Оценка доходов финансовых активов и эффективности инвестиционного портфеля

риск инвестиционный актив портфель

2. Теория Марковица

Во второй половине ХХ в. в экономике развитых стран произошли радикальные изменения. Они были связаны с бурным наращиванием инвестиций, и портфельных в частности. На месте отдельных изолированных региональных финансовых рынков возник единый международный финансовый рынок. К традиционному набору финансовых инструментов (иностранная валюта, акции и облигации предприятий, государственные облигации) добавился постоянно растущий список новых производных инструментов - таких, как депозитарные расписки, форвардные контракты, фьючерсы на товары, опционы, варранты, фондовые индексы, свопы на процентные ставки, и т. п. Эти инструменты позволяют реализовать более сложные и более тонкие стратегии управления доходностью и риском финансовых сделок, которые отвечают индивидуальным потребностям инвесторов, а также требованиям управляющих активами, спекулянтов и игроков на финансовом рынке. Традиционный подход в инвестировании, преобладавший до появления современной теории портфельных инвестиций, имел два существенных недостатка. Во-первых, в нем основное внимание уделялось анализу поведения отдельных активов (акций, облигаций). Во-вторых, основной характеристикой активов в нем была исключительно доходность, тогда как другой фактор - риск - не получал четкой оценки при инвестиционных решениях. Нынешний уровень разработки теории портфельных инвестиций преодолевает эти недостатки. Формированием такого нового подхода фактически завершился длительный период (еще с конца 20-х годов ХХ в.), названный в финансовой теории "первоначальным этапом развития теории портфельных инвестиций".

Современная теория портфельных инвестиций берет свое начало из небольшой статьи Г. Марковица "Выбор портфеля". В ней он предложил математическую модель формирования оптимального портфеля ценных бумаг, а также привел методы построения таких портфелей при определенных условиях. Рассмотрев общую практику диверсификации портфеля, ученый показал, как инвестор может снизить его риск путем выбора некоррелируемых акций.

Гарри Марковиц родился в 1927 г. в Чикаго. По словам Марковица, изучение экономики вовсе не было мечтой его детства, долгое время он увлекался философией, но, тем не менее, после окончания программы бакалавра Чикагского университета (1947) он решает посвятить себя экономической теории. Особый интерес у Марковица вызывали исследования в области экономики неопределенности, в том числе и работы преподававших тогда в Чикаго Дж. Маршака, М. Фридмена и Л. Сэвиджа. Это увлечение оказало влияние на всю последующую научную деятельность Марковица. Его первая крупная работа - магистерская диссертация (1950) - посвящена изучению возможности применения математических методов к анализу фондовых рынков.

В отличие от других Нобелевских лауреатов по экономике, посвятивших большую часть своей жизни преподавательской и научной работе в университетах, Г. Марковиц почти четверть века работал в различных фирмах и корпорациях.

Покинув Чикагский университет, он становится исследователем в RAND Corp. (1952-60, 61-63), где изучает технику оптимизации у работавшего вместе с ним Дж. Данцига. Позже Марковиц занимает пост технического директора Consolidated Analysis Centres Ltd. (1963-68), возглавляет исследовательскую группу в IBM (1974-83). Вице-президент Института наук управления (1960-62). Профессор Калифорнийского университета (Лос-Анжелес) (1958-69) и с 1982 г. профессор финансов Городского университета Нью-Йорка.

Гарри Марковиц - один из родоначальников теории финансов, одной из наиболее быстро развивающихся экономических наук. Эта наука закладывает основы прикладной дисциплины - финансового управления фирмой, с помощью инструментария и методов исследования которой любая фирма может проанализировать свое финансовое положение, оценить стоимость своего капитала и его структуру, выбрать наилучший проект для вложения средств и источник финансирования, решить, как и в каком количестве выпускать акции и облигации, управлять своим капиталом и многое другое.

Что бы мы ни говорили об одном из "столпов" современных финансов, а именно - о теории выбора портфеля, мы неизбежно будем упоминать имя ее создателя - Г. Марковица и возвращаться к его статье "Выбор портфеля" (1952), где она впервые была описана. В ней рассмотрена общая практика диверсификации портфеля и показано, как инвеститор может снизить риск портфеля путем выбора некоррелированных акций. Но Марковиц не остановился на этом, он продолжил работать над основными принципами конструирования портфеля.

Эти принципы являются основой для большей части из того, что мы можем сказать о взаимосвязи между риском и доходностью и о формировании оптимальной структуры капитала. Работы Марковица в теории выбора портфеля создали финансовый микроэкономический анализ и открыли путь множеству новых исследований в финансах и экономическом анализе.

Основные работы Portfolio Selection. The Journal of Finance, March, 1952. Studies in Process Analysis:Economy Wide Production Capabilities. (Совместно с A. Manne). New York: J. Wiley and Sons, 1963. Mean-Variance Analysis in Portfolio Choice and Capital Markets. Basil Blackwell, paperback edition,1987.

2.1 Сущность теории портфеля Гарри Марковица и модель оценки доходности финансовых активов

Основной заслугой Г. Марковица является предложенная им в этой статье теоретико-вероятностная формализация понятий "доходность" и "риск". В его модели для исчисления соотношения между риском инвестиций и их ожидаемой доходностью используется распределение вероятностей. Ожидаемая доходность портфеля ценных бумаг определяется как среднее значение распределения вероятностей, а риск - как стандартное отклонение возможных значений доходности от ожидаемого.

Результаты исследований, полученные Г. Марковицем, сразу позволили перевести задачу выбора оптимальной инвестиционной стратегии на точный математический язык. Именно он первым привлек внимание к общепринятой практике диверсификации портфеля и точно показал, как инвесторы могут уменьшить стандартное отклонение его доходности, выбирая акции, цены на которые изменяются по-разному. С математической точки зрения, полученная оптимизационная стратегия относится к классу задач квадратичной оптимизации при линейных ограничениях. До сих пор, вместе с задачами линейного программирования, это один из наиболее изученных классов оптимизационных задач, для которых разработано большое количество достаточно эффективных алгоритмов.

