Множественная линейная регрессия

Размещено на http://www.allbest.ru/

№	s	d	p	q
1	0,35	0,29	2,02	1,33
2	0,79	0,55	1,29	1,01
3	0,93	0,70	1,09	0,85
4	1,50	0,41	1,68	1,20
5	0,47	0,37	0,30	1,24
6	0,36	0,30	1,98	1,32
7	1,08	1,03	0,87	0,56
8	1,19	1,30	0,80	0,30
9	1,15	1,17	0,81	0,41
10	1,10	1,06	0,84	0,54
11	0,87	0,64	1,16	0,92
12	0,64	0,44	1,52	1,14
13	0,66	0,46	1,47	1,13
14	0,70	0,49	1,41	1,10
15	1,01	0,88	0,97	0,72
16	1,01	0,91	0,93	0,71
17	1,03	0,94	0,91	0,66
18	0,31	0,27	2,08	1,35
19	0,32	0,28	2,05	1,33
20	0,42	0,32	1,90	1,27
21	0,52	0,38	1,73	0,33
22	0,50	1,40	1,79	1,23
23	0,81	0,58	1,25	0,98
24	0,75	0,53	1,33	1,05
25	0,98	0,80	0,99	0,76
26	0,96	0,76	1,04	0,80
27	0,93	0,72	1,05	0,83
28	0,86	0,61	1,18	0,94
29	0,73	0,51	1,38	1,06
30	0,39	0,32	1,94	1,29
31	0,45	0,34	1,83	1,26
32	0,58	0,41	1,63	1,19

Задача 1. Множественная линейная регрессия

s - объём продаж товара А, ед. (или спрос);

d - средний доход потребителя, тыс. руб.;

p - цена товара А, руб.;

q - цена товара Б, руб.;

Вычислите описательные статистики. Проверьте характер распределения признаков. При необходимости удалите аномальные наблюдения;

Постройте уравнение множественной регрессии в линейной форме с полным набором факторов, дайте экономическую интерпретацию полученных результатов. Рассчитайте интервальные оценки его коэффициентов и дайте им экономическую интерпретацию;

Дайте сравнительную оценку силы связи факторов с результатом с помощью средних коэффициентов эластичности;

Оцените статистическую значимость уравнения регрессии и его параметров с помощью критериев Фишера и Стьюдента, сопоставьте результаты t-статистик с интервальными оценками коэффициентов регрессии;

Оцените качество уравнения через среднюю ошибку аппроксимации.

Постройте матрицу парных коэффициентов корреляции. Сделайте вывод о силе связи результата и факторов. Определите критическое значение r_кр для выборочных парных коэффициентов корреляции по таблице Фишера-Йетса и проверьте значимость каждого из коэффициентов на уровне значимости a=0,05.

Выберите лучшую факторную переменную из рассмотренных и обоснуйте свой выбор.

Выясните, является ли товар А высокоэластичным или низкоэластичным? Ценным? Традиционным? Взаимодополняющим или взаимозамещающим по отношению к товару Б?

Решение:

Вычислим описательные статистики

	s	d	p	q
Среднее	0,761	0,630	1,351	0,963
Стандартная ошибка	0,053	0,056	0,081	0,055
Медиана	0,77	0,54	1,31	1,03
Мода	0,93	0,41	#Н/Д	1,33
Стандартное отклонение	0,301	0,315	0,457	0,311
Дисперсия выборки	0,091	0,099	0,209	0,097
Эксцесс	-0,517	-0,061	-0,747	-0,598
Асимметричность	0,247	0,893	-0,041	-0,638
Интервал	1,19	1,13	1,78	1,05
Минимум	0,31	0,27	0,3	0,3
Максимум	1,5	1,4	2,08	1,35
Сумма	24,35	20,17	43,22	30,81
Счет	32	32	32	32
Наибольший(1)	1,5	1,4	2,08	1,35
Наименьший(1)	0,31	0,27	0,3	0,3
Уровень надежности(95,0%)	0,109	0,114	0,165	0,112
Коэффициент вариации	0,396	0,499	0,339	0,323

Коэффициент вариации факторных переменных d и р больше 0,33 значит по данным признакам совокупность не однородна. Коэффициент вариации факторных переменных q меньше 0,33 значит по данным признакам совокупность однородна.

Закон нормального распределения признаков говорит о том, что мода и медиана очень близки друг к другу, такое распределение считается нормальным.

Значения эксцесса отличны от 0, что не удовлетворяет условиям нормального распределения. Но в целях изучения мы проведем исследование.

Значения асимметрии считаются нормальными если они близки к 0. Наиболее близок к этому значению р - цена товара А.

Построим уравнение множественной регрессии в линейной форме с полным набором факторов

	Коэффициенты	Стандартная ошибка	t-статистика
s-пересечение	1,221	0,270	4,521
Переменная d	0,201	0,172	1,169
Переменная p	-0,219	0,114	-1,925
Переменная q	-0,303	0,185	-1,633

Уравнение регрессии имеет вид:

у = 1,221 + 0,201d - 0,219p - 0,303q

С увеличением дохода потребителей на 1 тыс. руб. объем продаж возрастает на 0,201 руб. С увеличением цены товара А на 1 руб. объем продаж уменьшается на 0,219 руб. С увеличением цены товара В на 1 руб. объем продаж уменьшается на 0,303 руб.

Рассчитаем интервальные оценки коэффициентов уравнения регрессии.

