Задача оптимального управления инвестициями в макроэкономической модели, описывающая влияние террористических угроз на индустрию туризма

Оптимизационные задачи с бесконечным горизонтом планирования обычно являются задачами со свободным правым концом. В оптимизационных задачах с конечным горизонтом планирования со свободным правым концом для сопряженной функции на правом конце при t = t1 должно быть выполнено краевое условие. В случае оптимизационной задачи без ограничений и целевого функционала типа Лагранжа краевое условие имеет следующий вид:

. (1.36)

При этом сопряженная функция удовлетворяет системе

, p = 1, 2, …, n, t[t0 , t1] (1.37)

где

H(x, u, t, ш) = ш, f (t, x, u) - F0(t, x, u), (1.38)

а необходимое условие оптимальности запишется в виде

H(x0(t),u(t), t, ш(t)) = sup H(x0(t), u, t, ш(t)), t[t0 , t1]

uU

Формальный переход от такой задачи к оптимизационной задаче с бесконечным горизонтом планирования подразумевает, в частности, осуществление замены t1 на ? и в соотношениях (1.36)-(1.38), так что, например, граничное условие (1.36) следует «переписать» в виде

. (1.39)

Однако, как показывают примеры, условие (1.39) для оптимального управления в общем случае не удовлетворяется. Это означает, что без дополнительных предположений о свойствах задачи (1.30)-(1.35) принцип максимума, получаемый формальной заменой t1 на ? не является для нее обоснованным утверждением.

К счастью, в математических задачах экономической динамики достаточно естественными являются такие свойства операторов и функционалов, как выпуклость (вогнутость) интегрантов целевых функций, аддитивная разделенность фазовых переменных и управлений, специфические свойства правых частей дифференциальных уравнений, гарантирующие неотрицательность ряда переменных и т.д.

Это позволяет в ряде случаев обосновать достаточные условия оптимальности в оптимизационных задачах с бесконечным горизонтом планирования в форме принципа максимума.

Приведем один относительно простой результат для таких задач.

Рассматривается задача максимизации функционала

(1.40)

на траекториях одномерной управляемой системы

 (1.41)

с краевыми условиями

, . (1.42)

Используется кусочно-непрерывное управление u(t), принимающее значения в множестве UR (допустимые управления).

Определим гамильтониан задачи формулой

H(x, u, t,) = ш f (t, x, u) + ш0F(t, x, u) , =col{ш0 , ш}.

Теорема 1.4. Предположим, что при y0 = 1 в задаче (1.40)-(1.42) допустимая пара {x0(t), u0(t)} удовлетворяет условиям:

1) H(x0(ф), u, ф,(ф)) ? H(x0(ф), u0(ф), ф, (ф)), uU.

2), t[t0, ?).

3) Гамильтониан H(x,u,t,(t)) вогнут по {x, u}.

4) Справедливо соотношение для любой допустимой пары {x(t), u(t)}.

Тогда допустимая пара {x0(t), u0(t)} является оптимальной в задаче (1.40)-(1.42).

Если рассматривается задача минимизации целевого функционала, то условие 3) следует заменить условием выпуклости гамильтониана.

В общем случае векторных фазовых переменных и управлений вводятся различные понятия оптимальности на бесконечном интервале времени (слабая оптимальность, сильная оптимальность, почти оптимальность, совсем оптимальность, спорадически почти оптимальность и т.д.). Отчасти они вызваны содержательными постановками оптимизационных задач экономической динамики. Например, спорадически почти оптимальность пары {x0(t), u0(t)} (xRn, uU Rm ) означает, что для любой допустимой пары {x(t), u(t)}

,

где

.

Оказывается, что для такого управления достаточно справедливости условий принципа максимума в форме, аналогичной приведенной в теореме 3.4. В этих условиях существенно условие вогнутости гамильтониана по переменным (xRn, uU Rm).

Выводы

Таким образом, при помощи при помощи данного метода мы смогли вычислить рентабельность проводимых процессов, использовав при этом следующие методы и приемы.

При решении вариационных задач классическими методами, как уже отмечалось выше, серьезные, а иногда и непреодолимые трудности возникают в тех случаях, когда отыскиваемые управляющие воздействия не принадлежат к классу непрерывных функций или когда на переменные задачи наложены ограничения типа неравенств. Для решения таких задач иногда с успехом может быть использован метод, сформулированный и доказанный в работах Л.С. Понтрягина и его учеников, который получил название принципа максимума.

