Практическая реализация принципа оптимальности в экономике

Размещено на http://www.allbest.ru/

Федеральное агентство по образованию

ГОУ ВПО

ВСЕРОССИЙСКИЙ ЗАОЧНЫЙ ФИНАНСОВО-ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

Факультет: Финансово-кредитный

Специальность: 080100 бакалавр экономики

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

по дисциплине: Экономико-математические методы и прикладные модели

Выполнил:

Студент Гребёнкин Игорь Андреевич

Курс 3

№ зачетной книжки 11ФЛД61185

Преподаватель:

проф. Денисов Владимир Петрович

Омск 2011

Задание № 1

двойственная оценка функционал временной ряд

Двойственные оценки как мера влияния ограничений на функционал.

Выбор наилучшего решения предполагает наличие некоторого критерия оптимальности, позволяющего оценить эффективность принятых решений. В экономике такие задачи возникают при практической реализации принципа оптимальности в планировании и управлении, при этом в качестве критерия оптимальности могут выступать максимум прибыли, минимум себестоимости, минимум трудовых затрат и др. Если записать критерий оптимальности в виде математической функции , то эта функция называется целевой функцией (функция цели, функционал).

Любую задачу линейного программирования в стандартной форме можно записать в виде соотношений:

(1.1)

(1.2)

(1.3)

Ограничения (1.2) принято называть функциональными ограничениями, а условия неотрицательности переменных (1.3) прямыми ограничениями. Если эту задачу назвать исходной (прямой), то ей можно поставить в соответствие двойственную задачу. Построение двойственной ЗЛП основано на следующих пяти правилах:

1) если в исходной задаче надо найти максимум целевой функции, то в двойственной минимум, и наоборот;

2) коэффициентами целевой функции двойственной задачи служат правые части системы ограничений исходной задачи в стандартной форме;

3) матрицы коэффициентов левых частей систем функциональных ограничений исходной и двойственной задач являются транспонированными по отношению друг к другу;

4) если функциональные ограничения исходной задачи в стандартной форме имеют вид неравенств типа , то аналогичные ограничения двойственной задачи являются неравенствами типа , и наоборот;

5) правыми частями системы функциональных ограничений двойственной задачи служат коэффициенты целевой функции исходной ЗЛП.

Таким образом, задача, двойственная по отношению к задаче (1.1) (1.3), в стандартной форме имеет вид:

(1.4)

(1.5)

(1.6)

Если рассматривать исходную ЗЛП (1.1) (1.3) как задачу оптимального использования ресурсов предприятия, то можно дать следующую экономическую интерпретацию двойственной задачи. Пусть некоторая фирма обратилась к предприятию с предложением продать ее имеющиеся ресурсы, и встает проблема установления объективно обусловленных цен этих ресурсов. Если эти цены обозначить y_i , то целевая функция (1.4) будет выражать интересы фирмы, покупающей ресурсы (наименьшая стоимость ресурсов), а функциональные ограничения (1.5) интересы предприятия (стоимость ресурсов не менее стоимости продукции, которую можно из этих ресурсов выпустить). В связи с этой интерпретацией переменные двойственной задачи называются объективно обусловленными оценками или двойственными оценками (за рубежом принят термин «теневая цена»).

Слова «и наоборот» в первом и четвертом правилах построения двойственной задачи свидетельствует о том, что если в качестве исходной ЗЛП взять задачу (1.4) (1.6), то построенная по тем же правилам двойственная задача будет иметь вид задачи (1.1) (1.3). Таким образом, рассматриваемые задачи образуют пару взаимодвойственных задач. Следует оговориться, что здесь рассматриваются только так называемые симметричные взаимодвойственные задачи (ограничения обеих задач имеют вид неравенств).

Задание № 2

Финансовый консультант фирмы «ABC» консультирует клиента по оптимальному инвестиционному портфелю. Клиент хочет вложить средства (не более 25 000 долл.) в два наименования акций крупных предприятий в составе холдинга «Дикси».

Анализируются акции «ДиксиЕ» и «ДиксиВ». Цены на акции: «ДиксиЕ» 5долл. за акцию; «ДиксиВ» - 3 долл. за акцию.