Г. Марковиц на этом не остановился - он продолжил разработку основных принципов формирования портфеля. Эти принципы послужили основой для многих работ, описывающих связь между риском и доходностью. Однако его работы не привлекли особого внимания экономистов - теоретиков и практиков. Для 50-х годов ХХ в. само по себе применение теории вероятности к финансовой теории было достаточно необычным делом. К тому же неразвитость вычислительной техники, а также сложность предложенных Г. Марковицем алгоритмов, процедур и формул не позволили осуществить фактическую реализацию его идей. Не случайно заслуги ученого были оценены значительно позже, чем опубликованы его работы, а Нобелевская премия ему присуждена только в 1990 г.

Влияние портфельной теории Г. Марковица значительно усилилось после появления в конце 50-х - в начале 60-х годов ХХ в. работ Дж. Тобина по аналогичным проблемам. Здесь следует отметить некоторые различия между подходами Г. Марковица и Дж. Тобина. Первый из этих подходов лежит в русле микроэкономического анализа, поскольку акцентирует внимание на поведении отдельного инвестора, который формирует оптимальный, с его точки зрения, портфель на базе собственной оценки доходности и риска выбранных активов. К тому же первоначально эта модель касалась в основном портфеля акций, то есть рисковых активов. Дж. Тобин тоже предложил включить в анализ безрисковые активы (например, государственные облигации). По сути, его подход является макроэкономическим, поскольку в данном случае главным объектом изучения является распределение совокупного капитала в экономике на две формы: наличную (денежную) и неналичную (в виде ценных бумаг). В работах Г. Марковица акцент делался не на экономическом анализе исходных постулатов теории, а на математическом анализе их последствий и разработке алгоритмов решения оптимизационных задач. В подходе Дж. Тобина основной темой становится анализ факторов, вынуждающих инвесторов формировать портфель активов, а не держать капитал в какой-то одной (например, наличной) форме. Кроме того, Дж. Тобин проанализировал адекватность количественных характеристик активов и портфеля, которые являются исходными данными в теории Г. Марковица. Возможно, поэтому Дж. Тобин получил Нобелевскую премию на 9 лет раньше, чем Г. Марковиц.

С 1964 г. появляются новые работы, открывшие следующий этап в развитии инвестиционной теории, связанный с так называемой "моделью оценки капитальных активов" (или САРМ - от английского capital asset pricing model). Учеником Г. Марковица У. Шарпом была разработана модель рынка капиталов. Формулируя ее, он понимал, что абсолютно надежных акций или облигаций не бывает. Все они в той или иной степени связаны с риском для корпорации: она может получить большой доход или остаться без ничего. Развивая подход Г. Марковица, У. Шарп разделил теорию портфеля ценных бумаг на две части: первая - систематический (или рыночный) риск для активов акций, вторая - несистематический. Для обычной акции систематический риск всегда связан с изменениями в стоимости ценных бумаг, находящихся в обращении на рынке. Иначе говоря, доходность одной акции постоянно колеблется вокруг средней доходности всего актива ценных бумаг. Этого никак не избежать, поскольку действует слепой механизм рынка.

Несистематический риск связан с влиянием всех остальных факторов, специфических для корпорации, выпускающей в обращение ценные бумаги. Определив специальные коэффициенты реакции цен акций или облигаций на изменения рыночной конъюнктуры (знаменитые "альфу" и "бету" 3), У. Шарп разработал формулу расчета сравнительной меры риска ценных бумаг на основе "линии эффективности рынка заемного капитала".

Важным моментом систематического риска является то, что увеличение количества акций или облигаций не способно ликвидировать его. Однако растущая покупка ценных бумаг может повлечь за собой устранение несистематического риска. Отсюда получается, что вкладчик не может избежать риска, связанного с колебаниями конъюнктуры фондового рынка. Задача при формировании рыночного портфеля заключается в уменьшении риска путем приобретения различных ценных бумаг. И делается это так, чтобы факторы, специфические для отдельных корпораций, уравновешивали друг друга. Благодаря этому доходность портфеля приближается к средней для всего рынка.

На основе этой модели У. Шарп предложил упрощенный метод выбора оптимального портфеля, который сводил задачу квадратичной оптимизации к линейной. В более простых случаях (то есть для небольших размерностей) эта задача могла быть решена практически "вручную". Такое упрощение сделало методы портфельной оптимизации применимыми на практике. В 70-х годах ХХ в. развитие программирования, а также совершенствование статистической техники оценки коэффициентов "альфа" и "бета" отдельных ценных бумаг и индекса рынка в целом привели к появлению первых пакетов программ для решения задач управления портфелем ценных бумаг.

Разница между доходностью рыночного портфеля и процентной ставкой называется премией за рыночный риск.

Выводы У. Шарпа стали известны как модели оценки долгосрочных активов, базирующиеся на предположении, что на конкурентном рынке ожидаемая премия за риск изменяется прямо пропорционально коэффициенту "бета".

Это означает, что если схематически представить инвестиции на рисунке, то все инвестиции должны располагаться вдоль наклонной линии, называемой линией рынка ценных бумаг. Ожидаемая премия за риск инвестиций, бета которых равна 0,5, следовательно, составляет половину ожидаемой премии за рыночный риск; ожидаемая премия за риск инвестиций с бетой, равной 2,0, в два раза превышает ожидаемую премию за рыночный риск. Мы можем представить эту взаимосвязь в следующем виде:

Ожидаемая премия за риск акций = бета х ожидаемая премия за рыночный риск.

r-rf= (rm-rf).

Инвестор всегда может получить ожидаемую премию за риск (rт - r), комбинируя рыночный портфель и безрисковые займы. Так, на хорошо функционирующем рынке никто не держит акции, предлагающие премию за ожидаемый риск, меньше, чем (rт --r).

А как насчет других возможностей? Есть ли другие акции, которые обеспечивают более высокую ожидаемую премию за риск? Другими словами, существуют ли какие-либо акции, лежащие выше линии рынка ценных бумаг ? Если мы возьмем все акции в совокупности, мы получим рыночный портфель. Следовательно, мы знаем, что акции в среднем располагаются на линии. Так как ни одна не лежит ниже линии, то ни одна не может лежать и выше линии. Таким образом, каждая и любая акция должна лежать на линии рынка ценных бумаг и обеспечивать премию за ожидаемый риск, равную:

r-rf = p(rm- rf).

Рассмотрим четыре основных принципа выбора портфелей.

1. Инвесторы предпочитают высокую ожидаемую доходность инвестиций и низкое стандартное отклонение. Портфели обыкновенных акций, которые обеспечивают наиболее высокую ожидаемую доходность при данном стандартном отклонении, называются эффективными портфелями.