Изложенный выше метод допускает получение более тонких признаков оптимальности для тех процессов, которые уже удовлетворяют дискретному принципу максимума. Следуя, будем называть такие процессы экстремалями Понтрягина.

В простейших случаях, когда целевая функция задана аналитически, используют классические методы нахождения экстремума методами дифференциального исчисления. При наличии ограничений типа равенств, наложенных на независимые переменные, используют метод множителей Лагранжа. В более сложных случаях, когда критерий оптимальности представлен в виде функционалов, используют методы вариационного исчисления-, при оптимизации процессов, описываемых системами дифференциальных уравнений, применяют принцип максимума Понтрягина. Используют также динамическое, линейное программирование и другие методы оптимизации.

От недостатков общей схемы метода динамического программирования можно, однако, в значительной мере избавиться, используя аналитический метод поиска оптимума на каждой стадии. Именно этот способ будет применен к решению задач оптимизации цепочек реакторов, рассматриваемых ниже. Отметим, что основные расчетные формулы, которые получим, могут быть выведены не только с помощью метода динамического программирования, но и на основе дискретного варианта принципа максимума Понтрягина или классических вариационных методов.

Расчеты оптимальных условий проводятся математическими методами (вариационное исчисление, динамическое программирование, принцип максимума Понтрягина) или часто различными методами направленного поиска.

Задача решается при помощи обобщенного принципа. Существуют различные методы, в том числе и аналитические, позволяющие иногда при рассмотрении конкретных задач ответить на вопрос об эффективности нестационарного режима. Рассмотрим кратко эти методы. По аналогии с задачами оптимального управления решение задачи оптимизации циклического режима должно удовлетворять необходимым условиям оптимальности. Применительно к поставленной задаче был сформулирован принцип максимума Понтрягина.

Второй -- новые, в смысле применения для оптимизации химических процессов, математические методы, учитывающие ранее недоступные или весьма ограниченно доступные для оптимизации области протекания процессов.

Примерно в одинаковое время с методом динамического программирования Л.С. Понтрягиным с сотрудниками был развит так называемый принцип максимума.

Таким образом, при применении этого метода экстремальная задача сводится к решению краевой задачи для системы разностных уравнений, которое аналогично решению краевой задачи для системы обыкновенных дифференциальных уравнений.

Теория оптимального управления возникла в 50-е годы 20 века в связи с необходимостью решения ряда задач, поставленных практикой в различных областях развития новой техники. В теории оптимального управления основным методом считается принцип максимума Понтрягина. Он был открыт группой советских математиков во главе с Л.С. Понтрягиным в 1956 году.

3. ОПТИМАЛЬНЫЙ БАЛАНС ИНВЕСТИЦИЙ В МАКРОЭКОНОМИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ, ОПИСЫВАЮЩЕЙ ВЛИЯНИЕ ТЕРРОРИСТИЧЕСКИХ УГРОЗ НА ИНДУСТРИЮ МЕЖДУНАРОДНОГО ТУРИЗМА

3.1 Описание модели. Постановка задачи оптимального управления

Начнем с содержательной постановки нашей экстремальной задачи.

Динамическая система. Исследуемая модель призвана описать взаимодействие двух характеристик (которые будут играть роль состояний нашей динамической системы) -- количества туристов, находящихся на территории моделируемого государства, и уровня террористической угрозы (условно, “количества террористов”). Затраты государства на туриндустрию формируются следующим образом:

• Во-первых, правительство направляет прямые инвестиции I = I(t) (от англ. “Investment” -- инвестиция) в отрасли экономики, связанные с туристической индустрией, -- средства для привлечения туристов. Инвестиционные расходы обозначим через C(I), где C(*) -- выпуклая возрастающая функция. В частности, C(I) можно трактовать как расходы на обслуживание туристической инфраструктуры (скажем, автобусы, подъемники для лыжников, и т.п.).

• Другое направление государственного финансирования -- затраты, связанные с предупреждением террористических угроз. Обозначим через E = E(t) некоторый текущий условный объем антитеррористических мероприятий в единицу времени (от англ. “Enforcement” -- правоприменение), и пусть b (заданная постоянная) есть затраты на единицу E.

