Хотя параметр вj представляет особый интерес и важность, в нашем уравнении оценки (2.5.2) появляется другой параметр, который был добавлен специально, а именно бj. В связи с этим вспомним, что бj не присутствуют в уравнении (2.5.1), которое является линейным уравнением, аналогичным уравнению (2.5.2). На основании финансовой теории, лежащей в основе модели ЦОК и представленной в уравнении (2.5.1), можно было бы ожидать оценок для бj в среднем близких к нулю (более подробно это рассматривается далее). Фактически типичный эмпирический результат, полученный при оценке параметров уравнения (2.5.2), состоит в том, что оценка бj по методу наименьших квадратов незначительно отличается от нуля. Нулевая гипотеза в отношении того, что бj = 0, может быть проверена стандартными методами с помощью соответствующих t-статистик при некотором предварительно установленном уровне значимости. Более того, если вам необходимо включить ограничение в виде бj = 0 в уравнение (2.5.2), большая часть программ регрессии для ЭВМ обеспечит варианты, которые позволят пользователю опустить постоянный член из этого уравнения парной регрессии.

Следует отметить, что в некоторых инвестиционных фирмах характеристики портфельных менеджеров ценных бумаг были случайно оценены посредством вычисления прогнозов прибылей, которые могли бы получить менеджеры, на основании бета - значений компаний, участвующих в составе их портфелей, и путем вычитания этих прогнозных прибылей из реально полученных прибылей. Таким образом, получили неявную оценку величины a для данного менеджера. Если реальная прибыль больше, чем прибыль, прогнозируемая с помощью величины для общего портфеля, то считается, что менеджер портфеля обеспечил положительное значение а, и он получает соответствующее вознаграждение. Такие простые схемы определения вознаграждения менеджера сейчас редко используются, но они предлагают интересную интерпретацию а для менеджеров, занимающихся составлением портфелей. Доугерти К., Введение в эконометрику. - М.: Дело, 2007. - 310 с.

Предположим, что специалист по анализу рынка ценных бумаг использовал ежемесячные данные временных рядов частной компании за последние пять лет и оценил параметры б и в, используя для этого обычные методы линейной регрессии. Возможно, что этот специалист получил эмпирический результат, состоявший в том, что для частной компании оценка величины а оказалась положительной и статистически значимо отличной от нуля. Это могло бы означать, что даже если ожидается, что рынок в целом ничего не заработает (т.е. если rm-- rf в уравнении (2.5.2) равняется нулю), инвесторы этой копании ожидают положительный темп роста цены. (Отметим, например, что оценка б, основанная на ежемесячных данных и равная 0,67, интерпретируется как годовой темп роста цены, примерно равный произведению 12*0,67, или около 8% в год.) Для какой-нибудь другой компании этот специалист может получить оценку а отрицательную и значимо отличную от нуля. Истинные последователи применения модели ЦОК могут поэтому утверждать, что в среднем можно ожидать оценок б, равных нулю.

По этой причине возникает важный вопрос о возможности проверки модели ЦОК. Здесь можно сделать пять замечаний.

Во-первых, финансовая теория, лежащая в основе модели ЦОК, явно использует ожидаемые прибыли, в то время как мы можем наблюдать лишь реализованные прибыли. Поэтому процедура строгой проверки модели ЦОК становится более трудной, но все же выполнимой задачей, использующей более сложные эконометрические методы.

Во-вторых, в соответствии с моделью ЦОК, рыночный портфель должен включать все связанные с риском инвестиции, тогда как большинство рыночных показателей и оценок для rт строятся на основании только ограниченного числа акций, скажем, тех, которые продаются на Нью-Йоркской фондовой бирже (тем самым исключаются все остальные активы, продаваемые в мире и связанные с риском, такие, например, как человеческий капитал, предпринимательская способность и частное имущество). Сбор достаточных данных о связанных с риском капиталах для оценки величины rт в действительности мог бы стать трудной и чрезвычайно дорогостоящей задачей. В этом контексте следует отметить, что проведенные эмпирические исследования на основе модели ЦОК выявили тот факт, что оценки величины в в значительной степени зависят от выбора rт в частности, измерения величин rт основанные на индексе Доу-Джонса («Dow Jones 30 Industrials Index»), давали результаты, существенно отличающиеся от тех, которые были основаны на индексах «Standard & Poor 500» и «Wilshire 5000». В настоящее время Научно-исследовательский центр цен на ценные бумаги (Center for Research on Securities Prices -- CRSP) при Чикагском университете, финансируемый по большей части корпорацией « Lynch, Pierce, Fenner & Smith, Inc.», познакомил исследователей с оценками величины rт, основанными на операции взвешенной стоимости всех акций, котирующихся на Нью-Йоркской и Американской фондовых биржах.

