш трудомісткий етап моделювання, оскільки тут замало самого лише пасивного збору даних. Математичне моделювання висуває жорсткі вимоги до якості інформації. У процесі підготовки інформації використовуються методи теорії ймовірностей, математичної статистики, а також економічної статистики для агрегування, групування даних, оцінювання вірогідності даних тощо.

У процесі системного економіко-математичного моделювання результати функціонування одних моделей виступають вихідною інформацією для інших.

5. Чисельне моделювання. Цей етап передбачає розробку алгоритмів чисельного розв'язання задачі, підготовку комп'ютер-них програм та безпосереднє виконання розрахунків. При цьому постають значні труднощі, зумовлені великою розмірністю економічних задач. Для великих складних об'єктів може знадобитися складання бази даних та відшукання засобів роботи з нею, а також методів добування даних, потрібних для розрахунків. У разі стандартних задач здійснюється вибір придатного пакета програм та системи управління базами даних (СУБД). Чисельне моделювання істотно доповнює результати аналітичного дослідження.[20]

6. Аналіз чисельних результатів та їх застосування. На цьому етапі передусім з'ясовується найважливіше питання щодо правильності й повноти результатів моделювання та можливості їх практичного використання, а також досліджуються можливі напрямки подальшого вдосконалення моделі.

Тому спершу перевіряють адекватність моделі за тими властивостями, що було взято за найістотніші. Тобто потрібно виконати верифікацію і валідацію моделі, оскільки головна мета моделювання полягає в розв'язуванні практичних задач (аналіз економічних об'єктів, економічне прогнозування, вироблення управлінських рішень і т. ін.).

Верифікація моделі -- перевірка правильності структури (логіки) моделі.

Валідація моделі -- перевірка відповідності здобутих у результаті моделювання даних реальному процесу в економіці.

Перелічені етапи економіко-математичного моделювання перебувають у тісному взаємозв'язку, зокрема можуть існувати зворотні зв'язки між етапами. Так, на етапі побудови моделі може з'ясуватися, що постановка задачі суперечлива чи призводить до занадто складної математичної моделі. Тоді вихідну постановку доводиться коригувати.

Найчастіше потреба повернутися до попереднього етапу постає на етапі підготовки вихідної інформації. Якщо необхідної інформації немає або її пошук тягне за собою великі витрати, доводиться повертатися до етапу формалізації і пристосовуватися до наявної інформації.

Отже, моделювання являє собою циклічний процес. За останнім етапом необхідно переходити до першого й уточнювати постановку задачі згідно зі здобутими результатами, потім -- до другого й уточнювати (коригувати) математичний модуль, далі -- до третього і т. д.

Стадії ЕММ:

- Побудова моделі

- Аналіз моделі

- Інтерпретація результатів

Моделювання досить широко застосовується в економічних дослідженнях. При цьому моделі не обов'язкого мають бути математичними. Моделі, про які йтиме мова в курсі, є математичними, тобто побудованими за допомогою об'єктів, які вивчає математика.

Багато з таких моделей можуть застосовуватися як для аналізу внутрішніх економічних процесів, так і для вивчення подій. Тому загальна класицікація буде орієнтована передусім на ЕМ-моделі взагалі.

2.2 Моделювання сукупного попиту та пропозиції

2.2.1 Попит як економічна категорія

Сукупний попит (ІD) -- це загальний обсяг вітчизняних товарів і послуг, які готові купити домогосподарства, фірми та уряд країни, а також економічні агенти решти країн світу при певному рівні внутрішніх цін.

Сукупний попит є сумою запланованих витрат економічних агентів:

1) видатків приватного сектора країни на споживання (С) та інвестиції.

2) видатків держави на закупівлю товарів, оплату послуг та праці.

3) перевищення видатків іноземців на вітчизняні товари і послуги (експорт над внутрішніми видатками на іноземні товари (імпортом) - чистого експорт країни (NX):

Y_AD = C + I + G + NX (1.1)

Сукупний попит домогосподарств, фірм та уряду країни складається з попиту на вітчизняні, (C+I+G)_d й імпортні (C+I+G)_f товари та послуги для задоволення власних потреб. Зовнішній попит на вітчизняні товари й послуги з боку іноземців (X) можна уявити як додатковий внутрішній попит товари вітчизняного виробництва, але не для задоволення власних потреб, а з метою продажу іноземцям. Отже, сукупний попит на товари та послуги можна показати таким чином:

Y_AD = (C+I+G)_d + (C+I+G)_f + X - M (1.2)

Оскільки (C+I+G)_fe імпортом країни (М), тотожність (1.2) набуває вигляду рівняння (1.3)

Y_AD = (C+I+G)_d + X (1.3)

Сукупний попит (1.3) є сумою внутрішнього та зовнішнього попиту на вітчизняні товари і послуги. Він дорівнює сукупному доходу економічних агентів країни (1.1) і може бути представлений як сума запланованих видатків на вітчизняні товари та послуги для забезпечення власних потреб і експорту.

