Эконометрические методы исследования накоплений имущества

Размещено на http://www.allbest.ru

Размещено на http://www.allbest.ru

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ЭКОНОМИКИ И УПРАВЛЕНИЯ «НИНХ»

Институт ИЗО

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

Учебная дисциплина: эконометрика

Новосибирск 2013

1. Ситуационная (практическая) часть

1.1 Ситуационная (практическая) задача № 1

Проведено бюджетное обследование 18 случайно выбранных домохозяйств. Оно дало следующие результаты (в ден. ед.):

домохозяйство	Накопления, y	Доход, x1	Имущество, x2	домохозяйство	Накопления, y	Доход, x1	Имущество, x2
1	39	47,5	48,1	10	35	65,1	35,9
2	38	55	45,2	11	41	44,4	51,7
3	35	34,9	54	12	36	69,9	37,6
4	42	71,8	35,9	13	42	44,4	50,7
5	39	40,9	51,6	14	35	70,3	35,2
6	34	61,9	39	15	39	42,4	49,1
7	45	42,7	58,5	16	37	59,7	38,7
8	38	62,3	42,4	17	46	47,2	56,8
9	46	51,3	58,3	18	41	66,7	44,2

Требуется:

1. Построить корреляционное поле между накоплениями и стоимостью имущества. Выдвинуть гипотезу о тесноте и виде зависимости между показателями X2 и Y.

2. Оценить тесноту линейной связи между накоплениями и имуществом с надежностью 0,99.

3. Рассчитать коэффициенты линейного уравнения регрессии для зависимости накоплений от стоимости имущества.

4. Проверить статистическую значимость параметров уравнения регрессии с надежностью 0,99 и построить для них доверительные интервалы.

5. Рассчитать коэффициент детерминации. С помощью F -критерия Фишера оценить статистическую значимость уравнения регрессии с надежностью 0,99.

6. Для домохозяйства со стоимостью имущества 55 ден. ед. дать точечный и интервальный прогноз накоплений с надежностью 0,99.

7. Рассчитать коэффициенты линейного уравнения множественной регрессии и пояснить экономический смысл его параметров.

8. Проанализировать статистическую значимость коэффициентов множественного уравнения с надежностью 0,99 и построить для них доверительные интервалы.

9. Найти коэффициенты парной и частной корреляции. Проанализировать их.

10. Найти скорректированный коэффициент множественной детерминации. Сравнить его с нескорректированным (общим) коэффициентом детерминации.

11. С помощью F-критерия Фишера оценить адекватность уравнения регрессии с надежностью 0,99.

12. Для домохозяйства с доходом 39 ден. ед. и стоимостью имущества 55 ден. ед. дать точечный и интервальный прогноз накоплений с надежностью 0,99.

13. Проверить построенное уравнение на наличие мультиколлинеарности по: критерию Стьюдента; критерию ч2. Сравнить полученные результаты.

1.2. Решение задачи №1

1. Построить корреляционное поле между накоплениями и стоимостью имущества. Выдвинуть гипотезу о тесноте и виде зависимости между показателями X2 и Y.



На основе анализа поля рассеяния выдвигаем гипотезу о том, что зависимость накоплений от стоимости имущества описывается линейной регрессионной моделью .

2. Оценить тесноту линейной связи между накоплениями и имуществом с надежностью 0,99.

Оценим тесноту линейной связи с помощью коэффициента корреляции. Его можно рассчитать по формуле:

Для расчета заполним таблицу:

i	yi	xi2			xi2yi
1	39	48,1	2313,61	1521	1875,9
2	38	45,2	2043,04	1444	1717,6
3	35	54	2916	1225	1890
4	42	35,9	1288,81	1764	1507,8
5	39	51,6	2662,56	1521	2012,4
6	34	39	1521	1156	1326
7	45	58,5	3422,25	2025	2632,5
8	38	42,4	1797,76	1444	1611,2
9	46	58,3	3398,89	2116	2681,8
10	35	35,9	1288,81	1225	1256,5
11	41	51,7	2672,89	1681	2119,7
12	36	37,6	1413,76	1296	1353,6
13	42	50,7	2570,49	1764	2129,4
14	35	35,2	1239,04	1225	1232
15	39	49,1	2410,81	1521	1914,9
16	37	38,7	1497,69	1369	1431,9
17	46	56,8	3226,24	2116	2612,8
18	41	44,2	1953,64	1681	1812,2
Итого	708	832,9	39637,29	28094	33118,2