В-третьих, в качестве безрискового актива обычно используются 30-дневные казначейские векселя США, которые являются действительно безрисковыми только в том случае, если хранятся в портфеле до момента погашения. Далее, даже если такая бумага хранится до погашения, она является безрисковой, опять таки только символически -- неопределенность, связанная с инфляцией, делает реальную норму прибыли неопределенной. Поэтому представляется трудным, даже почти невозможным, получение хорошего критерия для оценки прибыли безрискового актива. А это, в свою очередь, еще больше затрудняет процесс проверки модели ЦОК.

В-четвертых, в статистике существует строгая традиция, согласно которой нельзя проверить конкретную модель, если не существует альтернативная жизнеспособная модель, с которой ее можно сравнивать. В случае с моделью ЦОК может быть использована одна альтернативная модель, получившая название простой модели арбитражного ценообразования, которая была разработана С. Россом. Суть его разработки состояла в простейшей интерпретации, включающей в основном добавление переменных, таких, как темпы неожиданной инфляции, в правую часть уравнения (2.10). Если правильно учтены все указанные выше аспекты, можно сравнить модель ЦОК с моделью арбитражного ценообразования посредством проверки нулевой гипотезы о том, что параметры дополнительных переменных в правой части одновременно равны нулю.

И, наконец, в-пятых, более неформальный метод проверки модели ЦОК включает проверку соответствия прогнозов, сделанных на ее основе, тому, что наблюдается в действительности. В этом контексте следующие два аспекта, касающиеся модели ЦОК, по-видимому, не будут совпадать с наблюдениями на практике.

Одно из важных положений модели ЦОК состоит в том, что связь между риском и прибылью является не только линейной, но и положительной. Однако, как было отмечено Ф. Блэком, М. Йенсеном и М. Шоулсом (Fischer Black, Michael Jensen and Myron Scholes, 1972), имелось несколько случаев, когда эта зависимость была отрицательной, а не положительной. В частности, ими было установлено, что в течение девятилетнего периода, с апреля 1957 г. по декабрь 1965 г., ценные бумаги с более высокими значениями в давали более низкую прибыль по сравнению с ценными бумагами с меньшим риском (с более низкими значениями в). Причина этого до сих пор полностью не установлена, что свидетельствует о некоторой противоречивости структуры модели ЦОК.

Другой вывод модели ЦОК заключается в том, что ценная бумага с нулевым значением в должна давать прибыль, точно равную безрисковой ставке. Указанные выше исследователи изучили прибыли от ценных бумаг на Нью-Йоркской фондовой бирже за 35 летний период и установили, что измеренная норма прибыли с нулевым в превысила норму прибыли, свободную от риска, а это означает, что некоторый несистематический (без в) риск делает прибыль для портфеля с нулевым в большей по сравнению с той, что прогнозируется моделью ЦОК. Более того, фактическая зависимость риск--прибыль, изученная Блэком, Йенсеном и Шоулсом, оказывается более пологой, чем спрогнозированная с помощью модели ЦОК. Поэтому неясно, какие факторы, кроме премии за рыночный риск, необходимо оценивать на рынке. В соответствии с моделью ЦОК имеет значение только рыночный риск, поскольку несистематический риск может быть диверсифицирован. В настоящее время проводятся многочисленные исследования, в которых делается попытка определить, какие еще факторы, кроме rт, влияют на рыночный риск.

В этом контексте следует отметить, что некоторые инвестиционные компании, такие как «Lynch, Pierce, Fenner and Smith», регулярно публикуют «бета - справочники», где даются оценки б и в в рамках моделей стандартной регрессии по методу наименьших квадратов, а также оценки для «регулируемого в», где делается попытка рассмотреть указанную выше проблему для портфеля с нулевым в, используя для этого более сложные байесовские статистические процедуры. Хотя байесовские процедуры представляют большой интерес, они не рассматриваются .мною.

Здесь следует вкратце отметить несколько других эконометрических аспектов. Компьютерные программы построения регрессии обычно выдают значения коэффициента детерминации R2, стандартных ошибок коэффициентов регрессии и t-статистик. Эти и другие стандартные статистические величины представляют особый интерес с точки зрения интерпретации и использования в рамках модели ЦОК. Рассмотрим, например, простую корреляцию между премией за риск от j-й ценной бумаги (rm -rf) и премией за рыночный риск (rm -- rf) как переменные в левой и правой части, соответственно, в уравнении регрессии для модели (2.10). Выборочный коэффициент корреляции между ними может быть переписан следующим образом:

(2.12)

где уjm ,у2т , у2 -- выборочные ковариации и дисперсии для rm - rj

rj - rf ; вj -- оценка по методу наименьших квадратов для вj .

Следовательно, выборочная корреляция между премиями за портфельный и рыночный риск является произведением оценки МНК для вj и отношения выборочных стандартных отклонений премий за портфельный и рыночный риски.