2. Если вы хотите знать предельное влияние акции на риск портфеля, вы должны учитывать не риск акции самой по себе, а ее вклад в риск портфеля. Этот вклад зависит от чувствительности акции к изменениям стоимости портфеля.

3. Чувствительность акции к изменениям стоимости рыночного портфеля обозначается показателем бета. Следовательно, бета измеряет предельный вклад акции в риск рыночного портфеля.

4. Если инвесторы могут брать займы или предоставлять кредиты по безрисковой ставке процента, тогда им следует всегда иметь комбинацию безрисковых инвестиций и портфель обыкновенных акций. Состав такого портфеля акций зависит только от того, как инвестор оценивает перспективы каждой акции, а не от его отношения к риску. Если инвесторы не располагают какой-либо дополнительной информацией, им следует держать такой же портфель акций, как и у других,-- иначе говоря, им следует держать рыночный портфель ценных бумаг.

Далее, если каждый держит рыночный портфель и если бета показывает вклад каждой ценной бумаги в риск рыночного портфеля, тогда не удивительно, что премия за риск, требуемая инвесторами, пропорциональна коэффициенту бета.

Сегодня модель Г. Марковица используется в основном на первом этапе формирования портфеля активов при распределении инвестированного капитала по их различным типам (акциям, облигациям, недвижимости и т. п.). Однофакторная модель У. Шарпа используется на втором этапе, когда капитал, инвестированный в определенный сегмент рынка активов, распределяется между отдельными конкретными активами, составляющими выбранный сегмент (то есть по конкретным акциям, облигациям и т. п.).

В 60-х годах ХХ в. работы У. Шарпа, а затем также Дж. Линтнера и Я. Моссина были посвящены, по сути, одному вопросу: "Предположим, что все инвесторы, владея одной и той же информацией, одинаково оценивают доходность и риск отдельных акций. Предположим также, что все они формируют свои оптимальные, с точки зрения теории Г. Марковица, портфели акций, исходя из индивидуальной предрасположенности к риску. Как в этом случае сложатся цены на рынке акций?". Таким образом, на САРМ можно смотреть как на макроэкономическое обобщение теории Г. Марковица. Основным результатом САРМ стало установление соотношения между доходностью и риском активов для равновесного рынка. При этом важным оказывается тот факт, что при выборе оптимального портфеля инвестор должен учитывать не "весь" риск, связанный с активами (риск по Г. Марковицу), а только его часть, названную "систематическим", то есть "недиверсифицированным", риском. Эта часть риска активов тесно связана с общим риском рынка в целом и количественно представлена коэффициентом "бета", введенным У. Шарпом в его модели. Другая его часть (так называемый "несистематический", то есть "диверсифицированный", риск) ликвидируется выбором соответствующего (оптимального) портфеля. Связь между доходностью и риском носит линейный характер, и тем самым привычное практическое правило "большая доходность означает большой риск" получает точное аналитическое обоснование.

В 1977 г. эта теория была подвергнута жесткой критике в работах Р. Ролла. Он высказал мнение, что САРМ нужно отбросить, поскольку ее в принципе нельзя эмпирически проверить. Несмотря на это, САРМ остается, вероятно, наиболее значительной и наиболее влиятельной современной финансовой теорией. Более того: на ее основе была разработана формула ценообразования на опционы, названная в честь американских ученых Ф. Блэка и М. Скоулза - первых, кто ее вывел.

Прежде чем выяснить суть этой формулы, кратко остановимся на экономической роли производных ценных бумаг - в частности, одной их разновидности - опциона. В отличие от акций и облигаций, выпускаемых с целью привлечения денежных средств, опционы покупают и продают фирмы, чтобы защититься от неблагоприятных изменений на финансовом рынке. Именно потому, что стоимость опционов является производной от стоимости других ценных бумаг, их называют "вторичными". Существование рынка вторичных ценных бумаг позволяет его участникам, ожидающим в будущем каких-то поступлений (или, наоборот, затрат), гарантировать себе определенный уровень прибыли или застраховаться от потерь, превышающих определенный уровень. В последние 20 лет такой рынок стремительно развивается во всем мире.

Любое вложение в опцион является более рисковым, чем вложение непосредственно в акции: ведь риск, связанный с ним, изменяется каждый раз, когда изменяется цена акции. Соответственно, ожидаемая норма дохода на опцион, на которую рассчитывают инвесторы, ежечасно изменяется в зависимости от изменения рыночной цены акции. Именно поэтому определение стоимости опционов при помощи стандартных формул казалось практически невозможным, а разработка техники точной оценки этой стоимости на протяжении многих лет была не по силам экономистам. Все предыдущие (с 1900 г.) попытки определить стоимость вторичных ценных бумаг были неудачными из-за огромной проблемы - невозможности правильно исчислить премию за риск (доход на рисковые вложения).

М. Скоулз и Ф. Блэк совершили прорыв в этой области, разработав метод определения стоимости опциона, не требующий использования конкретной величины премии за риск. Однако это не означает, что премии за риск нет: просто она включена в цену акции. Именно эту идею оба ученых впервые обосновали в работе "Ценообразование на опционы и пассивы корпораций" (1973 г.). В этот период они тесно сотрудничали с Р. Мертоном, который также занимался проблемой оценки опционов. Он внес ряд предложений, которые улучшали упомянутую статью. В частности, соглашаясь с предположением относительно непрерывности осуществления операций с опционами и акциями, Р. Мертон предложил поддерживать между ними такое соотношение, которое является полностью безрисковым. Он придумал важное обобщение, согласно которому рыночное равновесие не является обязательным условием для оценки опциона, будучи для нее достаточным условием, если нет возможностей осуществить арбитражные операции. Опубликованная им статья "Теория рационального ценообразования опционов" (1973 г.) тоже включала формулу Блэка - Скоулза и некоторые обобщения (например, он предположил стохастичность процентной ставки).