	Коэффициенты	Нижние 95%	Верхние 95%
s-пересечение	1,221	0,668	1,775
Переменная d	0,201	-0,151	0,552
Переменная p	-0,219	-0,451	0,014
Переменная q	-0,303	-0,683	0,077

С увеличением дохода потребителей на 1 тыс. руб. объем продаж уменьшается максимум на 0,151руб. или увеличится как максимум на 0,552. С увеличением цены товара А на 1 руб. объем продаж уменьшается максимум на 0,451руб. или увеличится как максимум на 0,014. С увеличением цены товара В на 1 руб. объем продаж уменьшится максимум на 0,683руб или увеличится как максимум на 0,077руб.

В границы доверительных интервалов всех переменных попадает 0, это свидетельствует о статистической незначимости и ненадежности рассматриваемых коэффициентов.

Вычислим коэффициент эластичности:

То есть с увеличением дохода на 1% от своего среднего уровня, средний объем продаж увеличивается на 0,166% от своего среднего уровня, а с увеличением цены на товар А на 1% от своего среднего уровня, средний объем продаж уменьшается на 0,389% от своего среднего уровня, а с увеличением цены на товар В на 1% от своего среднего уровня, средний объем продаж уменьшается на 0,383% от своего среднего уровня.

Наиболее сильное влияние на объем продаж оказывает цена товара А, наименьшее доход потребителя.

3. Оценим статистическую значимость уравнения регрессии и его параметров с помощью критериев Фишера и Стьюдента, сопоставим результаты t-статистик с интервальными оценками коэффициентов регрессии.

Находим наблюдаемое и фактическое значение критерия Фишера

F_табл(б=0,05)=4,12

F_факт = 11,988

F_табл<F_набл то уравнение в целом статистически значимо и надежно

Проверим значимость параметров с помощью критерия Стьюдента

	Коэффициенты	t-статистика
s-пересечение	1,221	4,521
Переменная d	0,201	1,169
Переменная p	-0,219	-1,925
Переменная q	-0,303	-1,633
Табличное(критическое) значение статистики Стьюдента	2,0423

Найдем t_крит(б=0,05; f=32)=2,0423

t_крит>t_набл для переменных d, р, q значит эти коэффициенты регрессии незначимы и ненадежны.

4. Вычислим среднюю ошибку аппроксимации:

В среднем расчётные значения отличаются от фактических на 15.2%, что превышает допустимые пределы 8%-10%, следовательно, с этой точки зрения можно считать выбор уравнения неудачным.

5. Построим матрицу парных коэффициентов корреляции.

	s	d	p	q
s	1
d	0,624	1
p	-0,663	-0,599	1
q	-0,676	-0,691	0,660	1

Проверим значимость коэффициентов корреляции на уровне значимости б=0,05.

Рассчитаем фактические значения критериев по формуле:

Табличное(критическое) значение статистики Стьюдента, определенное на уровне значимости б=0,05 при числе степеней свободы f=32равно:

t_крит(б=0,05; f=32)= 2,0423

	s	d	p	q
s
d	4,377
p	4,857	4,092
q	5,028	5,242	4,809

По критерию t все коэффициенты значимы.

По матрице коэффициентов видим, что наибольшее влияние на объем продаж оказывает цена товара Б, наименьшее доход потребителя.

Множественный коэффициент корреляции равен R = 0,75, то есть связь между спросом (у) и включенными в модель факторами (х) высокая.

Коэффициент детерминации значит вариация спроса s на 56,2% объясняется вариацией включенных в модель факторов и на 43,8% зависит от других факторов

6. Рассчитаем значения коэффициентов детерминации R² объясняющих переменных по всем остальным переменным, то есть в качестве зависимой переменной выбираем последовательно все переменные: s, d, p, q все остальные объясняющие переменные в качестве независимых.

Зависимая переменная	Независимая переменные	R2	R
s	d, p, q	0,562	0,75
d	s, p, q	0,537	0,733
p	d, s, q,	0,536	0,732
q	d, p, s,	0,61	0,781

Анализ оценок детерминации показал наличие тесной связи между объясняющей переменной q и всеми остальными признаками.

Лучшая факторная переменная q так как от нее в большей степени зависит изменение s.

Эластичность по модулю больше 1 значит товар высокоэластичный.

Товары А и Б могут являться взаимодополняемыми, но не являются взаимозаменяемыми так как коэффициенты эластичности изменяются однонаправлено, так как все коэффициенты регрессии показывают, что связь между ценой товара А и остальными факторами сильная, то товар традиционен, и так как коэффициенты эластичности по модулю меньше 1 значит товар не ценен.

Задача 2. Парная регрессия

уравнение регрессия линейный корреляция

Примите за результативную переменную - переменную, рассмотренную в задаче 1, а за факторную переменную - лучшую факторную переменную, выбранную в задаче 1.

Постройте поле корреляции и сформулируйте гипотезу о форме связи.

Рассчитайте параметры уравнения линейной регрессии и нанесите его на поле корреляции.

Оцените тесноту связи с помощью показателей корреляции и детерминации.

Дайте с помощью среднего коэффициента эластичности сравнительную оценку силы связи фактора с результатом.

Оцените с помощью средней ошибки аппроксимации качество уравнения.

С помощью t-критерия Стьюдента оцените статистическую надёжность показателей регрессионного моделирования.

С помощью F-критерия Фишера оцените статистическую надёжность результатов регрессионного моделирования.