Стандартная ошибка остатка в уравнении регрессии (2.10) также имеет полезную интерпретацию. В частности, в то время как левая часть уравнения (2.10) отражает влияние на портфель как специфического (несистематического), так и рыночного (систематического) риска для компании j, член вj(rm- rf) в правой части уравнения отражает только влияние рыночного риска. Отсюда следует, что оцененный остаток в уравнении (2.10) включает только эффекты специфического (несистематического) риска. Стандартная ошибка остатка (называемая также стандартной ошибкой регрессии) вычисляется как квадратный корень из s2, где s2 определяется следующим образом:

(2.13)

В этом соотношении «невязка» et является остатком по методу наименьших квадратов для t-го наблюдения, поэтому это обеспечивает оценку среднего квадратического отклонения специфического (несистематического) риска -- риска для портфеля, которое не реагирует на колебания цен на рынке. Большая относительная стандартная ошибка остатка, скажем около 15% в месяц, указывает на то, что значительные изменения в премии за риск для портфеля можно было бы объяснить изменениями в премии за рыночный риск.

Далее, поскольку значение R2 из выходных данных регрессии, полученных с помощью ЭВМ, указывает какая часть изменений зависимой переменной объясняется изменением в правой части независимой переменной модели (2.10), то R2 измеряет рыночную (систематическую) долю общего риска. С другой стороны, 1 - R2 определяет долю общего риска, которая является специфической (несистематической). В работе У. Шарпа (William F. Sharpe, 1985, ) отмечается, что для отдельной компании типичное значение критерия R2 из уравнения модели ЦОК составляет примерно 0,30, но по мере осуществления диверсификации ценных бумаг компании в более крупный портфель значение коэффициента детерминации R2 увеличивается за счет уменьшения специфического риска при осуществлении диверсификации.

Важно отметить, что, так как в модели парной регрессии R2 = р2тj , большими значения для R2 не обязательно согласуются с большими значениями оценок вj . Чтобы показать это, отметим, что в соответствии с (2.8)

R2 = с2jm =в2j .у2m/у2j (2.14)

Отсюда следует, что для некоторых акций с очень большой дисперсией у2j критерий R2 может быть низким даже при большом значении оценки вj; в таких случаях реакция конкретной акции (или портфеля) на колебания цен на рынке является весьма резкой, тем не менее, изменение рынка объясняет лишь небольшую часть большой изменчивости акции. Уравнение регрессии для других акций может иметь высокое значение R2, но низкую оценку вj ; это может произойти в том случае, когда изменение в премии за риск для акции (или портфеля ценных бумаг) будет небольшим по сравнению с изменением в премии за рыночный риск. Иными словами, отношение выборочных дисперсий в уравнении (2.13) будет большим. Более того, отметим, что очень низкое значение R2 не означает, что модель ЦОК неверна; наоборот, это просто указывает на то, что общий риск активов конкретной компании почти полностью относится к данной компании и не связан с рынком в целом.

Одним из типовых конечных результатов регрессии, который представляет для нас сейчас особый интерес, является t-статистика. Ранее отмечалось, что t-статистика для оценки коэффициента а может быть использована для непосредственной проверки нулевой гипотезы, что б = 0, против альтернативной гипотезы, что б ? 0. Отсутствие оснований для отвержения этой нулевой гипотезы может рассматриваться как основание в поддержку модели ЦОК.

Аналогично, t-статистика для оценки в может быть использована для проверки гипотезы в = 0 против альтернативной гипотезы в ? 0.

Довольно часто оказывается интересным проверить другие гипотезы, в частности, гипотезу о соответствии движения цен на акции конкретной компании движению цен на рынке в целом. Это означает проверку нулевой гипотезы в = 1 при альтернативной гипотезе в ? 1. Для проверки такой гипотезы можно взять оцененную стандартную ошибку оценки в (обычно вычисляемую с помощью ЭВМ), построить доверительный интервал для некоторого приемлемого доверительного уровня (например, 95 или 99%) и затем определить, попадает ли в = 1 в этот доверительный интервал. Если ответ положительный, то нулевая гипотеза не отвергается, а если ответ отрицательный, то нулевая гипотеза отвергается.

До перехода к выполнению упражнений следует сделать еще одно замечание. Так как с помощью модели ЦОК знание значения параметра в позволяет вычислить значение требуемой прибыли от конкретной акции, она также косвенным образом позволяет вычислить всю долю стоимости капитала компании. Для компании, которая рассматривает конкретный инвестиционный проект, комбинация ожидаемой прибыли и соответствующего значения в оказывает большее влияние на принятие инвестиционного решения, чем стоимость капитала (если речь идет о компании, обладающей хорошими управленческими кадрами). Если компания рассматривает новый проект, который представляет больший риск по сравнению с проектами со средним риском, то она может рассчитывать на большую ожидаемую прибыль, поскольку такой проект увеличит средний риск компании, и, в соответствии с моделью ЦОК, приведет к тому, что инвесторы потребуют большей прибыли. Это означает, что по аналогии с уравнением (2.8) проекты также имеют свои собственные бета - коэффициенты, и если в для конкретного проекта будет выше в, среднего по компаниям, то требуемая ожидаемая норма прибыли также должна быть выше

На этом завершается обсуждение теории, лежащей в основе модели ЦОК, и наш краткий обзор эконометрических аспектов, использованных при оценке параметров. Теперь можно перейти к практической реализации модели ЦОК.