Клиент уточнил, что он хочет приобрести максимум 6000 акций обоих наименований, при этом акций одного из наименований должно быть не более 5000 штук.

По оценкам «ABC», прибыль от инвестиций в эти акции в следующем году составит: «ДиксиЕ» 1,1 долл.; «ДиксиВ» 0,9 долл.

Задача консультанта состоит в том, чтобы выдать клиенту рекомендации по оптимизации прибыли от инвестиций.

Построить экономико-математическую модель задачи, дать необходимые комментарии к ее элементам и получить решение графическим методом. Что произойдет, если решать задачу на минимум, и почему?

РЕШЕНИЕ:

Пусть х₁ шт. - количество акций «ДиксиЕ»; х₂ шт. - количество акций «ДиксиВ», тогда количество приобретаемых акций:

х₁ + х₂ <= 6000;

причем х₁ <= 5000; x₂ <= 5000;

вложенные средства должны составить:

5х₁ + 3х₂ <= 25 000 долл.;

а максимальная прибыль выразится функцией:

F = 1,1x₁ + 0,9x₂ max

Получили задачу оптимизации:

найти максимальное значение линейной функции

F = 1,1x₁ + 0,9x₂ при ограничениях:

х₁ +х₂ <= 6000

5х₁ + 3х₂ <= 25000

0 ? х₁ ? 5000; 0 ? х₂ ? 5000

Построим многоугольник решений. Для этого в системе координат х₁Ох₂ на плоскости изобразим граничные прямые

х₁ + х₂ = 6000 (L₁);

5х₁ + 3x₂ = 25000 (L₂);

110х₁+90х₂ = 0 (F);

x₁ = 5000 (L₄); х₂ = 5000 (L₃)

Установим, какую полуплоскость определяет каждое неравенство относительно граничной прямой.

	x1	x2
L1	0	6000
	6000	0
L2	0	8333
	5000	0
L3	0	5000
	5000	5000
L4	5000	0
	5000	5000
F	0	0
	900	-1100
	0	0
	5500	4500

В результате имеем пятиугольник АВСDO.

Построим вектор N = (5500; 4500) и прямую 1,1х₁ + 0,9х₂ = 0 (F). Перемещаем прямую F параллельно самой себе в направлении вектора N. Из рис. следует, что она выйдет из многогранника решений и станет опорной по отношению к нему в угловой точке С; в точке С линейная функция принимает максимальное значение.

Точка С лежит на пересечении прямых L₁ и L₂; для определения ее координат решим систему уравнений:

х₁ + х₂ = 6000

5х₁ + 3x₂ = 25000 . Имеем: х₁ = 3500; х₂ = 2500.

Подставляя найденные значения в линейную функцию, получаем:

F_max = 1,13500 + 0,92500 = 3850 + 2250 = 6100.

Для того, чтобы обеспечить максимум прибыли (6100 долл.), необходимо приобрести 3500 акций «ДиксиЕ» и 2500 акций «ДиксиВ».

Если решить эту задачу на минимум, то получим, что вообще ничего не надо приобретать, т.к. функция достигает своего минимального значения в точке (0; 0).

Задание № 3

В течение девяти последовательных недель фиксировался спрос Y(t) (млн. руб.) на кредитные ресурсы финансовой компании. Временной ряд Y(t) этого показателя приведен в таблице:

t	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Y(t)	12	15	16	19	17	20	24	25	28

Требуется:

1) проверить наличие аномальных наблюдений.

2) построить линейную модель Y(t) = , параметры которой оценить МНК (Y(t) - расчетные, смоделированные значения временного ряда);

3) оценить адекватность построенных моделей, используя свойства независимости остаточной компоненты, случайности и соответствия нормальному закону распределения (при использовании R/S-критерия взять табулированные границы 2,7 - 3,7);

4) оценить точность моделей на основе использования средней относительной ошибки аппроксимации;

5) по построенной модели осуществить прогноз спроса на следующие две недели (доверительный интервал прогноза считать при доверительной вероятности р = 70%);

6) фактические значения показателя, результаты моделирования и прогнозирования представить графически.

