Рынок ценных бумаг

 (конечная сумма денег) - (начальная сумма денег)

Доходность r= (2.1)

начальная сумма денег

В приведенном примере в первом случае доходность r=(165-150)/150=0,1. Очень часто доходность исчисляют в процентных величинах, чтобы это сделать необходимо полученную по формуле (2.1.) величину r умножить на 100%. Следовательно, доходность первой ценной бумаги r=0,1?100%=10%. Для второй ценной бумаги r=(196-180)/180=0,89 или 8,9%. Отсюда видно, что первая ценная бумага предпочтительней.

При вычислении доходности надо, иметь в виду, что отдельные ценные бумаги обеспечивают увеличение денежных средств за холдинговый период не только за счет повышения их стоимости, но и путем периодической выплаты денежных сумм (например, дивиденда по акции, процентных выплат по облигации). Если за холдинговый период ценная бумага может обеспечивать дополнительный доход в сумме D рублей, то в общем случае доходность ценой бумаги за холдинговый период подсчитывается по формуле:

(2.2.)

где Рк - цена продажи (в конце холдингового периода);

Рн - цена покупки (в начале холдингового периода);

D - денежные суммы по ценной бумаге за холдинговый период;

Например, инвестор купил акцию за 20 рублей, и по прошествии холдингового периода ее цена возросла до 21 рублей, а годовой дивиденд составил 1 рубль. Тогда доходность этой акции;

r = (21-20+1)/20=0,1 или 10%.

Из формулы (2.2) следует, что при уменьшении величины Рн доходность ценной бумаги r за холдинговый период будет возрастать. Поскольку значения Рн обычно отражают текущие рыночные величины цен финансовых средств, а Рк - прогнозируемые значения цен в конце холдингового периода, то это позволяет сделать важный вывод: падение котировок ценных бумаг приводит к росту их доходности.

Если инвестор вложил в ценную бумагу с доходностью r начальную сумму Sн, то по прошествии холдингового периода он получит от этой денной бумаги конечную сумму Sк:

Sk =Sн?(1+r) (2.3.)

При этом необходимо учитывать, что при использовании формулы
(2.3) величины доходности r должны быть выражены в виде десятичной дроби.

В общем случае на доходность ценной бумаги оказывают воздействие
три фактора:

- временной;

- фактор инфляции;

- фактор риска;

Воздействие временного фактора свидетельствует о том, что когда инвестор приобретает долговую ценную бумагу, предоставляя деньги в долг заемщику, то он отказывается от возможности потратить свои средства на потребление в текущий момент ради получения более высокого дохода в будущем. С другой стороны, заемщик (чье текущее потребление превосходит его текущий доход и который прибегает к заимствованию денег) должен в будущем вернуть сумму денег, превосходящую занятую (иначе он не сможет побудить инвестора пойти на определенную жертву и отложить потребление на более поздний срок). Иными словами, заемщик обязан компенсировать инвестору задержку в текущем потреблении вне зависимости от воздействия инфляции и риска, то есть оплатить воздействие только фактора времени.

Влияние временного фактора позволяет оценить безрисковая реальная ставка процента R_{f, реальн} (реальными называются величины, свободные от инфляционной составляющей и измеренные в базовых величинах). В противоположность реальным, номинальные величины содержат внутри себя инфляционную составляющую. Следует учитывать, что наблюдаемые на рынке текущие значения процентных ставок и цен всегда являются номинальными. Тот факт, что R_{f, реальн} является безрисковой означает отсутствие у инвестора какой-либо неопределенности по поводу соотношения текущего и будущего потребления, то есть инвестор точно знает, какое вознаграждение в виде процента должен заплатить ему заемщик. Зачастую эту ставку процента, называют чистой ставкой процента. Считается, что она отражает временную стоимость денег.

Два фактора влияют на величину R_{f, реальн} - субъективный и объективный. Субъективный фактор предполагает оценку самим инвестором стоимости откладывания его текущего потребления ради будущего дохода, что определяет требуемое инвестором вознаграждение , ставку компенсации за задержку в потреблении. Эта ставка различна для каждого инвестора, однако под воздействием спроса и предложения на рынке ссудного капитала устанавливается ее равновесная величина.

Объективный фактор - это инвестиционные возможности экономики страны в текущий момент. Они зависят от долговременного реального уровня развития экономики: изменения в темпах развития экономики воздействуют на все инвестиционные проекты и влекут перемены в требуемой доходности всех инвестиций. Реальный уровень развития экономики связан, с долговременными темпами прироста рабочей силы и ростом производительности труда. Существует положительная связь между инвестиционными возможностями экономики и безрисковой ставкой процента - повышение темпов роста экономики вызовет и увеличение R_{f, реальн}.

Итак, первая составляющая доходности - реальная безрисковая ставка процента компенсирует инвестору задержку в потреблении (временной фактор).

Оценка фактора инфляции. Приведенная выше безрисковая ставка определена при условии неизменности общего уровня цен (отсутствия инфляции) за холдинговый период, то есть является реальной ставкой. Между тем, если инвестор ожидает рост общего уровня цен, то требуемая им номинальная безрисковая ставка должна компенсировать и будущие потери из-за инфляции. Значит, вторая составляющая требуемой доходности учитывает фактор инфляции.

