Эконометрика

14

Задание I

По территории Северного, Северо-Западного и Центрального районов известны данные за ноябрь 1997 г.

Район	Денежные доходы на душу населения,тыс. руб., x	Потребительские расходы на душу населения, тыс. руб.,y
Респ. Карелия	913	596+N
Респ. Коми	1095	417+N
Архангельская обл.	606	354+N
Вологодская обл.	876	526+N
Мурманская обл.	1314	934+N
Ленинградская обл.	593	412+N
Новгородская обл.	754	525+N
Псковская обл.	528	367+N
Брянская обл.	520	364+N
Владимирская обл.	539	336+N
Ивановская обл.	540	409+N
Калужская обл.	682	452+N
Костромская обл.	537	367+N
Московская обл.	589	328+N
Орловская обл.	626	460+N
Рязанская обл.	521	380+N
Смоленская обл.	626	439+N
Тверская обл.	521	344+N
Тульская обл.	658	401+N
Ярославская обл.	746	514+N

 

1. Постройте поле корреляции.

2. Рассчитайте параметры уравнений, в соответствии с вариантом задания, парной регрессии. Запишите уравнения в явном виде.

3. Оцените тесноту связи с помощью показателей корреляции и детерминации (для каждого уравнения).

4. Оцените значимость коэффициентов регрессий с помощью t-критерия Стьюдента и доверительных интервалов.

5. Оцените с помощью F-критерия Фишера статистическую надежность результатов регрессионного моделирования.

6. По значениям характеристик, рассчитанных в пп. 3,4, 5, выберите лучшее уравнение регрессии.

7. По лучшему уравнению рассчитайте прогнозное значение результата, если прогнозное значение фактора увеличится на 50 % от его среднего уровня. Определите доверительный интервал прогноза для уровня значимости б=0,05.

Задание II

Изучается зависимость средней ожидаемой продолжительности жизни от нескольких факторов по данным за 1995 г.

Страна	У	X1	X2	X3	X4
Белоруссия	70+N	15,6	0,2	0,2	13+N
Перу	66+N	14,0	2,0	3,1	47+N
Тайланд	69+N	28,0	0,9	1,3	35+N
Панама	73+N	22,2	1,7	2,4	23+N
Турция	67+N	20,7	1,7	2,1	48+N
Польша	70+N	20,0	0,3	0,6	14+N
Словакия	72+N	13,4	0,3	0,7	11+N
Венесуэла	71+N	29,3	2,3	3,0	23+N
ЮАР	64+N	18,6	2,2	2,4	50+N
Мексика	72+N	23,7	1,9	2,8	33+N
Мавритания	71+N	49,0	1,3	1,8	16+N
Бразилия	67+N	20,0	1,5	1,6	44+N
Тринидад	72+N	31,9	0,8	1,8	13+N
Малайзия	71+N	33,4	2,4	2,7	12+N
Чили	72+N	35,3	1,5	2,1	12+N
Уругвай	73+N	24,6	0,6	1,0	18+N

Принятые в таблице обозначения:

Y - средняя ожидаемая продолжительность жизни при рождении, лет;

X₁ - ВВП в паритетах покупательной способности;

X₂ - темпы прироста населения по сравнению с предыдущим годом, %;

X₃ - темпы прироста рабочей силы по сравнению с предыдущим годом, %;

X₄ - коэффициент младенческой смертности, %.

1. Постройте уравнение множественной регрессии в линейной форме с полным набором факторов. Оцените параметры модели.

2. Оцените статистическую значимость уравнения регрессии с помощью критерия Фишера.

3. Постройте матрицу парных коэффициентов корреляции. Установите, какие факторы мультиколлинеарны, удалите зависимые факторы .

4. Постройте уравнение регрессии со статистически значимыми факторами.

Оцените статистическую значимость нового уравнения регрессии с помощью критерия Фишера.

Выполнение задания:

Построим поле корреляции для представленных значений:

Необходимо подобрать соответствующую линию регрессии, для чего рассмотрим линейный и гиперболический вид парной регрессии, проведем анализ данных.