Вычисления провести с одним знаком в дробной части. Основные промежуточные результаты вычислений представить в таблицах (при использовании компьютера представить соответствующие листинги с комментариями).

РЕШЕНИЕ:

1) Для выявления аномальных уровней временного ряда используем метод Ирвина, который предполагает использование следующей формулы:

, где

_у среднеквадратическое отклонение рассчитывается с использованием формул:

Таблица 1

	t	Y	|yt-yt-1|	yt-yср	(yt-yср)2	л	лтабл
	1	12		-7,6	57,1
	2	15	3	-4,6	20,8	1,7	>1,5
	3	16	1	-3,6	12,6	0,6	1,5
	4	19	3	-0,6	0,3	1,7	>1,5
	5	17	2	-2,6	6,5	1,1	1,5
	6	20	3	0,4	0,2	1,7	>1,5
	7	24	4	4,4	19,8	2,3	>1,5
	8	25	1	5,4	29,6	0,6	1,5
	9	28	3	8,4	71,3	1,7	>1,5
Сумма	45	176			218,2
Ср.знач	5	19,6			24,2
					3,0
				?	1,7

Вывод: видим, что значения у₂, у₄, у₆, у₇ и у₈ являются аномальными, т.к. все, кроме них, вычисленные значения л меньше критического значения критерия Ирвина: n=10, для уровня значимости 0,05, т.е. с 5%-ной ошибкой, л_табл=1,5.

2) Результаты регрессионного анализа для временного ряда представим в таблицах 2 и 3.

Таблица 2

	Коэффициенты	Стандартная ошибка	t-статистика
Y-пересечение	10,30556	0,985152	10,46088
t	1,85	0,175066	10,56744

Таблица 3

Наблюдение	Предсказанное Y	Остатки
1	12,15556	-0,15556
2	14,00556	0,994444
3	15,85556	0,144444
4	17,70556	1,294444
5	19,55556	-2,55556
6	21,40556	-1,40556
7	23,25556	0,744444
8	25,10556	-0,10556
9	26,95556	1,044444
Сумма	176,0	0,0

Во втором столбце табл. 2 содержатся коэффициенты уравнения регрессии и , в третьем столбце - стандартные ошибки коэффициентов уравнения регрессии, а в четвертом - t-статистика, используемая для проверки значимости коэффициентов уравнения регрессии.

Уравнение регрессии зависимости у_t (спроса на кредитные ресурсы финансовой компании) от времени t имеет вид:

Y(t) = 10,3 + 1,9t.

При вычислении «вручную» получаем те же результаты.

Промежуточные расчеты параметров линейной модели приведем в таблице 4.

Таблица 4

	t	y	t-tср	(t-tср)2	y-yср	(t-tср)(y-yср)
	1	12	-4	16	-7,56	30,2
	2	15	-3	9	-4,56	13,7
	3	16	-2	4	-3,56	7,1
	4	19	-1	1	-0,56	0,6
	5	17	0	0	-2,56	0,0
	6	20	1	1	0,44	0,4
	7	24	2	4	4,44	8,9
	8	25	3	9	5,44	16,3
	9	28	4	16	8,44	33,8
Сумма	45	176	0	60	0,0	111
Ср.знач	5	19,6				1,9

;

19,6- 1,95 = 10,3.

3) Расчетное значение в момент времени получается по формуле:

где k - количество шагов прогнозирования (обычно k = 1).

Это значение сравнивается с фактическим уровнем, и полученная ошибка прогноза:

Е(t) = Y(t) - Y_p(t) используется для корректировки модели.

Корректировка параметров осуществляется по формулам:

где в коэффициент дисконтирования данных, отражающих большую степень доверия к более поздним данным.

Процесс модификации модели (t = 1, 2,…,N) в зависимости от текущих прогнозных качеств обеспечивает ее адаптацию к новым закономерностям развития.

Для прогнозирования используется модель, полученная на последнем шаге (при t=N).

