Применение методов математической статистики при решении производственных задач

Вариант 4

Задача 1

Имеются следующие данные по 20 строительным организациям за отчетный год:

№ организации	Сметная стоимость выполненных работ, млрд.руб.	Среднесписочная численность рабочих, чел.	Стоимость основных фондов, млрд.руб.
1	1,3	200	5,1
2	3,4	480	6,3
3	2,5	370	7,1
4	1,0	235	5,6
5	1,8	254	5,3
6	3,3	450	6,8
7	2,7	340	6,6
8	3,6	472	7,7
9	2,6	375	7,0
10	1,4	244	5,9
11	1,6	252	5,6
12	1,9	257	5,5
13	2,4	345	6,0
14	2,9	350	6,4
15	1,7	259	6,2
16	2,0	254	7,1
17	2,1	273	7,2
18	2,2	280	7,0
19	3,0	421	6,7
20	4,0	430	8,1

Произвести группировку строительных организаций по сметной стоимости работ, образовав 5 групп с равным интервалом (по принципу «исключительно»).

Рассчитать по каждой группе организаций:

- число организаций;

- численность рабочих (всего и в среднем по организации);

- сметную стоимость выполненных работ (всего и в среднем на 1 работника);

- стоимость основных фондов (всего и в среднем на 1 организацию);

Расчеты представить в таблице. На основе проведенной группировки по группировочному признаку определить значение моды и медианы. Проанализировать показатели и сделать краткие выводы.

Табл. 2. Группировка предприятий по сметной стоимости выполненных работ

Сметная стоимость выполненных работ, млрд.руб.	Число предприятий	Сметная стоимость выполненных работ,млрд.руб	Среднесписочная численность рабочих, чел.	Стоимость основных фондов, млрд.руб
		Предприятием группы	Всего	В среднем на 1 работника	на предприятии	Всего	В среднем	На предприятии	Всего	В среднем
1) (1,0 - 1,6)	3	1,3	3,7	0,00544919	200	679	226,3	5,1	16,6	5,533
		1,0			235			5,6
		1,4			244			5,9
2) (1,6 - 2,2)	6	1,8	11,1	0,007165913	254	1549	258,2	5,3	36,9	6,150
		1,6			252			5,6
		1,9			257			5,5
		1,7			259			6,2
		2,0			254			7,1
		2,1			273			7,2
3) (2,2 - 2,8)	5	2,5	12,4	0,007251462	370	1710	342,0	7,1	33,7	6,740
		2,7			340			6,6
		2,6			375			7,0
		2,4			345			6,0
		2,2			280			7,0
4) (2,8 - 3,4)	2	2,9	5,9	0,007652399	350	771	385,5	6,4	13,1	6,550
		3,0			421			6,7
5) (3,4 и более	4	3,4	14,3	0,007805677	480	1832	458,0	6,3	28,9	7,225
		3,3			450			6,8
		3,6			472			7,7
		4,0			430			8,1
Итого	20	47,4	47,4	0,007246598	6541	6541	327,1	129	129,2	6,460

Табл. 3 Исходные данные для расчета моды и медианы

Сметная стоимость выполненных работ, млрд.руб.	Число предприятий	Накопленная частота
4) (2,8 - 3,4)	3	3
2) (1,6 - 2,2)	6	9
3) (2,2 - 2,8)	5	14
4) (2,8 - 3,4)	2	16
5) (3,4 и более	4	20
Итого	20

, (ф5.2 [1])

Где - нижняя граница медианного интервала

- величина интервала

- накопленная частота интервала, предшествующего медианному

- частота медианного интервала

млрд.руб.

, ([1] стр. 120)

- начало модального интервала

- частота, соответствующая модальному интервалу

- предмодальная частота

послемодальная частота

млрд. руб.

По данным таблицы 2 очевидно, что с увеличением стоимости основных фондов предприятий увеличивается численность занятых и самое главное - увеличивается сметная стоимость выполненных работ в среднем на одного работника, а это свидетельствует об эффективности использования трудовых ресурсов, росте производительности труда.

Задача 2

Имеются данные о дневной выработке продукции рабочими 1 и 2 цехов:

Бригада	Цех № 1	Цех № 2
	Дневная выработка. шт.	Число рабочих, чел.	Дневная выработка, шт	Объем выпуска, шт.
1	51	8	69	418
2	61	11	37	432
3	66	16	51	140
Итого		35		990

Вычислить среднюю дневную выработку продукции рабочих по 1 и 2 цехам отдельно. Указать, какой вид средней надо применять для вычисления этих показателей.