Заметим, что I и E играют роль управлений.

Обозначим через N = N(t) количество террористов. Предполагаем, что число террористов возрастает при увеличении инвестиций в туризм (“туристы привлекают террористов”). С другой стороны, высокий уровень террористической угрозы отрицательно сказывается на туриндустрии, в частности, снижает эффективность инвестиций I. Пусть рост количества туристов в единицу времени определяется функцией

(I, N)

Последняя призвана характеризовать влияние инвестиций I на изменение количества туристов при заданном уровне террористической угрозы. Сделанные выше комментарии о характере взаимоотношений величин I и N делают разумными следующие предположения относительно свойств функции (I,N):

>0, <0,

, , <0

Первое и третье из данных условий означают, что при заданном уровне N число туристов является невыпуклой возрастающей функцией инвестиций I. Второе и четвертое неравенства показывают негативный эффект, который террористы производят в отношении туристической привлекательности страны, и при заданном I этот эффект не уменьшается при увеличении количества террористов. Последнее неравенство утверждает, что положительное воздействие на туриндустрию дополнительной единицы инвестиции уменьшается с ростом террористической угрозы (что, в общем-то, интуитивно понятно). Обозначим черезестественный уровень “распада” туриндустрии (моральное и физическое старение объектов, разрушение инфраструктуры и т.д.), который предполагается постоянным и положительным. Тогда динамика изменения числа Т(t) иностранных туристов, прибывающих в страну в момент t, описывается обыкновенным дифференциальным уравнением

, (1)

где обозначает производную по времени.

Процветающая туриндустрия формирует привлекательную среду для развития терроризма: теракты в туристически привлекательных странах(особенно в местах массового скопления людей) могут затрагивать граждан различных государств и следовательно имеют большой (зачастую, международный) резонанс. Таким образом, число террористов можно условно считать пропорциональным количеству Т иностранных туристов. Предположим для простоты, что число террористов, привлеченных одним туристом, постоянно. Обозначим эту величину . Очевидно, что > 0. Отрицательное воздействие на уровень террористической угрозы со стороны государства производится путем вложений E в антитеррористические мероприятия, что формализуется посредством введения функции ц(Е), относительно которой естественно предполагать

ц' > 0, ц'' < 0

(здесь штрих означает производную). Таким образом, число террористов N(t) изменяется со временем в соответствии с обыкновенным дифференциальным уравнением

. (2)

Целевой функционал

Очевидная цель государства состоит в максимизации суммарной прибыли от индустрии туризма. Эта прибыль предполагается пропорциональной количеству Т иностранных туристов, привлеченных в страну. Пусть р -- средний доход от одного туриста (предполагаем этот доход постоянным). Тогда доход за единицу времени есть рТ.

Пусть задан период планирования [0,T], T ? ?. Критерий качества инвестиционной политики государства формализуется в виде следующего целевого функционала

подлежащего максимизации по управлениям (I, E) при естественном с содержательной точки зрения условии

I, Е ? 0

и динамических ограничениях (1), (2) с некоторыми заданными начальными данными

Т(0) = T0, N(0) = N0.

В выражение для I, в подынтегральной функции, присутствует e -rt дисконтирующий множитель e , ответственный за деактуализацию дохода рТ -- C(I) -- bЕ с течением времени. Здесь r > 0 параметр дисконтирования.

3.2 Исследование задачи оптимального управления

Сосредоточимся на случае конечного периода планирования, т.е., предполагаем T < ?. Переформулируем исследуемую модель в обозначениях, более привычных для теории оптимального управления, приняв дополнительно некоторые гипотезы относительно ее структуры.

Положим [7]

(I, N) = aI(-- N),

и

где a и h -- заданные положительные постоянные (отвечает априорному максимальному уровню террористической угрозы).

После переобозначения наша экстремальная задача принимает вид:

(P) I = e-rt (px -- 1/2hu2 -- qv) dt > max, (3)

? = au( -- y) -- bx, x(0) = x0, (4)

? = cx -- 2 , y(0) = yo, (5)

u,v > 0. (6)

Здесь x(t),y(t) E -- состояния (содержательный смысл которых мы пояснили ранее), u,v -- управления (инвестиции) и (r,p,h,q; a,b,c) -- некоторые параметры.