Проверьте разложение общей суммы квадратов отклонений зависимой переменной у от своего среднего значения (ТSS) на два слагаемых - «объяснённую» (или регрессионную) сумму квадратов отклонений (ЕSS) и «необъяснённую» (или остаточную) сумму квадратов отклонений (RSS).

Рассчитайте параметры уравнений:

степенной регрессии;

экспоненциальной (показательной) регрессии;

полулогарифмической регрессии;

Каждое из построенных уравнений нанесите на поле корреляции и для него:

Оцените тесноту связи с помощью показателей корреляции и детерминации.

Дайте с помощью среднего (общего) коэффициента эластичности сравнительную оценку силы связи фактора с результатом.

Оцените с помощью средней ошибки аппроксимации качество уравнения.

С помощью t-критерия Стьюдента оцените статистическую надёжность показателей регрессионного моделирования.

С помощью F-критерия Фишера оцените статистическую надёжность результатов регрессионного моделирования.

Проверьте разложение общей суммы квадратов отклонений зависимой переменной у от своего среднего значения (ТSS) на два слагаемых - «объяснённую» (или регрессионную) сумму квадратов отклонений (ЕSS) и «необъяснённую» (или остаточную) сумму квадратов отклонений (RSS).

Результаты вычислений внесите в сводную таблицу.

По значениям характеристик выберите лучшее уравнение регрессии и дайте его обоснование.

Рассчитайте прогнозное значение результата, если прогнозное значение фактора увеличится на 5% от его среднего уровня.

Определите доверительный интервал прогноза для уровня значимости б=0,05.

№	Объем продаж, ед. y	Цена товара, руб. x
1	0,35	1,33
2	0,79	1,01
3	0,93	0,85
4	1,50	1,20
5	0,47	1,24
6	0,36	1,32
7	1,08	0,56
8	1,19	0,30
9	1,15	0,41
10	1,10	0,54
11	0,87	0,92
12	0,64	1,14
13	0,66	1,13
14	0,70	1,10
15	1,01	0,72
16	1,01	0,71
17	1,03	0,66
18	0,31	1,35
19	0,32	1,33
20	0,42	1,27
21	0,52	0,33
22	0,50	1,23
23	0,81	0,98
24	0,75	1,05
25	0,98	0,76
26	0,96	0,80
27	0,93	0,83
28	0,86	0,94
29	0,73	1,06
30	0,39	1,29
31	0,45	1,26
32	0,58	1,19

Решение:

Строим поле корреляции:

2. Предположим, что между х и у связь линейная, тогда уравнение регрессии имеет вид: y_х=а+bx. Для нахождения его параметров составим расчётную таблицу 1:

y_х= 1,393 - 0,656х - уравнение линейной регрессии.

Итак, с увеличением цены товара на 1 руб. средний объем продаж уменьшается в среднем на 0,656руб.

Таблица 1. Расчётная таблица

	у	х	у2	х2	xy	yх	y-yх	(y-yх)2	yх -`y	(yх -`y)2	у -`y	(у -`y)2
1	0,35	1,33	0,123	1,769	0,466	0,521	-0,171	0,029	-0,240	0,058	-0,411	0,169	0,487
2	0,79	1,01	0,624	1,020	0,798	0,730	0,060	0,004	-0,031	0,001	0,029	0,001	0,075
3	0,93	0,85	0,865	0,723	0,791	0,835	0,095	0,009	0,074	0,006	0,169	0,029	0,102
4	1,5	1,2	2,250	1,440	1,800	0,606	0,894	0,800	-0,155	0,024	0,739	0,546	0,596
5	0,47	1,24	0,221	1,538	0,583	0,580	-0,110	0,012	-0,181	0,033	-0,291	0,085	0,233
6	0,36	1,32	0,130	1,742	0,475	0,527	-0,167	0,028	-0,234	0,055	-0,401	0,161	0,464
7	1,08	0,56	1,166	0,314	0,605	1,026	0,054	0,003	0,265	0,070	0,319	0,102	0,050
8	1,19	0,3	1,416	0,090	0,357	1,196	-0,006	0,000	0,435	0,189	0,429	0,184	0,005
9	1,15	0,41	1,323	0,168	0,472	1,124	0,026	0,001	0,363	0,132	0,389	0,151	0,023
10	1,1	0,54	1,210	0,292	0,594	1,039	0,061	0,004	0,278	0,077	0,339	0,115	0,056
11	0,87	0,92	0,757	0,846	0,800	0,789	0,081	0,006	0,028	0,001	0,109	0,012	0,093
12	0,64	1,14	0,410	1,300	0,730	0,645	-0,005	0,000	-0,116	0,013	-0,121	0,015	0,008
13	0,66	1,13	0,436	1,277	0,746	0,652	0,008	0,000	-0,109	0,012	-0,101	0,010	0,013
14	0,7	1,1	0,490	1,210	0,770	0,671	0,029	0,001	-0,090	0,008	-0,061	0,004	0,041
15	1,01	0,72	1,020	0,518	0,727	0,921	0,089	0,008	0,160	0,025	0,249	0,062	0,088
16	1,01	0,71	1,020	0,504	0,717	0,927	0,083	0,007	0,166	0,028	0,249	0,062	0,082
17	1,03	0,66	1,061	0,436	0,680	0,960	0,070	0,005	0,199	0,040	0,269	0,072	0,068
18	0,31	1,35	0,096	1,823	0,419	0,507	-0,197	0,039	-0,254	0,064	-0,451	0,203	0,637
19	0,32	1,33	0,102	1,769	0,426	0,521	-0,201	0,040	-0,240	0,058	-0,441	0,194	0,627
20	0,42	1,27	0,176	1,613	0,533	0,560	-0,140	0,020	-0,201	0,040	-0,341	0,116	0,333
21	0,52	0,33	0,270	0,109	0,172	1,177	-0,657	0,431	0,416	0,173	-0,241	0,058	1,263
22	0,5	1,23	0,250	1,513	0,615	0,586	-0,086	0,007	-0,175	0,031	-0,261	0,068	0,172
23	0,81	0,98	0,656	0,960	0,794	0,750	0,060	0,004	-0,011	0,000	0,049	0,002	0,074
24	0,75	1,05	0,563	1,103	0,788	0,704	0,046	0,002	-0,057	0,003	-0,011	0,000	0,061
25	0,98	0,76	0,960	0,578	0,745	0,894	0,086	0,007	0,133	0,018	0,219	0,048	0,087
26	0,96	0,8	0,922	0,640	0,768	0,868	0,092	0,008	0,107	0,011	0,199	0,040	0,096
27	0,93	0,83	0,865	0,689	0,772	0,849	0,081	0,007	0,088	0,008	0,169	0,029	0,088
28	0,86	0,94	0,740	0,884	0,808	0,776	0,084	0,007	0,015	0,000	0,099	0,010	0,097
29	0,73	1,06	0,533	1,124	0,774	0,698	0,032	0,001	-0,063	0,004	-0,031	0,001	0,044
30	0,39	1,29	0,152	1,664	0,503	0,547	-0,157	0,025	-0,214	0,046	-0,371	0,138	0,402
31	0,45	1,26	0,203	1,588	0,567	0,566	-0,116	0,014	-0,195	0,038	-0,311	0,097	0,259
32	0,58	1,19	0,336	1,416	0,690	0,612	-0,032	0,001	-0,149	0,022	-0,181	0,033	0,056
Итого	24,350	30,810	21,345	32,656	21,482	24,365	0	1,528	0	1,288	0	2,816	6,779
в среднем	0,761	0,963	0,667	1,021	0,671	0,761	0	RSS	0	ESS	0	TSS	0,212

