Основы эконометрики

Размещено на http://www.allbest.ru/

Задание

Экономист, изучая зависимость уровня издержек обращения (тыс. руб.) от объема товарооборота (тыс. руб.), обследовал 10 магазинов, торгующих одинаковым ассортиментом товаров, и получил следующие данные (таблица 1).

Таблица 1

№ п/п	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	х*
Х	140	110	120	90	130	80	100	75	135	60	125
У	5,4	4,1	5,6	3,3	4,2	2,9	3,6	2,5	4,9	3,0

1. Постройте поле корреляции и сформулируйте гипотезу о форме связи.

2. Рассчитайте параметры уравнений линейной, степенной и гиперболической регрессии.

3. Оцените тесноту связи с помощью показателей корреляции и детерминации.

4. Дайте с помощью среднего коэффициента эластичности сравнительную оценку силы связи фактора с результатом.

5. Оцените с помощью средней ошибки аппроксимации качество уравнений регрессии.

6. Оцените с помощью F-критерия Фишера статистическую надежность результатов регрессионного моделирования. По значениям характеристик, рассчитанных в п.п. 3-5 и данном пункте, выберите лучшее уравнение регрессии и дайте обоснование этого шага.

7. Для выбранной лучшей модели постройте таблицу дисперсионного анализа и найдите доверительные интервалы для параметров регрессии и коэффициента корреляции.

8. Сделать прогноз значения при (см. задание) и найти доверительные интервалы прогноза для двух уравнений регрессии

.

9. Оценить полученные результаты и сделать вывод.

Решение

уравнение корреляция регрессия аппроксимация

1. Построим диаграмму рассеивания по исходным данным для своего варианта

Y

4 2 50 100 150 X

Из диаграммы следует, что между показателями и действительно наблюдается зависимость. Но сделать вывод какая именно, трудно, поэтому рассмотрим все три регрессии, а затем выберем лучшую.

А) Рассмотрим линейную регрессию.

Составим исходную расчетную таблицу. Для удобства можно добавить в нее еще два столбца: , чтобы сразу получить общую сумму квадратов.



№ п/п	Объем товарооборота (тыс. руб.)	Издержки (тыс. руб.)
1	140	5,4	19600	29,16	756	5,25	0,15	0,02	2,78
2	110	4,1	12100	16,81	451	4,2	-0,1	0,01	2,43
3	120	5,6	14400	31,36	672	4,55	1,05	1,1	18,75
4	90	3,3	8100	10,89	297	3,5	-0,2	0,04	6,06
5	130	4,2	16900	17,64	546	4,9	-0,7	0,49	16,67
6	80	2,9	6400	8,41	232	3,15	-0,25	0,06	8,62
7	100	3,6	10000	12,96	360	3,85	-0,25	0,06	6,94
8	75	2,5	5625	6,25	187,5	2,98	-0,38	0,14	15,2
9	135	4,9	18225	24,01	661,5	5,07	-0,17	0,03	3,47
10	60	3,0	3600	9	180	2,45	0,55	0,30	18,33
Итого	1040	39,5	114950	166,49	4343	39,5	0	2,25	99,25
Средн.зн.	104	3,95	11495	16,65	434,3	3,95	-	-	9,925

Функция издержек выразится зависимостью: .

Для определения коэффициентов «a» и «b» воспользуемся методом наименьших квадратов (МНК):

(1)

Домножим уравнение (1) системы на (-104), получим систему, которую решим методом алгебраического сложения.

6790b = 235или b = 0,03461.

Коэффициент корреляции b можно находить по формуле (2), не решая систему (1) непосредственно:

(2) ,

Результат аналогичен.

Теперь найдем коэффициент «a» из уравнения (1) системы (1):

10a = 39,5-1040b; a = 0,35.

Или можно «a» вычислить по формуле (3) ,

.

Уравнение регрессии будет иметь вид: =0,35 + 0,035 x

Затем, подставляя различные значения из столбца 2, получим теоретические значения для столбца 7:

,

аналогично для … и .

