Множественная линейная регрессия

Построение уравнения множественной регрессии в линейной форме, расчет интервальных оценок его коэффициентов. Создание поля корреляции, определение средней ошибки аппроксимации. Анализ статистической надежности показателей регрессионного моделирования.

Рубрика Экономико-математическое моделирование
Вид контрольная работа
Язык русский
Дата добавления 25.03.2014
Размер файла 179,4 K

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://www.allbest.ru/

s

d

p

q

1

0,35

0,29

2,02

1,33

2

0,79

0,55

1,29

1,01

3

0,93

0,70

1,09

0,85

4

1,50

0,41

1,68

1,20

5

0,47

0,37

0,30

1,24

6

0,36

0,30

1,98

1,32

7

1,08

1,03

0,87

0,56

8

1,19

1,30

0,80

0,30

9

1,15

1,17

0,81

0,41

10

1,10

1,06

0,84

0,54

11

0,87

0,64

1,16

0,92

12

0,64

0,44

1,52

1,14

13

0,66

0,46

1,47

1,13

14

0,70

0,49

1,41

1,10

15

1,01

0,88

0,97

0,72

16

1,01

0,91

0,93

0,71

17

1,03

0,94

0,91

0,66

18

0,31

0,27

2,08

1,35

19

0,32

0,28

2,05

1,33

20

0,42

0,32

1,90

1,27

21

0,52

0,38

1,73

0,33

22

0,50

1,40

1,79

1,23

23

0,81

0,58

1,25

0,98

24

0,75

0,53

1,33

1,05

25

0,98

0,80

0,99

0,76

26

0,96

0,76

1,04

0,80

27

0,93

0,72

1,05

0,83

28

0,86

0,61

1,18

0,94

29

0,73

0,51

1,38

1,06

30

0,39

0,32

1,94

1,29

31

0,45

0,34

1,83

1,26

32

0,58

0,41

1,63

1,19

Задача 1. Множественная линейная регрессия

s - объём продаж товара А, ед. (или спрос);

d - средний доход потребителя, тыс. руб.;

p - цена товара А, руб.;

q - цена товара Б, руб.;

Вычислите описательные статистики. Проверьте характер распределения признаков. При необходимости удалите аномальные наблюдения;

Постройте уравнение множественной регрессии в линейной форме с полным набором факторов, дайте экономическую интерпретацию полученных результатов. Рассчитайте интервальные оценки его коэффициентов и дайте им экономическую интерпретацию;

Дайте сравнительную оценку силы связи факторов с результатом с помощью средних коэффициентов эластичности;

Оцените статистическую значимость уравнения регрессии и его параметров с помощью критериев Фишера и Стьюдента, сопоставьте результаты t-статистик с интервальными оценками коэффициентов регрессии;

Оцените качество уравнения через среднюю ошибку аппроксимации.

Постройте матрицу парных коэффициентов корреляции. Сделайте вывод о силе связи результата и факторов. Определите критическое значение rкр для выборочных парных коэффициентов корреляции по таблице Фишера-Йетса и проверьте значимость каждого из коэффициентов на уровне значимости a=0,05.

Выберите лучшую факторную переменную из рассмотренных и обоснуйте свой выбор.

Выясните, является ли товар А высокоэластичным или низкоэластичным? Ценным? Традиционным? Взаимодополняющим или взаимозамещающим по отношению к товару Б?

Решение:

Вычислим описательные статистики

s

d

p

q

Среднее

0,761

0,630

1,351

0,963

Стандартная ошибка

0,053

0,056

0,081

0,055

Медиана

0,77

0,54

1,31

1,03

Мода

0,93

0,41

#Н/Д

1,33

Стандартное отклонение

0,301

0,315

0,457

0,311

Дисперсия выборки

0,091

0,099

0,209

0,097

Эксцесс

-0,517

-0,061

-0,747

-0,598

Асимметричность

0,247

0,893

-0,041

-0,638

Интервал

1,19

1,13

1,78

1,05

Минимум

0,31

0,27

0,3

0,3

Максимум

1,5

1,4

2,08

1,35

Сумма

24,35

20,17

43,22

30,81

Счет

32

32

32

32

Наибольший(1)

1,5

1,4

2,08

1,35

Наименьший(1)

0,31

0,27

0,3

0,3

Уровень надежности(95,0%)

0,109

0,114

0,165

0,112

Коэффициент вариации

0,396

0,499

0,339

0,323

Коэффициент вариации факторных переменных d и р больше 0,33 значит по данным признакам совокупность не однородна. Коэффициент вариации факторных переменных q меньше 0,33 значит по данным признакам совокупность однородна.

Закон нормального распределения признаков говорит о том, что мода и медиана очень близки друг к другу, такое распределение считается нормальным.

Значения эксцесса отличны от 0, что не удовлетворяет условиям нормального распределения. Но в целях изучения мы проведем исследование.

Значения асимметрии считаются нормальными если они близки к 0. Наиболее близок к этому значению р - цена товара А.

Построим уравнение множественной регрессии в линейной форме с полным набором факторов

Коэффициенты

Стандартная ошибка

t-статистика

s-пересечение

1,221

0,270

4,521

Переменная d

0,201

0,172

1,169

Переменная p

-0,219

0,114

-1,925

Переменная q

-0,303

0,185

-1,633

Уравнение регрессии имеет вид:

у = 1,221 + 0,201d - 0,219p - 0,303q

С увеличением дохода потребителей на 1 тыс. руб. объем продаж возрастает на 0,201 руб. С увеличением цены товара А на 1 руб. объем продаж уменьшается на 0,219 руб. С увеличением цены товара В на 1 руб. объем продаж уменьшается на 0,303 руб.

Рассчитаем интервальные оценки коэффициентов уравнения регрессии.