Таким образом, эта формула оценивает "справедливую стоимость" опциона. Она полезна при принятии инвестиционных решений, но не гарантирует прибыли на опционных торгах. Концептуально формулу Блэка - Скоулза можно объяснить так: цена опциона "колл" = (ожидаемая цена акции) - (ожидаемая стоимость выполнения опциона). Она имеет такой математический вид:

C = SN(d) - Le -rt N(d -vt)

где С - теоретическая оценка опциона "колл" (которую также называют "премией"), S - текущая цена акции, N - количество акций, L - страйк опциона, t - время до экспирации (конца действия) опциона (в годах), q - среднее квадратичное отклонение курса акции (корень из суммы квадратов отклонений), r - безрисковая процентная ставка, е - основа натурального логарифма (2,71828), где d - дивидендная доходность акции, ln - натуральный логарифм.

Эта формула основывалась на возможности осуществления безрисковой сделки с одновременным использованием акции и выписанным на нее опционом. Стоимость (цена) такой сделки должна совпадать со стоимостью безрисковых активов на рынке, а поскольку цена акции со временем изменяется, то и стоимость выписанного опциона, обеспечивающего безрисковую сделку, тоже должна соответственно изменяться. Из этих предписаний можно получить вероятностную оценку стоимости опциона.

Г. Марковиц утверждает, что инвестор должен обосновать свое решение относительно выбора оптимального портфеля исключительно ожидаемой доходностью и стандартным отклонением доходности. Это означает, что инвестор должен оценить ожидаемую доходность и стандартное отклонение доходности каждого из портфелей, а затем из них выбрать "лучший", базируясь на соотношении этих двух параметров. При этом интуиция играет определяющую роль. Ожидаемая доходность может быть представлена как мера потенциального вознаграждения, связанная с конкретным портфелем, а стандартное отклонение доходности - как мера риска, связанная с этим портфелем. Таким образом, после того, как каждый портфель исследован с точки зрения потенциальных вознаграждения и риска, инвестор должен выбрать портфель, который является для него наиболее подходящим.

Основные выводы теории портфельных инвестиций, можно сформулировать так:

1) эффективное множество содержат те портфели, которые одновременно обеспечивают и максимальную ожидаемую доходность при фиксированном уровне риска, и минимальный риск при заданном уровне ожидаемой доходности;

2) предполагается, что инвестор выбирает оптимальный портфель из портфелей, составляющих эффективное множество;

3) оптимальный портфель инвестора идентифицируется с точкой касания кривых равнодушия инвестора с эффективным множеством;

4) как правило, диверсификация влечет за собой уменьшение риска, поскольку в общем случае стандартное отклонение доходности портфеля будет меньше, чем средневзвешенные стандартные отклонения доходности ценных бумаг, которые составляют этот портфель;

5) соотношение доходности ценной бумаги и доходности на индекс рынка известно как рыночная модель;

6) доходность на индекс рынка не отражает доходности ценной бумаги полностью; необъясненные элементы включаются в случайную погрешность рыночной модели;

7) в соответствии с рыночной моделью, общий риск ценной бумаги состоит из рыночного риска и собственного риска;

8) диверсификация приводит к усреднению рыночного риска;

9) диверсификация может значительно снизить собственный риск.

Таким образом, можно сформулировать основные постулаты, на которых построена современная теория портфельных инвестиций:

1. Рынок состоит из конечного числа активов, доходность которых для заданного периода считается случайной величиной.

2. Инвестор способен, например, исходя из статистических данных, получить оценку ожидаемых (средних) значений доходности и их попарных ковариаций - возможностей диверсификации риска.

3. Инвестор может формировать разные допустимые (для данной модели) портфели, доходность которых также является случайной величиной.

4. Сопоставление выбираемых портфелей основывается только на двух критериях - средней доходности и риске.

5. Инвестор не предрасположен к риску в том смысле, что из двух портфелей с одинаковой доходностью он обязательно предпочтет портфель с меньшим риском.

Центральной проблемой в теории портфельных инвестиций является выбор оптимального портфеля, то есть определение набора активов с наивысшим уровнем доходности при наименьшем или заданном уровне инвестиционного риска. Такой подход является "многомерным" как по количеству привлеченных в анализ активов, так и по учтенным характеристикам.

2.2 Метод оптимизации инвестиционного портфеля по Г. Марковицу

В 1952 г. американский экономист Г. Марковиц опубликовал статью “Portfolio Selection”, которая легла в основу теории инвестиционного портфеля. Г. Марковиц исходил из предположения о том, что инвестирование рассматривается как однопериодовый процесс, т.е. полученный в результате инвестирования доход не реинвестируется. Другим важным исходным положением в теории Г. Марковица является идея об эффективности рынка ценных бумаг. Под эффективным рынком понимается такой рынок, на котором вся имеющаяся информация трансформируется в изменение котировок ценных бумаг; это рынок, который практически мгновенно реагирует на появление новой информации.

В своих теоретических исследованиях Марковиц полагал, что значения доходности ценных бумаг являются случайными величинами, распределенными по нормальному (Гауссовскому) закону. В этой связи Марковиц считал, что инвестор формируя свой портфель, оценивает лишь два показателя E(r) - ожидаемую доходность и у - стандартное отклонение как меру риска (только эти два показателя определяют плотность вероятности случайных чисел при нормальном распределении). Следовательно, инвестор должен оценить доходность и стандартное отклонение каждого портфеля и выбрать наилучший портфель, который больше всего удовлетворяет его желания - обеспечивает максимальную доходность r при допустимом значении риска у. Какой при этом конкретный портфель предпочтет инвестор, зависит от его оценки соотношения “доходность-риск”.

Цель любого инвестора - составить такой портфель ценных бумаг, который бы давал максимально возможную отдачу с минимально допустимым риском. Раскроем, прежде всего, взаимосвязь эффекта корреляции и риска инвестиционного портфеля.

Сравнение значений стандартных отклонений различных портфелей позволяет сделать два важных вывода: во-первых, при одних и тех же значениях с1,2 разным портфелям соответствуют разные величины у, то есть при изменении соотношения ценных бумаг в портфеле меняется и риск портфеля. Во-вторых, что более важно, для любого портфеля с понижением коэффициента корреляции уменьшается и риск портфеля (если, конечно портфель не состоит из одной ценной бумаги).

Если брать различные количества ценных бумаг (3, 4, 5, …, n), имеющих любые попарные коэффициенты доходностей в пределах от (- 1) до (+ 1), и создавать из них портфели, варьируя “вес” каждой ценной бумаги, то какому-то конкретному портфелю А будет соответствовать вполне определенное соотношение ожидаемой доходности E(rA) и риска (стандартное отклонение уА). Перенеся эти соотношения на коорди-натную плоскость с осями E(r) и у, получим точку А с координатами [E(rA); уA]

Заштрихованная площадь S представляет зону возможного существования портфелей, создаваемых из n выбранных ценных бумаг.