Тогда:

Проверим значимость коэффициента корреляции на уровне значимости 0,01. Для этого рассчитаем значения выражения

:

Находим критическое значение критерия Стьюдента по таблице критических точек:

tкр=t(1-;n-2)=t(0,995;16)=2,921.

Т.к. условие tф > tкр выполняется, то коэффициент парной корреляции статистически значим, т.е. они существенно отличается от нуля. Таким образом, линейную связь между признаками можно считать установленной.

3. Рассчитать коэффициенты линейного уравнения регрессии для зависимости накоплений от стоимости имущества.

Рассчитаем коэффициенты линейного уравнения регрессии методом наименьших квадратов. Для этого составляем систему нормальных уравнений и находим ее решение:

Решением этой системы являются числа: b0=24,257, b1=0,326.

Получили уравнение регрессии: .

4. Проверить статистическую значимость параметров уравнения регрессии с надежностью 0,99 и построить для них доверительные интервалы.

Для проверки значимости заполним расчетную таблицу:

i	Xi2	Yi
1	48,1	39	39,929	-0,929	0,863	3,341
2	45,2	38	38,984	-0,984	0,968	1,150
3	54	35	41,851	-6,851	46,938	59,719
4	35,9	42	35,954	6,046	36,555	107,583
5	51,6	39	41,069	-2,069	4,282	28,385
6	39	34	36,964	-2,964	8,785	52,885
7	58,5	45	43,317	1,683	2,832	149,519
8	42,4	38	38,072	-0,072	0,005	14,994
9	58,3	46	43,252	2,748	7,551	144,667
10	35,9	35	35,954	-0,954	0,910	107,583
11	51,7	41	41,102	-0,102	0,010	29,461
12	37,6	36	36,508	-0,508	0,258	75,207
13	50,7	42	40,776	1,224	1,498	19,605
14	35,2	35	35,726	-0,726	0,527	122,594
15	49,1	39	40,255	-1,255	1,574	7,996
16	38,7	37	36,866	0,134	0,018	57,339
17	56,8	46	42,763	3,237	10,476	110,834
18	44,2	41	38,658	2,342	5,484	4,294
Сумма	832,9	708	708	0	129,533	1097,156

Рассчитаем стандартную ошибку регрессии s:

Рассчитаем фактические значения t-критерия для каждого коэффициента:

,

,

Критическое значение t-критерия Стьюдента равно t0,995;16=2,921.

Проверяем значимость коэффициента . Выдвигаем гипотезы:

H0: =0

H1: 0

Сравнивая расчетное и критическое значения (25,531 > 2,921), делаем вывод, что коэффициент статистически значим, т.е. он не может быть равен нулю.

Проверяем значимость коэффициента . Выдвигаем гипотезы:

H0: =0

H1: 0

Сравнивая расчетное и критическое значения (3,792 > 2,921), делаем вывод, что коэффициент также статистически значим, т.е. он не может быть равен нулю.

Определим доверительные интервалы для коэффициентов и :

24,2572,9210,95

24,2572,703

0,3262,9210,086

0,3260,244

5. Рассчитать коэффициент детерминации. С помощью F -критерия Фишера оценить статистическую значимость уравнения регрессии с надежностью 0,99.

Рассчитаем коэффициент детерминации. В случае парной регрессии он равен квадрату коэффициента корреляции:

=0,6882=0,4734

Рассчитаем фактическое значение F-статистики Фишера по формуле:

.