Коэффициенты

Нижние 95%

Верхние 95%

s-пересечение

1,221

0,668

1,775

Переменная d

0,201

-0,151

0,552

Переменная p

-0,219

-0,451

0,014

Переменная q

-0,303

-0,683

0,077

С увеличением дохода потребителей на 1 тыс. руб. объем продаж уменьшается максимум на 0,151руб. или увеличится как максимум на 0,552. С увеличением цены товара А на 1 руб. объем продаж уменьшается максимум на 0,451руб. или увеличится как максимум на 0,014. С увеличением цены товара В на 1 руб. объем продаж уменьшится максимум на 0,683руб или увеличится как максимум на 0,077руб.

В границы доверительных интервалов всех переменных попадает 0, это свидетельствует о статистической незначимости и ненадежности рассматриваемых коэффициентов.

Вычислим коэффициент эластичности:

То есть с увеличением дохода на 1% от своего среднего уровня, средний объем продаж увеличивается на 0,166% от своего среднего уровня, а с увеличением цены на товар А на 1% от своего среднего уровня, средний объем продаж уменьшается на 0,389% от своего среднего уровня, а с увеличением цены на товар В на 1% от своего среднего уровня, средний объем продаж уменьшается на 0,383% от своего среднего уровня.

Наиболее сильное влияние на объем продаж оказывает цена товара А, наименьшее доход потребителя.

3. Оценим статистическую значимость уравнения регрессии и его параметров с помощью критериев Фишера и Стьюдента, сопоставим результаты t-статистик с интервальными оценками коэффициентов регрессии.

Находим наблюдаемое и фактическое значение критерия Фишера

Fтабл(б=0,05)=4,12

Fфакт = 11,988

Fтабл<Fнабл то уравнение в целом статистически значимо и надежно

Проверим значимость параметров с помощью критерия Стьюдента

Коэффициенты

t-статистика

s-пересечение

1,221

4,521

Переменная d

0,201

1,169

Переменная p

-0,219

-1,925

Переменная q

-0,303

-1,633

Табличное(критическое) значение статистики Стьюдента

2,0423

Найдем tкрит(б=0,05; f=32)=2,0423

tкрит>tнабл для переменных d, р, q значит эти коэффициенты регрессии незначимы и ненадежны.

4. Вычислим среднюю ошибку аппроксимации:

В среднем расчётные значения отличаются от фактических на 15.2%, что превышает допустимые пределы 8%-10%, следовательно, с этой точки зрения можно считать выбор уравнения неудачным.

5. Построим матрицу парных коэффициентов корреляции.

s

d

p

q

s

1

d

0,624

1

p

-0,663

-0,599

1

q

-0,676

-0,691

0,660

1

Проверим значимость коэффициентов корреляции на уровне значимости б=0,05.

Рассчитаем фактические значения критериев по формуле:

Табличное(критическое) значение статистики Стьюдента, определенное на уровне значимости б=0,05 при числе степеней свободы f=32равно:

tкрит(б=0,05; f=32)= 2,0423

s

d

p

q

s

d

4,377

p

4,857

4,092

q

5,028

5,242

4,809

По критерию t все коэффициенты значимы.

По матрице коэффициентов видим, что наибольшее влияние на объем продаж оказывает цена товара Б, наименьшее доход потребителя.

Множественный коэффициент корреляции равен R = 0,75, то есть связь между спросом (у) и включенными в модель факторами (х) высокая.

Коэффициент детерминации значит вариация спроса s на 56,2% объясняется вариацией включенных в модель факторов и на 43,8% зависит от других факторов

6. Рассчитаем значения коэффициентов детерминации R2 объясняющих переменных по всем остальным переменным, то есть в качестве зависимой переменной выбираем последовательно все переменные: s, d, p, q все остальные объясняющие переменные в качестве независимых.

Зависимая переменная

Независимая переменные

R2

R

s

d, p, q

0,562

0,75

d

s, p, q

0,537

0,733

p

d, s, q,

0,536

0,732

q

d, p, s,

0,61

0,781

Анализ оценок детерминации показал наличие тесной связи между объясняющей переменной q и всеми остальными признаками.

Лучшая факторная переменная q так как от нее в большей степени зависит изменение s.

Эластичность по модулю больше 1 значит товар высокоэластичный.

Товары А и Б могут являться взаимодополняемыми, но не являются взаимозаменяемыми так как коэффициенты эластичности изменяются однонаправлено, так как все коэффициенты регрессии показывают, что связь между ценой товара А и остальными факторами сильная, то товар традиционен, и так как коэффициенты эластичности по модулю меньше 1 значит товар не ценен.

Задача 2. Парная регрессия

уравнение регрессия линейный корреляция

Примите за результативную переменную - переменную, рассмотренную в задаче 1, а за факторную переменную - лучшую факторную переменную, выбранную в задаче 1.

Постройте поле корреляции и сформулируйте гипотезу о форме связи.

Рассчитайте параметры уравнения линейной регрессии и нанесите его на поле корреляции.

Оцените тесноту связи с помощью показателей корреляции и детерминации.

Дайте с помощью среднего коэффициента эластичности сравнительную оценку силы связи фактора с результатом.

Оцените с помощью средней ошибки аппроксимации качество уравнения.

С помощью t-критерия Стьюдента оцените статистическую надёжность показателей регрессионного моделирования.

С помощью F-критерия Фишера оцените статистическую надёжность результатов регрессионного моделирования.

Проверьте разложение общей суммы квадратов отклонений зависимой переменной у от своего среднего значения (ТSS) на два слагаемых - «объяснённую» (или регрессионную) сумму квадратов отклонений (ЕSS) и «необъяснённую» (или остаточную) сумму квадратов отклонений (RSS).

