Размещено на http://www.allbest.ru/

ВСТУП

Роль прогнозування у вирішенні сучасних проблем економіки не тільки зросла, але й змінилася. Будучи обов'язковим елементом процесу ухвалення рішення й перебуваючи довгий час у тісному взаємозв'язку із плануванням, у цей час прогнозування виявилося домінантною складовою цього процесу. Однак невизначеність майбутнього й пов'язані з цим реальні ризики прийнятих рішень у соціальній і економічній сфері вимагають вказівки хоча б найбільш імовірних орієнтирів, по яких доцільно здійснювати рух у майбутнє.

Інтерес до досліджень у цій області за останнім часом значно виріс. З'явилися нові погляди на роль прогнозів у нашому житті, нові прикладні напрямки, нові підходи, терміни й методи. Незважаючи на це, роль прогнозів недооцінювалася в минулому, недооцінюється й сьогодні, незважаючи на те, що питань: «Що буде?» усе більше й більше, а переконливих відповідей усе менше й менше.

Особливий інтерес представляють дослідження, присвячені методам і особливостям прогнозування в таких прикладних областях, як фінансові ринки, маркетинг і маркетингові дослідження, фінансова стабільність, оцінка ризиків і т.д. Дослідження подібного роду породили ряд результатів компіляційного характеру, і це природно. Необхідний час для адаптивного освоєння завдань і методів, які були розроблені й застосовувалися на заході, а тепер виявилися придатними для нашої економіки. Саме в результаті цих досліджень нам стали відомі моделі фінансової економетрики, склалося більш повне уявлення про рішення реальних завдань по формуванню портфеля цінних паперів.

Прогнозування соціально-економічного розвитку є найважливішим розділом економічної науки, покликаним забезпечити державні органи влади, громадськість і суб'єкти економічної діяльності інформацією про розвиток економіки, а також пов'язаних з нею соціальних процесів. У цьому зв'язку вивчення методів соціально-економічного прогнозування є однієї з важливих завдань у системі економічного утворення. Основу всієї сукупності методів традиційно становлять статистичні методи, застосовувані для прогнозування розвитку соціальних і економічних явищ і процесів, побудови адекватних моделей часових рядів і вибору найбільш прийнятних варіантів з усіх можливих способів прогнозування. Важливе місце в системі методів прогнозування приділяється також експертним методам.

Викладені обставини визначили актуальність і вибір теми дипломної роботи, яка присвячена моделям прогнозування доходів підприємства на прикладі МКЛПУ-стоматполіклініки.

Ціль дипломної роботи полягає в побудові прогнозу обсягів доходів підприємства на наступний період (квартал) за допомогою моделей прогнозування економічних процесів.

Для досягнення поставленої цілі було розглянуто:

· поняття прогнозування та класифікація прогнозів;

· моделі прогнозування економічних процесів, зокрема поняття динамічних рядів та трендові моделі на основі кривих;

· оцінка адекватності й точності трендових моделей;

· побудова прогнозу за допомогою трендових моделей;

· поняття та застосування адаптивних моделей та побудова прогнозу за їх допомогою.

В практичній частині на конкретному прикладі було зроблено аналіз даних та прогноз на наступний період. Прогноз було реалізовано за допомогою програмного продукту Microsoft Excel.

Прогноз побудовано за допомогою адаптивної моделі експоненціального згладжування (модель Р.Брауна).

1. ПРОГНОЗУВАННЯ СОЦІАЛЬНО-ЕКОНОМІЧНИХ ПРОЦЕСІВ

адаптивний економічний прогнозування прибуток

1.1 Вихідні поняття прогнозування, його сутність, предмет і об'єкт

У процесі реформування економіки все більше зростає попит на прогнозні дослідження соціально-економічних процесів на різних рівнях керування й прийняття рішень. Правильний вибір рішення перебуває в прямій залежності від якості його обґрунтування. Прогнозування є однієї з функцій керування, поряд з аналізом, організацією, плануванням, мотивацією й т.д. Активними споживачами прогнозних розробок є мільйони агентів ринку, домашні господарства, органи державного й територіального керування.

До теперішнього часу накопичені достатній досвід і набір інструментів як для довгострокового, так і короткострокового прогнозування. Прогнозування - це науково-обґрунтоване пророкування найбільш імовірного зростання, тенденцій і особливостей розвитку керованого об'єкта в перспективному періоді на основі виявлення й правильної оцінки стійких зв'язків і залежностей між минулим, сьогоденням і майбутнім. Відмітна особливість прогнозування полягає в тому, що воно обґрунтовує виникнення таких процесів і форм матеріального і духовного життя суспільства, які в цей момент недоступні безпосередньому сприйняттю, а також перевірці на практиці.

Прогнозування дозволяє розкрити стійкі тенденції, або, навпаки, істотні зміни в соціально-економічних процесах, оцінити їхню ймовірність для майбутнього планового періоду, виявити можливі альтернативні варіанти, нагромадити науковий і емпіричний матеріал для обґрунтованого вибору тої або іншої концепції розвитку або планового рішення.

У прогнозуванні виділяють два аспекти: теоретико-пізнавальний і управлінський, зв'язаний з можливістю прийняття управлінських рішень на основі отриманого знання.

Залежно від ступеня конкретизації й характеру впливу на хід досліджуваних процесів розрізняють три форми передбачення: гіпотезу, прогноз і план ( програму).

Гіпотеза характеризує наукове передбачення на рівні загальної теорії. Вихідну базу побудови гіпотези становлять теорія й відкриті на її основі закономірності й причинно-наслідкові зв'язки функціонування й розвитку досліджуваних об'єктів. На рівні гіпотези дається якісна характеристика, що виражає загальні закономірності поводження об'єктів.

Прогноз - імовірнісне науково обґрунтоване судження про перспективи, можливі стани того або іншого явища в майбутньому й (або) про альтернативні шляхи й строки їхнього здійснення. Прогноз, у порівнянні з гіпотезою, має значно більшу визначеність, оскільки ґрунтується не тільки на якісних, але й на кількісних параметрах і тому дозволяє характеризувати майбутній стан об'єкта також і кількісно. Прогноз виражає передбачення на рівні конкретно-прикладної теорії. Таким чином, прогноз відрізняється від гіпотези меншим ступенем невизначеності й більшою вірогідністю.

План являє собою постановку точно визначеної мети й передбачення конкретних, детальних подій у розвитку досліджуваного об'єкта. У ньому фіксуються шляхи й засоби розвитку відповідно до поставлених завдань, обґрунтовуються прийняті управлінські рішення. У плані передбачення одержує найбільшу конкретність та визначеність. Як і прогноз, план основується на результатах і досягненнях конкретно-прикладної теорії.

Програма - рішення щодо сукупності заходів, необхідних для реалізації науково-технічних, екологічних, соціально-економічних і інших проблем або якихось їхніх аспектів. Програма може бути передплановим рішенням, а також конкретизувати певний аспект плану.

Прогнозування не зводиться до спроб передбачити деталі майбутнього, хоча в деяких випадках це суттєво. Дослідник виходить у цьому випадку з діалектичної детермінації явищ майбутнього, з розуміння того, що необхідність пробиває собі дорогу через подолання випадковості, що до явищ майбутнього потрібний імовірнісний підхід з урахуванням широкого набору можливих варіантів. Тільки при такому підході прогнозування може бути ефективно використане для вибору найбільш ймовірного або найбільш бажаного, оптимального варіанта при обґрунтуванні мети, плану, програми, проекту, взагалі, рішення.

Прогнози повинні передувати планам, містити оцінку ходу наслідків виконання (або невиконання) планів, охоплювати все, що не піддається плануванню, рішенню. Вони можуть охоплювати в принципі будь-який відрізок часу. Прогноз і план відрізняються способами оперування інформацією про майбутнє. Імовірнісний опис можливого або бажаного - це прогноз. Обґрунтоване рішення щодо заходів для досягнення можливого, бажаного - це план. Прогноз і план можуть розроблятися незалежно друг від друга. Але щоб план був ефективним, оптимальним, йому повинен передувати прогноз, по можливості безперервний, що дозволяє обґрунтувати даний і наступний плани.

Одним з важливих напрямків прогнозування суспільного розвитку є соціально-економічне прогнозування - наукова дисципліна, що має своїм об'єктом соціально-економічну систему, а предметом - пізнання можливих станів функціонування об'єктів у майбутньому, дослідження закономірностей і способів розробки економічних прогнозів.

Соціально-економічне прогнозування основується на досягненнях науки в області пізнання закономірностей розвитку суспільства, з'ясування тенденцій соціально-економічного й технологічного прогресу. Важлива роль в удосконалюванні економічного прогнозування, підвищення вірогідності розроблювальних прогнозів належить також прикладній науковій дисципліні, що вивчає закономірності й способи розробки прогнозів розвитку об'єктів будь-якої природи - прогностиці, у тому числі економічній прогностиці.

Прогнозування тісно зв'язане зі статистикою й багато в чому базується на статистичних даних і методах дослідження масових явищ. Особливе значення в наш час має прикладна статистика, яка адаптує методи багатомірного статистичного аналізу до рішення соціально-економічних завдань. При цьому вирішуються наступні завдання: типологізація (класифікація) або виявлення однорідних у певному змісті класів; зниження розмірності досліджуваного простору даних і відновлення (прогноз) значень залежних показників за значеннями певного набору незалежних ознак.

Останнє завдання фактично є економетричною проблемою. Економетрика, поряд з мікроекономікою і макроекономікою, входить до числа базових дисциплін сучасного економічного утворення. Економетрика в буквальному перекладі позначає «виміри в економіці».

Таким чином, наведені дисципліни тісно зв'язані між собою, істотним моментом є обов'язкова методологічна складова у вигляді економічної теорії.

Типологія прогнозів може будуватися за різними критеріями залежно від цілей, завдань, об'єктів, предметів, проблем, характеру, періоду попередження, методів, організації прогнозування й т.д.

За проблемно-цільовим критерієм (для чого розробляється прогноз) розрізняють два типи прогнозів:

· пошуковий прогноз (дослідницький, трендовий, генетичний і т.п.) - визначення можливих станів явища в майбутньому. Мається на увазі умовне продовження в майбутнє тенденцій розвитку досліджуваного явища колись і тепер, абстрагуючись від можливих рішень, дії на основі яких здатні радикально змінити тенденції, викликати в ряді випадків самоздійснення або саморуйнування прогнозу. Такий прогноз відповідає на запитання: що найімовірніше відбудеться за умови збереження існуючих тенденцій?

· нормативний прогноз (програмний, цільовий) - визначення шляхів і строків досягнення можливих станів явища, прийнятих за мету. Мається на увазі прогнозування досягнення бажаних станів на основі заздалегідь заданих норм, ідеалів, стимулів, цілей. Такий прогноз відповідає на запитання: якими шляхами досягти бажаного?

Пошуковий прогноз будується з використанням певної шкали (поля, спектра) можливостей, на якій потім встановлюється ступінь ймовірності прогнозованого явища. При нормативному прогнозуванні відбувається такий же розподіл ймовірностей, але вже у зворотному порядку: від заданого стану до спостережуваних тенденцій.

За критерієм співвіднесення з різними формами конкретизації керування можливе виділення підтипів пошукових і нормативних прогнозів:

· цільовий прогноз відповідно бажаних станів відповідає на запитання: що саме бажано й чому? Відбувається побудова за певною шкалою можливостей функції оцінювання розподілу переваги: небажано - менш бажано - більш бажано - найбільше бажано - оптимально.

· плановий прогноз являє собою по суті вироблення пошукової й нормативної прогнозної інформації для відбору найбільш доцільних планових нормативів, індикативних або директивних завдань із виявленням небажаних, підлягаючих усуненню альтернатив і з ретельним з'ясуванням віддалених, прямих і непрямих наслідків прийнятих планових рішень. Такий прогноз відповідає на запитання: як, у якому напрямку орієнтувати планування, щоб ефективніше досягти поставлених цілей?

· програмний прогноз можливих шляхів, мір і умов досягнення передбачуваного стану прогнозованого явища відповідає на запитання: що конкретно необхідно, щоб досягти бажаного? Для відповіді на це питання важливі й пошукові й нормативні прогнозні розробки. Перші виявляють проблеми, які потрібно вирішити, щоб реалізувати програму, другі визначають умови реалізації. Програмне прогнозування повинне сформулювати гіпотезу про можливі взаємовпливи різних факторів, указати гіпотетичні строки й черговість досягнення проміжних цілей на шляху до головного. Тим самим як би завершується відбір можливостей розвитку об'єкта дослідження, початий плановим прогнозуванням.

· проектний прогноз конкретних образів того або іншого явища в майбутньому при допущенні ряду поки ще відсутніх умов відповідає на запитання: як (конкретно) це можливо, як це може виглядати? Проектні прогнози (їх називають ще прогнозними проектами, дизайн-прогнозами) покликані сприяти відбору оптимальних варіантів перспективного проектування, на основі яких повинне розгортатися потім реальне, поточне проектування.

· організаційний прогноз поточних рішень (застосовується до сфери керування) для досягнення передбаченого бажаного стану явища, поставлених цілей відповідає на запитання: у якому напрямку орієнтувати рішення, щоб досягти мети? Зіставлення результатів пошукових і нормативних розробок повинне охоплювати весь комплекс організаційних заходів, підвищуючи тим самим загальний рівень керування.

· За періодом упередження - проміжку часу, на який розрахований прогноз - розрізняються:

· оперативний, як правило, розрахований на перспективу, протягом якої не очікується істотних змін об'єкта дослідження - ні кількісних, ні якісних;

· короткостроковий - розрахований на перспективу, протягом якої не очікується істотних кількісних змін об'єкта дослідження;

· довгостроковий - розрахований на перспективу, протягом якої очікуються істотні не тільки кількісні, але й якісні зміни об'єкта дослідження;

· середньостроковий - охоплює перспективу між коротко- і довгостроковим прогнозами з перевагою кількісних змін над якісними;

· далекостроковий - охоплює перспективу, протягом якої очікуються настільки значні якісні зміни, що можна говорити лише про самі загальні перспективи розвитку досліджуваного явища або процесу.

Тимчасова градація прогнозів є в певній мері умовною й залежить від характеру й мети даного прогнозу. В соціально-економічних прогнозах емпірично встановлений наступний часовий масштаб: оперативні прогнози мають тривалість до одного місяця, короткострокові - до одного року, середньострокові - на розраховані трохи (до п'яти) років, довгострокові - на період понад п'ять і, приблизно, до п'ятнадцяти - двадцяти років, далекострокові - за межами довгострокових.

За об'єктом дослідження розрізняються природознавчі, науково-технічні й суспільствознавчі (соціальні в широкому значенні цього терміна) прогнози.

У природознавчих прогнозах застосовне пошукове прогнозування з орієнтацією на можливо більш точне безумовне пророкування майбутнього стану явища. Яскравий приклад - метеорологічний прогноз.

У суспільствознавчих прогнозах необхідне сполучення пошукових і нормативних розробок, тобто умовних пророкувань із орієнтацією на підвищення ефективності керування. Прикладом може бути прогноз результатів виборів для тої або іншої політичної партії.

Науково-технічні прогнози займають проміжне місце між природознавчими й суспільствознавчими прогнозами. Вони, як правило, ґрунтуються на наявному досвіді (нормативні розробки), і можуть бути пошуковими. Прикладом такого прогнозу є тенденції в технологіях виробництва кристалів для комп'ютерів, що відслідковуються й прогнозуються зацікавленими фірмами.

1.2 Аналітичний огляд моделей і методів прогнозування

Розвиток прогностики як науки в останні десятиліття призвело до створення багатьох методів, процедур, прийомів прогнозування, нерівноцінних за своїм значенням. По оцінкам зарубіжних та вітчизняних систематиків прогностики вже налічується більш як сто методів прогнозування, у зв'язку з чим перед спеціалістами виникає проблема вибору методів, які давали б адекватні прогнози для вивчення процесів або систем.

Для розуміння того, які переваги надають запропоновані методи аналізу даних і прогнозування, необхідно вказати на три принципові проблеми, які виникають при прогнозуванні.

Перша проблема - це визначення необхідних і достатніх параметрів для оцінки стану досліджуваної предметної області.

Друга проблема полягає в так званому "проклятті розмірності". Бажання врахувати в моделі як можна більше показників і критеріїв оцінки може призвести до того, що необхідна для її рішення комп'ютерна система наблизиться до "границі Т'юрінга" (обмеження на швидкодію та розміри обчислювального комплексу в залежності від кількості інформації, яка обробляється в одиницю часу).

Третя проблема - наявність феномену "надсистемності". Взаємодіючі системи утворюють систему більш високого рівня, яка володіє власними властивостями, що робить принципово недосяжною можливість надсистемного відображення та цільових функцій з точки зору систем, які входять у надсистему.

У літературі є багато схем, які класифікують методи прогнозування. Однак, більшість з низ або неприйнятні, або володіють недостатньою пізнавальною цінністю. Основною похибкою існуючих класифікуючих схем є порушення принципів класифікації. До числа основних таких принципів відносяться:

· достатня повнота охоплення прогностичних методів;

· єдність ознаки класифікації на кожному рівні поділу;

· відкритість.

Безумовно, мають право на існування приватні класифікаційні схеми, призначені для певної мети або задачі.

Кожен рівень деталізації визначається своєю ознакою класифікації:

· ступенем формалізації;

· загальним принципом дії;

· способом отримання прогнозної інформації.

Схема класифікації методів прогнозування показана в таблиці 1:

Таблиця 1 «Класифікація методів прогнозування»

Методи прогнозування
Інтуїтивні методи	Формалізовані методи
Індивідуальні експертні оцінки	Колективні експертні оцінки	Методи прогнозної екстраполяції	Системно-структурні методи і моделі	Асоціативні методи	Методи випереджальної інформації
Метод "інтерв'ю"	Метод "комісій"	Проста екстраполяція	Морфологічний аналіз	Імітаційне моделювання	Аналіз потоків публікацій
Аналітичні докладні записки	Метод "Делфі"	Метод ковзної середньої	Системний аналіз
			Матричний метод
Побудова сценаріїв	Колективна генерація ідей ("мозкова атака")	Метод експоненціального згладжування	Регресійні моделі	Історико-логічний аналіз	Оцінка значимості винаходів
			Економетричні методи
Метод генерації ідей	Метод керованої генерації ідей	Екстраполяція трендів	Функціонально-ієрархічне моделювання		Аналіз патентної інформації
	Синоптичний метод	Авторегресійні методи	Мережеве моделювання

За ступенем формалізації всі методи прогнозування діляться на інтуїтивні й формалізовані. Інтуїтивне прогнозування застосовується тоді, коли об'єкт прогнозування або дуже простий, або настільки складний, що аналітично врахувати вплив багатьох чинників практично неможливо. У цих випадках застосовують досвід експертів. Отримані індивідуальні й колективні експертні оцінки використовують як кінцеві прогнози або як початкові дані в комплексних системах прогнозування.

При виборі методу прогнозування важливим показником є глибина прогнозу. Для цього можна використовувати запропонований В. Білоконем безрозмірний показник глибини (дальності) прогнозування (?)

(1)

де - абсолютний час упередження;

- величина еволюційного циклу об'єкта прогнозування.

Формалізовані методи прогнозування є діючими, якщо величина глибини упередження вкладається в рамки еволюційного циклу (?<<1). При виникненні в рамках прогнозного періоду "стрибка" у розвитку об'єкта прогнозування (? ? 1) необхідно використовувати інтуїтивні методи, як для визначення сили "стрибка", так і для оцінки години його реалізації, або теорію катастроф. У такому випадку формалізовані методи застосовуються для оцінки еволюційних ділянок розвитку до і після стрибка. Якщо ж у прогнозному періоді вкладається декілька еволюційних циклів розвитку об'єкта прогнозування (?>>1), те при комплексуванні систем прогнозування велике значення мають інтуїтивні методи.

У залежності від загальних принципів дії інтуїтивні методи прогнозування, наприклад, можна поділити на дві групи:

· індивідуальні експертні оцінки;

· колективні експертні оцінки.

До групи індивідуальних експертних оцінок можна віднести слідуючі методи:

· метод "інтерв'ю";

· аналітичні докладні записки;

· написання сценарію.

До групи колективних експертних оцінок входять такі методи:

· анкетування;

· методи "комісій";

· "мозкових атак" (колективної генерації ідей).

Клас формалізованих методів у залежності від загальних принципів дії можна поділити на групи екстраполяційних, системно-структурних, асоціативних методів і методів випереджувальної інформації.

До групи методів прогнозної екстраполяції можна включити метод найменших квадратів, експоненціального згладжування, ймовірного моделювання та адаптивного згладжування.

До групи системно-структурних методів відносять методи функціонально-ієрархічного моделювання, морфологічного аналізу, матричний, мережевого моделювання, структурної аналогії.

Асоціативні методи можна поділити на методи імітаційного моделювання та історико - логічного аналізу.

До групи методів випереджувальної інформації включають методи аналізу потоків публікацій, оцінки значущості зображення та аналізу патентної інформації.

Представлений перелік методів та їх груп не є вичерпним. Нижні рівні класифікації є відкритими для введення нових елементів, які можуть з'явитися в процесі подальшого розвитку інструментарію прогностики.

1.3 Моделі прогнозування економічних процесів

1.3.1 Поняття економічних рядів динаміки

Динамічні процеси, що відбуваються в економічних системах, найчастіше проявляються у вигляді ряду послідовно розташованих у хронологічному порядку значень того або іншого показника, що у своїх змінах відображають хід розвитку досліджуваного явища в економіці. Ці значення, зокрема, можуть служити для обґрунтування (або заперечення) різних моделей соціально-економічних систем. Вони служать також основою для розробки прикладних моделей особливого виду, так званих, трендовими моделями.

Насамперед дамо ряд визначень. Послідовність спостережень одного показника (ознаки), упорядкованих залежно від послідовно зростаючих або спадаючих значень іншого показника (ознаки), називають динамічним рядом, або рядом динаміки. Якщо в якості ознаки, залежно від якої відбувається впорядкування, береться час, то такий динамічний ряд називається часовим рядом. Так як в економічних процесах, як правило, впорядкування відбувається у відповідності з часом, то при вивченні послідовних спостережень економічних показників всі три наведені вище терміни використовуються як рівнозначні. Складовими елементами рядів динаміки є, таким чином, цифрові значення показника, які називають рівнями цих рядів, і моменти або інтервали часу, до яких відносять рівні.

Часові ряди, утворені показниками, що характеризують економічне явище на певні моменти часу, називаються моментними.

Якщо рівні часового ряду утворяться шляхом агрегування за певний проміжок (інтервал) часу, то такі ряди називаються інтервальними часовими рядами.

Часові ряди можуть бути утворені як з абсолютних значень економічних показників, так і із середніх або відносних величин - це похідні ряди.

Під довжиною часового ряду розуміють час, що пройшов від початкового моменту спостереження до кінцевого. Часто довжиною ряду називають кількість рівнів, що входять у часовий ряд. Якщо в часовому ряді проявляється тривала («вікова») тенденція зміни економічного показника, то говорять, що має місце тренд. Таким чином, під трендом розуміють зміни, що визначають загальний напрямок розвитку, основну тенденцію часових рядів. У зв'язку із цим економіко-математична динамічна модель, у якій розвиток економічної системи, що моделюється, відображається через тренд її основних показників, називається трендовою моделлю. Для виявлення тренда в часових рядах, а також для побудови й аналізу трендових моделей використовується апарат теорії ймовірностей і математичної статистики, розроблений для простих статистичних сукупностей. Відмінність часових економічних рядів від простих статистичних сукупностей полягає насамперед у тім, що послідовні значення рівнів часового ряду залежать один від одного. Тому застосовування висновків і формул теорії ймовірностей і математичної статистики вимагає обережності при аналізі часових рядів, особливо при економічній інтерпретації результатів аналізу.

Припустимо, є часовий ряд, що складається з рівнів:

У самому загальному випадку часовий ряд економічних показників можна розкласти на чотири структурно утворюючі елементи:

· тренд, складові якого будемо позначати ;

· сезонна компонента, позначена через ;

· циклічна компонента, позначена через ;

· випадкова компонента, яку позначимо .

Під трендом, як ми вже відзначали вище, розуміється стійка систематична зміна процесу протягом тривалого часу.

У часових рядах економічних процесів можуть мати місце більш-менш регулярні коливання. Якщо вони носять строго періодичний або близький до нього характер і завершуються протягом одного року, то їх називають сезонними коливаннями. У тих випадках, коли період коливань становить кілька років, то говорять, що в часовому ряді присутня циклічна компонента.

Тренд, сезонна і циклічна компоненти називаються регулярними, або систематичними компонентами часового ряду. Складова частина часового ряду, що залишається після виділення з нього регулярних компонентів, являє собою випадковий, нерегулярний компонент. Вона є обов'язковою складовою частиною будь-якого часового ряду в економіці, тому що випадкові відхилення неминуче супроводжують будь-яке економічне явище. Якщо систематичні компоненти часового ряду визначені правильно, що саме й становить одну з головних цілей при розробці трендових моделей, то компонента, що залишилася після виділення з часового ряду цих компонентів так звана залишкова послідовність (ряд залишків) буде випадковим компонентом ряду, тобто буде мати наступні властивості:

· випадковість коливань рівнів залишкової послідовності;

· відповідність розподілу випадкової компоненти нормальному закону розподілу;

· рівність математичного очікування випадкової компоненти нулю;

· незалежність значень рівнів випадкової послідовності, тобто відсутність істотної автокореляції.

Перевірка адекватності трендових моделей полягає в необхідності перевірити виконання вище вказаних властивостей залишкової послідовності. Якщо не виконується хоча б одне з них, говорять, що модель неадекватна; при виконанні всіх чотирьох властивостей - модель адекватна.

1.3.2 Трендові моделі на основі кривих росту

Основна мета створення трендових моделей економічної динаміки - на їхній основі зробити прогноз розвитку досліджуваного процесу на майбутній проміжок часу. Прогнозування на основі часового ряду економічних показників відноситься до одномірних методів прогнозування, що базується на екстраполяції, тобто на продовженні на майбутнє тенденції, що спостерігалася в минулому. При такому підході передбачається, що прогнозований показник формується під впливом великої кількості факторів, виділити які або неможливо, або по яких відсутня інформація. У цьому випадку зміни даного показника пов'язують не з факторами, а із часом, що проявляється в утворенні одномірних часових рядів. Розглянемо метод екстраполяції на основі так званих кривих росту економічної динаміки.

Використання методу екстраполяції на основі кривих росту для прогнозування базується на двох припущеннях:

· часовий ряд економічного показника дійсно має тренд, тобто переважну тенденцію;

· загальні умови, що визначали розвиток показника в минулому, залишаться без істотних змін протягом періоду упередження.

У теперішній час налічується велика кількість типів кривих росту для економічних процесів. Щоб правильно підібрати найкращу криву росту для моделювання й прогнозування економічного явища, необхідно знати особливості кожного виду кривих. Найчасті в економіці використовуються поліноміальні, експонентні й S-подібні криві росту. Найпростіші поліноміальні криві росту мають вигляд:

(поліном першого порядку) (2)

(поліном другого порядку) (3)

(поліном третього порядку) (4)

де - параметр лінійного приросту,

- параметр прискоренням росту,

- параметр зміни прискорення росту.

Для полінома першого порядку (2) характерний постійний закон росту. Якщо розрахувати перші прирости за формулою

(5)

то вони будуть постійної величини і рівні .

Якщо перші прирости розрахувати для полінома другого порядку (3) , то вони будуть мати лінійну залежність від часу й ряд з перших приростів на графіку буде представлений прямою лінією. Другі прирости для полінома другого порядку будуть постійні.

Для полінома третього порядку (4) перші прирости будуть поліномами другого порядку, другі прирости будуть лінійною функцією часу, а треті прирости, що розраховуються за формулою (6), будуть постійною величиною.

На основі сказаного можна відмітити наступні властивості поліноміальних кривих росту:

· від полінома вищого порядку можна шляхом розрахунку послідовних різниць (приростів) перейти до полінома більше нижчого порядку;

· значення приростів для поліномів будь-якого порядку не залежать від значень самої функції .

Таким чином, поліноміальні криві росту можна використовувати для апроксимації (наближення) і прогнозування економічних процесів, у яких наступний розвиток не залежить від досягнутого рівня.

На відміну від використання поліноміальних кривих використання експоненціальних кривих росту припускає, що подальший розвиток залежить від досягнутого рівня, наприклад, приріст залежить від значення функції. В економіці найчастіше застосовуються два різновиди експоненціальних (показникових) кривих: проста експонента й модифікована експонента.

Проста експонента має вигляд:

(7)

де і - позитивні числа, при цьому якщо >1, то функція зростає з ростом часу , якщо <1 - функція спадає.



Рис.1 «Проста експонента »

Можна помітити, що ордината даної функції змінюється з постійним темпом приросту. Якщо взяти відношення приросту до самої ординати, воно буде постійною величиною:

(8)

Прологарифмуємо вираз даної функції з будь-якою основою:

(9)

Звідси видно, що логарифми ординат простої експоненти лінійно залежать від часу.

Модифікована експонента має вигляд

(10)

де постійні величини: <0, <1 і додатна, а константа зветься асимптотами цієї функції, тобто значення функції необмежено наближаються (знизу) до величини .

Рис. 2 «Модифікована експонента »

Можуть бути інші варіанти модифікованої експоненти, але на практиці найчастіше зустрічається зазначена вище функція.

В економіці досить поширені процеси, які спочатку зростають повільно, потім прискорюються, а потім знову сповільнюють свій ріст, наближаючись до певної межі. Як приклад можна привести процес введення деякого об'єкта в промислову експлуатацію, процес зміни попиту на товари, що володіють здатністю досягати деякого рівня насичення, та ін. Для моделювання таких процесів використовуються так звані S-подібні криві росту, серед яких виділяють криву Гомперца й логістичну криву.