При уровне значимости =0,01 и количестве степеней свободы k1=1, k2=18-2=16 определяем, что критическое значение F-статистики Фишера будет равно Fкр(0,01;1;16)=8,531. Т.к. неравенство Fф > Fкр выполняется, поэтому гипотеза H0 отклоняется и признается статистическая значимость уравнения.

6. Для домохозяйства со стоимостью имущества 55 ден. ед. дать точечный и интервальный прогноз накоплений с надежностью 0,99.

Точечный прогноз при =55 д.е.:

=24,257+0,32655=42,177 д.е.

Доверительные интервалы находятся по формуле

, где

yв, yн - верхняя и нижняя граница доверительного интервала

- значение независимой переменной x, для которой определяется доверительный интервал

- квантиль распределения Стьюдента с доверительной вероятностью 1- и числом степеней свободы n-2. При =0,01 t0,995;16=2,921.

Значение sy определяется по формуле:

.

yн=42,177-2,9211,006=39,239 д.е.

yв=42,177+2,9211,006=45,115 д.е.

7. Рассчитать коэффициенты линейного уравнения множественной регрессии и пояснить экономический смысл его параметров.

Найдем по методу наименьших квадратов оценки коэффициентов линейной регрессионной модели . Оценки коэффициентов в этом случае можно найти по формуле:

A=(XTX)-1XTY

Для этого выполним следующие расчеты:

	1	47,5	48,1		39
	1	55	45,2		38
	1	34,9	54		35
	1	71,8	35,9		42
	1	40,9	51,6		39
	1	61,9	39		34
	1	42,7	58,5		45
	1	62,3	42,4		38
X=	1	51,3	58,3	Y=	46
	1	65,1	35,9		35
	1	44,4	51,7		41
	1	69,9	37,6		36
	1	44,4	50,7		42
	1	70,3	35,2		35
	1	42,4	49,1		39
	1	59,7	38,7		37
	1	47,2	56,8		46
	1	66,7	44,2		41
	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1
XT=	47,5	55	34,9	71,8	40,9	61,9	42,7	62,3	51,3	65,1	44,4	69,9	44,4	70,3	42,4	59,7	47,2	66,7
	48,1	45,2	54	35,9	51,6	39	58,5	42,4	58,3	35,9	51,7	37,6	50,7	35,2	49,1	38,7	56,8	44,2

	18	978,4	832,9
XTX=	978,4	55542,6	43895,55
	832,9	43895,55	39637,29
	21,998	-0,178	-0,265
(XTX)-1=	-0,178	0,002	1,985E-03
	-0,265	1,985E-03	3,403E-03
	708
XTY=	38237
	33118,2
	-11,651
A=(XTX)-1XTY=	0,319
	0,727

8. Проанализировать статистическую значимость коэффициентов множественного уравнения с надежностью 0,99 и построить для них доверительные интервалы.

Определим коэффициент множественной корреляции по формуле:

Заполним вспомогательную таблицу для расчета R:

i	Y	X1	X2
1	39	47,5	48,1	38,472	0,279	0,111
2	38	55	45,2	38,760	0,578	1,778
3	35	34,9	54	38,736	13,955	18,778
4	42	71,8	35,9	37,367	21,464	7,111
5	39	40,9	51,6	38,908	0,009	0,111
6	34	61,9	39	36,458	6,042	28,444
7	45	42,7	58,5	44,497	0,253	32,111
8	38	62,3	42,4	39,057	1,116	1,778
9	46	51,3	58,3	47,098	1,206	44,444
10	35	65,1	35,9	35,227	0,052	18,778
11	41	44,4	51,7	40,098	0,813	2,778
12	36	69,9	37,6	37,996	3,983	11,111
13	42	44,4	50,7	39,372	6,909	7,111
14	35	70,3	35,2	36,379	1,903	18,778
15	39	42,4	49,1	37,570	2,045	0,111
16	37	59,7	38,7	35,537	2,139	5,444
17	46	47,2	56,8	44,699	1,694	44,444
18	41	66,7	44,2	41,770	0,593	2,778
Сумма					65,030	246

Рассчитаем стандартные ошибки коэффициентов регрессии по формуле:

, j=0,1,…,m,

где zjj - диагональные элементы обратной матрицы (XTX)-1, которые равны соответственно 21,998, 0,00158, 3,40310-3.