Сукупний попит має грошову форму. Тому зв'язок між рівнем цін та величиною сукупного попиту обумовлений насамперед загальними умовами, грошового обігу, які встановлюються основним рівнянням кількісної теореми грошей:

М * V = P * Y (1.4)

де М - кількість грошей в обігу, або номінальні грошові залишки,

V - швидкість обігу грошей; Р -- рівень цін;

Y -- реальний обсяг національного виробництва (сукупний реальний доход).

Номінальний доход економічних агентів (Y*P) дорівнює сумі у здійснених між ними протягом певного періоду і оплачених за допомогою грошей, які обертаються, переходячи від покупця до продавця. Обертаючись зі швидкістю V, запас грошей М збільшує одночасно як номінальний грошовий доход, так і номінальні грошові витрати економічних агентів на товари й послуги. Обсяг сукупного попиту залежить від кількості грошей в обігу, швидкості їхнього обертання та рівня цін, за якими купуються товари і послуги.

Y_AD = M·V/ P (1.5)

Чим більше грошей знаходить в розпорядженні економічних агентів, тим більше товарів послуг можуть вони купувати один в одного при кожному можливому рівні цін. Відповідно, чим більше угод протягом періоду здійснюється за допомогою грошей, тим вище швидкість обігу грошей і більші сукупний попит при кожному можливому рівні цін. Звичайно в кіл кісній теорії грошей швидкім обігу грошей вважається постійною. Крива сукупного попиту будується для даного обсягу пропозиції грошей в економіці, який вважається незмінним. Тоді, за інших рівні умов, величина сукупного попиту визначається рівнянням:

Y_AD = M·V/ P (1.6)

При незмінній пропозиції і постійній-швидкості обертання грошей величина сукупного попиту змінюється обернено рівню цін. При вищому рів цін фірми та домогосподарства можуть придбати менше товарів і послу оскільки їхній номінальний сукупний доход (V·P=M·V) залишатиметься постійним.

В макроекономічній теорії спадний похил кривої сукупного попиту пояснюється впливом так званих цінових факторів:

а) ефектом реальних грошових залишків (ефектом багатства),

б) ефектом процентної ставки

в) ефектом імпортних закупівель.

2.2.2 Пропозиція як економічна категорія

Сукупна пропозиція (ІS) -- загальний обсяг товарів та послуг в економіці, який може бути запропонований фірмами при певному рівні внутрішніх цін. На зміни в сукупному попиті виробництво може відреагувати як зміною рівня цін, так і обсягу випупрпвс0ку. Зв'язок між рівнем цін та обсягом сукупної пропозиції залежить від тривалості періоду, протягом якого взаємодіють сукупний попит і пропозиція, ціни і витрати у виробництві.

У довгостроковому періоді ціни на всі товари, номінальна заробітна плата і процентні ставки абсолютно гнучкі і здатні вільно зростати або знижуватись до будь-яких значень, необхідних для врівноваження попиту і пропозиції. Тому рівноважний рівень цін довгострокової сукупної пропозиції також абсолютно гнучкий і може змінюватись у будь-якому напрямку.

Поведінка сукупної пропозиції у довгостроковому періоді найбільше відповідає класичним уявленням про взаємозв'язок між загальним обсягом виробництва і цінами. Згідно з класичною теорією, економіка -- це сукупність досконалих ринків з гнучкими цінами та заробітною платою. Номінальні величини (ціни, номінальна заробітна плата, процентні ставки) абсолютно гнучкі. Вони можуть не тільки підвищуватись, але й знижуватись, залежно від співвідношення попиту і пропозиції на ринках, через це номінальні змінні (скажімо, ціни), які залежать від інших номінальних мінних (наприклад, від пропозиції грошей і заробітної плати), а також від реальних факторів (наприклад, від обсягу виробництва), не впливають на реальні змінні (продуктивність праці, граничні витрати і обсяг виробництва, капітал, інвестиції, реальну заробітну плату, рівень безробіття). Реальні величини в економіці визначаються лише реальними змінними. Незалежність реальних змінних від номінальних відома в теорії як класична дихотомія. В довгостроковому періоді вона проявляється в нейтральності грошей. Збільшення або зменшення пропозиції грошей змінює сукупний попит, але в кінцевому рахунку впливає лише на рівень цін, заробітної плати і процентних ставок. Обсяг сукупного випуску визначається реальними факторами і за інших рівних умов залишається незмінним.