В столбце 8 находим разность текущего значения и (теоретического), найденного по формуле (4).

Для расчета используем следующие формулы:

, , ,

, , .

Коэффициент аппроксимации определим по формуле:

.

Средняя ошибка аппроксимации:

.

Допустимый предел значений - не более 10%, это говорит о том, что уравнение регрессии точно аппроксимирует исходную зависимость.

Тесноту связи изучаемых явлений оценивает линейный коэффициент парной корреляции . Найдем его по формуле для

.

Коэффициент . Характер связи устанавливается по таблице Чеддока:

Диапазон измерения	0,1-0,3	0,3-0,5	0,5-0,7	0,7-0,9	0,9-0,99
Характер тесноты связи	слабая	умеренная	заметная	высокая	весьма высокая

В примере получилась связь прямая, высокая.

Для вычисления коэффициента , используются и другие формулы:

.

3. Дисперсионный анализ. Общая сумма квадратов отклонений (т.е. общая дисперсия) равна:

,

где - общая сумма квадратов отклонений,

- сумма отклонений, обусловленная регрессией (факторная),

- остаточная сумма квадратов отклонений.

.

Остаточная сумма определена в таблице в 9 столбце и равна 2,25. Тогда объясненная (факторная) сумма квадратов будет равна

Долю дисперсии, объясняемую регрессией, в общей доле дисперсии характеризует индекс детерминации . Он определяется отношением объясненной дисперсии к общей

.

Качество всего уравнения регрессии в целом, проверяется F-тестом.

Составим таблицу дисперсионного анализа:

Источники вариации	Число степеней свободы	квадр. отклонений.	Дисперсия на 1 степ. свободы.	F отн
				Факт	табл. (0,05)
общая	9	10,465	8,215	29,21	5,32
объясненная	1	8,215
остаточная	8	2,25	0,281

F_табл определяем по [1] в зависимости от уровня значимости (б = 0,05) и числа степеней свободы (df=8). F_табл=5,32.

F-тест состоит в проверке гипотезы Н_о о статистической незначимости уравнения регрессии и показателя тесноты связи r_ху.

Если F_факт >F_табл (29,21>5,32), то гипотеза Н_о о случайной природе оцениваемых характеристик отклоняется и признается их значимость и надежность.

Б) Степенная регрессия

Для того, чтобы построить степенную модель, необходимо линеаризовать переменные путем логарифмирования обеих частей уравнения :

Пусть , тогда

Рассчитываем и b по формулам:

Все необходимые расчеты представлены в таблице 2.

№ п/п	x	y	X	Y	XY	X2	Y2
1	140	5,4	4,9416	1,686	8,3335	24,414	2,843	5,1	0,3	0,09
2	110	4,1	4,7005	1,411	6,6324	22,097	1,990	4,1	0	0
3	120	5,6	4,7875	1,722	8,2479	22,922	2,968	4,4	1,2	1,44
4	90	3,3	4,4998	1,193	5,3723	20,242	1,424	3,5	-0,2	0,04
5	130	4,2	4,8675	1,435	6,9853	23,696	2,055	4,8	-0,6	0,36
6	80	2,9	4,3820	1,064	4,6655	19,201	1,133	3,2	-0,3	0,09
7	100	3,6	4,6052	1,2809	5,8988	21,2079	1,6407	3,8	- 0,2	0,04
8	75	2,5	4,3175	0,9163	3,9561	18,6408	0,8396	3,0	-0,5	0,25
9	135	4,9	4,9053	1,5892	7,7955	24,0620	2,5256	4,9	0	0
10	60	3,0	4,0943	1,0986	4,4980	16,7633	1,2069	2,5	0,5	0,25
Итого	1040	39,5	46,1012	13,398	62,3853	213,251	18,634	39,3	0,2	2,56
Средн.зн.	104	3,95	4,61012	1,3398	6,23853	21,3251	1,8634

Параметры будут равны:

Подставим их в уравнение и получим линейное уравнение:

Потенцируя которое, получим:

По этому уравнению заполняется вторая половина таблицы.