Решение

1) Определяем среднюю дневную выработку рабочего в цехе № 1

2) Применим формулу средней арифметической взвешенной величины, т.к. известны индивидуальные значения признака и частоты значений признака, причем частоты различны

2) в цехе № 2

Известны индивидуальные значения признака и произведения индивидуальных значений признака на частоту, но частота не известна. Следовательно применим формулу средней гармонической взвешенной величины

Задача 3

Для определения срока службы станков было проведено 20%-ное выборочное обследование по методу случайного бесповоротного отбора, в результате получены следующие данные:

Срок службы станков, лет	До 3-х	3-5	5-7	7-9	9-11	11 и более	Итого
	2	4	6	8	10	12
Число станков, шт.	44	48	61	50	46	37	286

На основе этих данных определить:

- средний срок службы станка в выборочной совокупности;

- дисперсию;

- коэффициент вариации;

- с вероятностью 0,997 (t=3) предельную ошибку выборки и возможные пределы среднего срока службы станков в генеральной совокупности;

- с вероятностью 0,954 (t=2) предельную ошибку выборочной доли и границы удельного веса станков со сроком службы выше 11 лет.

Решение

1) Определим средний срок службы станка в выборочной совокупности

2) Определим дисперсию

3) Определим коэффициент вариации

4) Определим с вероятностью 0,997 (t=3) предельную ошибку выборки и возможные пределы среднего срока службы станков в генеральной совокупности.

В качестве точной оценки генеральной средней положим выборочную среднюю, которая является состоятельной, несмещенной, эффективной оценкой генеральной средней.

года

Несмещенной точечной оценкой генерального среднего квадратичного отклонения является величина

Применяя формулу предельной ошибки выборочной средней, находим

Т.о. получаем доверительный интервал

5) Определяем с вероятностью 0,954 (t=2) предельную ошибку выборочной доли и границы удельного веса станков со сроком службы выше 11 лет.

Рассчитаем выборочную долю



Она и будет

Применяя формулу предельной ошибки выборочной доли

Т.о. получаем доверительный интервал

Задача 4

Для анализа производства продукции «А» определить по данным таблицы:

Год	Произведено продукции вида А, тыс.шт.	Абсолютный прирост, тыс. шт.	Темп роста, %	Темп прироста, %	Абсолютное значение 1% прироста, тыс.шт.
		цепной	базисный	цепной	базисный	цепной	базисный	цепной	базисный
1	42,3
2	42,4	+0,1	+0,1	100,2	100,2	+0,2	+0,2	0,423	0,423
3	41,9	-0,5	-0,4	98,8	99,1	-0,2	-0,9	0,424	0,423
4	41,7	-0,2	-0,6	99,5	98,6	-4,5	-1,4	0,419	0,423
5	42,1	+0,4	-0,2	101,0	99,5	+1,0	-0,5	0,417	0,423
6	42,4	+0,3	+0,1	100,7	100,2	+0,7	+0,2	0,421	0,423
7	42,5	+0,1	+0,2	100,2	100,5	+0,2	+0,5	0,424	0,423

- - аналитические показатели ряда динамики: абсолютные приросты, темпы роста, темпы прироста по годам и к первому условному году, абсолютное значение одного процента прироста. Полученные показатели представить в виде таблицы;

- среднегодовое производство продукции «А». Произвести сглаживание уровней по трехлетнему скользящему периоду. Построить график динамики производства продукции на основе фактических и сглаженных уровней;

- среднегодовые абсолютный прирост, темпы роста и прироста производства продукции.

Сделать выводы.

Решение

1) Определим абсолютные приросты

1.1 Цепные

Второй год

Третий год

Четвертый год

Пятый год

Шестой год

Седьмой год

1.2 Базисные

Второй год

Третий год

Четвертый год

Пятый год

Шестой год

Седьмой год

2) Определим темпы роста

2.1 Цепные

Второй год

Третий год

Четвертый год

Пятый год

Шестой год

Седьмой год

2.2 Базисные

Второй год

Третий год

Четвертый год

Пятый год

Шестой год

Седьмой год

3) Определяем темпы прироста



3.1 Цепные

Второй год

Третий год

Четвертый год

Пятый год

Шестой год

Седьмой год

3.2 Базисные

Второй год

Третий год

Четвертый год

Пятый год

Шестой год

Седьмой год

4) Определим абсолютное значение 1% прироста

4.1 Цепное

Второй год

Третий год

Четвертый год

Пятый год

Шестой год

Седьмой год

4.2 Базисные

5) Определим средние показатели ряда динамики

5.1 Средний абсолютный прирост

5.2 Средний темп роста

5.3 Средний темп прироста

5.4 Средний уровень ряда

6) Произведем сглаживание уровней по 3-х летнему скользящему периоду

Года	Произведено изделий вида А, тыс.шт	Скользяцие 3-х звенные суммы, тыс.шт.	Скользящие средние тыс.шт.
1	42,3
2	42,4	126,6	42,2
3	41,9	126,0	42,0
4	41,7	125,7	41,9
5	42,1	126,2	42,1
6	42,4	127,0	42,3
7	42,5