Ha протилежність класичній теорії, кейнсіанський підхід виходить з жорсткості номінальних і гнучкості реальних величин у короткостроковому періоді. Кейнсіанська модель ґрунтується на припущенні, що економіка складається з недосконалих ринків і функціонує в умовах неповного використання факторів виробництва. Обсяг сукупної пропозиції звичайно нижчий від потенційного випуску і залежить не від факторів виробництва, а від сукупного попиту. Тому кейнсіанську модель іноді вважають моделлю сукупної пропозиції для депресивної економіки.

Причиною збільшення сукупної пропозиції в короткостроковому періоді є незмінність середніх витрат виробництва, відповідних кожному можливому обсягу сукупного випуску.

При незмінних витратах та ціни стимулом для розширення виробництва є зростання сукупного попиту і можливість збільшити прибуток за рахунок продажу додаткової кількості продукції. Якщо рівень цін при незмінних витратах підвищується, це означає збільшення прибутковості виробництва і додатково стимулює його розширення.

Виробництво реагує на збільшення сукупного попиту збільшенням випуску, а на скорочення сукупного попиту -- зменшенням обсягів виробництва. При збільшенні сукупного попиту обсяг сукупної пропозиції в короткостроковому періоді може перевищувати потенційний випуск, а при скороченні сукупного попиту -- бути меншим.

У короткостроковому періоді між сукупним попитом, цінами і обсяг виробництва встановлюється позитивний взаємозв'язок, який порушує класичну дихотомію і нейтральність грошей. На відміну від довгострокового періоду, рівень цін може впливати на обсяг виробництва, а обсяг виробництва -- на рівень цін. Підвищення цін при незмінних середніх витратах стимулює збільшення виробництва. А збільшення сукупного випуску, як правило, призводить до підвищення рівня середніх витрат і стає причині підвищення цін.

Збільшення рівня середніх витрат внаслідок загального підвищення ціни заробітної плати або зростання інших витрат, не пов'язаних із розширенням виробництва, означає підвищення рівня середніх витрат для кожного можливого обсягу сукупної пропозиції.

2.2.3 Аналіз підходів щодо моделювання моделей сукупного попиту та пропозиції

У процесі розширення сфери застосування математичного моделювання в економіці традиційно створювалися програмні системи багатовимірного кореляційного та регресійного аналізів, прогнозування економічного розвитку методом імітації, моделі виявлення вузьких місць у розвитку виробництва з метою покращення використання виробничих ресурсів. Такі напрямки були найбільш характерні за умов, коли важливі розділи економічної науки, зокрема, на макрорівні, розглядалися дуже абстрактно, часто як предмет політекономії. У нових умовах перехідної економіки тематика економіко-математичних досліджень переглядається у напрямку індуктивних і дедуктивних підходів, а також у напрямку використання новітніх інформаційних технологій. Якщо раніше прикладами застосування високо відповідальних систем були енергетичні комплекси, транспорт, зв'язок, автоматизовані системи управління галузями виробництва, то нині об'єктами моделювання є також грошова система держави, механізми приватизації майнових комплексів, галузей, механізми трансформації економіки на ринкових засадах тощо. Застосування економіко-математичних моделей для вивчення систем взаємозв'язку макроекономічних показників та їх балансів, розробка необхідних узгоджувальних процедур і засобів підтримки алгоритмів прийняття рішень за умов багатоваріантності підходів, їх ймовірнісного характеру.

До складу сучасної розвинутої економіки входять численні господарські одиниці та споживачі. Кожний із цих учасників ринку досконалої конкуренції має свої цілі, що уможливлює наявність конфліктних ситуацій. Та щоб економічна система функціонувала нормально, індивідуальні дії різних учасників повинні бути відносно добре узгодженими.

Однією з моделей дослідження попиту та пропозиціє є модель Вальраса, що включає скінченну кількість споживачів і виробників, таке вирішення (подолання) конфлікту досягається не втручанням держави, а опосередковано, через конкретний ринковий механізм, що ґрунтується на регулюючій дії системи цін. Якщо система цін визначена, то будь-яка ринкова угода незалежно від того, чи є ринок конкурентним, чи ні, здійснюється відповідно до цієї системи цін.

