Размещено на http://www.allbest.ru/

Государственное казенное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

"РОССИЙСКАЯ ТАМОЖЕННАЯ АКАДЕМИЯ"

Кафедра таможенной статистики

КУРСОВАЯ РАБОТА

по дисциплине "Математический анализ"

на тему "Применение функций в экономике"

Выполнил: Д.И. Ковалева,

студентка 1-гокурса очной формы

обучения экономического факультета,

группа Эб01/1303

Научный руководитель:

Г.О. Вафодорова, к. э. н., доцент

Люберцы 2013

Оглавление

• Введение
• Глава 1. Производственные функции
• Глава 2. Функция полезности
• Глава 3. Функция спроса и предложения
• 3.1 Функция и кривая предложения
• 3.2 Функция и кривая спроса
• Заключение
• Список используемых источников

Введение

В экономических исследованиях издавна применялись простейшие математические методы. В хозяйственной жизни широко используются геометрические формулы. Так, площадь участка поля определяется путем перемножения длины на ширину или объем силосной траншеи - перемножением длины на среднюю ширину и глубину. Существует целый ряд формул и таблиц, облегчающих хозяйственным работникам определение тех или иных величин.

При изучении природных явлений, процессов, обусловленных деятельностью человека, приходится рассматривать изменение одной величины в зависимости от изменения другой, описывая эти изменения функциональными зависимостями.

Понятие величины настолько широко и всеобъемлюще, что ему трудно дать точное определение. Массы, давления, работы, заряды, длины и объемы, целые и дробные числа - все это примеры величин. На первой стадии величиной можно считать то, что выраженное в определенных единицах, характеризуется своим числовым значением (например, масса - в граммах или тоннах и т.п.).

За последние годы многие понятия, ранее воспринимавшиеся лишь качественно (такие, например, как эффективность, количество информации) переведены в разряд величин. Каждый такой перевод дает возможность применить к указанным понятиям количественный математический анализ, что часто оказывается очень эффективным.

Современная экономическая наука характеризуется широким использованием математики. Математические методы стали составной частью методов любой экономической науки, включая экономическую теорию. Ее использование в единстве с обстоятельным экономическим анализом и новыми информационными технологиями открывает новые возможности для экономической науки и практики.

Актуальность изучения математических методов в экономике обусловлена тем, что современная экономическая теория предполагает существенно более высокий уровень формализации, чем это было принято в отечественной высшей школе.

Предметом исследования курсовой работы являются числовые функции и их свойства, практические примеры их использования в экономике.

Целью курсовой работы является рассмотрение понятия функции и применение ее в экономике.

Задачи курсовой работы:

раскрыть понятие функции;

исследовать примеры применения функций в экономике.

Математические методы являются важнейшим инструментом анализа экономических явлений и процессов, построения теоретических моделей, позволяющих отобразить существующие связи в экономической жизни, прогнозировать поведение экономических субъектов и экономическую динамику. Математическое моделирование становится языком современной экономической теории, одинаково понятным для учёных всех стран мира.

функция спрос предложение экономика

Глава 1. Производственные функции

Производство есть процесс преобразования производственных ресурсов в готовую продукцию. Задача фирмы - наиболее эффективно использовать ресурсы, получить от них наибольшую отдачу.

Взаимоотношение между вводимыми факторами, производственным процессом и итоговым выходом продукции описывается производственной функцией.

Производственная функция указывает максимальный выпуск продукции Q, который может произвести фирма при каждом отдельном сочетании факторов производства. для упрощения предположим, что имеются два вводимых фактора: труд L и капитал К. Тогда мы можем записать производственную функцию как

Q = F (L, K) (1.1)

данное уравнение показывает, что объем выпуска продукции зависит от количества двух производственных факторов - капитала и труда

(двухфакторная производственная функция).

где Q - максимальный объём производимой при данной технологии продукции.

Свойства производственной функции:

1. существует предел для увеличения объема производства, которое может быть достигнуто увеличением затрат одного фактора при прочих равных условиях;

2. существует определённая взаимная дополняемость (комплементарность) факторов производства, но без сокращения объема производства возможна и определенная взаимозаменяемость.