,

,

,

По таблице критических точек определяем фактическое значение t-критерия Стьюдента: tкр=t0,995;15=2,947.

Т.к. неравенство tФ > tкр выполняется для коэффициентов а1 и а2, поэтому эти коэффициенты уравнения регрессии статистически значимы, т.е. они существенно отличны от нуля. Статистическая значимость коэффициента а0 не подтверждается, поэтому он может быть равен 0.

Построим доверительные интервалы для коэффициентов уравнения регрессии:

-11,6512,9479,766

-11,65128,776

0,3192,9470,083

0,3190,244

0,7272,9470,121

0,7270,358

10. Найти скорректированный коэффициент множественной детерминации. Сравнить его с нескорректированным (общим) коэффициентом детерминации.

Рассчитаем скорректированный коэффициент множественной детерминации:

Скорректированный коэффициент множественной детерминации определяет тесноту связи с учетом степеней свободы общей и остаточной дисперсий. Он дает такую оценку тесноты связи, которая не зависит от числа факторов и поэтому может сравниваться по разным моделям с разным числом факторов. Оба коэффициента указывают на достаточно высокую (более 70%) детерминированность результата в модели факторами и .

11. С помощью F-критерия Фишера оценить адекватность уравнения регрессии с надежностью 0,99.

Найдем коэффициент множественной корреляции и детерминации:

R2=0,8582=0,736, регрессия y на x1 и x2 объясняет 73,6% колебаний значений y.

Рассчитаем фактическое значение F-статистики Фишера по формуле:

При уровне значимости =0,01 и количестве степеней свободы k1=1, k2=18-3=15 определяем, что критическое значение F-статистики Фишера будет равно Fкр(0,01;1;15)=8,683. Неравенство Fф > Fкр выполняется, поэтому гипотеза H0 отклоняется и признается статистическая значимость уравнения регрессии.

12. Для домохозяйства с доходом 39 ден. ед. и стоимостью имущества 55 ден. ед. дать точечный и интервальный прогноз накоплений с надежностью 0,99.

Выполним точечный и интервальный прогноз накоплений.

=39 д.е., =55 д.е.

=-11,651+0,31939+0,727555=40,772 д.е.

						1
XР=	1	39	55		=	39
						55
XР(XTX)-1=	0,470	-0,007	-0,001

=0,156

=40,7722,9470,821=40,7722,42

=38,352 д.е., =43,192 д.е.

13. Проверить построенное уравнение на наличие мультиколлинеарности по: критерию Стьюдента; критерию ч2. Сравнить полученные результаты.

Проверим наличие или отсутствие мультиколлинеарности для множественной регрессионной модели.

а) Если составить матрицу парных коэффициентов между объясняющими переменными, то получится следующая матрица:

Так как

,

то коэффициент корреляции между объясняющими переменными значимо отличается от 0. Таким образом, можно предположить, что в данном случае есть мультиколлинеарность.

б) Рассчитаем определитель матрицы r:

Рассчитываем фактическое значение статистики 2:

Табличное значение статистики 2 при k=1 и =0,01 равно: . Неравенство выполняется, поэтому окончательно делаем вывод о наличии мультиколлинеарности.

1.3 Ситуационная (практическая) задача № 2

В таблице представлена динамика изменений курса акций промышленной компании в течение 12 месяцев.

T	январь	февраль	март	апрель	май	июнь
yt	520	518	515	520	517	516
T	июль	август	сентябрь	октябрь	ноябрь	декабрь
yt	518	524	520	519	516	514

Требуется:

1. Проверить гипотезу о наличии тренда во временном ряде.