Начальные оценки параметров получим по первым пяти точкам при помощи МНК:

Таблица 5

t	Y(t)	t-tср	(t-tср)2	Y(t)-Yср	(t-tср)(Y(t)-Yср)
1	12	-2	4	-3,8	7,6
2	15	-1	1	-0,8	0,8
3	16	0	0	0,2	0
4	19	1	1	3,2	3,2
5	17	2	4	1,2	2,4
Сумма = 15	79	0	10	0,0	14
Ср.знач = 3	15,8

Используя эти результаты, получим:

14 : 10 = 1,4;

15,8 - 1,43 = 11,6.

Возьмем k = 1 и б = 0,4, в = 1 - б = 0,6.

Подробно покажем расчет на первых двух шагах, а остальные отразим в таблице 6.

t = 1 11,6 + 1,41 = 13,0;

Е(1) = Y(1) - Y_p(1) = 12 - 13 = 1;

13,0 10,64 = 12,4;

1,4 - 10,16 = 1,2.

t = 2 12,4 + 1,21 = 13,6;

Е(2) = Y(2) - Y_p(2) = 15 - 13,6 = 1,4;

13,6 +1,40,64 = 14,5;

1,2 +1,40,16 = 1,4 и т. д.

Таблица 6

=0,4
t	Факт Y(t)	a0(t)	a1(t)	Расчет Yp(t)	E(t)	E2(t)
0		11,6	1,4
1	12	12,4	1,2	13,0	-1,0	1,0
2	15	14,5	1,5	13,6	1,4	2,0
3	16	16,0	1,5	16,0	0,0	0,0
4	19	18,4	1,7	17,5	1,5	2,4
5	17	18,1	1,2	20,2	-3,2	10,0
6	20	19,8	1,3	19,3	0,7	0,4
7	24	22,9	1,8	21,1	2,9	8,5
8	25	24,9	1,8	24,7	0,3	0,1
9	28	27,5	2,0	26,7	1,3	1,6
Сумма	176			172,1	3,9	25,97
=0,7
t	Факт Y(t)	a0(t)	a1(t)	Расчет Yp(t)	E(t)	E2(t)
0		11,6	1,4			0
1	12	12,1	1,3	13,0	-1,0	1,0
2	15	14,9	1,5	13,4	1,6	2,6
3	16	16,0	1,4	16,3	-0,3	0,1
4	19	18,9	1,6	17,5	1,5	2,4
5	17	17,3	1,3	20,4	-3,4	11,7
6	20	19,9	1,4	18,6	1,4	2,1
7	24	23,8	1,6	21,3	2,7	7,5
8	25	25,0	1,6	25,4	-0,4	0,1
9	28	27,9	1,7	26,6	1,4	1,9
Сумма	176			172,4		29,39

Так как ?Е²(t) (б = 0,4) < ?E²(t) (б = 0,7), на последнем шаге получена модель:

Y_p(N+k) = 27,5 +2,0k.

Далее исследуем адекватность модели. Модель является адекватной, если математическое ожидание значений остаточного ряда близко или равно нулю и если значения остаточного ряда случайны, независимы и подчинены нормальному закону распределения.

Проверка равенства нулю математического ожидания уровней ряда остатков.

Проверка равенства математического ожидания уровней ряда остатков нулю выполним с использованием t-критерия Стьюдента:

,

где ;

t < t_табл.(1,05), поэтому гипотеза о равенстве математического ожидания значений остаточного ряда нулю выполняется.

При проверке независимости (отсутствие автокорреляции) определяется отсутствие в ряду остатков систематической составляющей, с помощью d-критерия Дарбина--Уотсона по формуле. Численное значение коэффициента равно

d`= 4 - 2,3=1,7.

Попадает в интервал от d₂ до 2 (для линейной модели при 10 наблюдениях можно взять в качестве критических табличных уровней величины d₁ = 1,08, d₂ = 1,36), значит, гипотеза о независимости уровней остаточной последовательности, т.е. об отсутствии в ней автокорреляции, принимается и модель адекватна по данному признаку.