Преобразуем задачу (P) к стандартной форме Майера, для этого введем новую фазовую переменную:

ї = e--rt (px -- l/2hu2 -- qv) , z(0) = 0. (7)

Тогда целевой функционал приобретает вид:

I = z (T). (8)

Далее, удобно перейти к новому управлению w = , w , в терминах которого уравнения (5), (7) перепишутся следующим образом

? = cx -- 2w, y(0) = yo, (9)

ї = e--rt (px -- 1/2hu2 -- qw2) , z(0) = 0. (10)

3.2.1 Уравнение состояния

До обращения к задаче оптимизации скажем несколько слов о самой динамической системе (4), (5). Во-первых, охарактеризуем ее: при заданных управлениях u,w мы, вообще говоря, имеем дело с линейной неавтономной неоднородной системой обыкновенных дифференциальных уравнений. Теперь с прикладной точки зрения: если предположить, что инвестиции обоих типов в туриндустрию постоянны

u(t) ? = const > 0, w(t) ? = const > 0,

чего вполне можно ожидать в реальности, то у системы (4), (5) может появиться точка динамического равновесия. Допустим, a ? 0, x(t) ? x0, y(t)? y0. Тогда

0 = ? = a(y -- y0) -- bx0

и

0 = ? = cx0 -- 2,

откуда имеем

(x0,y0) =

или то же в терминах инвестиций

(11)

при естественном предположении x0 > 0, y0 < y.

Таким образом, при поступлении в макроэкономическую систему постоянных инвестиций в размере (,), определенном в (11), имеем стационарный уровень туристической активности и террористической угрозы в государстве. Если начальные условия (x0, y0) отвечают приемлемому с содержательной точки зрения состоянию, а (a, b, c) таковы что затраты (,) не играют существенной роли в бюджете государства, стратегия, отвечающая подобной инвестиционной политике может быть целесообразна и без апелляции к задаче оптимизации.

3.2.2 Принцип максимума

Запишем для задачи (P) необходимые условия оптимальности в форме принципа максимума Понтрягина. Введем следующие объекты:

· функция Понтрягина имеет вид

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

y

· Сопряженная траектория (шх, шу, шz) удовлетворяет следующей системе

А

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

(13)

= bшх -- сшy -- e -rtp, шх(Т) = 0. (15)

Для того чтобы избавиться от дисконтирующего множителя применим стандартный прием: определим функции

лx(t) = еrtшх(t), лy(t) = еrtшy(t),

и положим для замкнутости обозначений лz(t) =шz(t). Тогда

шx(t)= е-rt лx(t), шy(t)= е-rt лy(t),

функция Понтрягина в новых терминах имеет вид

Н(х, y, z, лx, лy, лz, и, w) = e-rt {[au(y -- y) -- bx] лx+[cx -- 2w] лу + px -- 1/2hu2 -- qw2}

Далее

Мы заключаем

,

и аналогично

,

.

Наконец, запишем каноническую систему принципа максимума:

? = au(y - y) - bx, x(0) = x0

? = cx - 2w, y(0) =y0

ї = e-rt (px - 1/2hu2 - qw2), z(0) = 0

лx(T) = 0

, лy(T) = 0

ѓЙz ЃЯ 1. (16)

Пусть a, h, q >0, что отвечает содержанию рассматриваемой модели. Для того чтобы закончить формулировку принципа максимума нам осталось решить задачу условной максимизации

H(x, y, z, лx, лy, лz,u, w) > max, u,w > 0.

Последняя разбивается на две независимые подзадачи

и

,

которые решаются элементарно:

.

Формальная подстановка экстремальных отображений (u,w) в каноническую систему (16) приводит нас к двухточечной краевой задаче

, x(0) = x0

, y(0) =y0

, z(0)=0

, (T)=0

, (T)=0 (17)

которая может быть решена численно (с помощью метода “стрельбы” или какого-нибудь другого приближенного алгоритма; с применением каких-либо известных программных пакетов-решателей, например Matcad, Mathematica или [9]).