ГЛАВА 3. Практическая работа с моделью ЦОК

В этой главе мы применим теорию, описанную в предыдущих параграфах, для формирования оптимального портфеля ценных бумаг. Для этого нам потребуются некоторые реальные данные, на основе которых, мы будем проводить наше исследование. В настоящее время Научно-исследовательский центр цен на ценные бумаги (Center for Research on Securities Prices -- CRSP) при Чикагском университете, финансируемый по большей части корпорацией « Lynch, Pierce, Fenner & Smith, Inc.», познакомил исследователей с оценками величины rт, основанными на операции взвешенной стоимости всех акций, котирующихся на Нью-Йоркской и Американской фондовых биржах. К счастью, мы получили доступ к этим рядам данных и в этой главе будем использовать значения показателя rт. CRSP приводит данные о ежемесячных доходностях за десятилетний период(с января 1978 по декабрь1987) 17 крупных компаний Нью-Йоркской фондовой биржи (таб. 2), из акций которых мы будем формировать оптимальный портфель ценных бумаг. Также имеются данные о доходностях рынка и бумаг с безрисковой ставкой.

На основании этих определений мы можем теперь представить важный принцип оптимальности портфеля ценных бумаг, выведенный в финансовой теории. Если две ценные бумаги в портфеле имеют одинаковое значение в, но разные ожидаемые прибыли, то этот портфель не может быть оптимальным в смысле обеспечения максимальной прибыли для данного риска. Причина того, что такой портфель ценных бумаг не мог быть оптимальным, заключается в том, что можно было бы получить более высокую прибыль без увеличения риска, имея больше ценных бумаг с более высокой прибылью. Поэтому если портфель ценных бумаг является оптимальным, все ценные бумаги с тем же самым значением в должны иметь идентичные ожидаемые прибыли.

Другими словами, вычислив значения в и средней ожидаемой прибыли r для каждой ценной бумаги, мы, возможно, сможем сразу исключить некоторые ценные бумаги, у которых при одинаковых значениях в будут разные значения r.

Проводить вычисления мы будем в среде EViews и MathCad. В работе будут приведены самые важные и интересные нам результаты регрессионного анализа в виде таблиц.

Сформируем таблицу доходности и риска по всем семнадцати бумагам при помощи EVeiws и представим их в виде следующей таблицы (таб. 3).

На рисунке 3.1.1 мы видим, как в программе EViews вычисляются среднее значение доходности, ее дисперсия и стандартное отклонение.

Рис 3.1.1 Основные статистические данные

Таблица 3

Риск-доходность

	rср	rmax	rmin	у	Сумма
BOISE	0.016675	0.379000	-0.274000	0.0974	2.001000
CITCRP	0.011858	0.318000	-0.282000	0.0809	1.423000
CONED	0.018508	0.151000	-0.139000	0.0502	2.221000
CONTIL	-0.001100	0.974000	-0.600000	0.1506	-0.132000
DATGEN	0.007483	0.528000	-0.342000	0.1275	0.898000
DEC	0.019750	0.385000	-0.364000	0.0991	2.370000
DELTA	0.011692	0.289000	-0.260000	0.0959	1.403000
FREE	0.006839	0.012550	0.002070	0.0021	0.820630
GENMIL	0.016583	0.190000	-0.148000	0.0650	1.990000
GERBER	0.016400	0.234000	-0.288000	0.0877	1.968000
IBM	0.009617	0.150000	-0.187000	0.059024	1.154000
MARKET	0.013992	0.148000	-0.260000	0.068353	1.679000
MOBIL	0.016192	0.366000	-0.178000	0.080308	1.943000
MOTOR	0.018158	0.270000	-0.331000	0.097987	2.179000
PANAM	0.003517	0.406000	-0.313000	0.1318	0.422000
PSNH	-0.004217	0.318000	-0.485000	0.1094	-0.506000
TANDY	0.025008	0.454000	-0.246000	0.1275	3.001000
TEXACO	0.011942	0.399000	-0.194000	0.079704	1.433000
WEYER	0.009633	0.270000	-0.271000	0.085066	1.156000

где

rcр-средняя доходность бумаги

rmin- минимальная доходность бумаги

rmax-максимальная доходность бумаги

у - собственный риск бумаги

3.1 Расчет бета - значений ценных бумаг

Для расчета в-значений снова обратимся к предыдущим параграфам, а именно, вспомним

rj-rf=(уj/уm)*(rm-rf), (3.2.1)

в=(уj/уm) (3.2.2)

где rj, rf -- соответственно, прибыли для ценной бумаги j и безрискового актива;

rт -- прибыль общего рыночного портфеля ценных бумаг;

уj/уm -- отношение стандартных отклонений прибылей ценной бумаги j и рыночного портфеля m. Член rj - rf является премией за риск для ценной бумаги j, в то время как rm - rf представляет собой премию за риск для всего рынка.