Рассчитайте параметры уравнений:

степенной регрессии;

экспоненциальной (показательной) регрессии;

полулогарифмической регрессии;

Каждое из построенных уравнений нанесите на поле корреляции и для него:

Оцените тесноту связи с помощью показателей корреляции и детерминации.

Дайте с помощью среднего (общего) коэффициента эластичности сравнительную оценку силы связи фактора с результатом.

Оцените с помощью средней ошибки аппроксимации качество уравнения.

С помощью t-критерия Стьюдента оцените статистическую надёжность показателей регрессионного моделирования.

С помощью F-критерия Фишера оцените статистическую надёжность результатов регрессионного моделирования.

Проверьте разложение общей суммы квадратов отклонений зависимой переменной у от своего среднего значения (ТSS) на два слагаемых - «объяснённую» (или регрессионную) сумму квадратов отклонений (ЕSS) и «необъяснённую» (или остаточную) сумму квадратов отклонений (RSS).

Результаты вычислений внесите в сводную таблицу.

По значениям характеристик выберите лучшее уравнение регрессии и дайте его обоснование.

Рассчитайте прогнозное значение результата, если прогнозное значение фактора увеличится на 5% от его среднего уровня.

Определите доверительный интервал прогноза для уровня значимости б=0,05.

Объем продаж, ед. y

Цена товара, руб. x

1

0,35

1,33

2

0,79

1,01

3

0,93

0,85

4

1,50

1,20

5

0,47

1,24

6

0,36

1,32

7

1,08

0,56

8

1,19

0,30

9

1,15

0,41

10

1,10

0,54

11

0,87

0,92

12

0,64

1,14

13

0,66

1,13

14

0,70

1,10

15

1,01

0,72

16

1,01

0,71

17

1,03

0,66

18

0,31

1,35

19

0,32

1,33

20

0,42

1,27

21

0,52

0,33

22

0,50

1,23

23

0,81

0,98

24

0,75

1,05

25

0,98

0,76

26

0,96

0,80

27

0,93

0,83

28

0,86

0,94

29

0,73

1,06

30

0,39

1,29

31

0,45

1,26

32

0,58

1,19

Решение:

Строим поле корреляции:

2. Предположим, что между х и у связь линейная, тогда уравнение регрессии имеет вид: yх=а+bx. Для нахождения его параметров составим расчётную таблицу 1:

yх= 1,393 - 0,656х - уравнение линейной регрессии.

Итак, с увеличением цены товара на 1 руб. средний объем продаж уменьшается в среднем на 0,656руб.