2. Рассчитаем коэффициент парной корреляции:

то есть связь между средними затратами на продукты питания (у) и ценой товара (х) средняя.

Определим коэффициент детерминации:

Итак, 45,7% вариации средних объемов продаж объясняется вариацией доходов и на 64,3% зависит от других факторов.

3. Вычислим среднюю ошибку аппроксимации:

В среднем расчётные значения отличаются от фактических на 21,2%, что превышает допустимые пределы 8%-10%, следовательно, с этой точки зрения можно считать выбор уравнения не удачным.

4. Вычислим коэффициент эластичности:

То есть с увеличением средней цены товара на 1% от своего среднего уровня, средние объемы продаж уменьшаются на 0,83% от своего среднего уровня, а с уменьшением средней цены товара на 1% от своего среднего уровня, средние объемы продаж увеличиваются на 0,83% от своего среднего уровня.

5. Проверим значимость коэффициентов регрессии и корреляции с помощью t - критерия Стьюдента.

Выдвигаем гипотезы:

Н₀: коэффициенты уравнения и показатель тесноты связи незначимы (Н₀: a=0; b=0; r_ху=0);

Н₁: коэффициенты уравнения и показатель тесноты связи значимы (Н₁: a?0; b?0; r_ху?0).

Вычислим случайные ошибки параметров линейной регрессии и коэффициента корреляции:

По таблице критических точек распределения Стьюдента находим

t_табл(a; n-m-1)=t_табл(0,05; 32)= 2,0423.

Так как

t_b>t_табл (5,05>2,0423);

t_a<t_табл (1,847<2,0423);

t_Rxy>t_табл (5,05>2,0423);

то для коэффициента регрессии b и корреляции гипотеза Н₀ о случайной природе оцениваемых характеристик отклоняется (или не принимается) и признается их статистическая значимость и надёжность. Для коэффициента регрессии а гипотеза Н₀ о случайной природе оцениваемых характеристик не отклоняется (или принимается) и признается его статистическая незначимость и ненадёжность.

6. Проверим значимость уравнения регрессии с помощью F-критерия Фишера.

Выдвигаем гипотезы:

Н₀: уравнение регрессии в целом незначимо; Н₁: уравнение регрессии в целом значимо;

Находим наблюдаемое значение критерия:

По таблице приложения находим критическое значение критерия: F_табл=4,17 где F(a; m; n-m-1)=F(0,05; 1; 32)=4,17. Так как F_факт>F_табл (25,2>4,17), то гипотеза Н₀ о случайной природе оцениваемых характеристик отклоняется (или не принимается) и признается их статистическая значимость и надёжность.

7. Тождество выполняется:

Нанесём полученное уравнение на поле корреляции:



Предположим, что между х и у связь степенная, тогда уравнение регрессии имеет вид: y_х=а·x^b.

Построению степенной модели предшествует процедура линеаризации переменных. Линеаризация переменных производится путём логарифмирования обеих частей уравнения: lny=lnа+b·lnx, тогда Y=А+b·X, где Y=lny; X=lnx; А=lna.

Составим расчётную таблицу 2.

По методу наименьших квадратов (МНК) из решения системы:

уравнение парной линейной регрессии Y на X имеет вид:

Y_X = -0,425 - 0,638X

Выполнив его потенцирование, получим:

y_х=е^-0,425·х ^-0,638 или y_х= 0,656 · х ^-0,638

Рассчитаем индекс корреляции:

то есть связь между средними объемами продаж (у) и ценой товара (х) средняя.