Используя парный регрессионный анализ, составим модель ЦОК для каждой ценной бумаги в среде EVeiws. Оценивать бета - значения мы будем относительно премий за риск каждой бумаги rj - rf и премией за риск для всего рынка в целом. Для этого составим модель ЦОК для каждой ценной бумаги:

rj-rf=б+вj*(rm-rf)+е, (3.2.3)

где rj, rf -- соответственно, прибыли для ценной бумаги j и безрискового актива;

rт -- прибыль общего рыночного портфеля ценных бумаг;

е- стохастическое возмущение;

В этой модели известны все значения кроме в. Определим эти значения методом наименьших квадратов. В среде EViews это делается совсем не сложно. Ниже мы приведем уже результаты вычисления значений в и R2 для одной ценной бумаги, а для остальных бумаг проведем расчеты по аналогии .

Представление этих данных в EViews выглядит следующим образом.

Dependent Variable: IBM-FREE
Method: Least Squares
Date: 05/23/12 Time: 14:41
Sample: 1978M01 1987M12
Included observations: 120
(IBM-FREE)=C(1)+C(2)*(MARKET-FREE)
	Coefficient	Std. Error	t-Statistic	Prob.
C(1)	-0.000490	0.004640	-0.105515	0.9161
C(2)	0.456821	0.067548	6.762932	0.0000
R-squared	0.279333	Mean dependent var	0.002778
Adjusted R-squared	0.273226	S.D. dependent var	0.059299
S.E. of regression	0.050553	Akaike info criterion	-3.115075
Sum squared resid	0.301558	Schwarz criterion	-3.068617
Log likelihood	188.9045	Hannan-Quinn criter.	-3.096208
F-statistic	45.73725	Durbin-Watson stat	1.882688
Prob(F-statistic)	0.000000

Рис 3.2.1 Представление данных в EViews

Первое, на что мы обращаем свое внимание на рисунке 3.2.1, это то, какое значение мы получили для свободного коэффициента б (во всех случаях примерно одинаковые). Проверив нулевую гипотезу и оценив t-статистику делаем вывод о том, что коэффициент б не значим и равен практически нулю.

Посмотрев еще раз на уравнение (3.2.3), очевидно, что при нулевой премии за риск рынка, премия за риск каждой бумаги будет тоже ровна нулю. Также в этой таблице мы можем наблюдать значение в и R2 (доля рыночного риска). Доли и рассчитанные количественные значения несистематического и рыночного рисков продемонстрированы в

Приложении 2.

Далее представим полученные данные в виде таблицы бета-значений и доходности r по каждой бумаге (таб. 4).

Таблица 4

Бета-значения и доходности

Компании	в	Доходность, r
BOISE	0,941171	0.016675
CITCRP	0,635063	0.011858
CONED	0,140958	0.018508
DATGEN	1,008161	0.007483
DEC	0,8661	0.019750
DELTA	0,503494	0.011692
GENMIL	0,304958	0.016583
CONTIL	0,715237	-0.001100
IBM	0,462522	0.009617
MOTOR	0,826102	0.018158
PANAM	0,71073	0.003517
TANDY	1,085164	0.025008
TEXACO	0,623015	0.011942
WEYER	0,811664	0.009633
PSNH	0,191795	-0.004217
GERBER	0,646995	0.016400
MOBIL	0,711504	0.016192

Далее, следую приведенной выше теории о том, что в оптимальном портфеле ценных бумаг, активы с одинаковыми коэффициентами в должны иметь одинаковые доходности, в противном случае, бумаги с меньшей доходности становятся не рентабельными для инвестора с точки зрения получения наибольшей прибыли при заданном уровне риска, и не включаются в портфель ценных бумаг. Берндт Э., Практика эконометрики : классика и современность. -М.: Финансы и статистика. 2009. Следуя этому принципу исключим некоторые бумаги, после чего у нас останется всего 9 бумаг, из которых мы и будем составлять оптимальный портфель активов. Наш портфель будет состоять из следующих бумаг (таб. 5).

Таблица 5

Бета-значения и доходности оставшихся бумаг

Компании	в	r
BOISE	0,941171	0.016675
CONED	0,140958	0.018508
DEC	0,8661	0.019750
DELTA	0,503494	0.011692
GENMIL	0,304958	0.016583
GERBER	0,646995	0.016400
IBM	0,462522	0.009617
MOBIL	0,711504	0.016192
TANDY	1,085164	0.025008

3.2 Составление оптимального портфеля

Итак, теперь, когда мы исключили часть бумаг из нашего портфеля, у нас осталось всего девять разных интересных нам бумаг, тем самым значительно упростив себе вычисления. Почему так? Об этом речь пойдет ниже. Приведем данные по оставшимся девяти бумагам (таб. 6).