Таблица 1. Расчётная таблица

у

х

у2

х2

xy

y-yх

(y-yх)2

yх -`y

(yх -`y)2

у -`y

(у -`y)2

1

0,35

1,33

0,123

1,769

0,466

0,521

-0,171

0,029

-0,240

0,058

-0,411

0,169

0,487

2

0,79

1,01

0,624

1,020

0,798

0,730

0,060

0,004

-0,031

0,001

0,029

0,001

0,075

3

0,93

0,85

0,865

0,723

0,791

0,835

0,095

0,009

0,074

0,006

0,169

0,029

0,102

4

1,5

1,2

2,250

1,440

1,800

0,606

0,894

0,800

-0,155

0,024

0,739

0,546

0,596

5

0,47

1,24

0,221

1,538

0,583

0,580

-0,110

0,012

-0,181

0,033

-0,291

0,085

0,233

6

0,36

1,32

0,130

1,742

0,475

0,527

-0,167

0,028

-0,234

0,055

-0,401

0,161

0,464

7

1,08

0,56

1,166

0,314

0,605

1,026

0,054

0,003

0,265

0,070

0,319

0,102

0,050

8

1,19

0,3

1,416

0,090

0,357

1,196

-0,006

0,000

0,435

0,189

0,429

0,184

0,005

9

1,15

0,41

1,323

0,168

0,472

1,124

0,026

0,001

0,363

0,132

0,389

0,151

0,023

10

1,1

0,54

1,210

0,292

0,594

1,039

0,061

0,004

0,278

0,077

0,339

0,115

0,056

11

0,87

0,92

0,757

0,846

0,800

0,789

0,081

0,006

0,028

0,001

0,109

0,012

0,093

12

0,64

1,14

0,410

1,300

0,730

0,645

-0,005

0,000

-0,116

0,013

-0,121

0,015

0,008

13

0,66

1,13

0,436

1,277

0,746

0,652

0,008

0,000

-0,109

0,012

-0,101

0,010

0,013

14

0,7

1,1

0,490

1,210

0,770

0,671

0,029

0,001

-0,090

0,008

-0,061

0,004

0,041

15

1,01

0,72

1,020

0,518

0,727

0,921

0,089

0,008

0,160

0,025

0,249

0,062

0,088

16

1,01

0,71

1,020

0,504

0,717

0,927

0,083

0,007

0,166

0,028

0,249

0,062

0,082

17

1,03

0,66

1,061

0,436

0,680

0,960

0,070

0,005

0,199

0,040

0,269

0,072

0,068

18

0,31

1,35

0,096

1,823

0,419

0,507

-0,197

0,039

-0,254

0,064

-0,451

0,203

0,637

19

0,32

1,33

0,102

1,769

0,426

0,521

-0,201

0,040

-0,240

0,058

-0,441

0,194

0,627

20

0,42

1,27

0,176

1,613

0,533

0,560

-0,140

0,020

-0,201

0,040

-0,341

0,116

0,333

21

0,52

0,33

0,270

0,109

0,172

1,177

-0,657

0,431

0,416

0,173

-0,241

0,058

1,263

22

0,5

1,23

0,250

1,513

0,615

0,586

-0,086

0,007

-0,175

0,031

-0,261

0,068

0,172

23

0,81

0,98

0,656

0,960

0,794

0,750

0,060

0,004

-0,011

0,000

0,049

0,002

0,074

24

0,75

1,05

0,563

1,103

0,788

0,704

0,046

0,002

-0,057

0,003

-0,011

0,000

0,061

25

0,98

0,76

0,960

0,578

0,745

0,894

0,086

0,007

0,133

0,018

0,219

0,048

0,087

26

0,96

0,8

0,922

0,640

0,768

0,868

0,092

0,008

0,107

0,011

0,199

0,040

0,096

27

0,93

0,83

0,865

0,689

0,772

0,849

0,081

0,007

0,088

0,008

0,169

0,029

0,088

28

0,86

0,94

0,740

0,884

0,808

0,776

0,084

0,007

0,015

0,000

0,099

0,010

0,097

29

0,73

1,06

0,533

1,124

0,774

0,698

0,032

0,001

-0,063

0,004

-0,031

0,001

0,044

30

0,39

1,29

0,152

1,664

0,503

0,547

-0,157

0,025

-0,214

0,046

-0,371

0,138

0,402

31

0,45

1,26

0,203

1,588

0,567

0,566

-0,116

0,014

-0,195

0,038

-0,311

0,097

0,259

32

0,58

1,19

0,336

1,416

0,690

0,612

-0,032

0,001

-0,149

0,022

-0,181

0,033

0,056

Итого

24,350

30,810

21,345

32,656

21,482

24,365

0

1,528

0

1,288

0

2,816

6,779

в среднем

0,761

0,963

0,667

1,021

0,671

0,761

0

RSS

0

ESS

0

TSS

0,212

2. Рассчитаем коэффициент парной корреляции:

то есть связь между средними затратами на продукты питания (у) и ценой товара (х) средняя.

Определим коэффициент детерминации:

Итак, 45,7% вариации средних объемов продаж объясняется вариацией доходов и на 64,3% зависит от других факторов.

3. Вычислим среднюю ошибку аппроксимации:

В среднем расчётные значения отличаются от фактических на 21,2%, что превышает допустимые пределы 8%-10%, следовательно, с этой точки зрения можно считать выбор уравнения не удачным.

4. Вычислим коэффициент эластичности:

То есть с увеличением средней цены товара на 1% от своего среднего уровня, средние объемы продаж уменьшаются на 0,83% от своего среднего уровня, а с уменьшением средней цены товара на 1% от своего среднего уровня, средние объемы продаж увеличиваются на 0,83% от своего среднего уровня.

5. Проверим значимость коэффициентов регрессии и корреляции с помощью t - критерия Стьюдента.

Выдвигаем гипотезы:

Н0: коэффициенты уравнения и показатель тесноты связи незначимы (Н0: a=0; b=0; rху=0);

Н1: коэффициенты уравнения и показатель тесноты связи значимы (Н1: a?0; b?0; rху?0).

Вычислим случайные ошибки параметров линейной регрессии и коэффициента корреляции:

По таблице критических точек распределения Стьюдента находим

tтабл(a; n-m-1)=tтабл(0,05; 32)= 2,0423.

Так как

tb>tтабл (5,05>2,0423);

ta<tтабл (1,847<2,0423);

tRxy>tтабл (5,05>2,0423);

то для коэффициента регрессии b и корреляции гипотеза Н0 о случайной природе оцениваемых характеристик отклоняется (или не принимается) и признается их статистическая значимость и надёжность. Для коэффициента регрессии а гипотеза Н0 о случайной природе оцениваемых характеристик не отклоняется (или принимается) и признается его статистическая незначимость и ненадёжность.

6. Проверим значимость уравнения регрессии с помощью F-критерия Фишера.

Выдвигаем гипотезы:

Н0: уравнение регрессии в целом незначимо; Н1: уравнение регрессии в целом значимо;

Находим наблюдаемое значение критерия:

По таблице приложения находим критическое значение критерия: Fтабл=4,17 где F(a; m; n-m-1)=F(0,05; 1; 32)=4,17. Так как Fфакт>Fтабл (25,2>4,17), то гипотеза Н0 о случайной природе оцениваемых характеристик отклоняется (или не принимается) и признается их статистическая значимость и надёжность.

7. Тождество выполняется:

Нанесём полученное уравнение на поле корреляции:

Предположим, что между х и у связь степенная, тогда уравнение регрессии имеет вид: yх=а·xb.

Построению степенной модели предшествует процедура линеаризации переменных. Линеаризация переменных производится путём логарифмирования обеих частей уравнения: lny=lnа+b·lnx, тогда Y=А+b·X, где Y=lny; X=lnx; А=lna.

Составим расчётную таблицу 2.

По методу наименьших квадратов (МНК) из решения системы:

уравнение парной линейной регрессии Y на X имеет вид:

YX = -0,425 - 0,638X

Выполнив его потенцирование, получим:

yх-0,425·х -0,638 или yх= 0,656 · х -0,638

Рассчитаем индекс корреляции:

то есть связь между средними объемами продаж (у) и ценой товара (х) средняя.

Определим индекс детерминации:

Итак, 35,8% вариации средних объемов продаж объясняется вариацией среднего дохода потребителя и 64,2% зависит от других факторов.

Вычислим среднюю ошибку аппроксимации:

В среднем расчётные значения отличаются от фактических на 325,7%, что превышает допустимые пределы 8%-10%, следовательно, с этой точки зрения можно считать выбор уравнения неудачным.

Вычислим коэффициент эластичности:

То есть с увеличением цены товара на 1% от своего среднего уровня, средние объемы продаж уменьшаются на 0,638% от своего среднего уровня, а с уменьшением цены товара на 1% от своего среднего уровня, средние объемы продаж увеличиваются на 0,638% от своего среднего уровня.

Проверим значимость коэффициентов регрессии и корреляции с помощью t - критерия Стьюдента.