3. Способ производства А считается технически более эффективным, по сравнению со способом Б, если он предполагает использование хотя бы одного ресурса в меньшем, а всех остальных - не в большем количестве, чем способ Б. Технически неэффективные способы не используются рациональными производителями.

4. Если способ А предполагает использование одних ресурсов в большем, а других - в меньшем количестве, чем способ Б, эти способы несравнимы по технической эффективности. В этом случае оба способа считаются технически эффективными и включаются в производственную функцию. Какой из них выбирать - зависит от соотношения цен применяемых ресурсов. Этот выбор основывается на критериях экономической эффективности. Следовательно, техническая эффективность не тождественна экономической эффективности.

5. Техническая эффективность - это максимально возможный объем производства, достигаемый в результате использования имеющихся ресурсов.

6. Экономическая эффективность - это производство данного объема продукции с минимальными издержками.

В зависимости от анализа влияния факторов производства на объём выпуска в определённый момент времени или в разные промежутки времени производственные функции делятся на статические и динамические По внутреннему устройству выделяются линейные (), мультипликативно-степенные (P=, при отсутствии одного из факторов такие функции обращаются в нуль).

Примеры производственной функции:

1. Производственная функция Кобба - Дугласа: Y=, в которой предполагается эластичность выпуска по факторам производства.

2. Производственная функция CES (с постоянной эластичностью замещения):

3. Линейная производственная функция:

4. Производственная функция Леонтьева: Y= min (K/)

Глава 2. Функция полезности

Функция полезности - функция, с помощью которой можно представить предпочтения на некотором множестве альтернатив. Функция полезности является очень удобным вспомогательным средством, которое открывает возможность использования теории оптимизации при решении задачи потребителя. Без использования функции полезности решение такой задачи с математической точки зрения может быть затруднительным. С другой стороны, не каждое предпочтение может быть представлено с помощью функции полезности. Тем не менее, несмотря на некоторую ограниченность подхода, функция полезности является неотъемлемой частью большинства современных экономических моделей.

Пусть дано некоторое множество альтернатив , на котором определено отношение предпочтения . Тогда вещественнозначная функция называется функцией полезности, если выполнено условие

В микроэкономике господствует ординалистский подход к моделированию поведения и выбора. В соответствии с ним числовые значения функции полезности не играют роли, важны лишь соотношения между ними. Если значение функции полезности для одной из альтернатив выше, то эта альтернатива является более предпочтительной для агента. При этом разность значений или частное от их деления не несет никакой информации. Именно эта идея отражена в определении.

При кардиналистском подходе числовые значения наоборот имеют существенное значение. Такой подход используется, например, при моделировании поведения агента в условиях неопределенности с использованием функции полезности фон Неймана-Моргенштерна. В этом случае часто используются денежные, а не абстрактные единицы полезности, и поэтому разность значений уже имеет экономический смысл.

Условия существования функции полезности

Для того чтобы предпочтения можно было представить в виде функции полезности необходимо, чтобы само предпочтение было рациональным, то есть отвечало аксиомам полноты и транзитивности.

Достаточные условия зависят от самого множества альтернатив и от свойств предпочтений. Если множество конечно или счетно, а отношение предпочтения рационально, то существует функция полезности, которая представляет эти предпочтения.

Если множество несчетно, то приходится дополнительно требовать непрерывности предпочтений. В этом случае теорема Дебре (Debreu) гарантирует существование функции полезности. Более того, получающаяся при доказательстве теоремы функция полезности является непрерывной.

Часто на предпочтения накладываются дополнительные условия, чтобы получить функции с теми или иными свойствами. Так, можно требовать монотонности, локальной ненасыщаемости и выпуклости.

Непрерывность хотя и является достаточным условием существования функции полезности, представляющей рациональное предпочтение, но оно не является необходимым. Так, например, функция полезности (целая часть числа) представляет предпочтения, которые не являются непрерывными. Сама функция при этом также разрывна.

Свойства функции полезности

Пусть задана строго возрастающая функция и пусть - функция полезности. Тогда композиция функций также является функцией полезности, представляющей то же самое отношение предпочтения . Отметим, что не обязана быть непрерывной.

Если множество является выпуклым, то функция полезности будет квазивогнутой.

