Статистическое моделирование

2

Задача 1

ТРЕБУЕТСЯ

1. Рассчитайте параметры уравнения линейной регрессии.

2. Оцените тесноту связи с помощью показателей корреляции и детерминации.

3. Определите среднюю ошибку аппроксимации. Сделайте вывод.

4. Оцените статистическую надежность регрессионного моделирования с помощью F-критерия Фишера и t-критерия Стьюдента.

5. Оцените полученные результаты, оформите выводы.

РЕШЕНИЕ.

1. А) Вводим данные в таблицу (EXCEL) - столбцы № x,y :

Вычисление параметров линейного уравнения регрессии. С помощью инструмента Регрессия (Данные Анализ данных Регрессия) получаем следующие результаты.

Записываем уравнение парной линейной регрессии

y_x= 215,94+0,34x

Экономический смысл уравнения: с увеличением денежных доходов x на 1тыс.руб. - потребительские расходы y в среднем возрастает на 0,34 тыс. руб.

v Множественный коэффициент корреляции R=0,86

по формуле

r_xy =b = 0,34*382,79/152,47=0,85.

Cвязь между переменными x и y прямая, сильная, тесная, т.е. величина потребительских расходов значительно зависит от денежных доходов.

v Коэффициент детерминации R² = 0,74, т.е. в 74% случаев изменения денежных доходов приводят к изменению потребительских расходов. Другими словами точность подбора уравнения регрессии 74% - высокая.

3. Для определения средней ошибки аппроксимации рассчитываем столбцы y_x, y-y_x, Ai:

A_i =I I *100, =15,75

Получаем значение средней ошибки аппроксимации =15,8%

Это означает, что, в среднем, расчетные значения зависимого признака отклоняются от фактических значений на 15,8%. Величина ошибки аппроксимации говорит о плохом качестве модели.

А) по критерию Фишера

1. Выдвигаем нулевую гипотезу о статистической незначимости параметров регрессии и показателя корреляции a=b=r_xy=0;

2. Фактическое значение критерия F_ф = 33,96;

3. Для определения табличного значения критерия рассчитываем коэффициенты k₁=m=1 и

k₂= n-m-1=12 F_табл= 4,75

4. Сравниваем фактическое и табличное значения критерия F_факт >F_табл, т.е. нулевую гипотезу отклоняем и делаем вывод о статистической значимости и надежности полученной модели.

Б) по критерию Стьюдента:

1. Выдвигаем нулевую гипотезу о статистически незначимом отличии показателей от нуля: a=b=r_xy=0;

2. Табличное значение t-критерия зависит от числа степеней свободы и заданного уровня значимости б. Уровень значимости - это вероятность отвергнуть правильную гипотезу при условии, что она верна. Для числа степеней свободы 12 и уровня значимости б =0,05 t_табл=2,18

3. Фактическое значение t- критерия рассчитываются отдельно для каждого параметра модели. С этой целью сначала определяются случайные ошибки параметров m_a,m_b,m_rxy.

m_a = 53,26, m_b=0,06, m_rxy=0,152, где S_ост =.

n -число наблюдений, число независимых переменных.

Рассчитываем фактические значения t- критерия:

t_фа = =215,94/53,26 = 4,05; t_фr = = 0,85/0,152 = 5,6.

t _фb = = 0,34/0,06 = 5,7;

4.Сравним фактические значения t-критерия с табличным значением:

t_фа > t_табл; t_фb > t_табл; t_фr > t_табл.

Нулевую гипотезу отклоняем, параметры a,b,r_xy - не случайно отличаются от нуля и являются статистически значимыми и надежными.

В) Чтобы рассчитать доверительный интервал для параметров регрессии a, b, необходимо определить предельную ошибку параметров:

?a = t_таблm_a = 2,18*53,26=116,11 ?a = t_таблm_b=2,18*0,06 = 0,13

Доверительный интервалы: г_a = a ± ?a = 215,94 ± 116,11

99,83 ? a ? 332,05

г_b = b ± ?b = 0,34 ± 0,13

0,21 ? b ? 0,47

Анализ верхней и нижней границ доверительных интервалов показывает, что с вероятностью

p = 1 - б = 0,95 параметры a и b не принимают нулевых значений, т.е. являются статистически значимыми и надежными.