Таблица 6

Риск-доход портфельных бумаг

	Компания	Риск, у	Доход, r
1	BOISE	0,0095	0.016675
2	CONED	0,0025	0.018508
3	DEC	0,0098	0.019750
4	DELTA	0,0091	0.011692
5	GENMIL	0,0042	0.016583
6	GERBER	0,0076	0.016400
7	IBM	0,0034	0.009617
8	MOBIL	0,0064	0.016192
9	TANDY	0,0162	0.025008

Рассмотрим случай, когда инвестор использует диверсификацию, имея п ценных бумаг, где п может быть больше 2. Как и до этого, ожидаемая прибыль от всего портфеля ценных бумаг является средним взвешенным числом ожидаемых от различных ценных бумаг rj, где весовые коэффициенты wj являются долями общих ассигнований (общего капитала), вложенных в каждую ценную бумагу, т.е.

(3.3.1)

И опять при п ценных бумагах общая дисперсия портфеля ценных бумаг зависит не только от дисперсий п отдельных ценных бумаг, но также от их ковариаций. В частности, дисперсия портфеля ценных бумаг вычисляется как:

(3.3.2)

где-- ковариация между прибылями от ценных бумаг i и j;

уj2 -- дисперсия.

Отметим, что дисперсия для всего портфеля ценных бумаг в уравнении (3.3.2) состоит из п дисперсий и п(п -- 1) ковариаций, причем п(п -- 1)/2 из них будут разными. Поэтому чем больше п, при других равных условиях, тем больше относительная важность ковариаций ценных бумаг для дисперсии всего портфеля. Например, когда п равно 5, имеется пять дисперсий и 20 ковариаций, когда п увеличивается до 10, количество дисперсий увеличивается до 10, но количество ковариаций в уравнении (3.3) увеличивается до 90. По мере того как п становится очень большим, дисперсия портфеля ценных бумаг приближается к (взвешенному) среднему числу ковариаций. Следовательно, ковариаций будут чрезвычайно важны в процессе диверсификации.

Итак, на основе изученной нами теории мы можем составить целевую функцию, по средствам которой, мы вычислим весовые коэффициенты (доли) ценных бумаг в портфеле. Для этого нам понадобится составить ковариационную матрицу в EViews (таб 7).

Таблица 7

Ковариационная матрица

	BOISE	CONED	DEC	DELTA	GENMIL	GERBER	IBM	MOBIL	TANDY
BOISE	0.0094	0.0010	0.0052	0.0042	0.0022	0.0025	0.0026	0.0025	0.0062
CONED	0.0010	0.0025	0.0005	0.0004	0.0010	0.0007	0.0003	0,0006	0.0006
DEC	0.0052	0.0005	0.0097	0.0040	0.0013	0.0014	0.0026	0.0032	0.0062
DELTA	0.0042	0.0004	0.0040	0.0091	0.0023	0.0015	0.0019	0.0010	0.0056
GENMIL	0.0021	0.0011	0.0013	0.0023	0.0042	0.0019	0.0006	0.0002	0.0033
GERBER	0.0025	0.0007	0.0014	0.0016	0.0020	0.0076	0.0015	0.0022	0.0022
IBM	0.0026	0.0003	0.0026	0.0019	0.0006	0.0015	0.0034	0.0015	0.0025
MOBIL	0.0025	0,0006	0.0032	0.0010	0.0002	0.0022	0.0015	0.0063	0.0023
TANDY	0.0062	0.0006	0.0063	0.0056	0.0033	0.0022	0.0025	0.0023	0.0161

Задача по составлению оптимального портфеля ценных бумаг сводится к нахождению весовых коэффициентов x1,x2,x3…x9 в уравнении(3.2)

Теперь необходимо решить задачу нелинейного программирования - найдем доли акций в оптимальном портфеле с заданной доходностью rp и минимальным риском уp. Для этого зададим целевую функцию и ее ограничения.

Ограничения:

x1+x2+x3+…+x9 = 1

x1, x2, x3…x9 >= 0

сумма всех долей равна единице, и они все должны быть неотрицательными.

где rp - желаемая доходность портфеля;

xj -доля j-ой бумаги в портфеле.

Тогда целевая функция будет выглядеть так:

,

Дальнейшие вычисления будем проводить в MathCad, используя метод неопределенных множителей Лагранжа, который позволяет свести задачу нелинейного программирования к решению системы уравнений. (см. Приложение 3)

В результате получаем весовые коэффициенты для всех бумаг, и представляем их в следующем виде (рис 3.3.1) :



Рис. 3.3.1 Представление результатов в MathCad.

Получив два отрицательных значения x - весового коэффициента ценных бумаг 1 и 4(BOISE и DELTA), мы исключаем эти бумаги из портфеля. Обратим внимание на (таб. 6), не трудно заметить, что соотношение показателей риск-доход у этих бумаг куда хуже, чем у остальных, очевидно, их надо исключить.

Теперь снова решаем поставленную выше задачу, исключив из ограничений и целевой функции все коэффициенты и переменные, связанные с этими бумагами.

Вычисления проводим в MathCad по аналогии с предыдущими (см. Приложение 4).