2. Рассчитать коэффициенты автокорреляции. Проверить наличие сезонных колебаний во временном ряде.

3. Оценить параметры линейной трендовой модели, проверить статистическую значимость соответствующего уравнения регрессии с надежностью 0,9.

4. Дать точечный и интервальный прогноз курса акций компании на предстоящий март с надежностью 0,9.

1.4 Решение задачи №2

1. Проверить гипотезу о наличии тренда во временном ряде.

Для проверки гипотезы о наличии тренда воспользуемся критерием серий. Вычислим выборочную медиану исходных данных:

Ме (yt) = 518 д.е.

Вместо исходных элементов временного ряда Х(t) сформируем последовательность знаков:

+, если yt > Me, ?, если yt < Me.

Полученные результаты для временного ряда оформим в виде таблицы:

t	yt
1	520	+
2	518	-
3	515	-
4	520	+
5	517	-
6	516	-
7	518	-
8	524	+
9	520	+
10	519	+
11	516	-
12	514	-

Вычислим характеристики данной последовательности: количество серий - н, длину максимальной серии - ф: н =6, ф = 3.

Проверим удовлетворяют ли эти значения неравенствам:

н (12) > 0,5(12 + 2 - 1,65) = 4,3

ф (12) < 1,43ln(12 + 1) = 3,43

Поскольку оба неравенства выполняются, то есть гипотеза об отсутствии тренда не отвергается.

2. Рассчитать коэффициенты автокорреляции. Проверить наличие сезонных колебаний во временном ряде.

Оценим автокорреляцию, используя следующую формулу:

, где

В результате расчетов для от 1 до 4 получаем следующие значение автокорреляции:

1	0,181
2	-0,31
3	-0,331
4	-0,331

Значения коэффициентов автокорреляции позволяют сделать вывод об отсутствии сезонности.

3. Оценить параметры линейной трендовой модели, проверить статистическую значимость соответствующего уравнения регрессии с надежностью 0,9.

Найдем оценку уравнения линейного тренда методом наименьших квадратов. Составим расчетную таблицу:

Месяц	t	yt	ytt	t2
1	1	737	737	1
2	2	947	1894	4
3	3	851	2553	9
4	4	968	3872	16
5	5	1129	5645	25
6	6	1071	6426	36
7	7	1253	8771	49
8	8	1401	11208	64
9	9	1254	11286	81
10	10	1319	13190	100
11	11	1353	14883	121
12	12	1588	19056	144
Итого	78	13871	99521	650

Тогда:

Решением этой системы являются числа: a0=518,33 и a1=-0,115.

Следовательно, уравнение тренда будет иметь вид: .

Для проверки значимости уравнения рассчитаем фактическое значение F-критерия Фишера. Для этого заполним таблицу:

t
1	520	518,718	1,644	3,674	30,25
2	518	518,603	0,363	0,007	20,25
3	515	518,487	12,160	9,507	12,25
4	520	518,372	2,651	3,674	6,25
5	517	518,256	1,579	1,174	2,25
6	516	518,141	4,584	4,340	0,25
7	518	518,026	0,001	0,007	0,25
8	524	517,910	37,085	35,007	2,25
9	520	517,795	4,863	3,674	6,25
10	519	517,679	1,744	0,840	12,25
11	516	517,564	2,446	4,340	20,25
12	514	517,449	11,894	16,674	30,25
Итого	6217	6217	81,013	82,917	143

Тогда:

При уровне значимости =0,1 и количестве степеней свободы k1=1, k2=12-2=10 определяем, что критическое значение F-статистики Фишера будет равно Fкр(0,1;1;10)=3,285. Неравенство Fф > Fкр не выполняется, поэтому нет оснований отклонить гипотезу о незначимости уравнения тренда.

4. Дать точечный и интервальный прогноз курса акций компании на предстоящий март с надежностью 0,9.

С помощью уравнения тренда рассчитаем точечный и интервальный прогноз для курса акций на март следующего года.