Выводы:

ь Уравнение парной линейной регрессии y_x= 215,94+0,34x. Экономический смысл уравнения: с увеличением денежных доходов x на 1тыс.руб. - потребительские расходы y в среднем возрастает на 0,34 тыс. руб.

ь Множественный коэффициент корреляции R=0,86 указывает на связь между переменными x и y прямая, сильная, тесная, т.е. величина потребительских расходов значительно зависит от денежных доходов.

ь Коэффициент детерминации R² = 0,74,показывает, что в 74% случаев изменения денежных доходов приводят к изменению потребительских расходов. Точность подбора уравнения регрессии 74% - высокая.

ь Значение средней ошибки аппроксимации =15,8% означает, что среднем, расчетные значения зависимого признака отклоняются от фактических значений на 15,8%. Величина ошибки аппроксимации говорит о плохом качестве модели.

ь Фактическое значение больше табличного значения критерия F_факт >F_табл, указывает, что полученная модель статистически значима и надежна

ь При сравнении фактических значений t-критерия с табличным значением, получаем, что параметры a,b,r_xy - не случайно отличаются от нуля и являются статистически значимыми и надежными.

ь Анализ верхней и нижней границ доверительных интервалов показывает, что с вероятностью p = 1 - б = 0,95 параметры a и b не принимают нулевых значений, т.е. являются статистически значимыми и надежными.

Задача 2

По данным газеты «Из рук в руки» была сделана мной выборка данных о стоимости квартир на вторичном рынке за определенный период (от 25 мая 2009г). Выборка содержит 20 данных. В качестве факторов, влияющих на стоимость квартир выбрала число комнат (х₁), общая площадь (х₂), жилая площадь (х₃), площадь кухни (х₄). Необходимо построить уравнение регрессии, характеризующее зависимость цены от всех качеств. Оценить экономический смысл и значимость полученного уравнения.

1. Вводим данные в таблицу (EXCEL) - столбцы № x₁, х₂, х₃, х₄,y. Для удобства проведения расчетов поместим результаты промежуточных расчетов в таблицу [Приложение1]

Найдем средние квадратические отклонения признаков:

у_y = = 1556,86;

у_x1 = = 1,43;

у_x2 = = 29,74;

у_x3 = = 19,63;

у_x4 = = 5,90;

2. Вычисление параметров линейного уравнения множественной регрессии.

Для нахождения параметров линейного уравнения множественной регрессии

y = a + b₁x₁ + b₂x₂ + b₃x₃ + b₄x_4.

Найдем матрицу парных коэффициентов корреляции (Данные Анализ данных Корреляция)

Получаем следующий результат:

1 столбец матрицы содержит коэффициенты корреляции y с каждым из факторов x. Таким образом, наиболее сильное влияние на стоимость квартиры оказывают факторы x₂;x₃;x₄.

С помощью инструмента Регрессия (Данные Анализ данных Регрессия) получаем следующие результаты:

Таким образом, получили уравнение множественной регрессии:

y_x = 67,89x₁ + 39,08x₂ - 31,25x₃ +144,23x₄ - 688,38

Экономический смысл уравнения: при увеличении числа комнат квартиры х₁, цена квартиры увеличивается на 67,89 тыс. руб.; при увеличении общей площади квартиры х₂, цена квартиры увеличивается на 39,08 тыс. руб.; при увеличении жилой площади квартиры х₃, цена квартиры уменьшается на 31,25 тыс. руб.; при увеличении площади кухни х₄, цена квартиры увеличивается на 144,23 тыс.руб.

v Остаточная дисперсия: у² = 230532,9.

v Средняя ошибка аппроксимации: = 19%. Качество модели, исходя из относительных отклонений по каждому наблюдения, признается плохим, т.к. средняя ошибка аппроксимация превышает 15%.

v Множественный коэффициент корреляции R= 0,951.

v Коэффициент детерминации R² = 0,905. Нескорректированный коэффициент детерминации R² оценивает долю дисперсии стоимости за счет предоставленных в уравнении факторов в общей вариации результата. Здесь эта доля составляет 90,5% и указывает на весьма высокую степень обусловленности вариации стоимости с вариацией факторов, т.е. на весьма тесную связь факторов со стоимостью.

v Cкорректированный коэффициент детерминации ² = 0,88 определяет тесноту связи с учетом степеней свободы общей и остаточной дисперсий. Все четыре коэффициента указывают на весьма высокую 88% детерминированность стоимости y в модели с факторами x₁, х₂, х₃, х₄.