1. Линейная регрессия.

Для расчета параметров a и b линейной регрессии y, решаем систему нормальных уравнений относительно a и b:



Итак, получим, что коэффициенты равны a=105,82 и b=0,54

Уравнение регрессии: a=105,82 + 0,54*х.

С увеличением доли денежных доходов в общей сумме среднедушевого денежного дохода на 1 руб. потребительские расходы увеличатся в среднем 0,54 руб.

Рассчитаем линейный коэффициент парной корреляции:

Полученное значение равно r_xy=0.84, что говорит о сильной тесноте связи между показателями.

Определим коэффициент детерминации:

Получим значение = 0,71. Это говорит о том, что вариация результата на 71% объясняется вариацией фактора х, а в остальных случаях (29%) влиянием других, неучтенных факторов в модели. В результате можно сделать вывод о том, что модель построена достаточно верно, и ошибки спецификации незначительны.

Подставляя в уравнение регрессии фактические значения x, определим расчетные значения y_x. Найдем величину средней ошибки аппроксимации В:

Эта величина составляет 9,21%. Качество построенной модели оценивается как достаточно хорошее, так как полученное значение попадает в границы 8-10%.

Оценку статической значимости параметров регрессии проведем с помощью t-статистики Стьюдента и путем расчета доверительного интервала каждого из показателей.

Выдвигаем гипотезу Н₀ о статистически незначимом отличии показателей от нуля a=b=r_xy=0.

t_табл для числа степеней свободы df=n-2=20-2=18 и =0,05 составит 2,1.

Определим случайные ошибки m_a, m_b, m_rxy.

m_a=58,67;

m_b=0,08.

Сравним фактические значения t-статистики и табличные значения:

t_a=1,80< t_табл

t_b=6,59> t_табл

Следовательно, гипотеза Н₀ принимается для параметра а и отклоняется параметр b,следовательно параметр а случайно сформирован и статистически не значим, а параметр b признается статистически оправданным и не случайно сформированным.

Рассчитаем доверительный интервал для a и b:

Доверительные интервалы будут равны:

_{a min} = - 17,43

_{a max} = 229,08

_{b min} = 0,37

Анализ верхней и нижней границ доверительных интервалов приводит к выводу о том, что с вероятностью p=1-=0,95 параметр a и b, находится в указанных границах, но при этом границы параметра a переходят через ноль, т.о. параметр a является статистически незначимым и не существенно отличается от нуля.

Рассчитаем F критерий:

Получим величину F_факт=43,48. Сравнив данное значение с табличным F_табл=4,41, то F_факт > F_табл, делаем вывод о том, что полученное значение указывает на необходимость отклонить гипотезу Н₀ о случайной природе выявленной зависимости и статической незначимости параметров уравнения и показателя тесноты связи, и признать надежность результатов и оправданный выбор модели.

2. Степная регрессия.

Уравнение степной регрессии y = ax^b лицензируется логарифмированием. Прологарифмировав данную функцию, получим:

ln y = ln a +bln x - ln или, производя обозначения y₁ = a₁ + bx₁ + ₁, где y₁ = ln a; a₁ = ln a; x₁ = ln x; ₁ = ln . Параметр b определяется непосредственно из системы, а параметр a - косвенным путём: a = e^a1.

Данные для расчёта имеют следующий вид:

x	y	x1	y1
913	625	6,816736	6,437752
1095	446	6,99851	6,100319
606	383	6,40688	5,948035
876	555	6,775366	6,318968
1314	963	7,180831	6,870053
593	441	6,385194	6,089045
754	554	6,625392	6,317165
528	396	6,269096	5,981414
520	393	6,253829	5,97381
539	365	6,289716	5,899897
540	438	6,291569	6,082219
682	481	6,52503	6,175867
537	396	6,285998	5,981414
589	357	6,378426	5,877736
626	489	6,439335	6,192362
521	409	6,25575	6,0137115
626	468	6,43935	6,148468
521	373	6,25575	5,921578
658	430	6,489205	6,063785
746	543	6,614726	6,297109

Исходя из проведённого анализа, любую из представленных моделей можно использовать для дальнейшего анализа, прогнозирования. Однако в линейной модели параметр Фишера существенно отличается от степенной модели, поэтому для расчёта прогнозного значения возьмём линейную модель для исследования.