Для другого набора этих же ценных бумаг с определенным “весом” каждой бумаги получим другое соотношение ожидаемой доходности и риска (например, точка N на рис. 1). Можно показать, что из любого ограниченного набора ценных бумаг, выбранных инвестором, путем варьирования их “веса” можно получить бесконечное количество портфелей2. Если для каждого из портфелей определить ожидаемую доходность и стандартное отклонение, отложить их на графике, то получим совокупность точек - зону, определяющую все возможные портфели для выбранного количества ценных бумаг.

Строго говоря, для того, чтобы портфелей было бесконечно много необходимо допустить, что каждая ценная бумага может быть разделена, то есть инвестор способен приобрести часть облигации или акции. Без такого допущения количество портфелей будет хоть и велико, но ограниченно.

Ключ к решению проблемы выбора оптимального портфеля лежит в теореме о существовании эффективного набора портфелей, так называемой границы эффективности. Суть теоремы сводится к выводу о том, что любой инвестор должен выбрать из всего бесконечного набора портфелей такой портфель, который:

1. Обеспечивает максимальную ожидаемую доходность при каждом уровне риска.

2. Обеспечивает минимальный риск для каждой величины ожидаемой доходности.

Иначе говоря, если инвестор выбрал n ценных бумаг со своими характеристиками [E(ri); уi; уij; сij, где i,j = 1,2,…,n], то найдется только одна комбинация ценных бумаг в портфеле, минимизирующая риск портфеля при каждом заданном значении ожидаемой доходности портфеля. Если обратиться к рисунку 1, то вывод теоремы сводится к тому, что какую бы величину ожидаемой доходности не определил инвестор (например, E(rm) на рис. 1), всегда путем перебора весов ценных бумаг портфеля можно найти такой портфель, при котором уровень риска достигает минимального значения.

Набор портфелей, которые минимизируют уровень риска при каждой величине ожидаемой доходности, образует так называемую границу эффективности - это линия R. При перемещении по границе вверх-вправо величины E(r) и у увеличиваются, а при движении вниз-влево - уменьшаются.

Итак, эффективный портфель - это портфель, который обеспечивает минимальный риск при заданной величине E(r) и максимальную отдачу при заданном уровне риска.

Как отмечалось, на риск портфеля основное влияние оказывает степень корреляции доходностей входящих в портфель ценных бумаг - чем ниже уровень корреляции, то есть чем ближе коэффициент корреляции приближается к (- 1), тем ниже риск портфеля. Тогда можно предположить, что путем диверсификации - изменения количества входящих в портфель ценных бумаг и их весов - инвестор способен снизить уровень риска портфеля, не изменяя при этом его ожидаемой доходности.

Та часть риска портфеля, которая может быть устранена путем диверсификации, называется диверсифицируемым, или несистематическим риском. Доля же риска, которая не устранятся диверсификацией, носит название недиверсифицируемого, или систематического риска. Если портфель состоит из более чем из 2 ценных бумаг, то для любого заданного уровня доходности существует бесконечное число портфелей, или, иными словами, можно сформулировать бесконечное количество портфелей, имеющих одну и ту же доходность.

Тогда задача инвестора сводится к следующему: из всего бесконечного набора портфелей с ожидаемой нормой отдачи E(rn) необходимо найти такой, который обеспечивал бы минимальный уровень риска.

Существуют три способа решения подобного рода задач - графический, математический и с использованием компьютерных программ.

Графический способ был предложен Г. Марковицем. Необходимо учитывать, что при n > 3 этот способ мало применим, поскольку не позволяет графически представить границу эффективных портфелей. Математический способ позволяет оптимизировать портфель, содержащий много больше ценных бумаг, и широко используется на практике. Наконец, с помощью специальных программ можно решать подобные задачи с дополнительными начальными условиями.

Итак, для решения задачи нахождения оптимального портфеля, содержащего n ценных бумаг, необходимо первоначально вычислить:

а) n значений ожидаемой доходности E(ri), где i = 1, 2,…, n каждой ценной бумаги в портфеле;

б) n значений дисперсий у2i каждой ценной бумаги;

в) n(n-1)/2 значений ковариации уi,j, где i,j = 1, 2,…, n.

Способы их вычисления приведены ранее. Если подставить значения E(ri), уi и уi,j в уравнения (1) - (3), то выясняется, что в этих уравнениях неизвестными оказываются только величины Wi - “веса” каждой ценной бумаги в портфеле. Следовательно, задача формирования оптимального портфеля из n акций, по сути дела, сводится к следующему: для выбранной величины доходности Е* инвестор должен найти такие значения Wi, при которых риск инвестиционного портфеля становится минимальным. Иначе говоря, для выбранного значения Е* инвестор должен определить, какие суммы инвестиционных затрат необходимо направить на приобретение той или иной ценной бумаги, чтобы риск инвестиционного портфеля оказался минимальным.

В теории Марковица инвесторы стремятся сформировать портфель ценных бумаг, чтобы максимизировать получаемую полезность. Иными словами, каждый инвестор желает таким образом сформировать портфель, чтобы сочетание ожидаемой доходности E(r) и уровня риска у портфеля приносило бы ему максимальное удовлетворение потребностей и минимизировало риск при желаемой доходности. Разные инвесторы имеют отличные друг от друга мнения об оптимальности сочетания E(r) и у, поскольку отношение одного инвестора к риску не похоже на желание рисковать другого инвестора. Поэтому, говоря об оптимальном портфеле, надо иметь в виду, что эта категория сугубо индивидуальна, и оптимальные в виду того, что эта категория сугубо индивидуальна, и оптимальные портфели разных инвесторов теоретически отличаются друг от друга. Тем не менее каждый оптимальный портфель непременно является эффективным, то есть инвесторы выбирают удовлетворяющий их (оптимальный) портфель из эффективных портфелей.

2.3 Оптимальный портфель

Заключительная часть содержит информацию о том, как выбрать оптимальный для инвестора портфель из эффективного множества.