Определим индекс детерминации:

Итак, 35,8% вариации средних объемов продаж объясняется вариацией среднего дохода потребителя и 64,2% зависит от других факторов.

Вычислим среднюю ошибку аппроксимации:

В среднем расчётные значения отличаются от фактических на 325,7%, что превышает допустимые пределы 8%-10%, следовательно, с этой точки зрения можно считать выбор уравнения неудачным.

Вычислим коэффициент эластичности:

То есть с увеличением цены товара на 1% от своего среднего уровня, средние объемы продаж уменьшаются на 0,638% от своего среднего уровня, а с уменьшением цены товара на 1% от своего среднего уровня, средние объемы продаж увеличиваются на 0,638% от своего среднего уровня.

Проверим значимость коэффициентов регрессии и корреляции с помощью t - критерия Стьюдента.

Выдвигаем гипотезы:

Н₀: коэффициенты уравнения и показатель тесноты связи незначимы (Н₀: a=0; b=0; r_ху=0);

Н₁: коэффициенты уравнения и показатель тесноты связи значимы (Н₁: a?0; b?0; r_ху?0).

Вычислим случайные ошибки параметров линейной регрессии и коэффициента корреляции:

По таблице критических точек распределения Стьюдента находим

t_табл(a; n-m-1)=t_табл(0,05; 32)= 2,0423.

Так как

t_b>t_табл (4,09>2,0423);

t_a<t_табл (1,164<2,0423);

t_Rxy>t_табл (4,096>2,0423);

то для коэффициента регрессии b и корреляции гипотеза Н₀ о случайной природе оцениваемых характеристик отклоняется (или не принимается) и признается их статистическая значимость и надёжность. Для коэффициента регрессии а гипотеза Н₀ о случайной природе оцениваемых характеристик не отклоняется (или принимается) и признается его статистическая незначимость и ненадёжность.

Проверим значимость уравнения регрессии с помощью F - критерия Фишера.

Выдвигаем гипотезы:

Н₀: уравнение регрессии незначимо;

Н₁: уравнение регрессии значимо;

Находим наблюдаемое значение критерия:

По таблице приложения находим критическое значение критерия: F_табл=4,17 где F(a; m; n-m-1)=F(0,05; 1; 32)=4,17.

Так как F_факт>F_табл (16,729>4,17) то гипотеза Н₀ о случайной природе оцениваемых характеристик отклоняется и признается их статистическая значимость и надежность.

Тождество выполняется:



Нанесём полученное уравнение на поле корреляции:

Предположим, что между х и у связь показательная, тогда уравнение регрессии имеет вид: y_х=а·b^x.

Построению показательной модели предшествует процедура линеаризации переменных. Линеаризация переменных производится путём логарифмирования обеих частей уравнения: lny=lnа+x·lnb, тогда Y=А+B·x, где Y=lny; B=lnb; А=lna. Составим расчётную таблицу 2.

