Параметричні і непараметричні критерії для перевірки гіпотез

Параметричні і непараметричні критерії для перевірки гіпотез

1. Відомості про деякі відомі розподіли

Дискретна випадкова величина (біноміальний розподіл) описується схемою Бернуллі: якщо випадкова подія А в n незалежних іспитах зустрілася m разів, то р - імовірність появи події А у кожному іспиті. Формула Бернуллі (дозволяє оцінити імовірність того, що серед n взятих навмання елементів виявиться m очікуваних. Даний розподіл характеризується двома параметрами: середнім числом очікуваного результату (математичне очікування) і дисперсією частоти події А в n незалежних іспитах

і має вигляд

Граничним випадком біноміального розподілу є формула Пуассона:

Випадкова величина розподілена за законом Пуассона, якщо вона приймає рахункову множину можливих значень 0, 1, 2, з імовірностями . Коли у схемі Бернуллі імовірність появи події А (величина p = соті чи тисячні частини одиниці), тобто частина успіхів дуже мала, розподіл частот таких рідких подій у n іспитах стає несиметричним і зазвичай описується формулою Пуассона. Розподіл характеризується одним параметром - середньою величиною, рівною a, середнє квадратичне відхилення в даному випадку також дорівнює а. Для такого розподілу характерна висока варіація. Зі зростанням значень а розподіл прагне до нормального закону. Розподіл Пуассона є моделлю, яку можна використовувати для опису випадкового числа появи визначених подій у фіксованому проміжку часу.

Безперервний розподіл - це рівномірний розподіл на відрізку 0,1:

Безперервний розподіл можна розповсюджувати на випадок відрізка 0,1, тоді імовірність приймати значення в будь-якій точці відрізка дорівнює . Математичне очікування розподілу дорівнює , дисперсія дорівнює .

Безперервний експонентний (показовий) розподіл має вигляд:

де - параметр експонентного розподілу.

Математичне очікування дорівнює , а дисперсія - .

5. Розподіл Максвелла (безперервний розподіл) має вигляд:

і описує асиметричні розподіли. У цій формулі параметр а дорівнює середньому арифметичному, помноженому на величину 0,6267. Характерною ознакою розподілу Максвелла є рівність середнього квадратичного відхилення величини 0,674а. Крива розподілу за формулою нагадує нормальний розподіл, але починається від нуля, крутіше піднімається з боку малих значень випадкової величини і потім, досягши максимуму, більш полого спадає убік великих значень. Такий розподіл виникає, наприклад, при побудові розподілу осіб і популяції за їхніми відстанями до оптимального фенотипу, що зворотньопропорційні їх фенотиповій цінності.

Розподіл Шарльє (безперервний) має вигляд:

де р(x) - щільність нормального розподілу;

р(x) - похідна відповідного порядку щільності нормального
розподілу р(х);

Ах - асиметрія;

Ех - ексцес.

Розподіл Шарльє описує асиметричний розподіл з вираженим ексцесом, що виникає при порушенні форми кривої, характерної для нормального розподілу. Така крива розподілу є асиметричною, її звоноподібна вершина стає пікоподібною, чи трапецієподібною. За допомогою розподілу такого виду «конструюються» порушення нормальної форми розподілу.

Гамма-розподіл (безперервний) має вигляд:

де Г() - гамма-функція. Її визначення за Ейлером задається співвідношенням:

Основні властивості гамма-функції: Г(1)=1, Г (х+1)=хГ(х).

Гамма-функція являє собою двопараметричний розподіл, де - параметр форми, а - параметр масштабу. Математичне очікування дорівнює , дисперсія задається співвідношенням: ², мода дорівнює (-1) при 1. Гамма-функція є безперервним аналогом негативного біноміального розподілу. При =1 гамма-розподіл збігається з показовим, при =n, =1/(n гамма-розподіл називається ерлангівським розподілом з параметрами (n,) і описує розподіл тривалості інтервалу часу до появи n подій процесу Пуассона з параметром .

2. Параметричні критерії для перевірки гіпотези про відмінність (або схожість) між середніми значеннями

Отже, якщо ваші вибірки мають нормальний розподіл, для перевірки статистичних гіпотез на їх основі можна користуватися параметричними критеріями. Найпоширенішим параметричним методом оцінки відмінностей між порівнюваними середніми значеннями незалежних вибірок є критерій Стьюдента, або t-критерий. Нульова гіпотеза полягає в рівності генеральних середніх М₁ і М₂, (М₁ - М₂) = 0 сукупностей, з яких були взяті вибірки, або, іншими словами, перевіряється нульова гіпотеза про приналежність двох порівнюваних вибірок однієї і тієї самої генеральної сукупності. T-критерій, що перевіряється, виражається у вигляді відношення різниці відповідних вибіркових середніх до помилки такої різниці, тобто

або

де ?d - стандартна помилка різниці вибіркових середніх значень, ?х1, ?х2 - стандартні помилки середніх значень порівнюваних вибірок.