Якщо учасники не можуть впливати на ціни, то ринок називають конкурентним. На конкурентному ринку ціни для кожного з учасників є некерованими, і їм (учасникам) залишається лише пристосовуватися до існуючої системи цін.

Основна ідея Вальраса полягає у тому, щоб за певної системи цін індивідуальні плани (наміри) учасників стали спільними, тобто така система цін забезпечує розподіл ресурсів і продукції на основі розв'язання конфлікту між учасниками. Таку рівноважну ситуацію називають конкурентною рівновагою.

Іншою моделлю яка врівноважує попит та пропозицію є павутино-подібна модель, суть якої полягає у тому, що в конкурентній економіці без змови (коаліції) досягнення рівноваги є стихійний процес, заснований на тому, що при будь-якій ціні, що перевищує рівноважну, кількість товару, яку прагнуть запропонувати продавці (виробники), перевершуватиме ту кількість, на яку покупці (споживачі) мають намір пред'явити попит; виникає тиск на ціну у бік її пониження, причому діяльність деяких продавців, охочих позбавитися від товару, буде направлена проти існуючого (дуже високого) рівня ціни.

Подібним же чином можна показати, що ціна, що знаходиться нижче за рівень рівноваги, випробовує тиск у бік підвищення.

При виникненні і оформленні стійкого попиту на товар залежно від ціни, тобто наявності не змінної в часі функції попиту D(p), розрізняють, слідуючи А.Маршаллу, три основні види ринкової рівноваги.

а) миттєва рівновага досягається в обстановці, коли пропозиція фіксована (), тобто виробники товару не готові до розширення виробництва або не в змозі це зробити; рівновага такого роду зазвичай досягається при достатньо високій ціні що і є стимулом для подальших дій виробників.

б) короткочасна рівновага виникає тоді, коли в дію вводяться наявні резерви (вільні виробничі потужності) і пропозиція декілька збільшується, причому ; рівноважна ціна у цій ситуації опиняється нижчим але і залишається ще досить високою.

в) тривала нормальна рівновага встановлюється за ситуації, коли в справі беруть участь практично всі виробники, здатні проводити даний товар без різкої перебудови своєї господарської діяльності. Функція пропозиції також зростаюча і рівноважна ціна відповідає нормальним витратам виробництва (рис. 2.2.3.1).

Процес наближення до нормальної рівноваги в часі можна представити за допомогою послідовності малих дискретних кроків, використовуючи уявлення про функції попиту і пропозиції, які самі можуть змінюватися в ході ринкового процесу унаслідок зміни умов виробництва і споживання.

Одна з основних моделей процесу досягнення рівноваги використовує його дискретне уявлення за допомогою так званих “торгових” днів з номерами



Рис. 2.2.3.1 Тривала нормальна рівновага на ринку

Передбачається, що на початок торгового дня t відома початкова ціна товару яка повністю визначає об'єм пропозиції

(2.1)

Далі вважається, що протягом дня запропонований товар повністю реалізується за ціною яка визначається з умови тимчасової рівноваги

(2.2)

і є початковою ціною для наступного торгового дня (t+1) і так далі.

Геометрична ілюстрація цього процесу наближення до рівноваги (мал. 2.2.3.2) нагадує павутину і тому сама модель часто називається павутиноподібною. Можна показати, що збіжність казанного ринкового процесу буде гарантована, якщо виконана умова

. (2.3)



Рис. 2.2.3.2. Павутиноподібна модель

Останнє означає, що для збіжності достатньо, щоб маргінальна пропозиція не перевершувала б маргінального попиту, або, іншими словами, позитивна реакція виробника на підвищення ціни не була б такою ж значною як негативна реакція споживача, тобто це процес в обстановці щодо неактивних виробників. Відмітимо, що якщо то виникає ситуація так званого “свинячого циклу”, при якій стан рівноваги виявляється недосяжним. У випадку, якщо нахил лінії попиту крутіший за нахил лінії пропозиції, спіраль розкручуватиметься в зворотному порядку. Якщо нахили ліній попиту і пропозиції однакові, то павутина закільцьовуватиме.

2.2.4 Оцінка попиту-пропозиції добувної промисловості на основі базової моделі сукупного попиту та пропозиції

Сукупний попит (ІD) -- це загальний обсяг вітчизняних товарів і послуг, які готові купити домогосподарства, фірми та уряд країни, а також економічні агенти решти країн світу при певному рівні внутрішніх цін.

В даному розділі під сукупним попитом будемо розуміти загальний обсяг видобутої добувною галуззю економіки України корисних копалин, які готові придбати резиденти і не резиденти України.