3.3 Анализ полученных результатов

Получившиеся результаты удовлетворяют всем ограничениям, и риск, при получившихся значениях весовых коэффициентов акций, будет минимальным. Представим их в виде следующей таблицы (таб. 8).

Таблица 8

Доли акций в портфеле

	Компания	Риск	Доходность	%
11	CONED	0.050272	0.018508	55.4%
22	DEC	0.099144	0.019750	5.4%
23	GENMIL	0.065040	0.016583	13.4%
34	GERBER	0.087738	0.016400	4.9%
35	IBM	0.059024	0.009617	6.7%
36	MOBIL	0.080308	0.016192	10.4%
27	TANDY	0.127566	0.025008	3.8%
1	Портфель	0.043361	0.018034

Рис 3.3.2 Доли акций в портфеле.

При таком составление портфеля риск будет минимальным и равным 0.04, при достигнутом доходе в 0.018. В этой таблице хорошо видно, что риск портфеля будет меньше чем у каждой, отдельно взятой, ценной бумаги, а доходность всего портфеля в свою очередь будет выше средней по всем ценным бумагам. Теперь построим по аналогии еще четыре портфеля с разными заданными доходностями. Возьмем доходности равные минимальному, максимальному и среднему значения среди акций портфеля. Полученные результаты представлены в Приложении 5.

Давайте понаблюдаем, как будет меняться значение риска, когда мы будем увеличивать или уменьшать значение желаемой доходности (Рис 3.3.3).

Рис (3.3.3) Зависимость риск-прибыль.

Таким образом, мы составили оптимальные портфели ценных бумаг с минимальным, для заданных доходностей, риском на основе приведенных данных обо всех компаниях и рынке в целом. Также нам удалось убедиться в эффективности диверсификации, на конкретных примерах составления портфелей ценных бумаг.

Заключение

В данной дипломной работе была рассмотрена задача диверсификации портфеля ценных бумаг. Прежде всего, мы ознакомились с финансовой теорией, лежащей в основе модели ценообразования на основной капитал. Исходными являлись данные о доходности семнадцати компаний США, представляющих восемь отраслей, среди которых переработка нефти, вычислительная техника, банки, производство электроэнергии. С использованием регрессионного анализа для акций каждой компании были вычислены бета - значения, показывающие чувствительность актива к изменениям рыночной доходности и рыночная доля общего риска, и на основе финансовой теории, лежащей в основе модели ЦОК, были исключены те акции компаний, которые оказались неприемлемыми для оптимального портфеля инвестиций. Из выбранных акций был составлен оптимальный портфель, который по заданной доходности позволяет минимизировать специфический (несистематический) риск. Также были составлены другие пять оптимальных портфелей (с разными показателями доходности), на примере которых мы смогли пронаблюдать зависимость между риском и доходностью портфеля ценных бумаг.

В процессе достижения поставленных ранее целей, мы установили зависимость между риском и прибылью, изучили и продемонстрировали процесс диверсификации, убедившись в его эффективности.

Все поставленные задачи были раскрыты и выполнены в соответствии с выбранной темой и поставленной целью.

Список использованной литературы

1. Айвозян С.А., Методы эконометрики. -- М.: Экономист, 2010.-560с.Артюхов С.В., Базюкина О.А., Королев В.Ю., Кудрявцев А.А. Модель оптимального ценообразования, основанная на процессах риска со случайными премиями. // Системы и средства информатики. Специальный выпуск. - М.: ИПИРАН, 2005.-873с.

2. Бенинг В.Е., Королев В.Ю. Асимптотические разложения для вероятности разорения в классическом процессе риска при малой нагрузке безопасности // Обозрение прикладной и промышленной математики. Т. 7, вып. 1, 2000.-785с.

3. Бенинг В. Е., Королев В. Ю. Введение в математическую теорию риска. - М.: МАКС-Пресс, 2000.-235с.

4. Берндт Э., Практика эконометрики : классика и современность. -М.: Финансы и статистика. 2009. - 414 с.

5. Бланк И.А. Стратегия и тактика управления финансами. - Киев: ИТЕМлтд, АДЕФ-Украина, 2008. - 345 с.

6. Ван Хорн Дж.К. Основы управления финансами.- М.: Финансы и статистика, 2009. - 240 с.

7. Доугерти К., Введение в эконометрику. - М.: Дело, 2007. - 310 с.

8. Ефимова О.В. Финансовый анализ. - М.: Бухгалтерский учет. 2008. - 544 с.

9. Калашников В.В., Константинидис Д. Вероятность разорения - Фундаментальная и прикладная математика. - Т.2, вып. 4, 2006.-401с.

10. Ковалев В.В. Финансовый анализ. Управление капиталом, выбор инвестиций, анализ отчетности. - М. 1996.-321с.

11. Колемаев В.А. Математическая экономика. - М.: ЮНИТИ, 1998.-326с.

12. Королев В.Ю., Бенинг В.Е., Шоргин С.Я. Математические основы теории риска: Учебн. Пособ.- М.:ФИЗМАТЛИТ, 2007.-556с.