Выводы

Все примеры, приведенные выше служат внедрения инноваций в сфере оптимального управления инвестициями в макроэкономической модели, описывающей влияние террористических угроз в индустрии туризма несомненно, благоприятно влияют на развитие инновационной деятельности, но существуют определенные недостатки:

- отсутствие современных механизмов внедрения технологических нововведений и выведения их на рынок индустрии туризма;

- недостаточное развитие инфраструктурных элементов содействия инновационным проектам;

- отсутствие на внутреннем рынке платежеспособного спроса на передовые технологии и промышленные нововведения;

- недостаточный уровень кадров.

Чтобы поднять уровень исследований и разработок, необходимо проведение государственной политики стимулирования по следующим направлениям:

- целенаправленное изучение и формирование рынка для продукции инновационных предприятий путем размещения на них государственного заказа;

- улучшение информационной базы и создание банков данных о научно-технических потребностях и разработках.

В настоящее время информация стала одним из основных факторов производства. Все активнее в повседневную жизнь человека внедряются виртуальные технологии.

Таким образом, переход экономики в новое качественное состояние увеличил значимость активизации инновационной деятельности, проблем формирования инновационного потенциала страны, позволяющего реорганизовать экономику, ускоренно развивать наукоемкое производство, что должно стать важнейшим фактором обеспечения условий для экономического роста.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Международный терроризм превращается в глобальную военно-политическую проблему, угрожающую существованию человеческой цивилизации. Именно такое звучание получила эта проблема на прошедшей 60-й Генеральной Ассамблее ООН (сентябрь 2005 г.). Поэтому развитие международного туризма в XXI в. зависит от консолидированных усилий всех стран мирового сообщества в борьбе с международным терроризмом.

Обеспечение безопасности международного туристского обмена обусловило необходимость международно-правовой регламентации деятельности специализированных международных организаций и институтов. В этих целях функционирует ряд международных туристских организаций, которые определяют основные направления развития индустрии туризма в мире, разрабатывают основополагающие принципы туристской деятельности, устанавливают международные нормы и стандарты, способствуют сотрудничеству стран в деле обеспечения безопасности международного туризма.

В настоящее время существует более 200 таких международных туристских организаций различного профиля деятельности. Координатором этой работы является Всемирная туристская организация (ВТО), которая с октября 2003 г. является специализированным учреждением ООН. В рамках Исполнительного совета ВТО в 1994 г. был создан Комитет по качеству туристского обслуживания, в компетенцию которого входит разработка мер по обеспечению безопасности туризма, уменьшению рисков при путешествиях и защите туристов. В рамках достижения вышеуказанных целей данный Комитет реализует Программу качества развития туризма, включающую:

-- создание системы регулирования в сфере торговли туристскими услугами, в том числе и меры по либерализации и конкуренции;

-- безопасность и охрану, включая охрану здоровья;

-- стандарты качества [3, с. 125].

В своей деятельности по вопросам обеспечения безопасности в туризме Комитет по качеству туристского обслуживания ВТО тесно сотрудничает с Конференцией ООН по торговле и развитию (ЮНКТАД) и имеет статус наблюдателя при Всемирной торговой организации.

Важный вклад в обеспечение безопасности международного туризма вносит деятельность международных организаций нетуристского профиля. В табл. 1 изложен перечень основных целевых задач, которые решают ряд непрофильных международных организаций в области обеспечения безопасности туристских путешествий.

В данной работе рассмотрена макроэкономическая модель, описывающая влияние террористических угроз на отрасль международного туризма. Цель дипломной работы состояла в постановке задачи оптимального баланса инвестиций в туриндустрию и антитеррористические мероприятия. Так же в дипломной работе дана содержательная интерпретация модели, для поставленной задачи записан принцип максимума, был изучен базовый аппарат теории оптимального управления обыкновенными дифференциальными уравнениями. И таким образом, для анализа экономических процессов и явлений, прогнозирования их дальнейшего развития применяются логические и формально-математические модели. Макроэкономические модели -- это формализованные логическим, графическим или алгебраическим способом описания различных макроэкономических процессов и явлений с целью установить между ними функциональные взаимозависимости. Следует иметь в виду, что любая модель есть абстрактное упрощение реальности, поэтому она не может быть всеобъемлющей.