Рис.2.2.4.1 Динаміка зміни сукупного попиту добувної галузі промисловості України за 2005-2010рр

Динаміка зміни сукупного попиту на продукцію добувної галузі простежується на рис. 2.2.4.1, як видно з графіка починаючи з 2006 року приріст набуває від'ємного значення. Абсолютне відхилення: 2006р - 246,4 тис. тонн., 2007р - -101,3 тис. тонн., 2008р - -287 тис. тонн., 2009р - -42,6 тис. тонн., 2010р - -9,6 тис. тонн.

Відносне відхилення: 2006р - 122,3%, 2007р - 92,5%, 2008р - 77,1%, 2009р - -95,6%, 2010р - 99,0%.

Темп приросту: 2006р - 22,3%, 2007р - -7,5%, 2008р - -22,9%, 2009р - -4,4%, 2010р - -1,0%.

Рис.2.2.4.2 Темп приросту обсягу сукупного попиту за 2006-2010рр

На зміну обсягу сукупного попиту на товари добувної промисловості за 2006 - 2010років вплинули декілька факторів, серед яких, я можу виділити основних два, це по-перше, ціновий фактор, оскільки функція попиту є обернено пропорційною до ціни, і при підвищенні ціни обсяг попиту буде знижуватися. По-друге, це політична нестабільність в країні, що негативно впливає на зовнішньоекономічні відносини.

Головним для нас це є ціновий фактор, оскільки можна простежити, яку саме вагу має зміна ціни на обсяг попиту.

Таблиця 2.2.4.1

Динаміка коливань середньої ціни на продукцію добувної галузі економіки України за 2006-2010рр

роки	2006	2007	2008	2009	2010	2011
ціна	22,73	20,69	21,19	26,44	33,32	36,18

Дані наведені у таблиці 2.2.4.1 використаємо для побудови однофакторної моделі сукупного попиту. Розташувавши в відповідному порядку до заданої функції та використавши економіко-математичний апарат у вигляді функції ЛИНЕЙН, ми отримали наступні значення характеристичних коефіцієнтів:

Таблиця 2.2.4.2

Характеристичні коефіцієнти для моделі сукупного попиту

a0	a1
396,9082	17522,92

Згідно теорії економетрії, поставимо у відповідність кожній складовій її характеристичний показник. Отримані елементи а0 та а1 не є ваговими коефіцієнтами, тому вони не показують частку складової у питомій вазі моделі. Запишемо отриману функцію:

Qd= 17522,92 - 396,9082*Р

Для перевірки моделі на адекватність змоделюємо динаміку зміни обсягів сукупного попиту добувної промисловості України за 2006-2010рр. на основі побудованої вище моделі. Аналітичні розрахунки подані у додатку А.

Відповідно до них ми розрахували модельовані значення обсягу сукупного попиту та порівняли із фактичними значеннями(Додаток А). Як бачимо певна відповідність між ними існує, але зазначимо, що неможливо змоделювати точно, показники обсягу попиту тому що, на його величину впливає не тільки ціна, але й ще нецінові фактори, які ми не зможемо показати в моделі, тому певна розбіжність буде присутня завжди.

Визначимо, чи зможемо ми робити якісь висновки по нашій моделі, тому розрахуємо два показника адекватності: коефіцієнт детермінації та коефіцієнт Дарвіна-Уотсона, які покажуть на скільки ми можемо довіряти нашій моделі. . Аналітичні розрахунки подані у додатку А. Як бачимо коефіцієнт детермінації(r^2) становить 0,951, а коефіцієнт Дарвіна-Уотсона(DW) 2,292961.

Оскільки коефіцієнт детермінації наближається до 1 можна сказати, що дана модель є адекватною і ми можемо використовувати її при прогнозуванні рівня обсягу попиту на 2010 рік. Коефіцієнт Дарвіна-Уотсона дає змогу перевірити умову незалежності випадкових відхилень е_і між собою. При такому рівні детермінації цей показник має особливу увагу. В даній моделі він становить 2,292961. На сьогодні не існує моделей повністю позбавлених залежностей похибок між собою.

Сукупна пропозиція (ІS) -- загальний обсяг товарів та послуг в економіці, який може бути запропонований фірмами при певному рівні внутрішніх цін. На зміни в сукупному попиті виробництво може відреагувати як зміною рівня цін, так і обсягу випуску. Зв'язок між рівнем цін та обсягом сукупної пропозиції залежить від тривалості періоду, протягом якого взаємодіють сукупний попит і пропозиція, ціни і витрати у виробництві.