у = 105,82 + 0,54 х.

если прогнозное значение денежных доходов составит:

тогда прогнозное значение потребительских расходов составит:

у_р = 105,82 + 0,54 1033,89 = 664,072 тыс. руб.

Выполненный прогноз потребительских расходов оказался надёжным (р = 1 - б = 1 - 0,05 = 0,95), и достаточно точным.

Задание III

Изучается зависимость средней ожидаемой продолжительности жизни от нескольких факторов по данным за 1995 г.

Страна	У	X1	X2	X3	X4
Белоруссия	70+N	15,6	0,2	0,2	13+N
Перу	66+N	14,0	2,0	3,1	47+N
Таиланд	69+N	28,0	0,9	1,3	35+N
Панама	73+N	22,2	1,7	2,4	23+N
Турция	67+N	20,7	1,7	2,1	48+N
Польша	70+N	20,0	0,3	0,6	14+N
Словакия	72+N	13,4	0,3	0,7	11+N
Венесуэла	71+N	29,3	2,3	3,0	23+N
ЮАР	64+N	18,6	2,2	2,4	50+N
Мексика	72+N	23,7	1,9	2,8	33+N
Мавритания	71+N	49,0	1,3	1,8	16+N
Бразилия	67+N	20,0	1,5	1,6	44+N
Тринидад	72+N	31,9	0,8	1,8	13+N
Малайзия	71+N	33,4	2,4	2,7	12+N
Чили	72+N	35,3	1,5	2,1	12+N
Уругвай	73+N	24,6	0,6	1,0	18+N

Принятые в таблице обозначения:

Y - средняя ожидаемая продолжительность жизни при рождении, лет;

X₁ - ВВП в паритетах покупательной способности;

X₂ - темпы прироста населения по сравнению с предыдущим годом, %;

X₃ - темпы прироста рабочей силы по сравнению с предыдущим годом, %;

X₄ - коэффициент младенческой смертности, %.

5. Постройте уравнение множественной регрессии в линейной форме с полным набором факторов. Оцените параметры модели.

6. Оцените статистическую значимость уравнения регрессии с помощью критерия Фишера.

7. Постройте матрицу парных коэффициентов корреляции. Установите, какие факторы мультиколлинеарны, удалите зависимые факторы

8. Постройте уравнение регрессии со статистически значимыми факторами.

Оцените статистическую значимость нового уравнения регрессии с помощью критерия Фишера.

Выполнение задания:

Для оценки параметров уравнения множественной регрессии применяют метод наименьших квадратов (МНК).

Получим следующие значения параметров уравнения:

a	107,0205
b1	0, 0076
b2	-2,4341
b3	2,3801
b4	-0,1494

Оценим параметры модели с помощью критерия Стьюдента, получим:

	Стандартная ошибка	t- статистика	Нижняя граница	Верхняя граница
a	2,365	40,607	101,220	112,821
b1	0,053	0,144	-0,109	0,124
b2	1,691	-1,440	-6,156	1,288
b3	1,344	1,771	-0,578	5,339
b4	0,038	-3,952	-0,233	-0,066

Сравнивая фактические значения t-статистики и табличные значения, получаем, что только параметр а был сформирован не случайным образом и статистически значим, значение других параметров меньше табличного значения, следовательно гипотеза Н₀ принимается, т.е. b-коэффициенты случайно сформированы, практически мало отличаются от нуля, и статистически не значимы.

Аналогичная ситуация с доверительными интервалами для а интервал оправдан, для b интервал проходит через ноль, и следовательно параметры статистически не значимы.

Рассчитаем F-критерий:

Получим величину F_факт=8,57. Сравнив данное значение с табличным F_табл=4,6, т.е. F_факт > F_табл, делаем вывод о том, что полученное значение указывает на необходимость отклонить гипотезу Н₀ и признать неслучайную природу выявленной зависимости и статистическую значимость параметров уравнения и показателя тесноты связи, а также заключение о статистической значимости уравнения в целом.