Треба звернути увагу, що дисперсія різниці (так само, як і дисперсія суми) двох середніх значень дорівнює сумі дисперсій цих середніх значень.

Для перевірки критерію знак різниці середніх значень не відіграє ролі, тому у формулі для розрахунку тестової статистики береться модуль різниці. Проте знак різниці важливий для інтерпретації результатів порівняння і висновку про перевагу одного з порівнюваних методів. Надалі при порівнянні параметрів у формулах для тестових статистик ми опускатимемо знак модуля.

Гіпотезу про рівність математичних очікувань відкидають, якщо фактично отримана величина t-критерію перевершить або виявиться рівною табличному значенню для прийнятого рівня значимості і числа ступенів свободи. При цьому робиться висновок про наявність статистично значимих відмінностей між середніми значеннями на відповідному рівні значимості.

Формули для розрахунку тестової статистики і числа ступенів свободи дещо розрізняються залежно від рівності або нерівності дисперсій порівнюваних сукупностей. Це питання вимагає уважного розгляду, особливо для вибірок малого об'єму (n < 20).

У разі рівності дисперсій або вибірок достатньо великого об'єму помилка різниці середніх ?d визначається за такими формулами:

для нерівночисельних вибірок при n₁?n₂

для рівночисельних вибірок при n₁= n₂ формула дещо спрощується:

Число ступенів свободи для випадку рівних дисперсій дорівнює . Якщо хоча б одна з порівнювальних вибірок мала, то спочатку слід перевірити гіпотезу про рівність дисперсій вибірок. Залежно від відповіді на це запитання подальше порівняння середніх арифметичних проводять двома різними способами.

Для перевірки гіпотези про рівність генеральних дисперсій користуються критерієм Фішера. При цьому обчислюють показник Фішера, що дорівнює відношенню більшої вибіркової дисперсії до меншої: Показник Фішера завжди F> 1, а при рівності дисперсій F=1. Чим значніше нерівність, тим більше значення показника і навпаки. Функція F табульована і залежить від чисел ступенів свободи. Якщо обчислене значення F перевищить відповідне табличне значення і гіпотеза про рівність дисперсій буде знехтувана, то це означає, що вибірки були взяті з сукупностей з різними дисперсіями.

Для порівняння двох залежних вибірок або вибірок з попарно пов'язаними варіантами перевіряють гіпотезу про рівність нулю середнього значення їх попарних різниць. Така задача виникає, коли є дані про зміну ознаки, що нас цікавить, у кожного пацієнта. Наприклад, якщо група пацієнтів одержувала метод лікування, що вивчається, і у кожного пацієнта вимірювалося значення ознаки до і після лікування. В даному випадку належить перевірити нульову гіпотезу про рівність нулю змін цієї ознаки в результаті отримання терапії.

3. Непараметричні критерії для перевірки гіпотези про відмінність (або схожість) між середніми значеннями

Для порівняння середніх значень може застосовуватися і цілий ряд непараметричних критеріїв, серед яких важливе місце займають так звані рангові критерії. Використання цих критеріїв було засновано на ранжируванні членів порівнювальних груп. При цьому порівнюються не самі члени ранжированого ряду, а їх порядкові номери або ранги. Під час розв'язання конкретної задачі дуже важливо правильно обрати критерій.

Наведемо U-критерий Уїлкоксона (Манна-Уітні) для перевірки гіпотези про приналежність порівнюваних незалежних вибірок до однієї і тієї самої генеральної сукупності. Гіпотезу перевіряють, розташувавши в узагальнений ряд значення порівнювальних вибірок у зростаючому порядку. Всім значенням отриманого узагальненого ряду привласнюються ранги від 1 до N=n₁+n₂. Для кожної вибірки знаходяться суми рангів R і розраховуються статистики: для та- номер вибірки.