Если предпочтения отвечают свойству монотонности (строгой монотонности), то функция будет монотонной (строго монотонной).

Свойство убывающей предельной полезности является следствием вогнутости функции полезности. Если функция дважды дифференцируема, то свойство означает, что вторая частная производная такой функции отрицательна

Кривая безразличия - это линия (поверхность, гиперповерхность) уровня функции полезности.

Важнейшие примеры функции полезности

Одной из важнейших функций полезности является CES-функция. Аббревиатура CES (constant elasticity of substituion) означат постоянную эластичность замещения альтернатив. Функция имеет следующий вид для двумерного случая

При разных значениях параметра можно получить частные случаи.

Если , то функция является линейной и описывает совершенные заменители. В этом случае предельная норма замещения равна отношению параметров

.

Если , то получается функция Леонтьева, которая описывает совершенные дополнители. Предельная норма замещения в этом случае бесконечна.

При получается функция Кобба-Дугласа, если наложить дополнительное условие

.

Глава 3. Функция спроса и предложения

Категории спроса и предложения лежат в основе рыночного механизма. Функция спроса в рыночном механизме является определяющей, ибо именно она заставляет производство выпускать необходимые населению товары, улучшать их качество и ассортимент. Спрос в свою очередь зависит от потребностей людей: с изменением потребностей меняется и спрос, который, по сути дела, представляет собой денежное выражение потребностей.

Однако не всякая потребность может иметь денежное выражением и быть удовлетворенной рынком. Тем не менее важнейшие жизненные потребности людей в пище, одежде, обуви, бытовом обслуживании, и, конечно, медикаментах наилучшим образом, как показывает история развитых рыночных хозяйств, удовлетворяются через рынок благодаря спросу.

Функция предложения Функция предложения заключается в общем виде в том, чтобы связать производство с потреблением, продажу товаров с их покупкой. Реагируя на возникающий спрос, производство начинает увеличивать выпуск товаров, улучшать их качество и уменьшать издержки их изготовления, а тем самым увеличивать общий объем предложения на рынке.

Изучение спроса связано с установлением фактического потребления лекарственных средств, выявлением закономерностей спроса с учетом динамики и целого комплекса факторов, влияющих на их потребление. Поэтому основной целью изучения конъюнктуры реализации лекарственных средств является установление, в какой мере конкретное состояние реализации их соответствует спросу, как будут изменяться эти показатели в ближайшем будущем и какие меры необходимо принять, чтобы добиться безотказного обеспечения населения и лечебно-профилактических учреждений лекарственными средствами и другими изделиями медицинского назначения, и как все это влияет на показатели финансово-хозяйственной деятельности аптечных учреждений.

При изучении спроса различают реализованный (удовлетворенный), неудовлетворенный и формирующийся спрос.

Реализованный спрос - фактическая реализация лекарственных средств при достаточном и постоянном их наличии в аптечной сети.

Неудовлетворенный спрос представляет собой спрос на лекарственные средства, которые поступают в аптечную сеть в недостаточном количестве или неравномерно.

Итак, завоевание новых покупателей.

Если Вы хотите, чтобы Вас выбрали, чтобы с Вами работали, чтобы у Вас приобретали, то необходимо прежде всего, чтобы о Вас знали.

Есть масса способов достичь этого 1 реклама - в первую очередь. Модернизацией собственной деятельности, расширением ассортимента и установлением "обоюдно выгодных " цен - при всей их важности - не исчерпывается, а лишь начинается влияние аптек на фармацевтический рынок страны. Дело в том, что в России сложилась иная, чем на Западе, цепочка продвижения товара на рынок.

Закон спроса и предложения - объективный экономический закон, устанавливающий зависимость объёмов спроса и предложения товаров на рынке от их цен. При прочих равных условиях, чем цена на товар ниже, тем больше величина спроса (готовность покупать) и тем меньше величина предложения (готовность продавать). Обычно цена устанавливается в точке равновесия между предложением и спросом. Закон окончательно сформулирован в 1890 году Альфредом Маршаллом.