Представим, что суммарное воздействие субъективных оценок всех инвесторов и объективного фактора определило величину реальной безрисковой ставки R_{f, реальн},а планируемый уровень инфляции за холдинговый период 1%. Если начальная величина инвестиций Sн, то по прошествии холдингового периода инвестор потребует у заемщика сумму Sк, равную:

Sк= Sн?(1+ R_{f, реальн} )?(1+i)

что и определяет требуемую компенсацию инвестору с учетом инфляции, то есть:

Sк = Sн? (1+ R_{f, реальн} )? (1+i) = Sн?(1 + R_{f, номинаьнл.} )

Отсюда можно найти выражения как для реальной, так и номинальной безрисковой ставки:

R_{f, номинальн.}=(1+ R_{f, реальн} )?(1+i) - 1

Итак, вторая составляющая доходности компенсирует инвестору ожидаемый рост общего уровня цен (фактор инфляции).

Оценка фактор риска. Вкладывай деньги в ту или иную ценную бумагу, инвестор может лишь с определенной долей уверенности прогнозировать ее будущую отдачу. Инвестор понимает, что ожидаемая им отдача иной бумаги может существенно отличаться от фактической отдачи, которая будет наблюдаться по прошествии холдингового периода - он приобретал акции в надежде на быстрый рост их цены, а на самом деле цена акций понизилась. Отсутствие у инвестора 100%-ой гарантии получения актируемого дохода от инвестиций и составляет основу риска ценных бумаг. Значит, в общем случае отдача ценной бумаги является случайной величиной и для ее исследования необходимо использовать аппарат теории вероятности и математической статистики.

Если инвесторы считают, что риск инвестирования в ценную бумагу им компенсирует надбавка за риск R_риск, то тогда искомая номинальная рисковая (она же и текущая рыночная) величина доходности ценной бумаги R_{риск номинальн} будет равняться.

R_{риск номинальн} = R_{f, номинальн} + R_риск

Следует иметь в виду, что любая процентная ставка (а не только доходность конкретной ценной бумаги) содержит упомянутые три составляющие

Из всего многообразия ценных бумаг, акции являются наиболее распространенными. Отсюда понятен интерес и обычных .инвесторов, и профессиональных менеджеров, и ученых - экономистов к принципам оценки акций. Следует сразу отметить, что на этом пути встречаются значительные,
порой трудно преодолимые препятствия, поэтому зачастую теории оценки
акций строятся на существенных упрощениях.

Специфика акций состоит в том, что для них можно ввести несколько
категорий стоимостей: рыночную, экономическую, номинальную, балансовую, эмиссионную, ликвидационную. .

Рыночная стоимость определяется в каждый текущий момент действующей рыночной ценой акции. Если эту цену умножить на количество находящихся в обращении обыкновенных акций, то получится рыночная стоимость собственных средств (капитализация) корпорации. Например, если на 17.03.2002г. в обращении находилось 120 млн. акций компании "Салют" стоимостью 20 руб. каждая, то на этот день капитализация "Салюта" оставила 2,4 млрд. руб.. Это означает, что участники рынка в целом готовы заплатить сумму, не меньшую 2,4 млрд. руб. за те средства (реальные, материальные и финансовые), которыми располагает корпорация.

Оценить рыночную стоимость, собственных средств частной компании, либо закрытого акционерного общества, акции которого не имеют обращения на фондовых рынках, можно только в случае ликвидации этих фирм, так как в подобном случае станет известно, какую сумму участники рынка готовы заплатить за средства подобных компаний.

Экономическая стоимость акции представляет собой приведенную стоимость тех потоков денег, которые в данный момент инвестор ожидает получить от акции в будущем. Иными словами - это дисконтированная стоимость будущего потока дивидендов и цены- акции в момент ее продажи (акция обеспечивает только эти два вида денежных потоков). Следует учитывать, что инвестиционное решение инвестор должен принимать на основе оценки экономической и рыночной стоимостей акции: если рыночная цена акции выше ее экономической стоимости, то акция переоценена и в скором времени надо ожидать снижение ее цены. В таких условиях, инвестору целесообразно ликвидировать (продать) или коротко продать акцию, Если же рыночная цена акции ниже ее экономической стоимости, то она недооценена, поэтому надо покупать подобную акцию и занимать длинную позицию.

Номинальная стоимость Р_номин- это та официальная цена акции, которая устанавливается создателями акционерного общества в момент утверждения его устава; это доля уставного капитала, приходящаяся на одну акцию. Номинальная стоимость определяет минимальную стоимость акции, которая не может снижена путем выплаты дивидендов, это тот минимум, который могут получить владельцы акций в случае ликвидации акционерного общества. В этой связи номинальная стоимость акций устанавливается обычно очень низкой. Если умножить величину номинальной стоимости обыкновенной акции. Р_номин на количество находящихся в обращении акций данного эмитента (положим "Салюта") N, то получим величину уставном
капитала "Салюта" =N ? Р_номин .

Когда происходит первичное размещение дополнительных акций, то устанавливаемая цена размещения (эмиссионная стоимость) Р _размещ практически всегда превышает номинальную стоимость. Если было размещено дополнительно М акций "Салюта" по цене Р _размещ , то собственные средства "Салюта" возрастут на величину: М ? Р _размещ При этим сумма М ? Р_{номинал} добавится к уставному капиталу, а М ?( Р _размещ - Р _{номинал} ) войдет во вторую часть собственных средств "Салюта" - добавочный капитал.

Наконец, по результатам года "Салют" может иметь чистую прибыль. Часть этой прибыли выплачивается акционерам в виде дивиденда, а оставшаяся часть - нераспределенная прибыль - реинвестируется. Накопленные суммы нераспределенной прибыли учитываются нарастающим итогом. Общая сумма уставного капитала, добавочного капитала и нераспределенной прибыли составляет собственные средства акционерного общества и учитываются в разделе "капитал плюс резервы" пассива баланса.