Несмотря на то, что согласно критерия Фишера модель можно определить как значимую, проверим данные факторы на мультиколлинеарность.

	x1	x2	x3	x4
x1	1
x2	0,193772	1
x3	0,217768	0,941982	1
x4	-0,38561	0,49009	0,423844	1

Согласно матрице факторных коэффициентов корреляции получаем, что коллинеарны факторы х₂ х₃. Однако в нашей модели мы не удалим факторы, так как они связаны друг с другом, а также критерий Фишера является достаточным для включения всех факторов в модель.

Задание IV

Гипотетическая модель экономики:

где С - совокупное потребление в период t;

Y - совокупный доход в период t;

J - инвестиции в период t;

Т - налоги в период t;

G - государственные доходы в период t.

1. Применив необходимое и достаточное условие идентификации, определите, идентифицировано ли каждое из уравнений модели.

2. Запишите, если возможно, приведенную форму модели.

Выполнение задания:

1. Модель представляет собой систему одновременных уравнений. Для ответа на вопрос о способе оценки параметров модели проверим каждое ее уравнение на идентификацию.

Модель включает четыре эндогенные переменные (C_t, J_t, T_t, Y_t) и две предопределенные переменные (G_t, Y_t-1).

Проверим необходимое условие идентификации для устранений модели.

1уравнение.

Это уравнение включает три эндогенных переменных, входящих в уравнение: 2+1=3. Уравнение идентифицировано.

2 уравнение.

Уравнение 2 включает одну эндогенную переменную (J_t) и одну предопределенную переменную. Получаем, что 1+1>1, уравнение сверхидентифицировано.

3 уравнение.

Уравнение 3 включает две эндогенных переменных (T_t, Y_t) и нет предопределенных переменных. Получаем, что 2+1>2, уравнение сверхидентифицировано.

4 уравнение.

Уравнение 4 есть тождество, параметры которого определять не требуется.

Проверим для каждого из уравнений достаточное условие идентификации. Для этого составим матрицу коэффициентов при переменных модели:

	Ct	Jt	Yt	Yt-1	Tt	Gt
1 уравнение	-1	b12	b11	0	0	0
2 уравнение	0	-1	0	b21	0	0
3 уравнение	0	0	b31	0	-1	0
4 уравнение	1	1	-1	0	0	1

В соответствии с достаточным условием идентификации определитель матрицы коэффициентов при переменных, не входящих в исследуемое уравнение, не должен быть равен нулю, а ранг матрицы должен быть равен числу эндогенных переменных модели минус 1, т.е.

1 уравнение.

Матрица коэффициентов при переменных, не входящих в уравнение, имеет вид:



Определитель данной матрицы не равен нулю. Достаточное условие идентификации для 1 уравнения выполняется.

2 уравнение.

Впишем матрицу коэффициентов при переменных, не входящих в уравнение:

Определитель данной матрицы не равен нулю. Достаточное условие идентификации для 2 уравнения выполняется.

3 уравнение.

Выпишем матицу коэффициентов при переменных, не входящих в уравнение:

Определитель данной матрицы не равен нулю.

Достаточное условие идентификации для 3 уравнения выполняется.

4 уравнение.

Выпишем матрицу коэффициентов при переменных, не входящих в уравнение:

Определитель данной матрицы не равен нулю.

Достаточное условие идентификации для 4 уравнения выполняется.

Таким образом, для оценки параметров каждого из уравнений будем применять двухшаговый МНК. Согласно данного метода, однозначно нельзя говорить о нахождении всех коэффициентов модели.

Запишем приведенную форму модели в общем виде:

C₁ = A₁ + A₂Y_t-1 + A₃G₁ + V₁

J₁ = B₁ + B₂Y_t-1 + B₃G₁ + V₂

T₁ = E₁ + E₂Y_t-1 + D₄G_t + V₃

Y₁ = E₁ + E₂Y_t-1 + E₃G₁ + V₄,