3.1 Функция и кривая предложения

Закон предложения характеризует прямую зависимость между количеством выпуска товаров и их ценами. Эту прямую зависимость между ценами и объемом товаров называют также "функцией предложения". Если изобразить функцию предложения в осях графика (рис.1), где на вертикальной оси представлены цены за единицу товара Р, а на горизонтальной - количество выпускаемых товаров Q, то получим восходящую кривую ss (supply - предложение), имеющую положительный наклон.

Предложение - возможность и желание продавца (производителя) предлагать свои товары для реализации на рынке по определённым ценам. Такое определение описывает предложение и отражает его суть с качественной стороны. В количественном плане предложение характеризуется по своей величине и объёму. Объём, величина предложения - это количество продукта (товара, услуг), которое продавец (производитель) желает, может и способен в соответствии с наличием или производительными возможностями предложить для продажи на рынке в течение некоторого периода времени при определённой цене.

Как и объём спроса, величина предложения зависит не только от цены, но и от ряда неценовых факторов, включая производственные возможности (см. Кривая производственных возможностей), состояние технологии, ресурсное обеспечение, уровень цен на другие товары, инфляционные ожидания.

Закон предложения - при прочих неизменных факторах величина (объём) предложения увеличивается по мере увеличения цены на товар.

Рост величины предложения товара при увеличении его цены обусловлен в общем случае тем обстоятельством, что при неизменных издержках на единицу товара с увеличением цены растёт прибыль и производителю (продавцу) становится выгодным продать больше товара. Реальная картина на рынке сложнее этой простой схемы, но выраженная в ней тенденция имеет место.

Факторы, влияющие на предложение:

1. Наличие товаров заменителей.

2. Наличие товаров-комплементов (дополняющих).

3. Уровень технологий.

4. Объём и доступность ресурсов.

5. Налоги и дотации.

6. Природные условия

7. Ожидания (инфляционные, социально-политические)

8. Размеры рынка

Эластичность предложения - показатель, воспроизводящий изменения совокупного предложения, которые происходят в связи с ростом цен. В случае, когда увеличение предложения превосходит рост цен последнее характеризуется как эластичное (эластичность предложения больше единицы - E> 1). Если прирост предложения равен приросту цен, предложение называется единичным, а показатель эластичности равен единице (E = 1). Когда прирост предложения меньше прироста цен, формируется так называемое неэластичное предложение (эластичность предложения меньше единицы - E <1). Таким образом, эластичность предложения характеризует чувствительность (реакция) предложения товаров на изменения их цен.

Эластичность предложения вычисляется через коэффициент эластичности предложения по формуле:

· K _m - коэффициент эластичности предложения

· G - процент изменения количества предлагаемого товара

· F - процент изменения цены

Эластичность предложения зависит от таких факторов, как особенность производственного процесса, время изготовления продукта и особенность его к длительному хранению. Особенности производственного процесса позволяют производителю расширить производство товара при повышении цены, а при понижении его цены переходит на выпуск другой продукции. Предложение такого товара является эластичным.

Эластичность предложения зависит и от часового фактора, когда производитель не в состоянии быстро реагировать на изменения цены, поскольку для дополнительного производства товара требуется значительное время. Например, увеличить производство автомобилей за неделю практически невозможно, хотя цена на них может возрасти многократно. В таких случаях предложение является неэластичным. Для товара, который не может сохраняться длительное время (например, продукты, которые быстро портятся), эластичность предложения будет низкой.

Многие экономисты выделяют следующие факторы, изменяющие предложение:

· Изменения в себестоимости производства за счёт цен на ресурсы, изменения налогов и дотаций, достижений науки и техники, новых технологий. Снижение себестоимости позволяет производителю доставить на рынок больше товаров. Рост себестоимости приводит к противоположному результату - предложение снижается.

· Изменения цен на другие товары, в частности на товары субституты.

· Индивидуальные вкусы потребителей.

· Перспективные ожидания производителей. При прогнозах относительно роста цен в будущем производители могут сократить предложение, чтобы вскоре продать товар по более высокой цене, и наоборот, ожидание падения цен заставляет производителей избавиться от товара как можно скорее, чтобы не получить убытков в будущем.

· Количество товаропроизводителей непосредственно влияет на предложение, так как чем больше поставщиков товаров, тем выше предложение и наоборот, при уменьшении числа производителей резко сокращается предложение.