Выдвигаем гипотезы:

Н0: коэффициенты уравнения и показатель тесноты связи незначимы (Н0: a=0; b=0; rху=0);

Н1: коэффициенты уравнения и показатель тесноты связи значимы (Н1: a?0; b?0; rху?0).

Вычислим случайные ошибки параметров линейной регрессии и коэффициента корреляции:

По таблице критических точек распределения Стьюдента находим

tтабл(a; n-m-1)=tтабл(0,05; 32)= 2,0423.

Так как

tb>tтабл (4,09>2,0423);

ta<tтабл (1,164<2,0423);

tRxy>tтабл (4,096>2,0423);

то для коэффициента регрессии b и корреляции гипотеза Н0 о случайной природе оцениваемых характеристик отклоняется (или не принимается) и признается их статистическая значимость и надёжность. Для коэффициента регрессии а гипотеза Н0 о случайной природе оцениваемых характеристик не отклоняется (или принимается) и признается его статистическая незначимость и ненадёжность.

Проверим значимость уравнения регрессии с помощью F - критерия Фишера.

Выдвигаем гипотезы:

Н0: уравнение регрессии незначимо;

Н1: уравнение регрессии значимо;

Находим наблюдаемое значение критерия:

По таблице приложения находим критическое значение критерия: Fтабл=4,17 где F(a; m; n-m-1)=F(0,05; 1; 32)=4,17.

Так как Fфакт>Fтабл (16,729>4,17) то гипотеза Н0 о случайной природе оцениваемых характеристик отклоняется и признается их статистическая значимость и надежность.

Тождество выполняется:

Нанесём полученное уравнение на поле корреляции:

Предположим, что между х и у связь показательная, тогда уравнение регрессии имеет вид: yх=а·bx.

Построению показательной модели предшествует процедура линеаризации переменных. Линеаризация переменных производится путём логарифмирования обеих частей уравнения: lny=lnа+x·lnb, тогда Y=А+B·x, где Y=lny; B=lnb; А=lna. Составим расчётную таблицу 2.