При нахождения оптимального портфеля необходимо взять во внимание такое понятие как "полезность". Более высокие значения полезности присваиваются портфелям с высокой ожидаемой доходностью, а низкие значение полезности присваиваются портфелям с высоким риском. Формула полезности имеет следующий вид:

U = E(r) - 0.005 ? A ? у2,

где E(r) - ожидаемая доходность,

U - полезность,

A - число, характеризующее отношение инвестора к риску.

Число 0.005 в формуле позволяет выражать ожидаемую доходность и стандартное отклонение в процентах, а не в долях единиц. Согласно формуле можно сказать, что полезность увеличивается по мере роста ожидаемой доходности и уменьшается по мере роста риска. Размер, на который снижается полезность зависит от значения A, т.е. степени отношения инвестора к риску. Чем выше значение A, тем более консервативен инвестор, т.е. менее склонен к риску. Нейтральные к риску инвесторы имеют значение A=0.

Если про анализировать формулу можно увидеть, что полезность "безрискового" актива (чаще всего это - T-Bills) является простой ставкой доходности этого "безрискового" актива, т.к. дисперсия равна 0, а следовательно и нет риска. Такой "безрисковый" актив будет для нас критерием или эталон (benchmark), с которым мы будем сравнивать наши рисковые портфели.

Пример

Предствим следующую ситуацию: наш портфель имеет ожидаемую доходность в 20%, но при этом риск (стандартное отклонение) 40%. "Безрисковый" актив, скажем ГКО (на сколько они безрисковы - решать вам), имеют доходность в 7%. Следовательно, премия над риском 13% (доходность портфеля - безрисковая доходность) Довольно не плохая премия, однако риск на столько велик, что может заставить очень консервативного инвестора купить исключительно ГКО. Таким образом используя формулу 6.1, для довольно умеренного в отношении риска инвестора с показателем A = 2 полезность нашего портфеля будет 20 - (0.005*2*40^2) = 4%, что на целых 3% процента ниже безрисковой доходности. В таком случае инвестор выберет безрисковый портфель, т.е. купит ГКО. Если в расчете использовать более высокие A (т.е. значения, характеризующие высокую степень избегания риска), то получаются отрицательные значения полезности.

Т.к. при выборе между рисковым портфелем и безрисковым активом мы сравниваем полезность нашего портфеля со ставкой по безрисковому активу, то можно сказать, что полезность портфеля является гарантированной эквивалентной доходностью для инвестора. Таким образом, гарантированная эквивалентная доходность портфеля - это доходность, которую безрисковые вложения должны гарантированного обеспечивать, чтобы быть равнопривлекательным рисковым портфелям. Иными словами, портфель привлекателен только в том случае, если его гарантированная эквивалентная доходность (полезность) выше безрисковой.

2.4 Кривые безразличия

Прежде, чем приступить к выбору оптимального портфеля, нам надо познакомиться еще с одним термином - "кривые безразличия" (indifference curves). Кривые безразличия - это кривые, которые строятся в плоскости "стандартное отклонение - доходность" и отражают отношение инвестора к риску и доходности.

Пример

Допустим все свои средства инвестор держит в безрисковом активе, который обеспечивает доходность в 5%. Уровень избегания риска А = 4. Т.к. риск такого портфеля равен нулю, следовательно полезность (U) = 5%. Теперь определим ожидаемую доходность, которую инвестор будет требовать при том же уровне полезности (U=5), но приобретая теперь в рисковый портфель, с риском (стандартным отклонением) 5%. Для этого воспользуемся формулой:

Требуемая

E(r) = U + 0.005 ? A ? у2,

где E(r) - требуемая ожидаемая доходность,

U - полезность,

A - число, характеризующее отношение инвестора к риску.

Изменяя уровень риска получаем требуемые значения ожидаемой доходности для поддержания уровня полезности равного 5% Теперь, для того, чтобы построить "кривую безразличия" необходимо по оси ординат отложить ожидаемую доходность, а по оси абсцисс стандартное отклонение, т.е. риск. Таким образом, кривая безразличия инвестора, требующего полезности в 5% и с уровнем избегания риска A=4, будет иметь следующий вид:

Данные кривые можно построить для любого инвестора. Например, для более консервативного инвестора, с уровнем избегания риска A=10, кривая будет иметь более крутой угол наклона. Для менее консервативного инвестора, кривая будет более пологой.

Важно отметить два свойства кривых безразличия:

все портфели, лежащие на одной заданной кривой являются равноценными для инвестора;

инвестор будет считать любой портфель, лежащий на кривой, которая находится выше и левее, более привлекательным, чем любой другой портфель, который находится на кривой расположенной ниже и правее.

Оптимальный портфель

Далее можно приступить к нахождению оптимального портфеля и определению его состава. Для это нам понадобится наша эффективная граница, которая была построена в части 5. Ранее я говорил, что предпочитаю не брать на себя большие риски, поэтому давайте построим кривые безразличия с уровнем избегания риска A = 4 и уровнями полезности (U) 4.4, 7.5, 10.4

Как видно из рисунка, кривая безразличия с полезностью равной 7.5% коснулась эффективной границы в точке соответствующей ожидаемой доходности портфеля 1.83% и риску 6.45% (согласно графику). Теперь определим состав нашего оптимального портфеля.

Зная ожидаемую доходность портфеля, который соприкоснулся с кривой безразличия, мы можем определить два так называемых "угловых" портфеля, с ожидаемыми доходностями, окружающими наш оптимальный портфель (ПортО), т.е. надо найти ближайший портфель, имеющий ожидаемую доходность выше оптимального (ПортВ) и ближайший портфель, имеющий ожидаемую доходность ниже (ПортН). Портфель В имеет ожидаемую доходность 1.85%, Портфель Н ожидаемую доходность 1.7%

Используя значения ожидаемых доходностей можно определить и состав оптимального портфеля. Для этого воспользуемся формулой:

ПортО= (ПортВ*Y)+(ПортН*(1-Y)),

где Y доля ПортВ, а 1 - Y - доля ПортН в составе оптимального портфеля.

1.83 = (1.85*Y)+(1.7*(1-Y)). Решая это уравнение, получим Y = 0.87. Это означает, что оптимальный портфель состоит на 87% из портфеля с ожидаемой доходностью выше оптимального (ПортфельВ) и на 13% из портфеля, с ожидаемой доходностью ниже оптимального (ПортфельН).