	y	x	У=lny	X=lnx	XY	Y2	X2	YX	Y- YX	(Y- YX)2
1	0,35	1,33	-1,050	0,285	-0,299	1,102	0,081	-0,607	-0,443	0,196	-0,249	0,062	-0,692	0,479	0,422
2	0,79	1,01	-0,236	0,010	-0,002	0,056	0,000	-0,431	0,196	0,038	-0,073	0,005	0,122	0,015	0,830
3	0,93	0,85	-0,073	-0,163	0,012	0,005	0,026	-0,321	0,249	0,062	0,037	0,001	0,285	0,081	3,428
4	1,5	1,2	0,405	0,182	0,074	0,164	0,033	-0,541	0,947	0,896	-0,183	0,034	0,763	0,583	2,335
5	0,47	1,24	-0,755	0,215	-0,162	0,570	0,046	-0,562	-0,193	0,037	-0,204	0,042	-0,397	0,158	0,255
6	0,36	1,32	-1,022	0,278	-0,284	1,044	0,077	-0,602	-0,420	0,176	-0,244	0,060	-0,664	0,440	0,411
7	1,08	0,56	0,077	-0,580	-0,045	0,006	0,336	-0,055	0,132	0,017	0,303	0,092	0,435	0,189	1,716
8	1,19	0,3	0,174	-1,204	-0,209	0,030	1,450	0,343	-0,169	0,029	0,701	0,492	0,532	0,283	0,973
9	1,15	0,41	0,140	-0,892	-0,125	0,020	0,795	0,144	-0,004	0,000	0,502	0,252	0,498	0,248	0,029
10	1,1	0,54	0,095	-0,616	-0,059	0,009	0,380	-0,032	0,127	0,016	0,326	0,106	0,453	0,205	1,334
11	0,87	0,92	-0,139	-0,083	0,012	0,019	0,007	-0,372	0,233	0,054	-0,014	0,000	0,219	0,048	1,670
12	0,64	1,14	-0,446	0,131	-0,058	0,199	0,017	-0,509	0,062	0,004	-0,151	0,023	-0,088	0,008	0,140
13	0,66	1,13	-0,416	0,122	-0,051	0,173	0,015	-0,503	0,087	0,008	-0,145	0,021	-0,058	0,003	0,000
14	0,7	1,1	-0,357	0,095	-0,034	0,127	0,009	-0,486	0,129	0,017	-0,128	0,016	0,001	0,000	0,362
15	1,01	0,72	0,010	-0,329	-0,003	0,000	0,108	-0,215	0,225	0,051	0,143	0,020	0,368	0,135	22,649
16	1,01	0,71	0,010	-0,342	-0,003	0,000	0,117	-0,206	0,216	0,047	0,152	0,023	0,368	0,135	21,752
17	1,03	0,66	0,030	-0,416	-0,012	0,001	0,173	-0,160	0,189	0,036	0,198	0,039	0,388	0,150	6,410
18	0,31	1,35	-1,171	0,300	-0,351	1,372	0,090	-0,616	-0,555	0,308	-0,258	0,067	-0,813	0,661	0,474
19	0,32	1,33	-1,139	0,285	-0,325	1,298	0,081	-0,607	-0,532	0,284	-0,249	0,062	-0,781	0,611	0,467
20	0,42	1,27	-0,868	0,239	-0,207	0,753	0,057	-0,577	-0,290	0,084	-0,219	0,048	-0,510	0,260	0,334
21	0,52	0,33	-0,654	-1,109	0,725	0,428	1,229	0,282	-0,936	0,877	0,640	0,410	-0,296	0,088	1,432
22	0,5	1,23	-0,693	0,207	-0,143	0,480	0,043	-0,557	-0,136	0,019	-0,199	0,040	-0,335	0,112	0,196
23	0,81	0,98	-0,211	-0,020	0,004	0,044	0,000	-0,412	0,201	0,041	-0,054	0,003	0,147	0,022	0,956
24	0,75	1,05	-0,288	0,049	-0,014	0,083	0,002	-0,456	0,168	0,028	-0,098	0,010	0,070	0,005	0,586
25	0,98	0,76	-0,020	-0,274	0,006	0,000	0,075	-0,250	0,230	0,053	0,108	0,012	0,338	0,114	11,370
26	0,96	0,8	-0,041	-0,223	0,009	0,002	0,050	-0,283	0,242	0,058	0,075	0,006	0,317	0,101	5,924
27	0,93	0,83	-0,073	-0,186	0,014	0,005	0,035	-0,306	0,234	0,055	0,052	0,003	0,285	0,081	3,218
28	0,86	0,94	-0,151	-0,062	0,009	0,023	0,004	-0,386	0,235	0,055	-0,028	0,001	0,207	0,043	1,556
29	0,73	1,06	-0,315	0,058	-0,018	0,099	0,003	-0,462	0,147	0,022	-0,104	0,011	0,043	0,002	0,469
30	0,39	1,29	-0,942	0,255	-0,240	0,887	0,065	-0,587	-0,354	0,125	-0,229	0,053	-0,584	0,341	0,376
31	0,45	1,26	-0,799	0,231	-0,185	0,638	0,053	-0,572	-0,226	0,051	-0,214	0,046	-0,441	0,194	0,283
32	0,58	1,19	-0,545	0,174	-0,095	0,297	0,030	-0,536	-0,009	0,000	-0,178	0,032	-0,187	0,035	0,016
итого	24,350	30,810	-11,459	-3,382	-2,062	9,933	5,490	-11,442	0	3,743	0	2,089	0	5,830	92,371
в среднем	0,761	0,963	-0,358	-0,106	-0,064	0,310	0,172	-0,358	0	RSS	0	ESS	0	TSS	3,257

Таблица 2. Расчётная таблица

	Y	x	xY	Y2	x2	Yх	Y- Yх		(Y- Yх)2
1	-1,050	1,33	-1,396	1,102	1,769	-0,720	-0,329	0,314	0,109	-0,692	0,479
2	-0,236	1,01	-0,238	0,056	1,020	-0,405	0,169	0,718	0,029	0,122	0,015
3	-0,073	0,85	-0,062	0,005	0,723	-0,247	0,175	2,405	0,030	0,285	0,081
4	0,405	1,2	0,487	0,164	1,440	-0,592	0,998	2,461	0,995	0,763	0,583
5	-0,755	1,24	-0,936	0,570	1,538	-0,632	-0,123	0,163	0,015	-0,397	0,158
6	-1,022	1,32	-1,349	1,044	1,742	-0,711	-0,311	0,305	0,097	-0,664	0,440
7	0,077	0,56	0,043	0,006	0,314	0,039	0,038	0,495	0,001	0,435	0,189
8	0,174	0,3	0,052	0,030	0,090	0,295	-0,121	0,697	0,015	0,532	0,283
9	0,140	0,41	0,057	0,020	0,168	0,187	-0,047	0,336	0,002	0,498	0,248
10	0,095	0,54	0,051	0,009	0,292	0,059	0,037	0,386	0,001	0,453	0,205
11	-0,139	0,92	-0,128	0,019	0,846	-0,316	0,177	1,270	0,031	0,219	0,048
12	-0,446	1,14	-0,509	0,199	1,300	-0,533	0,087	0,194	0,008	-0,088	0,008
13	-0,416	1,13	-0,470	0,173	1,277	-0,523	0,108	0,000	0,012	-0,058	0,003
14	-0,357	1,1	-0,392	0,127	1,210	-0,494	0,137	0,384	0,019	0,001	0,000
15	0,010	0,72	0,007	0,000	0,518	-0,119	0,129	12,951	0,017	0,368	0,135
16	0,010	0,71	0,007	0,000	0,504	-0,109	0,119	11,960	0,014	0,368	0,135
17	0,030	0,66	0,020	0,001	0,436	-0,060	0,089	3,022	0,008	0,388	0,150
18	-1,171	1,35	-1,581	1,372	1,823	-0,740	-0,431	0,368	0,186	-0,813	0,661
19	-1,139	1,33	-1,515	1,298	1,769	-0,720	-0,419	0,368	0,176	-0,781	0,611
20	-0,868	1,27	-1,102	0,753	1,613	-0,661	-0,206	0,238	0,043	-0,510	0,260
21	-0,654	0,33	-0,216	0,428	0,109	0,266	-0,920	1,406	0,846	-0,296	0,088
22	-0,693	1,23	-0,853	0,480	1,513	-0,622	-0,071	0,103	0,005	-0,335	0,112
23	-0,211	0,98	-0,207	0,044	0,960	-0,375	0,165	0,781	0,027	0,147	0,022
24	-0,288	1,05	-0,302	0,083	1,103	-0,444	0,157	0,544	0,025	0,070	0,005
25	-0,020	0,76	-0,015	0,000	0,578	-0,158	0,138	6,839	0,019	0,338	0,114
26	-0,041	0,8	-0,033	0,002	0,640	-0,198	0,157	3,845	0,025	0,317	0,101
27	-0,073	0,83	-0,060	0,005	0,689	-0,227	0,155	2,133	0,024	0,285	0,081
28	-0,151	0,94	-0,142	0,023	0,884	-0,336	0,185	1,227	0,034	0,207	0,043
29	-0,315	1,06	-0,334	0,099	1,124	-0,454	0,139	0,443	0,019	0,043	0,002
30	-0,942	1,29	-1,215	0,887	1,664	-0,681	-0,261	0,277	0,068	-0,584	0,341
31	-0,799	1,26	-1,006	0,638	1,588	-0,651	-0,147	0,184	0,022	-0,441	0,194
32	-0,545	1,19	-0,648	0,297	1,416	-0,582	0,038	0,069	0,001	-0,187	0,035
итого	-11,459	30,810	-13,983	9,933	32,656	-11,467	0	56,886	2,921	0	5,830
в среднем	-0,358	0,963	-0,437	0,310	1,021	-0,358	0	1,778	0,091	0	0,182