Сукупну пропозицію будемо розуміти як загальний обсяг продукції яку видобуває добувна промисловість України за певну ціну в певний період часу.



Рис.2.2.4.3 Динаміка обсягу пропозиції добувної галузі економіки України за 2002-2007 роки

Динаміка зміни сукупної пропозиції продукції добувної галузі простежується на рис. 2.2.4.3, як видно з графіка пропозиція постійно зростала, що є абсолютно нормальним для економіки, що розвивається. Абсолютне відхилення: 2003р - 45,2 тис. тонн., 2004р - 95,2 тис. тонн., 2005р - 54,8 тис. тонн., 2006р - 67,4 тис. тонн., 2007р - 79,2 тис. тонн.

Відносне відхилення: 2003р - 104,9%, 2004р - 110,0%, 2005р - 105,2%, 2006р - 106,1%, 2007р - 106,8%.

Темп приросту: 2003р - 4,9%, 2004р - 10,0%, 2005р - 5,2%, 2006р - 6,1%, 2007р - 6,8%.

Рис.2.2.4.4. Темпи приросту обсягів видобутку добувною промисловістю України за 2006-2010рр.

Так як і для сукупного попиту можна виділити два основних фактори що впливають на зміну обсягу пропозиції: по-перше, це ціновий, по-друге, це закономірний розвиток галузі. Для побудови моделі, а також для порівняння її із моделлю сукупного попиту використаємо ціновий фактор, як основний чинник зміни обсягу пропозиції. Динаміка коливань середньої ціни на продукцію добувної галузі економіки України показана у Табл. 2.2.4.1, використаємо ці показники для побудови моделі сукупної пропозиції.

Розташувавши в відповідному порядку до заданої функції та використавши економіко-математичний апарат у вигляді функції ЛИНЕЙН, ми отримали наступні значення характеристичних коефіцієнтів:

Таблиця 2.2.4.2

Характеристичні коефіцієнти для моделі сукупного попиту:

a0	a1
17,70293	594,55261

Згідно теорії економетрії, поставимо у відповідність кожній складовій її характеристичний показник. Отримані елементи а0 та а1 не є ваговими коефіцієнтами, тому вони не показують частку складової у питомій вазі моделі. Запишемо отриману функцію:

Qd= 594,55261 + 17,70293*Р

Для перевірки моделі на адекватність змоделюємо динаміку зміни обсягів сукупного попиту добувної промисловості України за 2006-2010рр. на основі побудованої вище моделі. Аналітичні розрахунки подані у додатку А.

Оскільки коефіцієнт детермінації наближається до 1 тому можемо зробити висновок, що наша модель є адекватною та відображає залежність обсягу пропозиції продукції добувної галузі України.

В цілому, можна стверджувати про доволі значну адекватність даної моделі реальному явищу.

2.2.5 Модель оптимізації закупівель

Підхід до побудови математичної моделі може бути індуктивним і дедуктивним. При використанні індуктивного методу модель того чи іншого економічного процесу будується за допомогою часткового моделювання, що охоплює більш прості змінні економічного процесу, з переходом від них до загальної моделі всього процесу. При дедуктивному методі спочатку будується загальна модель і лише на її основі конструюються часткові моделі, встановлюються алгоритми конкретних математичних розрахунків. Економіко-математичні моделі будуть найбільш обґрунтованими, якщо при їхньому конструюванні методи індукції і дедукції використані в єдності. У цих умовах забезпечується більша «подібність» моделі на реальний економічний процес; вона в більшій мірі буде відображати об'єктивно існуючі економічні явища і закономірності.

При проведенні досліджень було виявлено, що підприємство веде неправильну політику при вирішенні обсягів закупівлі товарів на заводах-виробниках. Також результати опитань та досліджень показали, що на ринку продажу кондитерських виробів існує висока конкуренція. Тому споживачів необхідно заохочувати пільгами та вигідними пропозиціями при купівлі кондитерських виробів. При підвищенні обсягів закупівель продукції споживачами вигідно знизити ціни, щоб збільшити обсяг закупівель у виробників і тим самим збільшити обсяг продажу виробів. Іноді вигідно знизити ціни, щоб збільшити об'єми продажів.

Для заохочення споживачів необхідно створити таку систему цін продажів товару, яка б залежала від обсягу закупівель з боку споживачів.

Необхідно розробити економіко-математичну модель, яка б розраховувала максимальний прибуток при оптимальному обсязі закупівель.

Завод і випускає та продає продукцію j в об'ємі x. Підприємство закупає цю продукцію в об'ємі х та продає її в об'ємі у.