Якщо нульова гіпотеза вірна і вибірки були взяті з однієї і тієї самої генеральної сукупності, ми не повинні очікувати переважання спостережень з однієї вибірки на одному з кінців з'єднаного варіаційного ряду, їх значення мають бути достатньо рівномірно розсіяні по всьому узагальненому ряду. Таким чином, дуже великі або дуже малі значення статистики R мають примусити нас засумніватися у справедливості нульової гіпотези. Як тестову статистику вибирають мінімальну величину U і порівнюють її з табличним значенням для прийнятого рівня значимості. Гіпотеза приймається, і відмінності вважаються недостовірними, якщо розраховане значення більше відповідного табличного.

Зазвичай у таблицях наводяться критичні значення даного критерію для об'єму вибірок 20 або 40. У разі вибірок більшого об'єму для перевірки даного критерію застосовується нормальна апроксимація. Тоді критичні значення для критерію U можна розрахувати за формулою:

де - критичні значення стандартного нормального розподілу, визначені за таблицями. Треба звернути увагу, що якщо є однакові варіанти, їм привласнюється середній ранг, проте значення останнього рангу має дорівнювати n₁+n₂. Це правило використовують для перевірки правильності ранжирування.

У разі попарно зв'язаних вибірок застосовується Т-критерій Уїлкоксона. При цьому попарні різниці - позитивні і негативні (окрім нульових) в один ряд так, щоб найменша абсолютна різниця (без урахування знака) отримала перший ранг, однаковим величинам привласнюють один ранг. Окремо обчислюють суму рангів позитивних (T+) і негативних різниць (Т-), меншу з двох таких сум без урахування знака вважають тестовою статистикою даного критерію. Нульову гіпотезу приймають на даному рівні значимості, якщо обчислена статистика перевершить табличне значення (число парних спостережень зменшують на число виключених нульових різниць). Таким чином, можна сказати, що якщо нульова гіпотеза вірна, статистики T+ і T - приблизно рівні, порівняно малі або великі значення T-статистик примусять нас відхилити нульову гіпотезу про відсутність відмінностей.

Приклад. Припустимо, в результаті проведення дослідження був обчислений ряд попарних різниць між показником ефекту в двох попарно пов'язаних групах (n₁ = n₂ = 10) (наприклад, так звана задача «до і після»): 0,2 -0,4 0,7 -0,9 1,3 1,5 -0,1 0,8 -1,0 1,1. Ранжируємо попарні різниці в один ряд, незалежно від знака різниці, одержуємо такий ранжирований ряд: -0,1 0,2 -0,4 0,7 0,8 -0,9 -1,0 1,1 1,3 1,5.

Розрахуємо окремо суму рангів позитивних (Т+) і негативних (T-) різниць, у нашому випадку T+ = 2 + 4 + + 5 + 8 + 9+10 = 38, T- = 1 + 3 + 6 + 7= 17. Для перевірки двостороннього T-критерію використовуємо меншу статистику T - =17 і порівнюємо її з табличним значенням для числа попарних різниць n = 10 і рівня значимості 5%. Таке табличне критичне значення дорівнює 9. Розраховане мінімальне значення T статистики перевершує відповідне табличне значення, а, отже, нульова гіпотеза залишається в силі.

У разі аналізу результатів клінічних досліджень непараметричні критерії корисні не тільки для аналізу кількісних даних, а також при якісній або альтернативній формі представлення ознак.

4. Порівняння середніх значень декількох вибірок (множинні порівняння)

Наведений вище критерій Стьюдента може бути використаний для перевірки гіпотези про відмінність середніх тільки для двох груп. Якщо план дослідження припускає порівняння більшої кількості груп, абсолютно неприпустимо просто порівнювати їх попарно. Проте дисперсійний аналіз дозволяє перевірити лише гіпотезу про рівність всіх порівнюваних середніх. Але, якщо гіпотеза не підтверджується, не можна дізнатися, яка саме група відрізнялася від інших. Це дозволяють зробити методи множинного порівняння, які в свою чергу також параметричні і непараметричні. Ці методи дають можливість провести множинні порівняння так, щоб імовірність хоча б одного невірного висновку залишалася на початково вибраному рівні значимості а, наприклад, а = 5%.

Серед параметричних критеріїв найбільш відомі критерій Стьюдента для множинних порівнянь, критерій Ньюмена-Кейлса, критерій Тьюккі, критерій Шеффе, критерій Даннета, а серед непараметричних - критерій Краськела-Уолліса, медіанний критерій та ін.

Розглянемо деякі критерії. Ще раз звертаємо увагу, що до використання цих критеріїв треба вдаватися у випадку, якщо дисперсійний аналіз показав наявність значущих відмінностей між середніми значеннями вибірок.