y

x

У=lny

X=lnx

XY

Y2

X2

YX

Y- YX

(Y- YX)2

1

0,35

1,33

-1,050

0,285

-0,299

1,102

0,081

-0,607

-0,443

0,196

-0,249

0,062

-0,692

0,479

0,422

2

0,79

1,01

-0,236

0,010

-0,002

0,056

0,000

-0,431

0,196

0,038

-0,073

0,005

0,122

0,015

0,830

3

0,93

0,85

-0,073

-0,163

0,012

0,005

0,026

-0,321

0,249

0,062

0,037

0,001

0,285

0,081

3,428

4

1,5

1,2

0,405

0,182

0,074

0,164

0,033

-0,541

0,947

0,896

-0,183

0,034

0,763

0,583

2,335

5

0,47

1,24

-0,755

0,215

-0,162

0,570

0,046

-0,562

-0,193

0,037

-0,204

0,042

-0,397

0,158

0,255

6

0,36

1,32

-1,022

0,278

-0,284

1,044

0,077

-0,602

-0,420

0,176

-0,244

0,060

-0,664

0,440

0,411

7

1,08

0,56

0,077

-0,580

-0,045

0,006

0,336

-0,055

0,132

0,017

0,303

0,092

0,435

0,189

1,716

8

1,19

0,3

0,174

-1,204

-0,209

0,030

1,450

0,343

-0,169

0,029

0,701

0,492

0,532

0,283

0,973

9

1,15

0,41

0,140

-0,892

-0,125

0,020

0,795

0,144

-0,004

0,000

0,502

0,252

0,498

0,248

0,029

10

1,1

0,54

0,095

-0,616

-0,059

0,009

0,380

-0,032

0,127

0,016

0,326

0,106

0,453

0,205

1,334

11

0,87

0,92

-0,139

-0,083

0,012

0,019

0,007

-0,372

0,233

0,054

-0,014

0,000

0,219

0,048

1,670

12

0,64

1,14

-0,446

0,131

-0,058

0,199

0,017

-0,509

0,062

0,004

-0,151

0,023

-0,088

0,008

0,140

13

0,66

1,13

-0,416

0,122

-0,051

0,173

0,015

-0,503

0,087

0,008

-0,145

0,021

-0,058

0,003

0,000

14

0,7

1,1

-0,357

0,095

-0,034

0,127

0,009

-0,486

0,129

0,017

-0,128

0,016

0,001

0,000

0,362

15

1,01

0,72

0,010

-0,329

-0,003

0,000

0,108

-0,215

0,225

0,051

0,143

0,020

0,368

0,135

22,649

16

1,01

0,71

0,010

-0,342

-0,003

0,000

0,117

-0,206

0,216

0,047

0,152

0,023

0,368

0,135

21,752

17

1,03

0,66

0,030

-0,416

-0,012

0,001

0,173

-0,160

0,189

0,036

0,198

0,039

0,388

0,150

6,410

18

0,31

1,35

-1,171

0,300

-0,351

1,372

0,090

-0,616

-0,555

0,308

-0,258

0,067

-0,813

0,661

0,474

19

0,32

1,33

-1,139

0,285

-0,325

1,298

0,081

-0,607

-0,532

0,284

-0,249

0,062

-0,781

0,611

0,467

20

0,42

1,27

-0,868

0,239

-0,207

0,753

0,057

-0,577

-0,290

0,084

-0,219

0,048

-0,510

0,260

0,334

21

0,52

0,33

-0,654

-1,109

0,725

0,428

1,229

0,282

-0,936

0,877

0,640

0,410

-0,296

0,088

1,432

22

0,5

1,23

-0,693

0,207

-0,143

0,480

0,043

-0,557

-0,136

0,019

-0,199

0,040

-0,335

0,112

0,196

23

0,81

0,98

-0,211

-0,020

0,004

0,044

0,000

-0,412

0,201

0,041

-0,054

0,003

0,147

0,022

0,956

24

0,75

1,05

-0,288

0,049

-0,014

0,083

0,002

-0,456

0,168

0,028

-0,098

0,010

0,070

0,005

0,586

25

0,98

0,76

-0,020

-0,274

0,006

0,000

0,075

-0,250

0,230

0,053

0,108

0,012

0,338

0,114

11,370

26

0,96

0,8

-0,041

-0,223

0,009

0,002

0,050

-0,283

0,242

0,058

0,075

0,006

0,317

0,101

5,924

27

0,93

0,83

-0,073

-0,186

0,014

0,005

0,035

-0,306

0,234

0,055

0,052

0,003

0,285

0,081

3,218

28

0,86

0,94

-0,151

-0,062

0,009

0,023

0,004

-0,386

0,235

0,055

-0,028

0,001

0,207

0,043

1,556

29

0,73

1,06

-0,315

0,058

-0,018

0,099

0,003

-0,462

0,147

0,022

-0,104

0,011

0,043

0,002

0,469

30

0,39

1,29

-0,942

0,255

-0,240

0,887

0,065

-0,587

-0,354

0,125

-0,229

0,053

-0,584

0,341

0,376

31

0,45

1,26

-0,799

0,231

-0,185

0,638

0,053

-0,572

-0,226

0,051

-0,214

0,046

-0,441

0,194

0,283

32

0,58

1,19

-0,545

0,174

-0,095

0,297

0,030

-0,536

-0,009

0,000

-0,178

0,032

-0,187

0,035

0,016

итого

24,350

30,810

-11,459

-3,382

-2,062

9,933

5,490

-11,442

0

3,743

0

2,089

0

5,830

92,371

в среднем

0,761

0,963

-0,358

-0,106

-0,064

0,310

0,172

-0,358

0

RSS

0

ESS

0

TSS

3,257

Таблица 2. Расчётная таблица

Y

x

xY

Y2

x2

Y- Yх

(Y- Yх)2

1

-1,050

1,33

-1,396

1,102

1,769

-0,720

-0,329

0,314

0,109

-0,692

0,479

2

-0,236

1,01

-0,238

0,056

1,020

-0,405

0,169

0,718

0,029

0,122

0,015

3

-0,073

0,85

-0,062

0,005

0,723

-0,247

0,175

2,405

0,030

0,285

0,081

4

0,405

1,2

0,487

0,164

1,440

-0,592

0,998

2,461

0,995

0,763

0,583

5

-0,755

1,24

-0,936

0,570

1,538

-0,632

-0,123

0,163

0,015

-0,397

0,158

6

-1,022

1,32

-1,349

1,044

1,742

-0,711

-0,311

0,305

0,097

-0,664

0,440

7

0,077

0,56

0,043

0,006

0,314

0,039

0,038

0,495

0,001

0,435

0,189

8

0,174

0,3

0,052

0,030

0,090

0,295

-0,121

0,697

0,015

0,532

0,283

9

0,140

0,41

0,057

0,020

0,168

0,187

-0,047

0,336

0,002

0,498

0,248

10

0,095

0,54

0,051

0,009

0,292

0,059

0,037

0,386

0,001

0,453

0,205

11

-0,139

0,92

-0,128

0,019

0,846

-0,316

0,177

1,270

0,031

0,219

0,048

12

-0,446

1,14

-0,509

0,199

1,300

-0,533

0,087

0,194

0,008

-0,088

0,008

13

-0,416

1,13

-0,470

0,173

1,277

-0,523

0,108

0,000

0,012

-0,058

0,003

14

-0,357

1,1

-0,392

0,127

1,210

-0,494

0,137

0,384

0,019

0,001

0,000

15

0,010

0,72

0,007

0,000

0,518

-0,119

0,129

12,951

0,017

0,368

0,135

16

0,010

0,71

0,007

0,000

0,504

-0,109

0,119

11,960

0,014

0,368

0,135

17

0,030

0,66

0,020

0,001

0,436

-0,060

0,089

3,022

0,008

0,388

0,150

18

-1,171

1,35

-1,581

1,372

1,823

-0,740

-0,431

0,368

0,186

-0,813

0,661

19

-1,139

1,33

-1,515

1,298

1,769

-0,720

-0,419

0,368

0,176

-0,781

0,611

20

-0,868

1,27

-1,102

0,753

1,613

-0,661

-0,206

0,238

0,043

-0,510

0,260

21

-0,654

0,33

-0,216

0,428

0,109

0,266

-0,920

1,406

0,846

-0,296

0,088

22

-0,693

1,23

-0,853

0,480

1,513

-0,622

-0,071

0,103

0,005

-0,335

0,112

23

-0,211

0,98

-0,207

0,044

0,960

-0,375

0,165

0,781

0,027

0,147

0,022

24

-0,288

1,05

-0,302

0,083

1,103

-0,444

0,157

0,544

0,025

0,070

0,005

25

-0,020

0,76

-0,015

0,000

0,578

-0,158

0,138

6,839

0,019

0,338

0,114

26

-0,041

0,8

-0,033

0,002

0,640

-0,198

0,157

3,845

0,025

0,317

0,101

27

-0,073

0,83

-0,060

0,005

0,689

-0,227

0,155

2,133

0,024

0,285

0,081

28

-0,151

0,94

-0,142

0,023

0,884

-0,336

0,185

1,227

0,034

0,207

0,043

29

-0,315

1,06

-0,334

0,099

1,124

-0,454

0,139

0,443

0,019

0,043

0,002

30

-0,942

1,29

-1,215

0,887

1,664

-0,681

-0,261

0,277

0,068

-0,584

0,341

31

-0,799

1,26

-1,006

0,638

1,588

-0,651

-0,147

0,184

0,022

-0,441

0,194

32

-0,545

1,19

-0,648

0,297

1,416

-0,582

0,038

0,069

0,001

-0,187

0,035

итого

-11,459

30,810

-13,983

9,933

32,656

-11,467

0

56,886

2,921

0

5,830

в среднем

-0,358

0,963

-0,437

0,310

1,021

-0,358

0

1,778

0,091

0

0,182

по методу наименьших квадратов (МНК) из решения системы:

уравнение парной линейной регрессии Y на x имеет вид:

Yх= 0,591 - 0,986х

Выполнив его потенцирование, получим:

yх0,591·е-0,986х или yх=1,799·0,375 х

Рассчитаем индекс корреляции:

то есть связь между средними объемами продаж (у) и ценой товара (х) сильная.