При помощи моделирования можно определить способы управления темпами инфляции, уровнем занятости, объемами выпуска и потребления продукции, величиной процентной ставки, валютным курсом. Все эти позиции называются эндогенными экономическими переменными, т.е. внутренними, формирующимися внутри модели, являющимися результатами ее построения и определяемыми в ходе экономических расчетов. Внешними, экзогенными, экономическими переменными, т.е. исходной информацией, задаваемой до начала построения модели, являются инструменты, применяемые правительством и центральным банком в осуществлении фискальной и монетарной политики. Это величина расходов государственного бюджета, размеры налоговых ставок, объемы денежной массы. Использование макроэкономических моделей позволяет более правильно сочетать применяемые методы бюджетно-налоговой и денежно-кредитной, валютной и внешнеторговой политики для сглаживания цикличности экономики, преодоления кризисов. Модели не следует оценивать с точки зрения правильности для решения конкретных задач, стоящих перед национальной экономикой конкретной страны. Их оценка должна проводиться по критерию полезности при исследовании экономических процессов и управляемости макроэкономическими показателями. Наряду с делением экономических переменных на эндогенные и экзогенные существует другая классификация -- по способу их измерения во времени. Выделяют переменные запаса, характеризующие состояние объекта на определенную дату (начало и конец квартала, года и т.д.). К таким переменным относятся, к примеру, объем национального богатства страны, величина государственного долга, совокупный объем капитала в экономике. Помимо них, существуют переменные потока, характеризующие течение экономических процессов во времени и измеряемые за единицу времени. Примерами могут служить размеры валового продукта за год, потребительских расходов за год, объем инвестиций за год и пр. И те и другие переменные взаимосвязаны, так как потоки вызывают изменения в запасах. Например, накопление бюджетного дефицита за ряд лет приводит к увеличению государственного долга. Существует множество видов макроэкономических моделей. Приведем пять из них. Абстрактно-теоретические и конкретно-экономические. Статические и динамические. Статические модели характеризуются заданностью и фиксированностью общего запаса экономических ресурсов, что может служить для анализа эффективности их распределения. Динамические -- учитывают распределенное по времени решение таких проблем, как вовлечение ресурсов в производство, накопление сбережений, внедрение достижений НТП, альтернативность издержек, и некоторых других. Динамические модели подразделяются на краткосрочные, среднесрочные и долгосрочные, т.е. зависят от временных периодов, в которых осуществляется анализ. Так, в моделях Дж.М. Кейнса экономические процессы рассматриваются в краткосрочном периоде; классические модели являются долгосрочными. Равновесные и неравновесные. Равновесные модели описывают ситуацию, когда при неизменности внешних условий и параметров ни у одного из участников хозяйственного процесса нет стимула менять свое экономическое поведение. Планы экономических субъектов и их реализация совпадают. При усложнении ряда экономических процессов возникает ситуация, описываемая неравновесными моделями, например, моменты неопределенности при отсутствии полной информации, когда различные экономические субъекты стремятся себя застраховать от возможных рисков или сделки осуществляются по неравновесным ценам, до того как было установлено равновесие. Равновесные и неравновесные модели тесно взаимосвязаны. Открытые и закрытые модели соответствуют открытому или закрытому типам экономики, описанным в параграфе 1.2. Открытые модели предполагают участие национальной экономики в международной торговле, учитывают основные макроэкономические показатели, определяющие взаимодействие разных стран. Закрытые модели предполагают абстрагирование национальной экономики от участия в международных экономических отношениях.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин С.В. Оптимальное управление. М.: Наука. 1979.

2. Аркин В.И., Евстигнеев И.В. Вероятностные модели управления и экономической динамики. М.: «Наука». 1979.

3. Ашманов С.А. Введение в математическую экономику. М.: Наука, 1984.

4. Бгатов, А.П., Бойко, Т.В., Зубрева, М.В. Туристские формальности. М.: Academia, 2004.

5. Беллман Р. Динамическое программирование. М.: Изд-во иностр. литер., 1960.

6. Беллман Р., Дрейфус С. Прикладные задачи динамического программирования. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1965.

7. Болтянский В.Г. Математические методы оптимального управления. М.: Наука. 1969.

8. Болтянский В.Г. Оптимальное управление дискретными системами. М.: Наука. 1973.

9. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач. М.: Наука. 1988

10. Всеобщая декларация прав человека. Мн.: Представительство ООН в Республике Беларусь, 2000.