по методу наименьших квадратов (МНК) из решения системы:

уравнение парной линейной регрессии Y на x имеет вид:

Y_х= 0,591 - 0,986х

Выполнив его потенцирование, получим:

y_х=е^0,591·е^-0,986х или y_х=1,799·0,375 ^х

Рассчитаем индекс корреляции:

то есть связь между средними объемами продаж (у) и ценой товара (х) сильная.

Определим индекс детерминации:

Итак, 49,9% вариации средних объемов продаж объясняется вариацией цены товара и на 50,1% зависит от других факторов.

Вычислим среднюю ошибку аппроксимации:

В среднем расчётные значения отличаются от фактических на 177,8%, что превышает допустимые пределы 8%-10%, следовательно, с этой точки зрения можно считать выбор уравнения не удачным.

Вычислим коэффициент эластичности:

То есть с увеличением (уменьшением) цены товара на 1% от своего среднего уровня, средние объемы продаж уменьшатся (увеличатся) на 0,95% от своего среднего уровня.

Проверим значимость уравнения регрессии с помощью F - критерия Фишера. Выдвигаем гипотезы: Н₀: уравнение регрессии незначимо; Н₁: уравнение регрессии значимо; Находим наблюдаемое значение критерия:

По таблице приложения находим критическое значение критерия: F_табл=4,17 где F(a; m; n-m-1)=F(0,05; 1; 31)=4,17.

Так как F_факт>F_табл (29,9>4,17) то гипотеза Н₀ о случайной природе оцениваемых характеристик отклоняется и признается их статистическая значимость и надежность.

Нанесём полученное уравнение на поле корреляции:



Предположим, что между х и у связь полулогарифмическая, тогда уравнение регрессии имеет вид: y_х=а+blnx, у=а+bХ, где X=lnx;

Составим расчётную таблицу 3.

По методу наименьших квадратов (МНК) из решения системы:

уравнение парной линейной регрессии y на X имеет вид:

y_Х = 0,715 - 0,436Х или y_х = 0,715 - 0,436lnх

Таблица 3. Расчётная таблица

№	y	X	Xy	y2	X2	yх	y-yх		(y-yх)2
1	0,35	0,285	0,100	0,123	0,081	0,591	-0,241	0,688	0,058	-0,411	0,169
2	0,79	0,010	0,008	0,624	0,000	0,711	0,079	0,100	0,006	0,029	0,001
3	0,93	-0,163	-0,151	0,865	0,026	0,786	0,144	0,155	0,021	0,169	0,029
4	1,5	0,182	0,273	2,250	0,033	0,636	0,864	0,576	0,747	0,739	0,546
5	0,47	0,215	0,101	0,221	0,046	0,621	-0,151	0,322	0,023	-0,291	0,085
6	0,36	0,278	0,100	0,130	0,077	0,594	-0,234	0,650	0,055	-0,401	0,161
7	1,08	-0,580	-0,626	1,166	0,336	0,968	0,112	0,104	0,013	0,319	0,102
8	1,19	-1,204	-1,433	1,416	1,450	1,240	-0,050	0,042	0,002	0,429	0,184
9	1,15	-0,892	-1,025	1,323	0,795	1,104	0,046	0,040	0,002	0,389	0,151
10	1,1	-0,616	-0,678	1,210	0,380	0,984	0,116	0,106	0,014	0,339	0,115
11	0,87	-0,083	-0,073	0,757	0,007	0,751	0,119	0,136	0,014	0,109	0,012
12	0,64	0,131	0,084	0,410	0,017	0,658	-0,018	0,028	0,000	-0,121	0,015
13	0,66	0,122	0,081	0,436	0,015	0,662	-0,002	0,003	0,000	-0,101	0,010
14	0,7	0,095	0,067	0,490	0,009	0,673	0,027	0,038	0,001	-0,061	0,004
15	1,01	-0,329	-0,332	1,020	0,108	0,858	0,152	0,150	0,023	0,249	0,062
16	1,01	-0,342	-0,346	1,020	0,117	0,864	0,146	0,144	0,021	0,249	0,062
17	1,03	-0,416	-0,428	1,061	0,173	0,896	0,134	0,130	0,018	0,269	0,072
18	0,31	0,300	0,093	0,096	0,090	0,584	-0,274	0,884	0,075	-0,451	0,203
19	0,32	0,285	0,091	0,102	0,081	0,591	-0,271	0,846	0,073	-0,441	0,194
20	0,42	0,239	0,100	0,176	0,057	0,611	-0,191	0,454	0,036	-0,341	0,116
21	0,52	-1,109	-0,577	0,270	1,229	1,198	-0,678	1,305	0,460	-0,241	0,058
22	0,5	0,207	0,104	0,250	0,043	0,625	-0,125	0,249	0,016	-0,261	0,068
23	0,81	-0,020	-0,016	0,656	0,000	0,724	0,086	0,106	0,007	0,049	0,002
24	0,75	0,049	0,037	0,563	0,002	0,694	0,056	0,075	0,003	-0,011	0,000
25	0,98	-0,274	-0,269	0,960	0,075	0,835	0,145	0,148	0,021	0,219	0,048
26	0,96	-0,223	-0,214	0,922	0,050	0,812	0,148	0,154	0,022	0,199	0,040
27	0,93	-0,186	-0,173	0,865	0,035	0,796	0,134	0,144	0,018	0,169	0,029
28	0,86	-0,062	-0,053	0,740	0,004	0,742	0,118	0,137	0,014	0,099	0,010
29	0,73	0,058	0,043	0,533	0,003	0,690	0,040	0,055	0,002	-0,031	0,001
30	0,39	0,255	0,099	0,152	0,065	0,604	-0,214	0,549	0,046	-0,371	0,138
31	0,45	0,231	0,104	0,203	0,053	0,614	-0,164	0,365	0,027	-0,311	0,097
32	0,58	0,174	0,101	0,336	0,030	0,639	-0,059	0,102	0,003	-0,181	0,033
итого	24,350	-3,382	-4,809	21,345	5,490	24,354	0	8,986	1,842	0	2,816
в среднем	0,761	-0,106	-0,150	0,667	0,172	0,761	0	0,281	0,058	0	0,088

Рассчитаем индекс корреляции:

то есть связь между средними объемами продаж (у) и ценой товара (х) средняя.

Определим индекс детерминации:

Итак, 34,6% вариации средних объемов продаж объясняется вариацией дохода потребителя и на 65,4% зависит от других факторов.

Вычислим среднюю ошибку аппроксимации:

В среднем расчётные значения отличаются от фактических на 28,1%, что превышает допустимые пределы 8% - 10%, следовательно, с этой точки зрения можно считать уравнение не удачным.

Вычислим коэффициент эластичности:

То есть с увеличением (уменьшением) цены товара на 1% от своего среднего уровня, средние объемы продаж уменьшатся (увеличатся) на 0,453% от своего среднего уровня.

Проверим значимость уравнения регрессии с помощью F - критерия Фишера. Выдвигаем гипотезы: Н₀: уравнение регрессии незначимо; Н₁: уравнение регрессии значимо; Находим наблюдаемое значение критерия:



По таблице приложения находим критическое значение критерия: F_табл=4,17 где F(?; m; n-m-1)=F(0,05; 1; 32)=4,17. Так как F_факт>F_табл (15,9>4,17) то гипотеза Н₀ о случайной природе оцениваемых характеристик отклоняется и признается их статистическая значимость и надежность.

Нанесём полученное уравнение на поле корреляции:

Составим сравнительную таблицу полученных оценок:



Показатели	Уравнения регрессий
	Линейное yх=1,393 - 0,656х	Степенное yх= 0,656 · х -0,638	Показательное yх=1,799·0,375 х	Полулогарифмическое yх = 0,715 - 0,436lnх
Коэффициент (индекс) корреляции	-0,676	0,598	0,706	0,588
Коэффициент (индекс) детерминации	0,457	0,358	0, 499	0,346
Средняя ошибка аппроксимации	21,2%	325,7%	177,8%	28,1%
Коэффициент эластичности	-0,83%	-0,638%	-0,95%	-0,453%
Значимость по F-критерию	Значимо Fфакт= 25,2	Значимо Fфакт=16,729	Значимо Fфакт=29,9	Значимо Fфакт=15,9

Уравнение линейной регрессии является лучшим т.к. средняя ошибка аппроксимации в нём меньше чем в других. Рассчитаем прогнозное значение результата, если прогнозное значение фактора увеличится на 5% от его среднего уровня по уравнению линейной регрессии:

y_х= 1,393 - 0,656х;

;

y_х= 1,393 - 0,656•1,011 = 0,73

Если прогнозное значение цены товара увеличится на 5% от среднего уровня, т.е. станет равной 1,011 руб. то средние затраты на продукты питания увеличатся и станут составлять 0,73 тыс. руб.

Размещено на Allbest.ru