Точечный прогноз находим по уравнению тренда при t=15:

=518,33-0,11515=517,1 д.е.

Интервальный прогноз:

имущество накопление корреляционный регрессия



=517,11,8122,184=517,13,958

=513,145 д.е., =521,06 д.е.

2. Тестовая часть

2.1 Содержание 10 (десяти) тестовых заданий варианта (тексты вопросов) и ответ на каждое из заданий

Необходимо из предложенных вариантов ответа на вопрос теста выбрать единственно верный, по Вашему мнению.

1. Какой метод используется для выявления формы воздействия одних факторов на другие?

а) корреляционный анализ;

б) регрессионный анализ;

в) индексный анализ;

г) дисперсионный анализ.

Ответ: б).

2. Выборочный коэффициент парной корреляции позволяет оценить

a) тесноту связи между двумя показателями;

b) влияние совокупности множества факторов на исследуемый признак;

c) тесноту линейной связи между двумя показателями;

d) тесноту нелинейной связи между двумя показателями.

Ответ: c).

3. Для линейного уравнения парной регрессии y*=?-1,2x ?14 рассчитан коэффициент детерминации, равный 0,36. Чему равен выборочный коэффициент парной корреляции между величинами x и y?

a) 0,6;

b) - 0,1296;

c) -0,6;

d) 0,1296.

Ответ: c).

4. Фиктивными переменными в уравнении множественной регрессии являются:

a) качественные переменные, преобразованные в количественные;

b) дополнительные количественные переменные, улучшающие решение;

c) комбинации из включенных в уравнение регрессии факторов, повышающие адекватность модели;

d) переменные, представляющие функции от уже включенных в модель переменных.

Ответ: a).

5. Экономическое содержание коэффициентов множественной регрессионной модели заключается в том, что...

a) они характеризуют зависимость факторов друг от друга;

b) они характеризуют среднее изменение исследуемого показателя при изменении каждого фактора из совокупности;

c) они характеризуют среднее изменение исследуемого показателя при изменении одного фактора из совокупности при неизменных других факторах;

d) они характеризуют среднее изменение исследуемого показателя при изменении каждого фактора из совокупности при неизменных остатках.

Ответ: c).

6. Значение статистики Дарбина - Уотсона может лежать только в интервале:

a) [0; 1];

b) [0; 4];

c) [-4; 4];

d) [-1; 1].

Ответ: b).

7. Гетероскедастичность - это

a) наличие корреляции между зависимой переменной и случайной составляющей уравнения;

b) наличие корреляции между независимой и зависимой переменными;

c) наличие корреляции между независимыми переменными;

d) непостоянство дисперсии случайной составляющей уравнения в разных наблюдениях.

Ответ: d).

8. Ряд динамики состоит из:

a) частот;

b) уровней;

c) вариантов;

d) показателей времени.

Ответ: b).

9. По месячным данным с января 2007 г. по июнь 2008 г. включительно построена трендовая модель динамики курса акций некоторой компании: Y= 10 + 0,14t+е. Дать прогноз курса акций этой компании на ноябрь 2008 г.

a) 11,54;

b) 10,14;

c) 11,4;

d) 13,22.

Ответ: a).

10. Структурной формой модели называют модель, в которой:

a) эндогенные переменные выражены только через предопределенные;

b) эндогенные переменные выражены только через экзогенные;

с) каждая эндогенная переменная выражена через предопределенные и некоторые другие эндогенные;

d) каждая эндогенная переменная выражена через предопределенные и все остальные эндогенные.

Ответ: c).

Список использованной литературы

1. Бородич С.А. Эконометрика. - Мн.: Новое знание, 2001.

2. Елисеева И.И. Практикум по эконометрике. - М.: Финансы и статистика, 2004.

3. Кулинич Е.И. Эконометрия. - М.: Финансы и статистика, 2000.

4. Методическое руководство по организации самостоятельной работы студентов заочной формы обучения. - Новосибирск, 2011.

Размещено на Allbest.ru