Балансовая стоимость акции представляет собой величину, полученную делением суммы собственных средств фирмы на количество обыкновенных акций.

Поскольку суммы статьи "капитал и резервы" идут на закупку средств, указанных в левой половине баланса, то балансовую стоимость акций можно соотносить с балансовой стоимостью оборотных и основных средств, а также нематериальных активов с учетом амортизации. Для текущих средств (наличность, дебиторская задолженность) балансовая стоимость акции довольно близко совпадает с ее экономической стоимостью. Однако для реальных средств (станки, здания, оборудование), которые изнашиваются в процессе эксплуатации, балансовая стоимость обычно мало связана с экономической. В этой связи для большинства промышленных компаний балансовая стоимость акции ниже ее рыночной цены и не может служить хорошим ориентиром для построения теории оценки акций.

2.2 Модели оценки акций

С точки зрения постановки проблемы, задача, правильной, оценки акции проста - цена акции должна равняться ее экономической стоимости, которая, в свою очередь, определяется приведенной стоимостью всех денежных потоков, обеспечиваемых акцией. Акция предоставляет инвестору денежные доходы двух типов - дивиденды, выплачиваемые регулярно по результатам работы компании, и суммы денег, равные цене акции в момент ее продажи (ликвидации). Значит, чтобы найти рыночную цену акции в любой момент времени, необходимо дисконтировать поток дивидендов и ликвидационную сумму на интересующий нас момент времени. Существуют три теоретические модели оценки акций - дисконтирования потока дивидендов, дисконтирования потока доходов и дисконтирования потока денег. Если используемые в этих моделях переменные величины подобраны правильным способом, то все модели дадут один и тот же результат. Наиболее часто используется модель дисконтирования дивидендов.

Модель дисконтирования дивидендов. Представим, что в исходный момент времени t=0 цена акции составляла Рo руб.. По прошествии холдингового периода цена акции возросла до Р₁ руб. и владельцу акции выплачивается дивиденд в размере D₁ руб.. Тогда доходность к акции за холдинговый период:

(2.4.)

Эту формулу можно преобразовать и найти величину Ро:

(2.5.)

Доходность к, которая в формуле (2.5) служит ставкой дисконта для вычисления приведенной стоимости акции, называется рыночной ставкой капитализации. В условиях эффективного рынка ставка капитализации отражает издержки упущенной возможности размещения денег в акцию.

Строго говоря, формула дисконтирования позволяет утверждать, что приведенная стоимость акции РV (что и определяет цену акции в исходный момент времени) может быть представлена в виде:

(2.6.)

где: - D ₁,D₂, D₃, …, D_n - денежные потоки в момент 1,2,...,n;

- k ₁, k₂, k₃, …, k_n - рыночные ставки капитализации в момент 1,2,...,n

- n - количество лет, в течение которых инвестор предполагает владеть акцией.

Формула (2.6) предполагает, что инвестор должен задать прогнозируемые величины денежных потоков D_i и ставок дисконта ki на "n" лет перед, что делает задачу вычисления. Р₀ практически невыполнимой. По этому для построения приемлемой математической модели необходимо пойти на ряд существенных допущений и упрощений:

1).Будем считать, что к₁=к₂=...=к. Иными словами, в любой момент инвесторы всегда одинаково оценивают риск, связанный с данной акцией. Эго допущение не столь жесткое, поскольку аналогичное делается и при оценке, например, реальных средств.

2) Предполагается, что любая величина D _t =D_t-1?(1+g₁), где g₁ -ставка прироста ежегодных выплат в год t, D_t - сумма, выплачиваемая в год t, D_t-1 -сумма, выплачиваемая по акции годом раньше.

Наиболее простая модель оценки стоимости акции предложена американским экономистом Майроном Гордоном (Муrоn J, Gоrdon) в 1962 году. Для ее построения. Гордон пошел на другие у прощения:

во-первых, поскольку, срок действия акции теоретически не ограничен, то считаем, что поток денежных выплат представляет собой бесконечный поток дивидендов (ликвидационной суммы уже не будет, так как акция существует бесконечно долго). Иными словами, с учетом уже сделанных упрощений, формулу (2.6.) можно представить так:

-во-вторых, Гордон предложил считать все величины g_i равными друг другу, то есть дивиденды возрастают ежегодно в (1+g) раз, причем ветчина g не меняется до бесконечности. Иными словами, в модели Гордона:

D₂ = D₁?(1+g)

D₃ = D₂?(1+g) = D₁?(1+g)²

D₄ = D₃?(1+g) = D₂?(1+g)²= D₁?(1+g)³ и т.д.

С учетом этого допущения, формула (6.7) примет вид:

(2.8.)

Если же считать, что дивиденд D₁ = D₀?(1+g), где D₀ - дивиденд, выплачиваемый годом раньше, то формула (2.8) может быть записана так:

(2.9)

Выражение (2.9) представляет собой бесконечно убывающую геометрическую прогрессию. Сумма членов такой прогрессии:

(2.10)

Итак, согласно модели Гордона, приведенная стоимость акции Ро определяется делением величины ожидаемого по результатам текущего года дивиденда D₁ на разность между рыночной ставкой капитализации k и ожидаемой ставкой прироста дивиденда g.

Чтобы на практике применить модель Гордона, необходимо задать три величины: D₁, k, и g. Наиболее простым способом при этом является использование уже реализованных данных (например, по суммам дивидендов за предыдущие годы можно вычислить g, зная D₀, найти D₁ = D₀?(1+g), либо ссылка на прогнозы аналитических служб. Сложнее оценить величину k, так как для этого необходимо определить способ нахождения цены акции. Оценив величины D₁, k, и g , инвестор в состоянии по формуле (2.10) вычислить приведенную стоимость акции, то есть ее ожидаемую цену, сравнить ее с действующей рыночной ценой и сделать вывод о той, правильно ли оценена акция: если вычисленная по формуле (2.10) экономическая стоимость акции Ро ниже действующей рыночной цены акций, то акция переоценена. В подобной ситуации инвестору целесообразно продать такие акции, если он их имеет, или продать их коротко, "заняв" в брокерской конторе, так как в скором времени цена акции может понизиться. Когда же Ро выше действующей рыночной цены, то инвестору надо приобретать подобные акции и ожидать повышения их цены, после чего продать и получить ценовой выигрыш.

Модель Гордона дает возможность быстрой оценки текущей стоимости акций, однако прежде чем применять ее и на этой основе делать инвестиционное решение, необходимо иметь в виду следующие обстоятельства:

- поскольку модель предполагает дисконтирование поступающих дивидендов вплоть до бесконечности, то формула (2.10) очень чувствительна даже к небольшим изменениям исходных данных.

- к должно быть всегда выше g, поскольку в противном случае цена акции становится неопределенной. Это требование вполне логично, так как величина g (темпа прироста дивидендов) может в какой-то момент превысить требуемую доходность акции k, но этого не может произойти, если полагать бесконечным выбранный срок дисконтирования, ибо в этом случае постоянно дивиденды прирастали с более высокими темпами, чем доходность акции, что не может быть;

- фирма должна выплачивать дивиденды регулярно. Если этого не произойдет, модель Гордона неприменима. Более того, требование неизменности величины g означает, что фирма направляет на выплату дивидендов всегда одну и ту же долю своего дохода;

- требование неизменности величин к и g вплоть до бесконечности ограничивает структуру капитала фирмы: необходимо предполагать, что единственным источником финансирования фирмы являются ее собственные средства и отсутствуют иные внешние источники. Новый капитал поступает на фирму только за счет удерживаемой доли дохода, и чем выше доля дивидендов в доходе фирмы, тем ниже уровень обновления капитала.

Конечно, весь набор ограничений в модели Гордона нереален, но он необходим для создания математической модели.

Взаимосвязь факторов, воздействующих на стоимость акции. Обратимся к формуле (2. 10):

(2.10)

и выразим отсюда:

Первое слагаемое D ₁/Ро называют дивидендной доходностью и ее оценка не вызывает особой сложности. Труднее обстоит с величиной g. Для ее оценки можно применить следующий способ: пусть в течение года акция принесла прибыль на акцию E₁. Выплачиваемые дивиденды определяются долей выплат р: D₁=p?E₁. Например, если фирма выплачивает в виде дивиденда 40% полученных за год доходов на акцию, то р=0,4 и D₁=0,4?Е₁. Остальная часть идет на реинвестирование, то есть направляется фирмой на закупку нового или обновление старого оборудования. Эта часть определяется долей возврата b. Значит, р=(1-b) и D₁=(1-b)?Е₁ =0,4?Е₁. Если предполагать, что фирма использует только собственные средства, то доходность реинвестированных доходов равняется отношению прибыли на акцию Е₁ к балансовой стоимости акции; доходность называют доходностью капитала (return on equity -ROE):

Чистая прибыль на акцию Е₁

ROE =

Балансовая стоимость акции

Можно доказать, что величина g= b?ROE. Если подставить полученные выражения для D₁ и g в формулу (2.10), то получим:

Эта формула связывает между собой две доходности: k - ставку капитализации, определяющую издержки упущенной возможности приобретения акции, то есть доходность наилучшего альтернативного средства такого же уровня риска, и RОЕ - доходность капитала. Взаимодействие этих двух величин с учетом дивидендной политики фирмы (что определяется величиной b) воздействуют на текущую стоимость акции, и все акции условно можно разбить на три группы: акции "нормальных" компаний, акции "растущих фирм", акции "угасающих" фирм".

Нормальные фирмы характеризуются тем, что для них k=ROE. Значит, нормальная фирма и ее конкуренты выбрали возможности инвестировать собственные средства в проекты с NPV>0 и вынуждены вкладывать деньги в инвестиции с NPV=0. Поэтому RОЕ каждой фирмы уравниваются и приближаются к рыночной ставке капитализации k. Подставим выражение k=ROE в формулу (2.12) и получим:

Эта формула позволяет сделать два вывода: во-первых, ставка дисконта k может быть выражена через соотношение Ро/Е₁ только в том случае, если k=ROE (замечание важное, поскольку величина Р/Е является одной из важных качественных характеристик акций, приводящихся в таблицах котировки акций. Попытка использовать величину, обратную отношению Р/Е, в качестве ставки дисконта в формуле Гордона может дать результат, далекий от истины, если k=ROE). Во-вторых, если фирма "нормальная", то инвесторам абсолютно безразлична ее дивидендная политика - они получают одинаковую отдачу от акции вне зависимости от соотношения дивидендов и ценового выигрыша.

Для растущей фирмы RОЕ>k, то есть эта фирма имеет возможность инвестировать собственные средства в такие проекты, для которых NPV>0). Иными словами, подобные фирмы имеют возможность приобретать капитальные ресурсы с издержками k процентов и получать от их эксплуатации доходность RОЕ, превышающую k.

Наконец, для угасающей фирмы RОЕ<k - она не в состоянии реинвестировать деньги в проекты с NPV>0, Подобные фирмы переживают значительное сокращение производства и как правило получают отдачу за счет более высокой доли дивиденда.

Итак, в дополнение к ставке g прироста дивидендов, на стоимость акции оказывают воздействие, еще две величины - доля возврата b, показывающая долю прибыли фирмы, идущую на реинвестирование, и RОЕ - доходность этих реинвестированных сумм. Как установлено, темп прироста g дивидендов (а, следовательно, и прибыли фирмы) равен: g=b?ROE, то есть темпы роста прибыли компании связаны прямой зависимостью с величинами и b, и ROЕ. Обратимся к равенству (2.12):

(2.12)

Как видно, воздействие RОЕ на цену акции можно оценить однозначно, поскольку эта величина входит только в знаменатель: при прочих
равных условиях, то есть при неизменных величинах E₁, b и k, чем выше доходность собственных средств фирмы RОЕ, тем выше приведенная стоимость акции. Воздействие же b, поскольку данная величина входит и в числитель, и в знаменатель, нельзя выразить однозначно, ибо это будет зависеть и от соотношения значений k и RОЕ:

Модель Гордона утверждает, что если источником финансирования фирмы служат только ее собственные средства без привлечений средств со стороны, то дивидендная политика фирмы оказывает воздействие на ее цену только в случае "ненормальности" фирмы - в случае "растущей" фирмы стоимость акции повышается при увеличении доли b доходов, идущей на реинвестирование; когда фирма "угасает", то повышение цены акции возможно при расширений дивидендных сумм.

2.3.Принципы оценки стоимости облигаций.

Существуют два основных типа облигаций: одни продаются по номинальной стоимости и обеспечивают владельцу облигации получение регулярных купонных выплат плюс получение номинала в срок погашения облигации; такие облигации называются купонными. Другие продаются по дисконтной цене ниже номинала, и выплата по ним производится один раз в день погашения облигации, когда владелец облигации получает ее полную стоимость; облигации подобного типа относят к чисто дисконтным, или бескупонным. При оценке облигаций обоих типов основное значение имеет понятие приведенной стоимости, под которой, в общем случае понимают ту сумму денег, которую инвестор должен заплатить за финансовое или реальное средство, чтобы через определенные промежутки времени это средство приносило требуемые инвестором суммы денег.

Приведенная стоимость РV облигации высчитывается по формуле:

(2.13)

где РV - приведенная стоимость облигации, равная цене Ро облигации в момент ее покупки (при t=0);

C_i - периодические купонные выплаты по облигации;

Мn - номинальная стоимость облигации;

i - ставка дисконта;

n - количество периодов, по окончании которых производятся купонные выплаты.

Как следует из формулы (2.13), для определения РV (следовательно, и текущей цены Р₀) облигации, необходимо задать по меньшей мере следующие параметры:

а) величину купонных выплат C_i и номинала Мn;

б) периодичность получения купонных выплат (определяемую величиной t). Для облигаций может быть установлена любая периодичность через месяц, раз в полгода, раз в год и т.п.;

в) длительность холдингового периода облигации, зависящую от величины n

г) ставку процента i, по которой дисконтируются потоки денежных выплат. Эта ставка называется требуемой доходностью (в дальнейшем будет показано, что они определяет доходность к погашению облигации).

Приведенная стоимость РV бескупонных облигаций находится из формулы (2. 13), полагая величины купонных выплат С _i =0). Отсюда:

(2.14)

Необходимо отметить, что использование формул (2.3) и (2.14) предполагает ряд условий. Во-первых, считается, что инвестор владеет облигациями вплоть до срока их погашения. Однако очень часто облигации продаются значительно раньше дня погашения; такое решение инвестора может быть продиктовано стратегией инвестиционной деятельности (например, при снижении их доходности) или желанием срочного получения денег. Во-вторых, время покупки облигаций совпадает со сроком купонной выплаты. Но на практике облигации приобретаются в любой день года, а не только в установленные дни купонных выплат. В этой связи на практике необходимо использовать более сложные вычисления. В-третьих, формулу (2.13) следует применять в случае ежегодных купонных выплат; если же эти выплаты производятся m раз в год, то в формуле (2.13) необходимо произвести следующие изменений:

1) уменьшить в m раз величины купонных выплат, то есть каждая купонная выплата станет равной С_i/m;

2) также уменьшить в m раз ставку дисконта (требуемую доходность) i;

3) увеличить в m раз количество периодов, после которых осуществляются купонные выплаты

Значит, формулу для подсчета текущей стоимости облигации, имеющей срок погашения n лет и купонные выплаты по которым производятся m раз в год, можно представить в виде:

(2.15)

Рассмотрим пример вычисления цены облигации Ро (что эквивалентно определению ее приведенной стоимости). Пусть имеется облигация, со следующими характеристиками: номинальная стоимость Мn=1000 рублей; срок погашения n=20 лет; купонная выплата - 5%, то есть C₁=0,05?1000=50 рублей, производится раз в год; ставка дисконта i=7%.Подставив эти данные в формулу (2.13), получим:

Процедура нахождения стоимости облигации значительно упрощается для бескупонных облигаций. Например, предположив, что рассмотренная нами облигация является бескупонной, ее цена может быть найдена:

Приведем пример расчета цены облигации в случае многократных купонных выплат в течение года: положим m=2, то есть процент по облигации выплачивается раз в полгода. Для нашей облигации применительно к формуле (2.15) имеем: m?n=2?20=40; С_i/2=25 рублей; i/2=3,5%, значит:

Для облигаций существует строгая взаимосвязь между ценой облигации, купонной выплатой, ставкой дисконта и сроком погашения:

1) Цена облигации Ро и доходность к погашению i находятся в обратной зависимости - повышение (понижение), величины i приводит к падению (росту) цены Ро.

2) В любой момент времени существует строгая взаимосвязь между ценой облигации Ро, купонной выплатой С_i (выраженной в виде процента) и доходностью к погашению i;

- когда процент С_i купонной выплаты равняется i, то цена облигации Ро равняется номинальной стоимости Мn. Поскольку величины номинала Мn и процента купонной выплаты С_i задаются изначально в момент эмиссии и не меняются вплоть до погашения облигации, а доходность i и текущая цена Ро облигации могут меняться под воздействием рыночных факторов, то справедливо и обратное утверждение - всякий раз, когда цена облигации совпадает с ее номиналом доходность к погашению облигации равняется проценту купонных выплат;

- когда купонная ставка процента С_i выше величины i, текущая цена облигации превосходит ее номинальную стоимость. В этом случае владелец облигации может продать ее и получить премию по отношению к номиналу;

- в случае, когда купонная ставка С_i становится ниже доходности к погашению, то текущая цена облигации будет меньше номинала. Если у инвестора появится необходимость в этот момент продать облигацию, то считается, что он сделал это с дисконтом по отношению к номиналу. Этот дисконт представляет собой разницу между рыночной ценой облигации Ро и ее номинальной стоимостью. Например, при i=7%, C_t=5% и оставшимся сроком до погашения 15 лет, цена облигации падает до 820,8 рублей и дисконт составит 179,2 рублей. Если подобная ситуация сохранится до момента погашения, то дисконт покажет ту выгоду, которую получил инвестор за то, что не ликвидировал облигацию, купонная выплата которой С_t=5% была ниже рыночной доходности в 7%.

3) Цена облигации зависит от срока, оставшегося до ее погашения, причем эта зависимость определяется соотношением купонной ставки процента и доходности к погашению. Для наглядности этой зависимости обратимся к таблице (2.1.)

Таблица 2.1.

Зависимость цены облигации от срока, оставшегося до ее погашения, при различных величинах С_t

	Сt= i = 5%	i =7%>Ct	i =3%<Ct
Годы до погашения	PV купонных выплат	PV номинала	P0	PV купонных выплат	PV номинала	P0	PV купонных выплат	PV номинала	P0
20	623,1	376,9	1000	529,7	258,4	788,1	743,9	553,7	1297,6
15	519,0	481,0	1000	455,4	365,4	820,8	596,9	641,9	1238,8
10	386,1	613,9	1000	351,2	508,3	859,5	426,5	744,1	1170,6
5	216,5	783,5	1000	205.0	713,0	918,0	229,0	862,6	1091,6
1	48,6	952,4	1000	46,7	934,6	981,3	48.5	970,9	1019,4
0	0	1000	1000	0	1000	1000	0	1000	1000

Как следует из таблицы, если купонная выплата С_i равняется требуемой доходности i то цена облигации вне зависимости от срока, оставшегося до погашения, всегда равна номинальной стоимости (1000 рублей в нашем случае). Если же С_t=i, то цена облигации Ро равняется номиналу только в момент ее погашения. При этом, когда облигация имеет дисконт, то есть С_t<i, то цена облигации постепенно повышается по мере приближения рока погашения; когда С_t >i, и облигация может быть продана с премией, о цена облигации медленно падает с приближением срока погашения.

Когда инвестор приобретает облигацию в день, не сoвпадающий с датой купонной выплаты, то купонный период, в течение которого произошло приобретение облигации, оказывается разорванным. Чтобы определить цену
облигации в таком случае, необходимо пропорционально распределить раз-
деленную купонную выплату между периодами. Для этого находят приведенную стоимость той части купонной выплаты, которая должна быть получена по облигации, и добавляют уже заработанную продавцом облигации
часть купонной выплаты, поскольку при очередной купонной выплате покупатель получит полную купонную сумму, С учетом этого обстоятельства,
цена облигации, приобретаемой не в день выплаты купонных сумм, определяется по формуле:

где: - f- коэффициент, подсчитываемый следующим образом:

число дней между датой покупки и следующей купонной выплатой

f =

число дней в разорванном купонном периоде

(При вычислении f необходимо учитывать следующие правила: во-первых, день покупки облигации не учитывается, а день купонной выплаты учитывается; во-вторых, если при расчете денежных потоков от облигации используется календарный год, то необходимо в каждом месяце брать календарное число дней. Если же год принимается равным 360 дней, то каждый месяц считается равным 30 дням);

- первое слагаемое - приведенная стоимость оставшейся части разорванной купонной суммы;

- второе слагаемое - приведенная стоимость оставшихся до погашения
неразорванных купонных выплат;

- третье слагаемое - приведенная стоимость номинала;

- четвертое слагаемое - заработанная продавцом облигации часть разорванной купонной суммы, называемая накопленным купоном.

Доходность облигаций.

Существует несколько видов доходности облигаций, из которых наиболее часто применяются:

а) номинальная, или купонная доходность;

6) текущая доходность;

в) доходность к погашению,

А) Номинальная доходность (купонная ставка) показывает процентную величину суммарного ежегодного дохода, полученного от облигации в виде купонных выплат, по отношению к номинальной стоимости облигации:

ежегодный купонный доход

номинальная доходность =

номинальная стоимость облигации

Номинальная доходность позволяет оценить ту ежегодную сумму, которую получит инвестор в виде процента по облигации: если купонная ставка С_t=4%, следовательно ежегодно по облигации выплачивается в виде процента (купонной выплаты) 0,04 номинальной стоимости облигации.

Несмотря на большое значение, которое играет номинальная доходность в анализе облигаций, эта величина имеет два существенных недостатка, ограничивающие возможности ее использования. Во-первых, при вычислении номинальной доходности используется номинальная стоимость и не учитывается текущая цена облигации. В этой, связи оценка облигации только по ее номинальной доходности может дать неверный результат, Во-вторых, номинальная доходность оставляет в стороне иные, кроме купонных выплат, составляющие отдачи облигации, которые может обеспечить облигация.

Б) Текущая доходность устраняет первый недостаток номинальной доходности, так как при ее исчислении используется не номинальная, а текущая рыночная цена облигации:

Ежегодные купонные выплаты

Действующая доходность =

Текущая стоимость облигации

Текущая доходность широко используется при оценке облигаций; особенно полезна она бывает тем инвесторам, для которых имеет принципиальное значение величина ежегодного купонного дохода в расчете на один инвестированный рубль.

Но текущая доходность также не устраняет второй недостаток, оставляя в стороне иные компоненты отдачи облигаций.

В) Доходность к погашению (yield to maturity- УТМ) является наиболее часто употребляемой мерой оценки доходности облигаций, поскольку она устраняет оба недостатка, присущих номинальной и текущей доходности. Существует несколько эквивалентных определений доходности к погашению. Чтобы был более понятен смысл этих определений, рассмотрим три. облигации А,В,С, имеющие одинаковую номинальную стоимость 1000 рублей:

- облигация А (бескупонная, срок погашения 1 год), цена 930,23 рублей;

- облигация В (бескупонная, срок погашения 2 года) цена 849,46 рублей;

- облигация С (купонная, срок погашения 2 года) цена 963,70 рублей

Итак, приобретя облигацию А за 930,23 рублей, инвестор через год получит 1000 рублей; если он купит облигацию В за 849,46 рублей, то 1000 рублей он получит через 2 года; наконец, приобретение облигации С за 963,7 рублей даст инвестору процентную выплату через год в размере 60 рублей, а через два года в момент погашения он получит еще одну процентную выплату 60 рублей плюс номинал, то есть 1060 рублен.

Первое определение доходности к погашению основывается на предположении, что инвестор всегда имеет альтернативу вложить деньги, предназначенные для покупки облигации, в банк. В таком случае, под доходностью к погашению облигации следует понимать ту единственную и неизменную ставку процента (с учетом начисления сложного процента через определенные промежутки времени), которая, будучи выплачиваемой банком на инвестированную сумму, обеспечивала бы инвестору получение тех платежей, которые предусмотрены условиями выпуска облигации. Например, в случае облигации А доходность к погашению ia составляет такую процентную ставку, что размещение под нее 930,23 рублей в банке принесет через год инвестору 1000 рублей, что предусмотрено условиями эмиссии. Иными словами:

(1+ia)?930,23=1000 (2.16)

откуда: 1+ia= 1,075 и ia=0,075 или 7,5%, что и составит величину доходности к погашению первой облигации.

В случае облигации В альтернативное размещение в банке 848,46 руб. по ставке процента ib должно через год дать сумму (1+ib)?849,4б руб., а через два года с учетом сложного процента эта сумма составит: (1+ib)?(1+ib)?849,46 pублей, которая, по условиям выпуска, должна равняться 1000 рублей:

(1+ib)?(1+ib)?849,46=1000 (2.17)

Откуда (1+ib)²=1,1772, следовательно (1+ib)=1,085 и ib=0,085 или 8,5%, что равняется доходности к погашению облигации В.

Сложнее высчитать доходность к погашению облигации С Представим, что в исходный момент на счете в банке размещаются 963,7 руб. Через год эта сумма должна возрасти до (1+ic)?9бЗ,7 руб.. После этого инвестор получает в виде купонной выплаты 60 руб., и на счете у него остается [(1+ic)?963,7 - 60] руб.. Данная сумма еще через год даст инвестору на счете [(1+ic)?963,7-60]?(1+iс)]руб.. По условию эмиссии облигации, это должно составлять 1060 руб.:

[(1+ic)?963,7-60]?(1+iс) =1060 (2.18)

откуда находим ic=0,08 или 8%. Значит доходность к погашению облигации С составляет 8%.

Чтобы вывести второе определение доходности к погашению облигации обратимся к равенствам (2.16-2.18). Разделим обе части равенства (2.16) на величину (1+ia):

(2.19)

Аналогичные операции проведем с равенствами (2.17) и (2.18), только обе части равенства (2.17) разделим на величину (1+ib)² , а равенства (2.18) на (1+ic)²:

(2.20)

(2.21)

Выражения (2.19-2.21) представляют собой формулы для вычисления
приведенной стоимости облигаций. Отсюда следует второе эквивалентное
определение доходности к погашению: УТМ - это такая, ставка дисконта, при которой приведенная стоимость денежных потоков, обеспечиваемых облигацией (купонные выплаты и номинал), равной рыночной цене облигации Ро на момент вычисления текущей стоимости. Подобное определение доходности к погашению эквивалентно понятию внутренней доходности (internal rate of return-IRR) инвестиций.

Наконец, вернемся к равенству (2,21) и перепишем его в виде:

963,7?(1+ic)²=60?(1+ic)+1060 (2.22)

Откуда: (1+ic)² = [60?(1+ic)+1060]/963,7 и, следовательно:

(2.23)

В знаменателе подкоренного выражения находится величина первоначальных инвестиционных затрат Ро, или, если проводить аналогию с банковским счетом, сумма начального вклада - 963,7 руб.. Числитель же представляет собой тот суммарный доход, который инвестор может получить за два года: через год он получит 60 руб. в виде процентных выплат и может реинвестировать (положить в банк) по той же ставке процента iс. Через два года первая купонная выплата обеспечит инвестору сумму 60?(1+ic)руб. Кроме того, через два года в момент погашения облигация обеспечит еще 60 руб. второй купонной выплаты плюс 1000 руб. номинала. Итого за два года облигация может дать инвестору сумму [60?(1+ic)+1060] рублей. В таком случае из выражение (2.23) можно вывести третье альтернативное определение доходности к погашению: УТМ - это средняя геометрическая годовая доходность, которую инвестор ожидает получить от своей инвестиции в момент покупки облигации, рассчитывая держать облигацию вплоть до ее погашения.

Обратим внимание на принципиальный момент, часто ускользающий от внимания инвесторов: несмотря на то, что доходность к погашению УТМ рассматривается как средняя геометрическая доходность, в реальности УТМ - это ожидаемая (в смысле предполагаемая), или обещанная величина, которая будет обеспечиваться в долгосрочном периоде только в случае выполнения следующих условий:

1) эмитент выплачивает все купонные (процентные) суммы и номинал в соответствии с условиями, выпуска облигации;

2) инвестор сохраняет облигацию до момента ее погашения;

3) все суммы купонных выплат сразу же после их получения реинвестируются владельцем облигации по ставке процента, равной УТМ.

Из этих трех условий самым принципиальным является последнее: обеспечение заданной доходности к погашению как средней геометрической годовой доходности означает, что владелец облигации должен реинвестировать все суммы купонных выплат по ставке процента, равной этой доходности к погашению в момент приобретения облигации.

Отдача любой ценной бумаги за холдинговый период определяется по формуле:

где r_t+1 - отдача финансового средства в конце холдингового периода

Р_t+1 - цена финансового средства в конце холдингового периода

D - поток денег (дивиденд по акции, процент по облигации) получаемый за холдинговый период .

Р_t - цена финансового средства в начале холдингового периода.

Данная формула применима для любого финансового средства и широко используется в частности в теории инвестиционного портфеля. Однако она показывает отдачу ценных бумаг, которые приносят доход один раз а холдинговый период. Между тем, многие инвесторы вкладывают деньги в такие финансовые средства, как, например, облигации, приносящие регуярные доходы несколько раз за холдинговый период. В этой связи их интересуют способы подсчета средней годовой доходности, которую можно использовать для определения отдачи инвестиций за долгосрочный период.

Такая годовая доходность должна учитывать возможность получения сложного процента, то есть реинвестирование купонных выплат. Именно этим обстоятельством мультипериодная доходность отличается от однопериодной: в мультипериодном варианте помимо двух составляющих отдачи ценной бумаги (облигации) - отдачи от номинала (или отдачи от продажи облигации раньше срока погашения) плюс доход за счет купонных выплат, появляется важная третья составляющая - отдача за счет реинвестирования полученных купонных выплат.

Следует иметь в виду, что недоучет этой последней составляющей может серьезно исказить результаты оценки средней геометрической ежегодной доходности. Во всяком случае, необходимо помнить, что обещанная (предполагаемая) мультипериодная доходность, измеренная как доходность к погашению i, однозначно предполагает реинвестирование купонных выплат по ставке процента, равной величине доходности к погашению i, чтобы заработать эту доходность (доходность). Иначе говоря, доходность к погашению - это прогнозируемая величина, и она показывает предполагаемую (ожидаемую) среднюю ежегодную доходность за холдинговый период с многократными выплатами. Реальная же средняя геометрическая ежегодная доходность подсчитывается на основании уже наблюдавшихся результатов и может совпадать с предполагаемой только при определенных условиях.

Итак, для определения мультипериодной доходности инвестор обязан учитывать третью составляющую своего потенциального дохода - сложный процент на купонные выплаты. Но столь ли существенна эта составляющая, чтобы ей нельзя было пренебречь? Проведем оценку: предположим для простоты, что инвестор приобретает облигацию со сроком погашения 30 лет по номинальной стоимости и ежегодной купонной ставкой 8%. Если облигация приобретена по номиналу, то ее доходность к погашению, а следовательно и прогнозируемая годовая средняя геометрическая доходность, равна купонной ставке и составляет 8%. Пусть в последующие 30 лет инвестор реинвестирует все полученные купонные суммы по ставке 8%. Тогда через 30 лет его суммарный доход составит:

1000х(1,08)³⁰ = 10062,7 руб.

и реальная годовая средняя геометрическая ставка будет равна величине:

(10062,7/1000)^1/30-1=0,08 или 8%.

Из чего же состоит суммарный доход инвестора? Во-первых, это выплаченная в момент погашения номинальная стоимость облигации 1000 руб. Во-вторых, за 30 лет он 30 раз получит купонные выплаты, то есть суммарные процентные выплаты равны: 30x80=2400 руб. Итого, две первые составляющие дают в общей сложности: 1000+2400 =3400 руб., а остальные 6662,7 руб. обеспечивает третья составляющая отдачи облигации - процент на процент. Значит, из общей величины полученного инвестором дохода в 10062,7 руб., сумма в 6662,7 руб., или (6662,7/10062,7)= =0,662, то есть 66,2%, составляет процент на процент. Но для получения такого дохода, а, следовательно, и предполагаемой доходности (или, что равноценно, доходности к погашению) инвестор должен реинвестировать купонные суммы по ставке процента, равной доходности к погашению.