Таблица 7

Остатки	еt-еt-1	(еt-еt-1)2	е2	Eотн
-1,0			1,0	8,3
1,4	2,4	5,8	2,0	9,3
0,0	-1,4	1,8	0,0	0,2
1,5	1,5	2,3	2,4	8,1
-3,2	-4,7	22,1	10,0	18,6
0,7	3,8	14,5	0,4	3,3
2,9	2,3	5,1	8,5	12,2
0,3	-2,7	7,0	0,1	1,1
1,3	1,0	1,0	1,6	4,5
3,9	2,3	59,7	26,0	65,7
				7,3

Проверка случайности уровней ряда остатков по критерию пиков дает положительный результат: р = 6; 6>2 - неравенство выполняется, следовательно, свойство случайности выполняется.

Соответствие ряда остатков нормальному закону распределения определим при помощи RS-критерия: RS= [е_max - е_min]:S_е = [2,9+3,2]: 1,8 = 3,4 (для N=10 и 5%-го уровня значимости границы критерия (2,7 - 3,7)), 3,4 попадает в указанный интервал, следовательно, свойство нормальности распределения выполняется.

.

Вывод: модель статистически адекватна (выполняются все условия из четырех).

Средняя относительная ошибка: %, т.к. 7,3% < 15%, то точность модели считается приемлемой.

4) Для этого следует преобразовать график подбора, который был получен с помощью инструмента Регрессия:

Результаты моделирования и прогнозирования.

5) Построим точечный и интервальный прогнозы спроса на следующие две недели (для вероятности 70% использовать t = 1,12):

Y_p(10) = 27,5 +2,0k = 27,5 + 21 = 29,5;

Y_p(11) = 27,5 +2,0k = 31,5.

Для построения интервального прогноза рассчитаем доверительный интервал. Примем значение уровня значимости б = 0,3 следовательно, доверительная вероятность равна 70%, а критерий Стьюдента при v = п -- 2 = 7 равен 1,12. Ширину доверительного интервала вычислим по формуле:

, где ;

m=1 - количество факторов в модели (для линейной модели m=1).

;

.

Таблица 8

Время t	Шаг k	Прогноз	Верхняя граница	Нижняя граница
10	1	29,5	32,2	26,8
11	2	31,5	34,4	28,6

Т.к. построенная модель адекватна, то можно утверждать, что при сохранении сложившихся закономерностей развития, прогнозируемая величина попадает в интервал, образованный нижней и верхней границами.

6)

Задание № 4

Фирма может производить изделие или покупать его. Если фирма сама выпускает изделия, то каждый запуск его в производство обходиться в 20 тыс. руб. Интенсивность производства составляет 100 шт. в день. Если изделие закупается, то затраты на осуществление заказа равны 1500 руб. Затраты на содержание изделия в запасе независимо от того, закупается оно или производится, равны 20 руб. в день. Потребление изделия фирмой оценивается в 30 тыс. шт. в год.

Предполагая, что фирма работает без дефицита, определите, что выгоднее: закупать или производить изделия (в месяце 22 рабочих дня). Построите график общих годовых затрат по наиболее выгодному способу.

Дано:

Количество рабочих дней в месяце 22 раб. дн.;

M = 30 000 шт./год;

h = 0,02 тыс.руб22 раб. дн.12 мес. = 5,28 тыс.руб./ ед. в год;

K₁ = 20 тыс. руб;

K₂ = 1,5 тыс. руб.

Определить:

Сравнить Z₁(Q) по первому и второму способам, построить график Z₁(Q) наиболее выгодного способа.

РЕШЕНИЕ:

1) Первый способ производства изделия.

1. Экономичный размер производимой партии:

2. Совокупные издержки на производство и хранение:

2) Второй способ покупка изделия.

1. Количество изделий в одном заказе:

2. Совокупные издержки на заказ и хранение:

Вывод: второй способ выгоднее, чем первый.

Строим график общих годовых затрат Z₁(Q) по второму способу с помощью таблицы:

Q	KM/Q	hQ/2	Z1(Q)
30	1500,00	79,20	1579,20
60	750,00	158,40	908,40
100	450,00	264,00	714,00
131	343,51	345,84	691,99
160	281,25	422,40	703,65
200	225,00	528,00	753,00
230	196,65	607,20	802,85

График общих годовых затрат

Размещено на www.allbest.ru