График предложения (кривая предложения) показывает соотношение между рыночными ценами и количеством товаров, которые производители желают предложить.

Основной фактор, влияющий на движение кривой предложения - это издержки производства. Как известно товары, изготавливаются фирмами ради прибыли. Например, фермы выращивают пшеницу. Они выращивают пшеницы больше, так как на данный момент пшеницу выгоднее продать, чем другую культуру. И наоборот.

Основной фактор, влияющий на движение кривой предложения - это технический прогресс. Новый посевной материал, более эффективный трактор, лучшая компьютерная программа севооборота - всё это позволяет фермеру снизить затраты производства и изменить предложение своего товара. Производственные затраты - ключевой элемент долговременного действия на "кривую предложения".

Рис. 1. Кривая предложения

3.2 Функция и кривая спроса

Спрос - это запрос фактического или потенциального покупателя, потребителя на приобретение товара по имеющимся у него средствам, которые предназначены для этой покупки. Спрос отражает, с одной стороны, потребность покупателя в некоторых товарах или услугах, желание приобрести эти товары или услуги в определенном количестве и, с другой стороны, возможность оплатить покупку по цене, находящейся в пределах "доступного" диапазона.

Вместе с этими обобщенными определениями спрос характеризуется рядом свойств и количественных параметров, из которых прежде всего следует выделить объём или величину спроса.

С позиций количественного измерения спрос на товар, понимается как объём спроса, означает количество данного товара, которое покупатели (потребители) желают, готовы и имеют денежную возможность приобрести за некоторый период по определенным ценам.

Величина спроса - количество товара или услуг определенного вида и качества, которое покупатель желает купить по данной цене в течение определенного периода времени. Величина спроса зависит от доходов покупателей, цен на товары и услуги, цен на товары-субституты и комплементарные блага, ожиданий покупателей, их вкусов и предпочтений.

Неценовые характеристики товара

Но кроме цены на величину спроса влияет и ряд других факторов, которые иногда называют неценовыми. Это прежде всего потребительские вкусы, мода, величина доходов (покупательная способность), величина цен на другие товары, возможность замещения данного товара другими.

Закон спроса - величина (объём) спроса уменьшается по мере увеличения цены товара. Математически это означает, что между величиной спроса и ценой существует обратная зависимость (однако не обязательно в виде гиперболы, представленной формулой y = a/x). То есть повышение цены вызывает понижение величины спроса, снижение же цены вызывает повышение величины спроса.

Природа закона спроса не сложная. Если у покупателя есть определенная сумма денег на приобретение данного товара, то он сможет купить тем меньше товара, чем больше цена и наоборот. Конечно, реальная картина намного сложнее, так как покупатель может привлечь дополнительные средства, купить вместо данного товара другой - товар-субститут.

Неценовые факторы, влияющие на спрос:

· Уровень доходов в обществе;

· Размеры рынка;

· Мода, сезонность;

· Наличие товаров-субститутов (заменителей);

· Инфляционные ожидания.

В ряде курсов микроэкономики закон спроса формулируется строже: Если с ростом дохода спрос на товар увеличивается, то с ростом цены данного товара спрос на него должен уменьшаться.

Данная поправка обусловлена существованием товаров Гиффена, величина спроса на которые растёт при росте цены. Но для подавляющего большинства случаев (ввиду редкости товаров Гиффена) вышеприведенная закономерность действует

Эластичность спроса - это показатель, выражающий колебания совокупного спроса, вызванные изменением цен на товары и услуги. Эластичным называется спрос, сформировавшийся при условии, что изменение его объёма (в %) превышает процентное выражение снижения цен.

Если показатели падения цен и увеличения спроса, выраженные в процентах, равны, то есть рост объёма спроса лишь компенсирует снижение уровня цен, то эластичность спроса равна единице.

В случае, когда степень понижения цен превышает показатель спроса на товары и услуги, спрос неэластичен. Следовательно, эластичность спроса - показатель степени чувствительности (реакции) потребителей к изменениям цены товара.

Эластичность спроса может быть связана не только с изменением цены на товар, но и с изменением доходов потребителей. Поэтому различают эластичность спроса по цене и по доходам. Есть и спрос с единичной эластичностью. Это ситуация, при которой и доход, и величина спроса изменяются на одинаковый процент, так что общий доход остаётся постоянным по мере изменения цены.