В) Уравнение гиперболы

Линеаризуется при замене , тогда

Все необходимые расчеты представим в таблице 6.

№ п/п	x	y
1	140	5,4	0,007143	0,038572	0,000051	4,9	0,5	0,25
2	110	4,1	0,009090	0,037269	0,000082	4,3	-0,2	0,04
3	120	5,6	0,008333	0,046667	0,000069	4,6	1	1
4	90	3,3	0,011111	0,036667	0,000123	3,7	-0,4	0,16
5	130	4,2	0,007692	0,032306	0,000059	4,8	-0,6	0,36
6	80	2,9	0,0125	0,03625	0,000156	3,3	-0,4	0,16
7	100	3,6	0,01	0,036	0,0001	4,0	-0,4	0,16
8	75	2,5	0,013333	0,033332	0,000177	3,0	-0,5	0,25
9	135	4,9	0,007407	0,036294	0,000054	4,8	0,1	0,01
10	60	3,0	0,016667	0,05	0,000277	2,0	1	1
Сумма	1040	39,5	0,103276	0,383357	0,001148	39,4		3,39
Ср. знач.	104	3,95	0,0103276	0,0383357	0,000115

Найдем параметры и , используя МНК.

Для этого решим систему (1), учитывая, что .

Таким образом, получили систему уравнений:

::

Можно воспользоваться формулами.

Итак, получим уравнение:

.

Оценим тесноту связи результативным фактором и факторным признаком с помощью индекса корреляции (для нелинейных моделей) и коэффициента детерминации , которые рассчитываются по следующим формулам:

,

Для степенной регрессии:



Для уравнения гиперболы получим:

Найдем средний коэффициент эластичности по формулам, представленным в таблице 7.

Таблица 7

Вид регрессии	Формула для расчета
Линейная
Степенная
Гиперболическая

Найдем среднюю ошибку аппроксимации по формуле:

, где .

Оценим статистическую надежность результатов регрессионного моделирования с помощью F-критерия Фишера:

.

Для степенной регрессии имеем:

.

Для уравнения гиперболы получим:

.

Для линейном модели уже строили таблицу дисперсионного анализа.

Для сравнения полученных уравнений регрессии построим следующую таблицу:

Вид регрессии	,	R2, r2			F
Линейная	0,886	0,785	9,925	0,9123	29,21	2,25
Степенная	0,869	0,755	9,989	0,85	24,65	3,32
Гиперболическая	0,822	0,676	13,87	1,0002	16,69	11,33

Из итоговой таблицы видно, что коэффициент корреляции наибольший для линейной регрессии, коэффициент детерминации max, а коэффициент аппроксимации минимален, поэтому можно сделать вывод: наиболее сильное влияние на уровень издержек в зависимости от товарооборота получается при использовании в качестве аппроксимирующей функции линейную функцию.

Для всех моделей , следовательно, все модели являются адекватными.

Из таблицы видно, что лучшим уравнением регрессии является линейная функция, так как коэффициент детерминации для этой функции является наибольшим из представленных в таблице, сумма квадратов отклонений фактических значений результативного признака от расчетных является наименьшей и средний коэффициент аппроксимации является наименьшим.

Если получается, что коэффициент детерминации для нелинейной регрессии больше коэффициента детерминации для линейной регрессии, надо рассмотреть модуль . Если разность небольшая, т.е. условие модуля выполняется, то все равно выбираем линейную регрессию для дальнейших расчетов.

Чем больше кривизна линии регрессии, тем <. Если превышает 0,1, то предположение о линейной форме связи считается не оправданным. В этом случае проводится оценка существенности различия по критерию Стьюдента.

- ошибка разности между и

Если t < 2, то различия между и несущественны, и возможно применение линейной регрессии.

Если t >2, то различия существенны и замена нелинейной регрессии уравнением линейной функции невозможна.

В нашем примере лучшей является линейная модель. Для линейной регрессии выполним дальнейшие расчеты.