Шляхом аналізу необхідно поставити головну умову розробки економіко-математичної моделі: процес закупівлі попереджається замовленням необхідних обсягів на підприємствах-виробниках. В подальшому викладенні ці замовлення-закупівлі будемо називати закупівлями. x = y або обсяг закупівель дорівнює обсягу продажів.

Тобто для досягнення максимального прибутку на підприємстві необхідно прийняти таку умову - закупівлі підприємства повинні дорівнювати продажам споживачам. Розробимо таку систему цін, щоб задовольнити потреби споживачів. Побудуємо графік залежності обсягу закупованої продукції від цін (рисунок 2.2.5.1).

Рис.2.2.5.1 - Графік залежності обсягу продажів від ціни

На рисунку 2.2.5.1 y - обсяг закупованої продукції; x - ціна.

З вище наведеного графіка легко побачити, що при закупівлі продукції в об'ємі y₁ ціна цієї закупівлі буде максимальна - х₄, а при максимальному обсязі закупівлі у₄ ціна буде мінімальною - х₁.

Тобто підприємство закуповує кондитерські вироби за цінами - ціна закупівлі i-го заводу, j-ї продукції.

Відпускна ціна i-го заводу, j-ї продукції (), буде різною для різних обсягів закупівель. Це буде та . Обсяги закупівель встановлює керівник підприємства.

Відпускна ціна залежить від обсягів закупівель, тобто .

Така залежність знаходиться по статистичним даним як рівняння регресії:

де a і b - коефіцієнти.

Вони знаходяться з рівняння прямої, яка проходить через дві задані точки.

Також їх можна знайти, виходячи з графіка, представленого на рисунку 2.2.5.2.

Рис.2.2.5.2 - Графік для знаходження рівнянь двох точок

y₁ = ax₁ + b,

b = y₁ - ax₁,

де х₁ і х₂ - обсяги продажів 1 і 2;

у₁ і у₂ - відпускні ціни при об'ємах закупівель 1 і 2.

Прибутком підприємства (W) є різниця між відпускними цінами та закупівельними, які пов'язані з обсягом закупівлі.

З вищеоговореного складемо економіко-математичну модель максимізації прибутку (2.2.5.2).



Підставимо (2.2.5.1) в (2.2.5.2), отримаємо (2.2.5.3) та (2.2.5.3.а):

Дана функція має ряд обмежень. Підприємства-виробники обмежують ряд закупівель, які повинно замовити підприємство. Обсяги закупівлі x_ij підприємства обмежені можливостями підприємств-виробників (2.2.5.4).

Цільова функція - параболічна. Залишкова дисперсія в неї нижче аніж у лінійної функції, тому що вона краще описує об'єкт дослідження та моделювання.

Але дослідженнями було доказано, що закупівельні ціни - це не всі витрати, які залежать від обсягів закупівель - це тільки частина. Закупівельна ціна містить в собі відсоток втрат. Відсоток втрат встановлюється шляхом дослідження.

Таке дослідження може бути застосовано для підприємств оптової торгівлі. Закупівельні ціни можна використовувати як індикатор втрат, розуміючи під С_з закупівельні ціни плюс втрати.

Вибір методу оптимізації закупівель.

Сформульована математична задача може бути вирішена одним з розроблених математичних методів. Методи елементарної математики використовуються в звичайних традиційних економічних розрахунках при обґрунтуванні потреб у ресурсах, обліку витрат на виробництво, розробці планів, проектів, при балансових розрахунках і т.д. Ці методи використовуються не тільки в рамках інших методів, але й окремо.

Існує безліч методів рішення поставленої задачі. Розглянемо деякі з тих, за допомогою яких можна вирішити запропоновану модель.

Метод покоординатного спуску.

Цей метод є найбільш простим із прямих методів пошуку мінімуму функції декількох перемінних. Викладемо ідею методу для випадку функції двох перемінних f (x, y).

Виберемо початкове наближення M₀ (х⁰, у⁰). Зафіксуємо в⁰ і знайдемо мінімум функції однієї перемінної f (x, y⁰). Нехай він досягається при х = х¹. Уздовж прямій, рівнобіжній осі ОХ, здійснюємо спуск у точку M_t (х¹, у⁰). Фіксуємо х¹ і знаходимо мінімум функції однієї перемінної f (х¹, у). Нехай це буде в¹. З точки М₁ (х¹, у⁰) рухаємося уздовж прямій, рівнобіжній осі OY, до точки М₂ (.x¹, у¹). Потім знову здійснюємо спуск із точки М₂ уздовж прямої рівнобіжної осі ОХ і т.д. (рисунок 2.4.1).