Определим индекс детерминации:

Итак, 49,9% вариации средних объемов продаж объясняется вариацией цены товара и на 50,1% зависит от других факторов.

Вычислим среднюю ошибку аппроксимации:

В среднем расчётные значения отличаются от фактических на 177,8%, что превышает допустимые пределы 8%-10%, следовательно, с этой точки зрения можно считать выбор уравнения не удачным.

Вычислим коэффициент эластичности:

То есть с увеличением (уменьшением) цены товара на 1% от своего среднего уровня, средние объемы продаж уменьшатся (увеличатся) на 0,95% от своего среднего уровня.

Проверим значимость уравнения регрессии с помощью F - критерия Фишера. Выдвигаем гипотезы: Н0: уравнение регрессии незначимо; Н1: уравнение регрессии значимо; Находим наблюдаемое значение критерия:

По таблице приложения находим критическое значение критерия: Fтабл=4,17 где F(a; m; n-m-1)=F(0,05; 1; 31)=4,17.

Так как Fфакт>Fтабл (29,9>4,17) то гипотеза Н0 о случайной природе оцениваемых характеристик отклоняется и признается их статистическая значимость и надежность.

Нанесём полученное уравнение на поле корреляции:

Предположим, что между х и у связь полулогарифмическая, тогда уравнение регрессии имеет вид: yх=а+blnx, у=а+bХ, где X=lnx;

Составим расчётную таблицу 3.

По методу наименьших квадратов (МНК) из решения системы:

уравнение парной линейной регрессии y на X имеет вид:

yХ = 0,715 - 0,436Х или yх = 0,715 - 0,436lnх

Таблица 3. Расчётная таблица

y

X

Xy

y2

X2

y-yх

(y-yх)2

1

0,35

0,285

0,100

0,123

0,081

0,591

-0,241

0,688

0,058

-0,411

0,169

2

0,79

0,010

0,008

0,624

0,000

0,711

0,079

0,100

0,006

0,029

0,001

3

0,93

-0,163

-0,151

0,865

0,026

0,786

0,144

0,155

0,021

0,169

0,029

4

1,5

0,182

0,273

2,250

0,033

0,636

0,864

0,576

0,747

0,739

0,546

5

0,47

0,215

0,101

0,221

0,046

0,621

-0,151

0,322

0,023

-0,291

0,085

6

0,36

0,278

0,100

0,130

0,077

0,594

-0,234

0,650

0,055

-0,401

0,161

7

1,08

-0,580

-0,626

1,166

0,336

0,968

0,112

0,104

0,013

0,319

0,102

8

1,19

-1,204

-1,433

1,416

1,450

1,240

-0,050

0,042

0,002

0,429

0,184

9

1,15

-0,892

-1,025

1,323

0,795

1,104

0,046

0,040

0,002

0,389

0,151

10

1,1

-0,616

-0,678

1,210

0,380

0,984

0,116

0,106

0,014

0,339

0,115

11

0,87

-0,083

-0,073

0,757

0,007

0,751

0,119

0,136

0,014

0,109

0,012

12

0,64

0,131

0,084

0,410

0,017

0,658

-0,018

0,028

0,000

-0,121

0,015

13

0,66

0,122

0,081

0,436

0,015

0,662

-0,002

0,003

0,000

-0,101

0,010

14

0,7

0,095

0,067

0,490

0,009

0,673

0,027

0,038

0,001

-0,061

0,004

15

1,01

-0,329

-0,332

1,020

0,108

0,858

0,152

0,150

0,023

0,249

0,062

16

1,01

-0,342

-0,346

1,020

0,117

0,864

0,146

0,144

0,021

0,249

0,062

17

1,03

-0,416

-0,428

1,061

0,173

0,896

0,134

0,130

0,018

0,269

0,072

18

0,31

0,300

0,093

0,096

0,090

0,584

-0,274

0,884

0,075

-0,451

0,203

19

0,32

0,285

0,091

0,102

0,081

0,591

-0,271

0,846

0,073

-0,441

0,194

20

0,42

0,239

0,100

0,176

0,057

0,611

-0,191

0,454

0,036

-0,341

0,116

21

0,52

-1,109

-0,577

0,270

1,229

1,198

-0,678

1,305

0,460

-0,241

0,058

22

0,5

0,207

0,104

0,250

0,043

0,625

-0,125

0,249

0,016

-0,261

0,068

23

0,81

-0,020

-0,016

0,656

0,000

0,724

0,086

0,106

0,007

0,049

0,002

24

0,75

0,049

0,037

0,563

0,002

0,694

0,056

0,075

0,003

-0,011

0,000

25

0,98

-0,274

-0,269

0,960

0,075

0,835

0,145

0,148

0,021

0,219

0,048

26

0,96

-0,223

-0,214

0,922

0,050

0,812

0,148

0,154

0,022

0,199

0,040

27

0,93

-0,186

-0,173

0,865

0,035

0,796

0,134

0,144

0,018

0,169

0,029

28

0,86

-0,062

-0,053

0,740

0,004

0,742

0,118

0,137

0,014

0,099

0,010

29

0,73

0,058

0,043

0,533

0,003

0,690

0,040

0,055

0,002

-0,031

0,001

30

0,39

0,255

0,099

0,152

0,065

0,604

-0,214

0,549

0,046

-0,371

0,138

31

0,45

0,231

0,104

0,203

0,053

0,614

-0,164

0,365

0,027

-0,311

0,097

32

0,58

0,174

0,101

0,336

0,030

0,639

-0,059

0,102

0,003

-0,181

0,033

итого

24,350

-3,382

-4,809

21,345

5,490

24,354

0

8,986

1,842

0

2,816

в среднем

0,761

-0,106

-0,150

0,667

0,172

0,761

0

0,281

0,058

0

0,088

Рассчитаем индекс корреляции:

то есть связь между средними объемами продаж (у) и ценой товара (х) средняя.