Реакция потребителей на изменение цены товара может быть сильной, слабой, нейтральной. Каждый из них порождает соответствующий спрос: эластичный, неэластичный, единичный. Возможны варианты, когда спрос оказывается абсолютно эластичным или совершенно неэластичным.

Эластичность спроса измеряется количественно через коэффициент эластичности по формуле:

· K _o - коэффициент эластичности спроса

· Q - процент изменения количества продажи

· P - процент изменения цены

Как правило, существуют товары с разной эластичностью по цене. В частности, хлеб и соль являются примерами неэластичного спроса. Повышение или снижение на них цен в целом не влияет на количество их потребления.

Знание степени эластичности спроса на товар имеет большое практическое значение. Так, например, продавцы товара с высокой эластичностью спроса могут пойти на снижение цены с целью резко увеличить объём продаж и получить прибыль больше, чем если бы цена товара была выше.

Для товаров с низкой эластичностью спроса подобная ценовая практика неприемлема - при снижении цены объём продаж изменится слабо и не компенсирует упущенную выгоду.

При наличии большого количества продавцов спрос на любой товар будет эластичным, поскольку даже незначительное повышение цены одним из конкурентов заставит потребителей обращаться за покупкой к другим продавцам, предлагающих этот же товар дешевле.

График спроса (кривая спроса) - отношение между рыночной ценой товара и денежным выражением спроса на неё.

Кривая спроса показывает вероятное количество товара, который удаётся продать за определенное время и по определённой цене. Чем эластичнее спрос, тем выше цена может быть установлена на товар. Эластичность спроса - это реакция рынка на отсутствие товара, возможность его замены, цену конкурентов, понижение цен, нежелание покупателей менять свои потребительские привычки и искать более дешёвые товары, повышение качества товаров, естественный рост инфляции на другие факторы.

Влияние рынка

Всех производителей (продавцов) на рынке объединяет предложение: при низкой цене продавец предложит меньше товара или может его придержать, при высокой - предложит больше товара; при очень высокой - попытается максимально увеличить производство. Так образуется цена предложения - предельно минимальная цена, по которой продавцы готовы реализовывать свои товары.

ПРИМЕНЕНИЕ ФУНКЦИЙ В ЭКОНОМИКЕ.

Функции находят широкое применение в экономической теории и практике. Спектр используемых в экономике функций весьма широк: от простейших линейных до функций, получаемых по определённому алгоритму с помощью так называемых рекуррентных соотношений, связывающих состояния изучаемых объектов в разные периоды времени.

Наряду с линейными, используются нелинейные функции, такие, как дробно-рациональные, степенные (квадратная, кубическая и т.д.), показательные (экспоненциальные), логарифмические и другие функции. Периодичность, колеблемость ряда экономических процессов позволяет также использовать тригонометрические функции.

Наиболее часто используются в экономике следующие функции:

1. Функция полезности (ф-я предпочтений) - в широком смысле зависимость полезности, т.е. результата, эффекта некоторого действия от уровня (интенсивности) этого действия.

2. Производная функция - зависимость результата производственной деятельности от обусловивших его факторов.

3. Функция выпуска - (частный вид производственной ф-ии) - зависимость объема производства от наличия или потребления ресурсов.

4. Функция издержек (частный вид производственной ф-ии) - зависимость издержек производства от объема продукции.

5. Функция спроса, потребления и предложения - зависимость объема спроса, потребления или предложения на отдельные товары или услуги от различных факторов (цены, дохода, и др.)

Учитывая, что экономические явления и процессы обуславливаются действием различных факторов, для их исследований широко используются функции нескольких переменных. среди этих функций выделяются мультипликативные функции, позволяющие представить зависимую переменную в виде произведения факторных переменных, обращающего его в нуль при отсутствии действия хотя бы одного фактора.

Используются также сепарабельные функции, которые дают возможность выделить влияние различных факторных переменных на зависимую переменную, и в частности, аддитивные функции, представляющие одну и ту же зависимую переменную как при суммарном, но раздельном воздействии нескольких факторов, так и при одновременном их воздействии.