Рисунок 1. Сглаженный ряд динамики объема выпуска продукции

С первого во второй годы динамику выпуска продукции вида «А» оцениваем как положительную. С конца второго до 4-го года включительно наблюдается резкий спад выпуска продукции. Очевидно, что изучив все причины падения выпуска продукции вида А были приняты меры по увеличению ее производства и с конца 4-го года наблюдается постоянное увеличение выпуска продукции А и данную динамику расцениваем как положительную.

Задача 5

Определить среднюю численность работников предприятия за первое и второе полугодие и за год в целом по следующим данным, чел:

Дата	на 01.01.97	на 01.03.97.	на 01.07.97	на 01.09.97	на 01.01.98
Численность работников, чел	851	841	901	891	831

Пояснить, почему методы расчета средних уровней ряда динамики в заданиях 4 и 5 различные.

1) Определим среднюю численность за 1-е полугодие.

Применим формулу средней хронологической величины, т.к. данный ряд является моментным

1.1. Первое полугодие

1.2. Второе полугодие

1.3. За год в целом

или

Задача 6

Имеются данные о добыче угля и его себестоимости по двум шахтам угольного бассейна:

Шахта	Добыча угля, млн.т.	Себестоимость добычи 1 т, млн. руб.	Себестоимость всей добычи, млн. руб.
	базисный период	отчетный период	базисный период	отчетный период	базисный период	отчетный период
А	117,2	157,7	9,31	9,11	1091132000	1436647000
Б	162,1	129,4	12,41	12,61	2011661000	1631734000
Итого	279,3	287,1			3102793000	3068381000

Рассчитать индексы:

1. себестоимости фиксированного и переменного состава;

2. влияния структурных сдвигов на динамику средней себестоимости.

Определить абсолютное значение себестоимости добычи 1т угля и разложить по факторам (за счет непосредственного изменения уровней себестоимости и структуры добычи угля). Показать взаимосвязь между исчисленными индексами.

Сделать выводы.

1. Определим индексы себестоимости

1.1 переменного состава

1.2 фиксированного состава

1.3 влияния структурных сдвигов

1.4 проверим взаимосвязь

2. Определим абсолютное изменение себестоимости 1 т угля

в том числе за счет изменения

2.1 непосредственно уровней себестоимости 1 тонны угля на шахтах

2.2 структуры добычи угля

проверка

За счет изменения структуры добычи угля себестоимость 1 тонны угля в отчетном периоде по сравнению с базисным периодом снизилась на 0,0252 млн. руб.

За счет изменения структуры добычи угля себестоимость 1 тонны угля в отчетном периоде по сравнению с базисным периодом снизилась на 0,3965 млн. руб.

Задача 7

Наименование товара	Выручка от реализации, млн. руб.
	III квартал	IV квартал
В	419,6	526,1
С	306,4	281,8
Итого	726,0	807,6

В IV квартале по сравнению с III кварталом цены на продукцию «В» снизились на 12,9%, на продукцию «С» повысились на 8,1%.

Вычислить общие индексы товарооборота, цен, физического объема товарооборота.

Определить абсолютное изменение товарооборота в IV квартале по сравнению с III кварталом и разложить его по факторам (за счет изменения цен и объема продажи товаров).

Показать взаимосвязь между индексами.

Сделать выводы

Решение

1. Определим общие индексы товарооборота:

2. Определим общие индексы цен:

для изделия «В»

для изделия «С»

Проверим взаимосвязь индексов

3. Определим абсолютное изменение товарооборота в IV квартале по сравнению с III кварталом

3.1. в том числе за счет изменения цен

3.2. объема продажи товаров

проверка млн. руб.

За счет снижения цен в среднем на 6,6% ((1-0,934)100%=6,6%) товарооборот в IV квартале по сравнению с III кварталом уменьшился бы на 57,1 млн. руб.

За счет увеличения объема продажи товаров в среднем на 19,1% ((1,191-1)100%=19,1%) товарооборот в IV квартале по сравнению с III кварталом увеличился бы на 138,7 млн. руб.