Літерою m позначимо число порівнювальних груп.

Критерій Стьюдента для множинних порівнянь був заснований на використовуванні нерівності Бонферроні: якщо k-разів застосувати критерій з рівнем значимості а, то імовірність хоча б в одному випадку знайти відмінність там, де його немає, не перевищує результату від перемноження двох множників k на а. З нерівності Бонферроні виходить, що якщо ми хочемо забезпечити імовірність помилки а', то в кожному з порівнянь ми маємо прийняти рівень значимості а'/k - це і є поправка Бонферроні (k - число порівнянь). Зрозуміло, що таке зменшення у декілька разів рівня значимості робить тест достатньо «жорстким» із зростанням числа порівнянь, встановити відмінності стає достатньо важко. Щоб дещо пом'якшити даний тест, користуються узагальненою оцінкою внутрішньогрупової дисперсії, число ступенів свободи при цьому зростає, що в свою чергу призводить до зменшення критичного значення для перевірки тесту. Цей метод добре працює, якщо число порівнянь невелике, зазвичай не більше 8.

При великому числі порівнянь критерій Ньюмена-Кейлса і критерій Тьюккі дають більш точну оцінку імовірності а'.

Іноді задача полягає в тому, щоб порівняти декілька груп з єдиною - контрольною. Зазвичай можна використовувати будь-який із вказаних вище методів: попарно порівняти всі групи, а потім вибрати тільки ті порівняння, в яких брала участь контрольна група. Проте через велику кількість зайвих порівнянь критичне значення виявиться невиправдано високим. Для вирішення цієї задачі статистики існують спеціальні методи, наприклад, ще одна модифікація критерію Стьюдента з поправкою Бонферроні і критерій Даннета. У разі використання поправки Бонферроні необхідно враховувати реальне число порівнянь для цієї задачі, воно дорівнює числу груп m-1 і відповідно розрахувати рівень значимості а = а'/(m - 1).

Критерій Даннета більш чутливий, ніж попередній, особливо при великій кількості груп. Критерій Даннета є модифікацією критерія Ньюмена-Кейлса. Для перевірки критерію Даннета середні значення для всіх груп упорядковуються за абсолютною величиною їх відмінності від контрольної групи, порівняння починають з групи, найвідміннішої від контролю. Для звернення до таблиці для перевірки критерію використовується ще один параметр, який є числом порівнювальних груп разом з контрольною. Обчислене значення q порівнюється з табличним значенням, якщо воно перевищує або дорівнює табличному, робиться висновок про наявність статистично значущої відмінності. Число ступенів свободи для цього критерію також дорівнює N - m, де N - сумарна чисельність всіх груп, m - число порівнювальних груп. Якщо відмінності з черговою групою не знайдені, порівняння припиняються.

Непараметричний критерій Краснела-Уолліса для порівняння середніх значень декількох незалежних вибірок був заснований на побудові з'єднаного варіаційного ряду з варіант даних вибірок і привласненні рангів усім варіантам в поєднаному ряді об'ємом N. Далі обчислюються статистики Ri для кожної даної вибірки окремо, що дорівнюють сумам рангів в узагальненому ряді варіант, які входять у дану i-у вибірку. При цьому для кожного спостереження в конкретній вибірці ми можемо вказати середній ранг, рівний R_i/n_i, для всіх i від 1 до m. Якщо виконується нульова гіпотеза і всі сукупності мають один і той самий розподіл, то можна очікувати, що всі середні ранги приблизно рівні. А саме вони приблизно рівні загальному середньому рангу R.

Для попарного порівняння груп або попарного порівняння груп з однією контрольною відомі непараметричні аналоги параметричних критеріїв Ньюмена-Кейлса і Даннета.

Непараметричний критерій Фрідмана застосовується для аналізу повторних вимірювань, пов'язаних з одним і тим самим індивідуумом. Для використання цього критерію стовпчики таблиці відображають різні значення змінної ефекту, а рядки відповідають повторним вимірюванням одного і того самого суб'єкта. За допомогою критерію Фрідмана ми перевіряємо нульову гіпотезу про те, що різні методи лікування дають практично однакові результати. Процедура полягає у впорядкуванні (ранжируванні) значень у кожному рядку (при цьому ранги в кожному рядку приймають значення від 1 до m), підсумовуванні отриманих рангів за кожним стовпчиком і обчисленні тестової статистики.

Якщо розраховане значення перевершить відповідне табличне для вибраного рівня значимості і відповідного числа ступенів свободи, то нульова гіпотеза відхиляється.