3.Оценку надежности уравнения регрессии в целом и показателя тесноты связи дает -критерия Фишера:

Число наблюдений n =20, число независимых переменных m=4, отсюда

k₁ =4, k₂ =20-4-1 =15.

F_факт. = = 35,68.

Получили, что F_факт. > F_табл. = 3,06 (при n=20), т.е. вероятность случайно получить такое значение F-критерия не превышает допустимый уровень значимости 5%. Таким образом, подтверждается статистическая значимость всего уравнения и показателя тесноты связи.

4. Оценим статистическую значимость параметров чистой регрессии с помощью t- критерия Стьюдента.

Фактические значения t-критерия:

t_x4 = b₄/se₄ = 144,23/404,66 = 0,356;

t_x3 = b₃/se₃ = -31,251/130,694= - 0,239;

t_x2 = b₂/se₂ = 39,08/21,7 =1,80;

t_x1= b₁/se₁ = 67,89/351,4 = 0,193.

Табличное значение критерия при уровне значимости б=0,05 и числе степеней k = 15 составит t_табл = 2,13.

Таким образом, признается статистическая значимость параметра x4, т.к. t_x4>t_табл, и случайная природа формирования параметра x₁,x₂,x₃, t_x1<t_табл, t_x2<t_табл, t_x3<t_табл.

Доверительные интервалы для параметров чистой регрессии:

-681,04 x₁ 816,82; -309,82 x₃ 247,32;

-7,17 x₂ 85,34; -718,29 x₄ 1006,75.

Выводы:

ь Уравнение множественной регрессии

y_x = 67,89x₁ + 39,08x₂ - 31,25x₃ +144,23x₄ - 688,38.

Экономический смысл уравнения: при увеличении числа комнат квартиры х₁, цена квартиры увеличивается на 67,89 тыс. руб.; при увеличении общей площади квартиры х₂, цена квартиры увеличивается на 39,08 тыс. руб.; при увеличении жилой площади квартиры х₃, цена квартиры уменьшается на 31,25 тыс. руб.; при увеличении площади кухни х₄, цена квартиры увеличивается на 144,23 тыс.руб.Множественный коэффициент корреляции R=0,95 указывает на связь между переменными x и y прямая, сильная, тесная, т.е. величина потребительских расходов значительно зависит от денежных доходов.

ь Коэффициент детерминации R² = 0,905, указывает на весьма высокую степень обусловленности вариации стоимости с вариацией факторов, т.е. на весьма тесную связь факторов со стоимостью. Точность подбора уравнения регрессии 95% - высокая.

ь Cкорректированный коэффициент детерминации ² = 0,88, указывают на весьма высокую 88% детерминированность стоимости y в модели с факторами x₁, х₂, х₃, х₄.

ь Средняя ошибка аппроксимации: = 19%. Качество модели, исходя из относительных отклонений по каждому наблюдения, признается плохим, т.к. средняя ошибка аппроксимация превышает 15%.

ь Фактическое значение больше табличного значения критерия F_факт >F_табл, подтверждается статистическая значимость всего уравнения и показателя тесноты связи.

ь При сравнении фактических значений t-критерия с табличным, признается статистическая значимость параметра x4, т.к. t_x4>t_табл, и случайная природа формирования параметра x₁,x₂,x₃, t_x1<t_табл, t_x2<t_табл, t_x3<t_табл.

Список литературы

1) Эконометрика: Учебник / Под ред. И.И. Елисеевой. - М.: Финансы и статистика, 2006. - 576 с.

2) Практикум по эконометрике: Учеб. пособие / Под ред. И.И. Елисеевой. - М.: Финансы и статистика, 2006. - 344 с.

3) Практикум по эконометрике с применение MS Excel / Шалабанов А.К., Роганов Д.А. - Казань: Издательский центр Академии управления «ТИСБИ», 2008 - 53 с.

4) Кремер Н.Ш., Путко Б.А. Эконометрика: Учебник для вузов / Под ред. проф. Н.Ш. Кремера. - М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2002. - 311 с.