11. Маринин, М.М. Туристские формальности и безопасность в туризме. М.: Финансы и статистика, 2002.

12. Организация туризма: учебное пособие / А. П. Дурович [и др.]; под общ. ред. Н.И. Кабушкина и др. Мн.: Новое знание, 2003.

13. Развитие международного туризма и обеспечение безопасности туристов http://evolutio.info/content/view/753/113/

14. Тодаро М.П. Экономическое развитие: пер. с англ. / Под ред. Яковлева С.М.,Зевина Л.З. М.: Экономический ф-т МГУ. ЮНИТИ, 1997.

15. Что такое международный туризм? http://tourkz.com/stat-i/chto-takoe-mezhdunarodnyj-turizm.html

16. Флеминг У., Ришел Р. Оптимальное управление детерминированными и стохастическими системами. М.: Мир. 1978.

17. Beavis B., Dobbs I.M. Optimization and Stability Theory for Economic Analysis.

18. Cambridge Univ. Press: 1990. - 414p.

19. Chiang A.C. Elements of Dynamic Optimization. New-York: McGraw-Hill Inc.,1992.- 327p.

20. Chiang A.C. Elements of Dynamic Optimization. New-York: McGraw-Hill Inc.,1992.-327p.

21. Chow G.C. Dynamic Economics Optimization by the Lagrange Method. New-York: Oxford. Univ. Press:1997.-213p.

22. Conant, J., Clar, T., Burnett, J., Zank, G., Terrorism and Travel: Managing in Unmanageable, Journal of Travel Research, Vol. 26, pp. 16-20, 1988.

23. Cooperman, A., Egypt's Victory over Terrorism Evaporates, US News and World Report, Vol. 123, p. 41, 1997.

24. Current Travel Warnings // U. S. Department of State official website <http://www.travel.state.gov/travel/cis_pa_tw/tw/tw_1764.html>

25. Feightinger, G., Hartl, R. F., Optimal Control of Economic Processes: Applications of the Maximum Principle in Economics, de Gruyter, Berlin, Germany, 1986 (in German).

26. Getting started with MATLAB. (www.MATLAB.ru)

27. Halkin H. A Maximum Principle of the Pontryagin Type for Systems Described by Nonlinear Difference Equations // SIAM J. of Control. 1966. V.4. №1. Р.90-111.

28. Halkin H. Necessary conditions for optimal control problems with infinite horizons //Econometrica. 1974. V.42. №2. Р.267-272.

29. Hassard, B. D., Kazarinoff, N. D., Wan, Y. II.. Theory and Applications of Hopf Bifuracation, Lectures Notes, London Mathematical Society, London, England, Vol. 41, 1981.

30. Kort, P. M., Greiner, A., Feightinger, G., Haunschmied, J. L., Novak, A. J., Hartl, R. F., Enviromental Effects of Tourism Industry Investments: An Intertemporal Trade-Off , Forschungsbericht 222, Institut for Ekonometrie, OR und Systemtheorie, TU, Vienna, Austria, 1999.

31. Richter, L. К., Waugh, W. L., Jr., Terrorism and Tourism as Logical Companions, Tourism Management, Vol. 7, pp. 230-238, 1986.

32. Ryan, C., Crime, Violence, Terrorism, and Tourism: An Accidental or Intrinsic Relationship?, Tourism Management, Vol. 14, pp. 173-183, 1993

33. Simonovitz A. Mathematical Methods in Dynamic Economics.- Macmillan Press Ltd., 2000.-317p.

34. Steindl, A., COLSYS: A Collocation Solver for Boundary-Value Problems of Systems of Ordinary Differential Equations, PhD Thesis, University of Technology, Vienna, Austria, 1981 (in German).

35. Stern L.E. Criteria of optimality in the infinite - time optimal control problem /J. of Optimiz. Theory Appl. 1984. V. 44. №3. P. 497 - 508.

36. Sundaram R.K. A First Course in Optimization Theory. -Cambridge Univ. Press: 1996. -357p.

37. Takayama A. Mathematical Economics. 2nd Edition. -Cambridge Univ. Press: 1990. -737p.

38. http://magref.ru/faktoryi-opredelyayushhie-razvitie-mezhdunarodnogo-turizma/

ПРИЛОЖЕНИЯ

Приложение 1

Приложение 2