Для определения состава оптимального портфеля относительно долей бумаг произведем расчет, который и определит его состав:

Примечание. Суммарная доля активов в Портфеле Н меньше 1, ввиду округления до сотых.

Таким образом мы определили состав оптимального портфеля, который состоит из вложений на: 5% в акции РАО ЕЭС, 69% в акции Лукойла и 26% в акции Сургута.

Для проверки полученного результата можно ввести значение доходности 1.83% в Solver и вы получите риск 6.45% и состав оптимального портфеля.

Для более рисковых инвесторов кривые безразличия будут иметь, как я уже упоминал более пологий вид, которым будет соответствовать более высокий риск и как следствие более высокая ожидаемая доходность. А определение состава аналогично вышеописанному.

Существует возможность включения в портфель безрискового актива, скажем, государственных облигаций. В принципе технология нахождения множества портфелей, построения эффективной границы и выбора оптимально портфеля довольно схожи.

Практическая часть

Задача №1.

Представлены к рассмотрению следующие инвестиционные предложения - проекты А, Б, В и Г (табл.1). Составить оптимальную инвестиционную программу, при требуемой доходности170,5%, используя метод временной оптимизации.

Денежный поток проектов

Из-за ограниченности инвестиционного бюджета (81500) одновременное финансирование проектов невозможно, однако, предлагается, что можно последовательно реализовать каждый из этих проектов с отсрочкой на один год.

Метод временной оптимизации реализуется по следующим направлениям:

1. Рассчитывается NPV (чистый дисконтированный доход) по каждому проекту при условии, что финансирование осуществляется: 1-й вариант - в текущий момент времени; 2-й вариант - через один год; 3-й вариант - через два года; 4-й вариант - через три года.

Ставка дисконтирования - 25,4%.

Проект А

1в: NPV = -81456 + 72444/1,254 + 46777/1,254? +23653/1,254? = 18055,749 тыс.руб.

2в: NPV = -81456/1,254 + 72444/1,254? + 46777/1,254? + 23653/1,254⁴ = 14398,5239 тыс.руб.

3в: NPV = -81456/1,254² + 72444/1,254³ + 46777/1,254⁴ + 23653/1,254⁵ = 11482,0765 тыс.руб.

4в: NPV = -81456/1,2541³ + 72444/1,254⁴ + 46777/1,254⁵ + 23653/1,254⁶ = 9156,3608 тыс.руб.

Проект Б

1в: NPV = -65333 + 55542/1,254 + 39342/1,254? + 28331/1,254? = 18344,4774 тыс.руб.

2в: NPV = -65333/1,254 + 55542/1,254? + 39342/1,254? + 28331/1,254⁴ = 14628,7698 тыс.руб.

3в: NPV = -65333/1,254² + 55542/1,254³ + 39342/1,254⁴ + 28331/1,254⁵ = 11665,6857 тыс.руб.

4в: NPV =-65333/1,254³ + 55542/1,254⁴ + 39342/1,254⁵ + 28331/1,254⁶ = 9302,779647 тыс.руб.

Проект В

1в: NPV = -72445 + 64332/1,254 + 47325/1,254? + 19444/1,254? = 18811,884 тыс.руб.

2в: NPV = -72445/1,254 + 64332/1,254? + 47325/1,254? + 19444/1,254⁴ = 15001,5024 тыс.руб.

3в: NPV = -72445/1,254² + 64332/1,254³ + 47325/1,254⁴ + 19444/1,254 = 11962,9205 тыс.руб.

4в: NPV = -72445/1,254³ + 64332/1,254⁴ + 47325/1,254⁵ + 19444/1,254⁶ = 9539,8091 тыс.руб.

Проект Г

1в: NPV = -71555 + 58653/1,254 + 49543/1,254? 23666/1,254? = 18724,6984 тыс.руб.

2в: NPV = -71555/1,254 + 58653/1,254? + 49543/1,254? + 23666/1,254⁴ = 14931,9764 тыс.руб.

3в: NPV = -71555/1,254² + 58653/1,254³ + 49543/1,254⁴ + 23666/1,254⁵ = 11907,4772 тыс.руб.

4в: NPV = -71555/1,254³ + 58653/1,254⁴ + 49543/1,254⁵ + 23666/1,254⁶ = 9495,5959 тыс.руб.

2. Вследствие откладывания от финансирования возникают финансовые потери, определяемые как разница между NPV при различных вариантах реализации проектов.

Проект А

1в: FP1 = 0

2в: FP2 = NPV1 - NPV2 = 18055,479-14398,5239=3657,2251 тыс.руб.

3в: FP3 = NPV1 - NPV3 = 18055,479-11482,0765=6573,6725 тыс.руб.

4в: FP4 = NPV1 - NPV4 = 18055,479-9156,3608=8899,3882 тыс.руб.

Проект Б

1в: FP1 = 0

2в: FP2 = NPV1 - NPV2 = 18344,4774-14628,7698=3715,7075 тыс.руб.

3в: FP3 = NPV1 - NPV3 = 18344,4774-11665,6857=6678,7917 тыс.руб.

4в: FP4 = NPV1 - NPV4 = 18344,4774-9302,7796=9041,6977 тыс.руб.

Проект В

1в: FP1 = 0

2в: FP2 = NPV1 - NPV2 = 18811,884-15001,5024=3810,3816 тыс.руб.

3в: FP3 = NPV1 - NPV3 = 18811,884-11962,9205=68480,9634 тыс.руб.

4в: FP4 = NPV1 - NPV4 = 18811,884-9539,8091=9272,0749 тыс.руб.

Проект Г

1в: FP1 = 0

2в: FP2 = NPV1 - NPV2 = 18724,6984-14931,9764=3792,722 тыс.руб.

3в: FP3 = NPV1 - NPV3 = 18724,6984-11907,4772=6817,2212 тыс.руб.

4в: FP4 = NPV1 - NPV4 = 18724,6984-9495,5959=9229,1026 тыс.руб.

3. Определим индекс возможных финансовых потерь по формуле:

IFP = FP/CFof

Этот показатель характеризует относительную величину финансовых потерь вследствие откладывания проекта.