Если действием побочных факторов можно пренебречь или удается зафиксировать эти факторы на определенных уровнях, то влияние одного главного фактора изучается с помощью функции одной переменной, рассматриваемой в данной и последующих главах. Приведём примеры.

1. Исследуя зависимости спроса на различные товары от дохода

y= (x>), y= (x>), y=

(функции Л. Торнквиста), мы можем установить уровни доходов при которых начинается приобретение тех или иных товаров и уровни (точки) насыщения для групп товаров первой необходимости (см. рис. 1).

Рис. 1

2. Рассмотрев а одной системе координат кривые спроса и предложения, можно установить равновесную (рыночную) цену данного товара в процессе формирования цен в условиях конкурентного рынка (паутинообразная модель) (см. рис. 2)

Рис. 2

3. Изучая в теории потребительского спроса кривые безразличия (линии, вдоль которых полезность 2-х благ x и y одна и та же), например задаваемые в виде xy=U, и линию бюджетного ограничения при ценах благ и доходе потребителя I, мы можем установить оптимальные количества благ , имеющих максимальную полезность . (cм. рис. 3)

Рис. 3 Рис. 4

4. Рассматривая функции издержек c (q) и дохода фирмы r (q), мы можем установить зависимость прибыли = c (q) - r (q) от объема производства q (см. рис. 4) и выявить уровни объема производства, при которых производство продукции убыточно (0<q<), дает максимальный убыток (q=) и максимальную прибыль () дает максимальный убыток (q=) и максимальную прибыль q=, и найти размеры этих убытков или прибыли.

Очевидно, что перечень подобных примеров применения функции в экономической теории и практике можно было бы продолжить.

Остановимся ещё одном важном аспекте использования функций в экономике - применение таблиц функций, которые позволяют сделать возможными различные расчеты, исключить или упростить громоздкие вычисления.

При вычислениях с помощью таблиц мы часто сталкиваемся с ситуацией, когда аргумент функции задан с большей точностью, чем позволяет таблица. В этом случае мы должны прибегнуть к интерполированию (интерполяции) - приближенному нахождению неизвестных значений функции по известным ее значениям в заданных точках.

Наиболее простым является линейное интерполирование, при котором допускается, что приращение функции пропорционально приращению аргумента. Если заданное значение x лежит между приведенными в таблице значениями и

,

то считают, что (рис. 5)

Рис. 5

Величины называют интерполяционными поправками. Эти величины вычисляются с помощью таблицы или приводятся в дополнение к таблице.

Если по заданным значениям функции необходимо произвести обратное интерполирование.

В ряде случаев точность нахождения неизвестных значений с помощью линейного интерполирования оказывается недостаточной и используются другие методы интерполирования, например квадратичное интерполирование.

Примеры решения задач.

Задача на спрос и предложение:

Получив информацию про повышение цен на кожу, руководство компании, которая владеет сетью обувных магазинов, отдало распоряжение про сокращение продавцов. Доказать верность этого решения при помощи графиков спроса и предложения.

Ответ.

Повышение цен на кожу - это неценовой фактор (кожа - сырьё для обуви) предложения, который переместит кривую влево и вверх из положения S в положение S₁. Поскольку ценовые факторы спроса по условию задачи постоянны, то кривая спроса не изменится. Следовательно перемещение кривой предложения изменит равновесный объём Q₁ на Q₂. Так как Q₁ > Q₂, значит принятое решение было верным.

Перед повышением цен на кожу равновесная цена и объём находился в точке (Р₁,Q₁). После изменения цены точка равновесия - (Р₂,Q₂).

Задача 2

Величина рыночного спроса на рынке товара Х равна 7,5 шт., цена равна 0,75руб., эластичностьпредложения: эластичность спроса . Используя эти данные, определите функцию рыночного спроса () и функцию рыночного предложения () товара Х.

Решение:

Уравнения линейных зависимостей спроса и предложения записываются так:

Предложение:

Спрос:

Подбор значения констант совершается в два этапа.

1. Значение a₁ и b₁ получаем из формулы коэффициента эластичности, которая имеет вид:

Отсюда константа - в функции спроса.

Константа - в функции предложения.