Для оценки статистической значимости коэффициентов регрессии и корреляции рассчитывают t-критерий.

Оценка значимости коэффициентов регрессии и корреляции с помощью t-критерия Стьюдента проводится путем сопоставления их значений с величиной случайной ошибки:

, , ;

,

где , или из табл. дисперсионного анализа (0,281).

, .

Для примера определим стандартную ошибку для параметра «b»:

Критерий Стьюдента для параметра «b» равен 5,46.

Связь между F-критерием Фишера и t-статистикой Стьюдента выражается равенством: , 5,46²=29,81.

Табличное значение t_табл критерия Стьюдента определяем по [1] для и уровня значимости 0,05 и числа степеней свободы df = 8, , т.к. > , то гипотезу о несущественности коэффициента регрессии можно отклонить.

Для расчета доверительного интервала определяем предельную ошибку для каждого показателя:

Доверительный интервал: , .

Для расчета доверительного интервала для параметра а, найдем:

, т. к. критерий Стьюдента двусторонний, а параметр а - положительный, то он значим. Найдем для него доверительный интервал:

Найдем доверительный интервал для параметра r:

Если в границы доверительного интервала попадает ноль, т.е. нижняя граница отрицательная, а верхняя положительная, то оцениваемый параметр принимается нулевым, т. к. не может одновременно принимать и положительное и отрицательное значения.

Прогнозное значение определяется путем подстановки в уравнение регрессии:

Вычислим ошибку прогноза для уравнения :

.

И для уравнения :

(*) ,

,

.

Для * ,

,

,

,

,

.

Для уравнения с :

,

.

Вывод: Целью данной контрольно-курсовой работы было определение количественной взаимосвязи между объемом товарооборота и объемом издержек на основе статистических данных. Для этого были построены уравнения линейной, степенной, гиперболической парной регрессии.

В ходе проведенного исследования выяснилось, что лучшей моделью для описания взаимосвязи между объемом товарооборота и объемом издержек является линейная функция =0,35 + 0,035 x.

На основе последнего уравнения можно предположить, что с увеличением товарооборота на 1 тыс. руб. потребительские расходы на душу населения увеличатся на 0,035 тыс. руб.

При выполнении расчетов выяснилось, средний коэффициент эластичности для линейной модели составляет 0,9123, т.е. с увеличением объема товарооборота на 1% объем издержек увеличивается в среднем на 0,9123%.

Коэффициент детерминации для линейной модели составил 0,785. Это означает, что уравнением регрессии объясняется 78,5% дисперсии результативного признака (объем издержек), а на долю прочих факторов приходится 21,5%, следовательно, линейная модель хорошо аппроксимирует исходные данные и ей можно пользоваться для прогноза значений результативного признака.

Так, полагая, что объем товарооборота составит 125 тыс. руб., то прогнозное значение для объема издержек окажется 4,725 тыс. руб., при этом с вероятностью 0,95 можно утверждать, что доверительные интервалы прогноза индивидуального значения результативного признака составят .

Литература

1. Новиков А.И. Эконометрика: Учеб. пособие. - М.: ИНФРА-М, 2010. - 144 с.

2. Доугерти К. Введение в эконометрику. - М.: ИНФРА-М, 2001. - XIV, - 402 с.

3 Елисеева И.И. Эконометрика: Учебник. - М.: Финансы и статистика, 2007. - 576 с.

4. Елисеева И.И., Курышева С.В., Гордиенко Н.М. Практикум по эконометрике: Учебное пособие. - М.: Финансы и статистика, 2008 - 344 с.

5. Магнусян Я.Р., Катышев П.К., Пересецкий А.А. Эконометрика. Начальный курс. - М.: Дело, 2001. - 454 с.

6. Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика. - М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2003. - 573 с.

7. Кремер Н.Ш., Путко Б.А. Эконометрика. - М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2002. - 435 с.

8. Домбровский В.В. Эконометрика - М.: Новый учебник, 2004. - 342 с.

Размещено на Allbest.ru