13. Лобанов А.А., Чугунов А.В. Энциклопедия финансового риск- менеджмента. - М., Альпина Бизнес Букс, 2005.-322с.

14. Мак Т. Математика рискового страхования. - М.: Олимп-Бизнес, 2005.

15. Меньшиков И.С., Шелагин Д.А. Кооперативное распределение рискового капитала. - М.: Вычислительный центр РАН, 2001.-232с.

16. Фалин Г.И. Математический анализ рисков в страховании. - М.: Российский юридический издательский дом, 1994.-544с.

17. Шевцова И. Г. Уточнение структуры оценок скорости сходимости в центральной предельной теореме для сумм независимых случайных величин. // Дис. канд. физ.-матем. наук. -- МГУ, 2006.-344с.

18. Ширяев А.Н. Теория вероятностей. - М.: Наука, 1989.-184с.

19. Ширяев А.Н. Актуарное и финансовое дело: современное состояние и перспективы развития. // Обозрение прикладной и промышленной математики.-1994. - Т.1.-570с.

20. Ширяев А.Н. Вероятностно-статистические модели эволюции финансовых индексов. // Обозрение прикладной и промышленной математики, - 1995.- Т.2,.-414с.

21. Ширяев А.Н. Основы стохастической финансовой математики. Факты. Модели. - М.: Фазис, 1998.-482с.

22. Ширяев А.Н. Основы стохастической финансовой математики. Теория. - М.: Фазис, 1998.-506с.

23. Штойян Д. Качественные свойства и оценки стохастических моделей. -- М.: Мир, 1999.-456с.

Приложения

Приложение 1

«Связь между типом инвестора и типом портфеля»

Тип инвестора	Цель инвестирования	Степень риска	Тип ценной бумаги	Тип портфеля
Консервативный	Защита от инфляции	Низкая	Государственные ценные бумаги, акции и облигации крупных стабильных эмитентов	Высоконадежный, но низко доходный
Умеренно-агрессивный	Длительное вложение капитала и его рост	Средняя	Малая доля государственных ценных бумаг, большая доля ценных бумаг крупных и средних, но надежных эмитентов с тигельной рыночной историей	Диверсифицированный
Агрессивный	Спекулятивная игра, возможность быстрого роста итоженных средств	Высокая	Высокая доля высокодоходных ценных бумаг небольших эмитентов, венчурных компаний и т.д.	Рискованный, но высокодоходный
Нерациональный	Нет четких целей	Низкая	Произвольно подобранные ценные бумаги	Бессистемный

Приложение 2

«Основные статистические показатели ценных бумаг»

	риск	доход	a	b	собст.риск	рыночн.риск	доля рыноч.риска
BOISE	0.097488	0.016675	0	0,941171294	0,00547	0,00429	44
CITCRP	0.080972	0.011858	0	0,67506329	0,00447	0,0091	33,1
CONED	0.050272	0.018508	0	0,140957653	0,00277	0,000092	3
DATGEN	0.127540	0.007483	0	1,008160779	0,01137	0,00487	30
DEC	0.099144	0.019750	0	0,866100411	0,00656	0,00369	35,7
DELTA	0.095932	0.011692	0	0,503493656	0,00811	0,001285	13,2
GENMIL	0.065040	0.016583	0	0,30495842	0,00405	0,00045	10
CONTIL	0.150699	-0.001100	0	0,705236946	0,02028	0,00225	10,6
IBM	0.059024	0.009617	0	0,462522369	0,00252	0,0011	29,1
MOTOR	0.097266	0.018158	0	0,866102137	0,00613	0,0036	37,3
PANAM	0.131805	0.003517	0	0,710729811	0,00149	0,0024	14,1
TANDY	0.127566	0.025008	0	1,085164432	0,01116	0,0057	33,9
TEXACO	0.079704	0.011942	0	0,623014812	0,00461	0,00187	29
WEYER	0.085066	0.009633	0	0,811663581	0,00412	0,00323	42,9
PSNH	0.109471	-0.004217	0	0,191794698	0,01182	0,00012	1,4
GERBER	0.087738	0.016400	0	0,646994973	0,00593	0,00197	25,5
MOBIL	0.080308	0.016192	0	0,731503644	0,0041	0,00262	38,8
Рынок	0.068353	0.013992

Приложение 3

«Листинг программы 1 MathCad»



Приложение 4

«Листинг программы 2 в MathCad»

+

Приложение 5

«Доли акций в портфелях с разными доходностями»

	CONED	DEC	GENMIL	GERBER	IBM	MOBIL	TANDY
r = 0,01	0,148	0	0,161	0	0,54	0,16	0,05
r = 0,013	0,27	0	0,25	0	0,474	0,113	0
r = 0,016	0,471	0,03	0,169	0,027	0,208	0,107	0
r = 0,018	0,55	0,054	0,134	0,049	0,067	0,104	0, 038
r = 0,022	0,33	0,105	0,081	0,083	0	0,09	0,037

Размещено на Allbest.ru