Рис.2.2.5.3 - Метод покоординатного спуска

Відомо, що якщо функція f (х, у) має безупинні другі похідні в околиці мінімуму, то при відповідному виборі початкового наближення (х⁰, у⁰) спуск по координатах сходиться до мінімуму. Зокрема, метод сходиться, якщо в області D, обмеженою лінією рівня, що проходить через точку М₀ {х⁰, у⁰), виконуються умови:

 (2.2.5.5)

Частки похідні функції прагнуть до нуля. Метод сходиться зі швидкістю геометричної прогресії.

Метод градієнтного спуску.

Метод визначення мінімуму функції f(х), х=(x₁, x₂,..., х_п), називаний методом градієнтного чи найшвидшого спуска, запропонованийі Коши.

Для мінімізації по методу спуска вибирається початкова точка х⁰= (х⁰₁, х⁰₂,..., х⁰_n) (звичайно відповідно до фізичного змісту задачі). Функція f (x) = f (х⁰) визначає в n-мірному просторі гіперповерхня, градієнт якого вказує напрямок найшвидшого зростання функції.

Тому в напрямку -- grad f(х⁰) функція швидше за все убуває при нескінченно малому русі з даної точки. Спуск по цьому напрямку до мінімуму визначає нове наближення х¹.. У цій точці знову визначається градієнт і здійснюється спуск у напрямку антиградієнта. Випадок п = 2 представлений на рисунку 2.2.5.4

Рис.2.2.5.4 - Метод градієнтного спуску для n=2

Вектор х, який було необхідно знайти послідовно уточнюється на k-й ітерації методу градієнтного спуска по формулі 2.2.5.6.



де h_k -- оптимальний крок для k -й ітерації.

Таким чином, на кожнім кроці градієнтного спуска потрібно вирішувати ще задачу мінімізації функції одним перемінної яким-небудь чисельним методом. Зокрема, можна розкласти функцію в ряд Тейлора, обмеживши членами другого порядку, і визначити hk. Однак такий метод приводить до дуже громіздких обчислень. При цьому необхідно враховувати також трудомісткість обчислення значень функції f(х) і її градієнта в точках хк. Тому на практиці часто h вибирають емпіричним шляхом. Здійснюється спуск при довільному hk; якщо значення функції f (хk+1) зменшиться, те переходимо до наступного кроку спуска, якщо ж f (х^k+1) не убуває, те зменшуємо крок h_k. Варто враховувати, що якщо h_k вибрати дуже малим, те це приводить до істотного збільшення обсягу обчислень, якщо h_k занадто велике, те це може привести до проскакування через мінімум функції. Обчислення по формулі (2.4.2) проводимо доти, поки функція f(х) практично перестане убувати, тобто до виконання для наперед заданого е нерівності

Критерієм закінчення ітераційного процесу пошуку мінімуму можна вибрати також умову:

Метод Ньютона.

Описаним вище методам властивий один загальний недолік -- повільна збіжність, якщо поверхні (лінії) рівня мінімізуємої функції витягнуті, сильно відрізняються від сфер (окружностей). У методі Ньютона мінімізації функції декількох перемінних цей недолік усувається обліком значень других похідних, однак застосуємо цей метод для більш вузького класу функцій.

Нехай в околиці стаціонарної точки х* функція f (x)= f (х₁,..., х_п) двічі безупинно дифференцируема і її матриця Гессе

позитивно визначена. Тоді, застосовуючи для рішення системи

метод Ньютона, або модифікований метод Ньютона, одержимо ітераційний процес для мінімізації функції або

Позитивна визначеність матриці Н (х) забезпечує збіжність методу Ньютона до рішення системи (2.2.5.7), причому збіжність буде квадратичної, а при застосуванні модифікованого методу Ньютона -- лінійної.

Приведемо на рисунку (2.2.5.5) блок-схему рішення вищевикладеного методу. Ітераційний процес (2.2.5.8) називають методом Ньютона (модифікованим методом Ньютона) мінімізації функції f(х) п перемінних х = (x₁, x₂,..., х_п).

Варто врахувати, що в методі Ньютона на погрішність накладається погрішність звертання матриці H(x^k). У зв'язку з цим для функції п перемінних при великому п застосовують модифікований метод Ньютона . Відзначимо, що для квадратичної форми метод Ньютона дає точний результат при першій ітерації.

Рис.2.2.5.5 - Блок-схема рішення методу Ньютона