Определим индекс детерминации:

Итак, 34,6% вариации средних объемов продаж объясняется вариацией дохода потребителя и на 65,4% зависит от других факторов.

Вычислим среднюю ошибку аппроксимации:

В среднем расчётные значения отличаются от фактических на 28,1%, что превышает допустимые пределы 8% - 10%, следовательно, с этой точки зрения можно считать уравнение не удачным.

Вычислим коэффициент эластичности:

То есть с увеличением (уменьшением) цены товара на 1% от своего среднего уровня, средние объемы продаж уменьшатся (увеличатся) на 0,453% от своего среднего уровня.

Проверим значимость уравнения регрессии с помощью F - критерия Фишера. Выдвигаем гипотезы: Н0: уравнение регрессии незначимо; Н1: уравнение регрессии значимо; Находим наблюдаемое значение критерия:

По таблице приложения находим критическое значение критерия: Fтабл=4,17 где F(?; m; n-m-1)=F(0,05; 1; 32)=4,17. Так как Fфакт>Fтабл (15,9>4,17) то гипотеза Н0 о случайной природе оцениваемых характеристик отклоняется и признается их статистическая значимость и надежность.

Нанесём полученное уравнение на поле корреляции:

Составим сравнительную таблицу полученных оценок:

Показатели

Уравнения регрессий

Линейное

yх=1,393 - 0,656х

Степенное

yх= 0,656 · х -0,638

Показательное

yх=1,799·0,375 х

Полулогарифмическое

yх = 0,715 - 0,436lnх

Коэффициент (индекс)

корреляции

-0,676

0,598

0,706

0,588

Коэффициент (индекс) детерминации

0,457

0,358

0, 499

0,346

Средняя ошибка аппроксимации

21,2%

325,7%

177,8%

28,1%

Коэффициент эластичности

-0,83%

-0,638%

-0,95%

-0,453%

Значимость по F-критерию

Значимо

Fфакт= 25,2

Значимо

Fфакт=16,729

Значимо

Fфакт=29,9

Значимо

Fфакт=15,9

Уравнение линейной регрессии является лучшим т.к. средняя ошибка аппроксимации в нём меньше чем в других. Рассчитаем прогнозное значение результата, если прогнозное значение фактора увеличится на 5% от его среднего уровня по уравнению линейной регрессии:

yх= 1,393 - 0,656х;

;

yх= 1,393 - 0,656•1,011 = 0,73

Если прогнозное значение цены товара увеличится на 5% от среднего уровня, т.е. станет равной 1,011 руб. то средние затраты на продукты питания увеличатся и станут составлять 0,73 тыс. руб.

Размещено на Allbest.ru


Подобные документы

  • Исследование зависимости сменной добычи угля на одного рабочего от мощности пласта путем построения уравнения парной линейной регрессии. Построение поля корреляции. Определение интервальных оценок заданных коэффициентов. Средняя ошибка аппроксимации.

    контрольная работа [2,1 M], добавлен 09.08.2013

  • Расчет параметров линейной регрессии. Сравнительная оценка тесноты связи с помощью показателей корреляции, детерминации, коэффициента эластичности. Построение поля корреляции. Определение статистической надежности результатов регрессионного моделирования.

    контрольная работа [71,7 K], добавлен 17.09.2016

  • Расчет параметров уравнения линейной регрессии, оценка тесноты связи с помощью показателей корреляции и детерминации; определение средней ошибки аппроксимации. Статистическая надежность регрессионного моделирования с помощью критериев Фишера и Стьюдента.

    контрольная работа [34,7 K], добавлен 14.11.2010

  • Построение поля корреляции и формулирование гипотезы о форме связи. Параметры уравнений линейной, степенной и гиперболической регрессии. Оценка тесноты связи с помощью показателей корреляции и детерминации. Оценка средней ошибки аппроксимации уравнения.

    контрольная работа [136,3 K], добавлен 25.09.2014

  • Расчет линейного коэффициента парной и частной корреляции. Статистическая значимость параметров регрессии и корреляции. Анализ корреляционного поля данных. Точность прогноза, расчет ошибки и доверительный интервал. Коэффициент множественной детерминации.

    контрольная работа [155,8 K], добавлен 11.12.2010

  • Построение линейного уравнения парной регрессии, расчет линейного коэффициента парной корреляции и средней ошибки аппроксимации. Определение коэффициентов корреляции и эластичности, индекса корреляции, суть применения критерия Фишера в эконометрике.

    контрольная работа [141,3 K], добавлен 05.05.2010

  • Построение поля корреляции и формулировка гипотезы о линейной форме связи. Расчет уравнений различных регрессий. Расчет коэффициентов эластичности, корреляции, детерминации и F-критерия Фишера. Расчет прогнозного значения результата и его ошибки.

    контрольная работа [681,9 K], добавлен 03.08.2010

Работы в архивах красиво оформлены согласно требованиям ВУЗов и содержат рисунки, диаграммы, формулы и т.д.
PPT, PPTX и PDF-файлы представлены только в архивах.
Рекомендуем скачать работу.