Проект А

IFP1 = 3657,2251/81456= 0,04489817

IFP2 = 6573,6725/81456 = 0,08070213

IFP3 = 8899,3882/81456= 0,10925393

Проект Б

IFP1 = 3715,7075/65333 = 0,05687336

IFP2 = 6678,7917/65333 = 0,10222693

IFP3 = 9041,6977/65333 = 0,13839404

Проект В

IFP1 = 3810,3816/72445 = 0,05259689

IFP2 = 6848,9634/72445 = 0,09454018

IFP3 = 9272,0749/72445= 0,12798778

Проект Г

IFP1 = 3792,722/71555 = 0,0053004329

IFP2 = 6817,2212/71555 = 0,095272465

IFP3 = 9229,1026/71555= 0,128979143

4. При выборе проектов для первоочередного финансирования используется максимальное значение IFP.

Вывод: Расчетным путем выявлено, что в текущий момент времени необходимо финансировать проект Б ( max значением IFP = 0,05687336), а проекты А, В и Г отложить на следующий год.

Через год приступим к финансированию проекта Г (max значением IFP = 0,09527246), а проекты А и В откладываются еще на один год.

Через два года приступаем к финансированию проекта В (max значением IFP = 0,12798778), а проект А будет инвестироваться еще через год, в последнюю очередь.

Таким образом, инвестиционная программа будет состоят из последовательного финансирования проектов «Б» - «Г» - «В» - «А».

Задача№2

Анализируются три финансовых актива, ожидаемая доходность которых зависит от состояния рынка.

Исходные данные

Необходимо найти:

1) среднеквадратическое отклонение (д),

2) ожидаемую доходность по каждому активу (R), COV комбинаций (АБ, АВ, БВ),

3) r комбинаций.

1. R_А = (14*0,42)+(18*0,27)+(20*0,31) = 16,94%

R_Б = (12*0,42)+(14*0,27)+(16*0,31) = 13,78%

R_В = (16*0,42)+(13*0,27)+(11*0,31) = 13,64%

2. д_Rа = v(14-16,94)²*0,42+(18-16,94)²*0,27+(20-16,94)²*0,31 = 2,61534%

д_Rб = v(12-13,78)²*0,42+(14-13,78)²*0,27+(16-13,78)²*0,31 = 1,6946%

д_Rв = v(16-13,64)²*0,42+(13-13,64)²*0,27+(11-13,64)²*0,31 = 2,1417%

3. COV_(АБ) = (14-16,94)*(12-13,78)*0,42+(18-16,94)*(14-13,78)*0,27+(20-16,94)*(16-13,78)*0,31 = 4,37%

COV_(АВ) = (14-16,94)*(16-13,64)*0,42+(18-16,94)*(13-13,64)*0,27+(20-16,94)*(11-13,64)*0,31 = -5,6 %

COV_(БВ) = (12-13,78)*(16-13,64)*0,42+(14-13,78)*(13-13,64)*0,27+(16-13,78)*(11-13,64)*0,31 = -3,62%

4. r_(АБ) = 4,37/(2,61534*1,6946) = 0,985

r_(АВ) = -5,6/(2,61534*2,1471) = -1

r_(БВ) = -3,62/(1,6946*2,1471) = -0,99

Комбинация АВ

x_А = (д_Rв - COV_(АВ)) / д_Rа²₊ д_Rв² - 2* COV_(АВ))

x_В= 1 - x_А

x_А = 2,1471²-(-5,6)/2,61534²+2,1471²-2*(-5,6) = 0,45

x_В = 1-0,475 = 0,55

R_n^АВ= x_А* R_А + x_В* R_В

R_n^АВ = 0,45*16,94+ 0,55*13,64 = 15,128%

д_Rn^АВ = vx_А²* д_Rа² + x_В²* д_RВ² + 2 x_А*x_В* r_(АВ)*д_Rа*д_RВ

д_Rn^АВ = v0,45²*2,61534²*+0,55²*2,1471²+2*0,45*0,55*(-1)*2,61534*2,1471 = 0,0525%

Комбинация БВ

X_Б = (д_RВ - COV_(БВ)) / д_RБ²₊ д_Rв² - 2* COV_(БВ))

X_В = 1 - x_Б

X_Б = 2,1471²-(-3,62)/1,6946²*2,1471²+2*(-3,62) = 0,56

x_В = 1-0,56 = 0,44

R_n^БВ = x_Б* R_Б+ x_В* R_В

R_n^БВ = 0,56*13,78+0,4*13,64 = 13,718%

д_Rn^БВ = vx_Б²* д_RБ² + x_В²* д_RВ² + 2 x_Б*x_В* r_(БВ)*д_RБ*д_RВ

д_Rn^БВ = v0,56*1,6946²+0,44²*2,1471²+2*0,56*0,44*(-0,99)*1,6946*2,1471 = 0,0975%

Вывод: Если целью инвестора является вложение средств в несколько активов, то данная стратегия ведет к получению определенных доходов при уменьшении риска и называется портфельным.

Инвестор стремиться создать эффективный портфель, который максимизирует доходность при заданном уровне риска, или уменьшить риска при заданном уровне доходности.

Из проведенных расчетов можно сделать вывод, что процедура диверсификации позволяет снизить риск портфеля по сравнению с риском отдельных активов. Таким образом, коэффициент корреляции должен быть как можно ближе к значению «-1», это будет свидетельствовать о том, что портфель будет более эффективным и, следовательно, нужно в дальнейшем анализировать проекты АВ и БВ.

Рассчитав ожидаемую доходность и уровень риска каждого из проектов, можно сделать вывод, что инвестору лучше всего вкладывать свои инвестиции в портфель АВ с ожидаемой доходностью 15,128% и уровнем риска 0,0525%, так как у этого портфеля доходность по сравнению с портфелем БВ выше и уровень риска ниже.

Портфель АВ содержит 45% актива А и 55% актива В.

Задача №3

Имеются следующие исходные данные

X - среднегодовая стоимость производственных фондов (млн.руб.)

Y - средне годовая выручка от продаж (млн.руб.)

По условиям задачи необходимо оценить зависимость между покупателями на основе проведения корреляционно-регрессионного анализа, который сводиться к измерению связи и установлению зависимости между x и y.

Необходимо построить, обработав статистическую информацию, регрессионную модель:

y = a + bx,

где: a и b - параметры уравнения регрессии, которые необходимо определить, проведя анализ.

Для нахождения a и b по методу наименьших квадратов, составляем расчетную таблицу.

Полученные итоговые значения из расчетной таблице подставляем в систему нормальных уравнений: