Наконец, если исследователь полагает, что связи между переменными нелинейны, он вычисляет корреляционное отношение, характеризующее величину нелинейной статистической зависимости двух переменных [6].

Корреляционное исследование завершается выводом о статистической значимости установленных (или неустановленных) зависимостей между переменными. Однако исследователи не ограничиваются такой констатацией. Одна из главных задач, которые возникают перед психологами, - выяснить, не обусловлены ли связи между отдельными параметрами (психологическими свойствами) скрытыми факторами? Для этой цели применяется аппарат редукции числа переменных: методы многомерного анализа данных, которые изучаются психологами в курсе "Математические методы в психологии"

2. Коэффициенты корреляции

Общепринятой в математической статистике характеристикой связи между двумя случайными величинами, является Коэффициенты корреляции Коэффициент корреляции - это показатель степени взаимозависимости, статистической связи двух переменных. Он изменяется в пределах от - 1 до +1. Если значение коэффициента корреляции 0 - отсутствие зависимости, значение +1 свидетельствует о согласованности переменных [10].

Выделяют следующие коэффициенты корреляции:

ь дихотомический - показатель связи признаков (переменных) измеряемых по дихотомическим шкалам наименований;

ь Пирсона (Pearson product-moment correlation) - коэффициент корреляции, используемый для континуальных переменных;

ь ранговой корреляции Спирмена (Spearmen's rank-order correlation) - коэффициент корреляции для переменных, измеренных в порядковых (ранговых) шкалах;

ь точечно-бисериальной корреляции (point-biserial correlation) - коэффициент корреляции, применяемый в случае анализа отношения переменных, одна из которых измерена в континуальной шкале, а другая - в строго дихотомической шкале наименований;

ь j - коэффициент корреляции, используемый в случае, если обе переменные измерены в дихотомической шкале наименований.

ь тетрахорический (четырехпольный) (tetrachoric) - коэффициент корреляции, используемый в случае, если обе переменные измерены в континуальных шкалах [3].

Коэффициентом корреляции оценивается линейная связь между переменными Xi и Xj.

Где Xi и Xj - исследуемые переменные. mXi и mXj - математические ожидания переменных. уX и уX - дисперсии переменных.

Выборочный коэффициент корреляции определяют по формуле:

или по преобразованной формуле:

,

где i =1, 2,., n, j = 1, 2,., m, u = 1, 2,., N; N - число опытов (объем выборки); xi, xj - оценки математических ожиданий; SXi, SXj - оценки среднеквадратических отклонений.

Только при совместной нормальном распределении исследуемых случайных величин Xi и Xj коэффициент корреляции имеет определенный смысл связи между переменными. В противном случае коэффициент корреляции может только косвенно характеризовать эту связь [1].

Нормированный коэффициент корреляции Браве-Пирсона

Генеральный коэффициент корреляции р оценивается с помощью коэффициент корреляции r Браве-Пирсона. Чтобы его определить принимается предположение о двумерном нормальном распределении генеральной совокупности, из которой получены экспериментальные данные.

Это предположение проверяется с помощью соответствующих критериев значимости. Следует отметить, что если по отдельности одномерные эмпирические распределения значений xi и yi согласуются с нормальным распределением, то из этого нельзя сделать вывод о том, что двумерное распределение будет нормальным. Для такого заключения необходимо еще проверить предположение о линейности связи между случайными величинами Х и Y. Для вычисления коэффициента корреляции достаточно только принять предположение о линейности связи между случайными величинами, и вычисленный коэффициент корреляции будет мерой этой линейной связи.

Коэффициент корреляции Браве-Пирсона (r) - это параметрический показатель, для вычисления которого сравнивают средние и стандартные отклонения результатов двух измерений [9]. При этом используют формулу (у разных авторов она может выглядеть по-разному)

где УXY - сумма произведений данных из каждой пары;

n-число пар;

X - средняя для данных переменной X;

Y - средняя для данных переменной Y

Sx - стандартное отклонение для распределения х;

Sy - стандартное отклонение для распределения у.

Коэффициент ранговой корреляции Спирмена

Если потребуется установить связь между двумя признаками, значения которых в генеральной совокупности распределены не по нормальному закону, т.е. предположение о том, что двумерная выборка (xi и yi) получена из двумерной нормальной генеральной совокупности, не принимается, то можно воспользоваться коэффициентом ранговой корреляции Спирмена (r^S_xy):

где dx и dy - ранги показателей xi и yi;

n - число коррелируемых пар.

Коэффициент ранговой корреляции имеет пределы от 1 до - 1. Если ранги одинаковы для всех значений xi и yi, то все разности рангов (dx - dy) равны 0 и 1. Если ранги xi и yi расположены в обратном порядке, то равны - 1. Делаем вывод, что коэффициент ранговой корреляции является мерой совпадения рангов значений xi и yi.

Когда ранги всех значений xi и yi строго совпадают или расположены в обратном порядке, то между случайными величинами Х и Y существует функциональная зависимость. Эта зависимость не обязательно линейная, как в случае с коэффициентом линейной корреляции Браве-Пирсона, а может быть любой монотонной зависимостью (т.е. постоянно возрастающей или постоянно убывающей зависимостью).

Если зависимость монотонно возрастающая, то ранги значений xi и yi совпадают и r^s_xy=1, если зависимость монотонно убывающая, то ранги обратны и r^s_xy=-1. Вывод: коэффициент ранговой корреляции является мерой любой монотонной зависимости между случайными величинами Х и Y [10].

Коэффициент ранговой корреляции используется в следующих случаях:

ь если экспериментальные данные представляют собой точно измеренные значения признаков Х и Y и требуется быстро найти приближенную оценку коэффициента корреляции. И даже в случае двумерного нормального распределения генеральной совокупности можно воспользоваться коэффициентом ранговой корреляции вместо точного коэффициента корреляции Браве-Пирсона. Вычисления будут существенно проще, а точность оценки генерального параметра р с помощью коэффициента r^s_xy при больших объемах выборки составляет 91,2% по отношению к точности оценки по коэффициенту корреляций;

ь когда значения xi и (или) yi заданы в порядковой шкале (например, оценки судей в баллах, места на соревнованиях, количественные градации качественных признаков), т.е. когда признаки не могут быть точно измерены, но их наблюдаемые значения могут быть расставлены в определенном порядке [5].

3. Основные свойства коэффициентов корреляции

Основным свойствам коэффициента корреляции следующие:

ь коэффициенты корреляции способны характеризовать только линейные связи, т.е. такие, которые выражаются уравнением линейной функции. При наличии нелинейной зависимости между варьирующими признаками следует использовать другие показатели связи;

ь значения коэффициентов корреляции - это отвлеченные числа, лежащее в пределах от - 1 до +1, т.е. - 1 < r < 1;

ь при независимом варьировании признаков, когда связь между ними отсутствует, r = 0;

ь при положительной, или прямой, связи, когда с увеличением значений одного признака возрастают значения другого, коэффициент корреляции приобретает положительный знак и находится в пределах от 0 до +1, т.е. 0 < r < 1;

ь при отрицательной, или обратной, связи, когда с увеличением значений одного признака соответственно уменьшаются значения другого, коэффициент корреляции сопровождается отрицательным знаком и находится в пределах от 0 до - 1, т.е. - 1 < r <0;

ь чем сильнее связь между признаками, тем ближе величина коэффициента корреляции к 1. Если r = ±1, то корреляционная связь переходит в функциональную. Другими словами, каждому значению признака Х будет соответствовать одно или несколько строго определенных значений признака Y;

ь только по величине коэффициентов корреляции нельзя судить о достоверности корреляционной связи между признаками. Этот параметр зависит от числа степеней свободы f = n - 2, где n - число коррелируемых пар показателей Х и Y. Чем больше n, тем выше достоверность связи при одном и том же значении коэффициента корреляции [10].

Заключение