Крива Гомперца має вигляд:

(11)

де , - додатні параметри, причому <1; параметр - асимптота функції.



Рис.3 « Крива Гомперца »

У кривій Гомперца виділяються чотири ділянки: на першій - приріст функції незначний, на другій - приріст збільшується, на третій ділянці приріст приблизно постійний, на четвертій - відбувається сповільнення темпів приросту й функція необмежено наближається до значення . В результаті конфігурація кривої нагадує латинську букву S.

Логарифм даної функції є експоненціальною кривою; логарифм відношення першого приросту до самої ординати функції - лінійна функція часу.

На підставі кривої Гомперца описується, наприклад, динаміка показників рівня життя; модифікації цієї кривої використовуються в демографії для моделювання показників смертності й т.д.

Логістична крива, або крива Перла-Ріда - зростаюча функція, найчастіше виражається у вигляді:

(12)

інші види цієї кривої:

 ; . (13)

У цих виразах (12), (13) і - додатні параметри; - граничне значення функції при нескінченно зростаючому часі.

Рис.4 « Логістична крива »

Якщо взяти похідну даної функції (12), то можна побачити, що швидкість зростання логістичної кривої в кожний момент часу пропорційна досягнутому рівню функції й різниці між граничним значенням і досягнутим рівнем. Логарифм відношення першого приросту функції до квадрата її значення (ординати) є лінійна функція від часу.

Конфігурація графіка логістичної кривої близька до графіка кривої Гомперца, але на відміну від останньої логістична крива має точку симетрії, що співпадає з точкою перегину.

Для вибору виду поліноміальної кривої росту найпоширенішим методом є метод кінцевих різниць (метод Тінтнера). Цей метод може бути використаний для попереднього вибору поліноміальної кривої, якщо, по-перше, рівні тимчасового ряду складаються тільки із двох компонентів: тренд і випадковий компонент, і по-друге, тренд є досить гладким, щоб його можна було апроксимувати поліномом деякого порядку.

Більш універсальним методом попереднього вибору кривих росту, що дозволяє вибрати криву із широкого класу кривих росту, є метод характеристик приросту. Він заснований на використанні окремих характерних властивостей кривих, розглянутих вище. При цьому методі вихідний часовий ряд попередньо згладжується методом простої ковзної середньої.

Відповідно до характеру зміни середніх приростів і похідних показників вибирається вид кривої росту для вихідного часового ряду.

На практиці при попередньому виборі відбирають звичайно дві-три криві росту для подальшого дослідження й побудови трендової моделі даного часового ряду.

Розглянемо методи визначення параметрів відібраних кривих росту. Параметри поліноміальних кривих оцінюються, як правило, методом найменших квадратів, суть якого полягає в тому, щоб сума квадратів відхилень фактичних рівнів ряду від відповідних вирівняних по кривій росту значень була найменшою. Цей метод приводить до системи так званих нормальних рівнянь для визначення невідомих параметрів відібраних кривих.

Для полінома першого порядку (2) система нормальних рівнянь має вид:

(14)

Аналогічна система для полінома другого порядку (3)

(15)

Для полінома третього порядку (4) система нормальних рівнянь записується в такому вигляді:

(16)

Параметри експоненціальних і S-подібних кривих знаходяться більш складними методами. Для простої експоненти попередньо логарифмують вираз за деякою основою (наприклад, десятковою або натуральною):

(17)

тобто для логарифма функції одержують лінійний вираз, а потім для невідомих параметрів і складають по методу найменших квадратів систему нормальних рівнянь, аналогічну системі для полінома першого порядку. Розв'язавши цю систему, знаходять логарифми параметрів, а потім і самі параметри моделі.

При визначенні параметрів кривих росту, що мають асимптоти (модифікована експонента, крива Гомперца, логістична крива), розрізняють два випадки. Якщо значення асимптоти відомо заздалегідь, то шляхом нескладної модифікації формули й наступного логарифмування визначення параметрів зводять до рішення системи нормальних рівнянь, невідомими якої є логарифми параметрів кривої.

Якщо значення асимптоти заздалегідь невідомо, то для знаходження параметрів зазначених вище кривих росту використовуються наближені методи: метод трьох точок, метод трьох сум та ін.

Таким чином, при моделюванні економічної динаміки, заданої часовим рядом, шляхом згладжування вихідного ряду, визначення наявності тренда, відбору однієї або декількох кривих росту й визначення їхніх параметрів у випадку наявності тренда одержують одну або декілька трендових моделей для вихідного часового ряду. Постає питання, наскільки ці моделі близькі до економічної реальності, відображенні в часовому ряді, наскільки доцільне застосування цих моделей для аналізу й прогнозування досліджуваного економічного явища.

1.4 Оцінка адекватності й точності трендових моделей

Незалежно від виду й способу побудови економіко-математичної моделі питання про можливість її застосування з метою аналізу й прогнозування економічного явища може бути вирішене тільки після встановлення адекватності, тобто відповідності моделі досліджуваному процесу або об'єкту. Так як повної відповідності моделі реальному процесу або об'єкту бути не може, адекватність - якоюсь мірою умовне поняття. При моделюванні мається на увазі адекватність не взагалі, а по тим властивостям моделі, які вважаються істотними для дослідження.

Трендова модель конкретного часового ряду вважається адекватною якщо правильно відображає систематичні компоненти часового ряду. Ця вимога еквівалентна тому, щоб залишкова компонента , задовольняла властивостям випадкової компоненти часового ряду, тобто: випадковість коливань рівнів залишкової послідовності, відповідність розподілу випадкової компоненти нормальному закону розподілу, рівність математичного очікування випадкової компоненти нулю, незалежність значень рівнів випадкової компоненти. Розглянемо, яким чином здійснюється перевірка цих властивостей залишкової послідовності.