Заменив в формуле эластичности , получим:

Теперь в получившиеся формулы подставляем значения из условия:

2. Теперь, зная значение , можно найти . Подставим все значения в уравнение линейной зависимости спроса:

решив уравнение, получим

Теперь мы можем записать уравнение кривой предложения, подставив все найденные значения:

Таким же образом получаем :

решив уравнение, получим

Записываем уравнение кривой спроса:

Ответ:

1) Функция рыночного спроса имеет вид:

2) Функция рыночного предложения имеет вид: .

Задача на функцию полезности:

Решите задачу потребительского выбора, найдя функции спроса, при ценах благ p₁=5, p₂=1 и доходе I=40, со следующей функцией полезности U= (x₁-1) ^1/2* (x₂-6) ^3/4 > max.

Решение. Для двух товаров целевая функция потребления имеет вид: U= (x₁-1) ^1/₂ (x₂-6) ^3/₄ Вектор цен равен Р= (5;1); величина дохода равна 40.

Предельные полезности имеют вид:

D=40

Необходимые условия оптимума дают следующую систему уравнений (л - множитель Лагранжа):

5x₁ +x₂ =40

После подстановки первого уравнения во второе получим:

Выразив из третьего уравнения x₁ и подставив в последнее равенство, будем иметь:

Решая его относительно x₂ получим: x₂ = ¹¹⁷/₅ При, x₂ = ¹¹⁷/₅; x₁ = ⁸³/₂₅

Заключение

Подведём итоги курсовой работы.

Цель курсовой работы была выполнена - было рассмотрено понятие функции, было исследованы примеры применения функций в экономике на конкретных задачах и примерах.

По итогам работы можно сделать вывод, что наиболее часто используются в экономике следующие функции:

1. Функция полезности - в широком смысле зависимость полезности, т.е. результата, эффекта некоторого действия от уровня (интенсивности) этого действия.

2. Производственная функция - зависимость результата производственной деятельности от обусловивших его факторов.

3. Функция спроса, потребления и предложения - зависимость объема спроса, потребления или предложения на отдельные товары или услуги от различных факторов (например, цены, дохода и т.п.).

Математика как основа теории принятия решений широко применяется для управления (планирования, прогнозирования, контроля) экономическими объектами и процессами. Например, прогнозы социально-экономического развития РФ, разрабатываемые МЭРТ, основаны на математическом анализе ретроспективных показателей (динамики инфляции, ВВП и т.д.) и строятся с применением таких разделов эконометрики и прикладной статистики, как корреляционный анализ, регрессионный анализ, метод главных компонент, факторный анализ и т.д.

Не следует забывать и о том, что экономическая система - не застывшая, статичная совокупность элементов, а развивающийся, меняющийся под действием внешних и внутренних факторов механизм. При этом возникает ситуация, когда решения, принятые раньше, детерминируют частично или полностью решения, принятые позднее.

На развитие и применение математических методов огромное влияние оказало и еще окажет развитие вычислительной техники. Вычислительная техника последних поколений уже позволила на практике применить множество методов, описанных ранее лишь теоретически или на простейших примерах. Кроме всего прочего развитие систем компьютерной обработки, накопления и хранения информации создает новую, весьма обширную информационную базу, которая возможно послужит толчком к созданию новых, ранее неизвестных математических методов поиска и принятия решений

Список используемых источников

1. Высшая математика для экономистов: Учебник для вузов / Н.Ш. Кремер, Б.А. Путко, И.М. Тришин, М.Н. Фридман: Под ред. проф.Н.Ш. Кремера. М.: ЮНИТИ, 2008.

2. Исследование операций в экономике / Под ред.Н.Ш. Кремера. - М.: Банки и биржи, ЮНИТИ, 1997.

3. Курс лекций по дисциплине "ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ И МОДЕЛИ В МИРОХОЗЯЙСТВЕННЫХ СВЯЗЯХ"Е.Г. Анисимов, Т.Г. Газизулин, Д.П. Бусько, И.В. Синельников. - М.: Изд-во РТА, 2010. - 98с.

4. Глобальная экономика (энциклопедия) /под ред. И.М. Куликова. - М.: Финансы и статистика, 2011. - 920с.

Размещено на Allbest.ru