Перевірка випадковості коливань рівнів залишкової послідовності означає перевірку гіпотези про правильність вибору виду тренда. Для дослідження випадковості відхилень від тренда ми маємо у своєму розпорядженні набір різниць

(18)

Характер цих відхилень вивчається за допомогою ряду непараметричних критеріїв. Одним з таких критеріїв є критерій серій, заснований на медіані вибірки. Ряд з величин розташовують у порядку зростання їхніх значень і знаходять медіану отриманого варіаційного ряду, тобто серединне значення при непарному або середню арифметичну із двох серединних значень при парному. Повертаючись до вихідної послідовності і порівнюючи значення цієї послідовності з , будемо ставити знак «плюс», якщо значення перевершує медіану, і знак «мінус», якщо воно менше медіани; у випадку рівності порівнюваних величин відповідне значення опускається. Таким чином, виходить послідовність, що складається із плюсів і мінусів, загальне число яких не перевершує . Послідовність підряд ідучих плюсів або мінусів називається серією. Для того щоб послідовність була випадковою вибіркою, довжина найдовшої серії не повинна бути занадто великою, а загальне число серій - занадто малим.

Позначимо довжину найдовшої серії через , а загальне число серій - через . Вибірка є випадковою, якщо виконуються наступні нерівності для 5%-го рівня значущості:

(19)

Якщо хоча б одна із (19) нерівностей порушується, то гіпотеза про випадковий характер відхилень рівнів часового ряду від тренда відкидається , а трендова модель визнається неадекватною.

Іншим критерієм для даної перевірки може слугувати критерій піків (поворотних точок). Рівень послідовності вважається максимумом, якщо він більше двох поряд розташованих рівнів, тобто ,і мінімумом, якщо він менше обох сусідніх рівнів, тобто . В обох випадках вважається поворотною точкою; загальне число поворотних точок для залишкової послідовності позначимо через .

У випадковій вибірці математичне очікування числа точок повороту і дисперсія виражаються формулами:

(20)

Критерієм випадковості з 5%-м рівнем значущості, тобто з довірчою ймовірністю 95%, є виконання нерівності

(21)

Якщо (21) нерівність не виконується, трендова модель вважається неадекватною.

Перевірка відповідності розподілу випадкової компоненти нормальному закону розподілу може бути зроблена лише приблизно за допомогою дослідження показників асиметрії () і ексцесу (), так як часові ряди, як правило, не дуже великі. При нормальному розподілі показники асиметрії й ексцесу деякої генеральної сукупності дорівнюють нулю. Ми припускаємо, що відхилення від тренда являють собою вибірку з генеральної сукупності, тому можна визначити тільки вибіркові характеристики асиметрії й ексцесу та їх помилки:

(22)

де - вибіркова характеристика асиметрії;

- вибіркова характеристика ексцесу;

і - відповідні середньоквадратичні помилки.

Якщо одночасно виконуються наступні нерівності:

(23)

то розподіл випадкової компоненти вважається нормальним.

Якщо виконується хоча б одна з нерівностей

(24)

то розподіл не вважається нормальним, а трендова модель неадекватна. Інші випадки вимагають додаткової перевірки за допомогою більш складних критеріїв.

Крім розглянутого методу відомий ряд інших методів перевірки нормальності закону розподілу випадкової величини: метод Вестергарда, RS-критерій і т.д. Розглянемо найбільш простий з них, який базується на RS-критерію. Цей критерій дорівнює відношенню розмаху варіації випадкової величини R до стандартного відхилення S.

В даному випадку , а . Обчислене значення RS-критерію порівнюється з табличними нижньою й верхньою границями даного відношення, і якщо це значення не попадає в інтервал між критичними границями, то із заданим рівнем значимості гіпотеза про нормальність розподілу відкидається; у противному випадку ця гіпотеза приймається.

Перевірка рівності математичного очікування випадкової компоненти нулю, якщо вона розподілена за нормальним законом, здійснюється за допомогою t-критерію Ст'юдента. Розрахункове значення цього критерію задається формулою

(25)

де - середнє арифметичне значення рівнів залишкової послідовності ;

- стандартне (середньоквадратичне) відхилення для цієї послідовності.

Якщо розрахункове значення t менше табличного значення статистики Ст'юдента із заданим рівнем значимості й числом ступенів свободи , то гіпотеза про рівність нулю математичного очікування випадкової послідовності приймається; у противному випадку ця гіпотеза відкидається й модель вважається неадекватною.

Перевірка незалежності значень рівнів випадкової компоненти, тобто перевірка відсутності істотної автокореляції в залишковій послідовності може здійснюватися по ряду критеріїв, найпоширенішим з яких є -критерій Дарбіна-Уотсона. Розрахункове значення цього критерію обчислюється за формулою

(26)

Помітимо, що розрахункове значення критерію Дарбина-Уотсона в інтервалі від 2 до 4 свідчить про від'ємний зв'язок; у цьому випадку його треба перетворити по формулі і в подальшому використовувати значення .

Розрахункове значення критерію (або ) порівнюється з верхнім і нижнім критичними значеннями статистики Дарбина-Уотсона, фрагмент табличних значень яких для різного числа рівнів ряду і числа обумовлених параметрів моделі представлений для наочності в таблиці 2 (рівень значущості 5%).

Таблиця 2 «Критичні значення статистики Дарбіна - Уотсона»

15	1,08	1,36	0,95	1,54	0,82	1,75
20	1,20	1,41	1,10	1,54	1,00	1,68
30	1,35	1,49	1,28	1,57	1,21	1,65

Якщо , то гіпотеза про незалежність рівнів залишкової послідовності, тобто про відсутність у ній автокореляції, приймається. Якщо , то ця гіпотеза відкидається й модель неадекватна. Якщо значення перебуває між значеннями і , включаючи самі ці значення, то вважається, що немає достатніх підстав зробити той або інший висновок і необхідні подальші дослідження, наприклад, за більшим числом спостережень.

Висновок про адекватність трендової моделі робиться, якщо всі зазначені вище чотири перевірки властивостей залишкової послідовності дають позитивний результат. Для адекватних моделей є сенс оцінити їхню точності. Точність моделі характеризується величиною відхилення виходу моделі від реального значення змінної, яку моделюють (економічного показника). Для показника, представленого часовим рядом, точність визначається як різниця між значенням фактичного рівня часового ряду і його оцінкою, отриманої розрахунковим шляхом з використанням моделі, при цьому як статистичні показники точності застосовуються наступні:

середньоквадратичне відхилення

(27)

середня відносна помилка апроксимізації

(28)

коефіцієнт схожості

(29)

коефіцієнт детермінації

(30)

та інші показники,

де - кількість рівнів ряду,

- число обумовлених параметрів моделі,

- оцінка рівнів ряду по моделі,

- середнє арифметичне значення рівнів ряду.

На підставі зазначених показників (27)-(30) можна зробити вибір з декількох адекватних трендових моделей економічної динаміки найбільш точної, хоча може зустрітися випадок, коли по деякому показнику більш точна одна модель, а по іншому - інша.

Дані показники точності моделей розраховуються на основі всіх рівнів часового ряду й тому відбивають лише точність апроксимації. Для оцінки прогнозних властивостей моделі доцільно використовувати так званий ретроспективний прогноз - підхід, заснований на виділенні ділянки з ряду останніх рівнів вихідного часового ряду в кількості, припустимо, рівнів у якості перевірочного, а саму трендову модель у цьому випадку варто будувати по перших точках, кількість яких буде дорівнювати . Тоді для розрахунку показників точності моделі за прогнозом застосовуються ті ж формули, але підсумовування в них буде вестися не за всіма спостереженнями, а лише по останнім спостереженням. Наприклад, формула для середньоквадратичного відхилення буде мати вигляд:

(31)

де - значення рівнів ряду по моделі, побудованої для перших рівнів.

Оцінювання прогнозних властивостей моделі на ретроспективній ділянці досить корисно, особливо при зіставленні різних моделей прогнозування із числа адекватних. Однак треба пам'ятати, що оцінки ретропрогноза - лише наближена міра точності прогнозу й моделі в цілому, тому що прогноз на період упередження робиться по моделі, побудованої за всіма рівнями ряду.

1.5 Прогнозування економічної динаміки на основі трендових моделей

1.5.1 Прогнозна екстраполяція

Прогнозування економічних показників на основі трендових моделей, як і більшість інших методів економічного прогнозування, базується на ідеї екстраполяції. Під екстраполяцією розуміють поширення закономірностей, зв'язків і співвідношень, що діють у досліджуваному періоді, за його межі. У більше широкому змісті слова її розглядають як одержання уявлення про майбутнє на основі інформації минулого й сьогодення. У процесі побудови прогнозних моделей у їхню структуру іноді включаються елементи майбутнього передбачуваного стану об'єкта або явища, але в цілому ці моделі відображають закономірності, що спостерігались колись і тепер, тому достовірний прогноз можливий лише щодо таких об'єктів і явищ, які в значній мірі детермінуються минулим і теперішнім.

Існують дві основні форми детермінації: внутрішня й зовнішня. Внутрішня детермінація, або самодетермінація, більш стійка, її простіше ідентифікувати з використанням економіко-математичних моделей. Зовнішня детермінація визначається більшим числом факторів, тому врахувати їх всі практично неможливо. Якщо деякі методи моделювання, наприклад адаптивні, відбивають загальний сукупний вплив на економічну систему зовнішніх факторів, тобто відображають зовнішню детермінацію, то методи, що базуються на використанні трендових моделей економічних процесів, представлених одномірними часовими рядами, відбивають внутрішню детермінацію об'єктів і явищ.

При екстраполяційному прогнозуванні економічної динаміки на основі часових рядів з використанням трендових моделей виконуються наступні основні етапи:

· попередній аналіз даних;

· формування набору моделей (наприклад, набору кривих росту), названих функціями-кандидатами;

· чисельне оцінювання параметрів моделей;

· визначення адекватності моделей;

· оцінка точності адекватних моделей;

· вибір кращої моделі;

· одержання точкового й інтервального прогнозів;

· верифікація прогнозу.

Прогноз на підставі трендових моделей (кривих росту) містить два елементи: точковий та інтервальний прогнози.

Точковий прогноз - це прогноз, яким називається єдине значення прогнозованого показника. Це значення визначається підстановкою в рівняння обраної кривої росту величини часу t, що відповідає періоду упередження: і т.д. Такий прогноз називається точковим, тому що на графіку його можна зобразити у вигляді точки.

Очевидно, що точний збіг фактичних даних у майбутньому й прогностичних точкових оцінках малоймовірно. Тому точковий прогноз повинен супроводжуватися двосторонніми границями, тобто з вказанням інтервалу значень, у якому з достатньою впевненості можна очікувати появи прогнозованої величини. Встановлення такого інтервалу називається інтервальним прогнозом.

Інтервальний прогноз на базі трендових моделей здійснюється шляхом розрахунку довірчого інтервалу - такого інтервалу, у якому з певною ймовірністю можна чекати появи фактичного значення прогнозованого економічного показника. Розрахунок довірчих інтервалів при прогнозуванні з використанням кривих росту опирається на висновки й формули теорії регресій. Перенесення висновків теорії регресій на часові економічні ряди не зовсім правомірно, тому що динамічні ряди відрізняються від статистичних сукупностей. Тому до оцінювання довірчих інтервалів для кривих росту варто підходити досить обережн.

Методи, розроблені для статистичних сукупностей, дозволяють визначити довірчий інтервал, що залежить від стандартної помилки оцінки прогнозованого показника, від часу упередження прогнозу, від кількості рівнів у часовому ряді й від рівня значущості (помилки) прогнозу.

Стандартна (середньоквадратична) помилка оцінки прогнозованого показника визначається по формулі:

(32)

де - фактичне значення рівня часового ряду для часу ,

- розрахункова оцінка відповідного показника по моделі (наприклад, по рівнянню кривої росту),

- кількість рівнів у вихідному ряді,

- число параметрів моделі.

У випадку прямолінійного тренда для розрахунку довірчого інтервалу можна використовувати аналогічну формулу для парної регресії, у такий спосіб довірчий інтервал прогнозу в цьому випадку буде мати вигляд

(33)

де - період упередження,

- точковий прогноз по моделі на -й момент часу,

- кількість спостережень у часовому ряді,

- стандартна помилка оцінки прогнозованого показника, розрахована за раніше наведеною формулою для числа параметрів моделі, рівного двом,