ЛПР не безразличны вопросы, связанные с оценкой рисков. Однако если даже риск мал, то есть если даже «механизм ситуации» детерминированный, то это еще не значит, что принять решение легко и просто. Здесь возникают методологические и технологические вопросы, которые требуют особого рассмотрения. Поставим в соответствие каждому из концептуальных исходов операции значения результатов для них. В силу влияния различных факторов шансы появления тех или иных исходов операции различаются, а потому, естественно, что будут различаться и шансы появления тех или иных результатов. Последнее обстоятельство, а именно -- различие шансов появления тех или иных значений результатов, обязательно должно учитываться ЛПР при обосновании и принятии им решения. Схематично описанный механизм анализа будущих последствий каждого из возможных вариантов решения представлен на рисунке.

Рис. 1. Схема механизма анализа последствий вариантов решения

В данном случае задействование ЛПР предполагаемого варианта а решения схематично обозначено записью, помещенной внутрь треугольника; успешный исход операции обозначен через Z₊, а неудачный -- Z ₀. С исходами связаны результаты у. Поскольку в общем случае результаты у -- это векторные величины, каждая из компонентов которых отражает тот или иной частный аспект исхода, то для обозначения номера векторного результата будем использовать верхний индекс, а для обозначения номера частного компонента результата -- нижний индекс. Шансы на получение тех или иных результатов y измеряются ЛПР величинами Ps.

Но как определить, каковы они эти компоненты у векторного результата операции? Как построить векторный результат операции?

Для того чтобы методически правильно решить эти вопросы, следует помнить, что любая операция проводится с целью получения определенного эффекта. При этом на получение эффекта обязательно нужно будет тратить какие-то активные ресурсы, что ресурсы, как правило, не могут быть задействованы мгновенно, а эффекты, как правило, не проявятся мгновенно даже после полного задействования ресурсов. Понимание перечисленных особенностей принятия решений позволило Воробьеву С.Н. в 1992--1994 гг. построить концептуальную модель гипотетического векторного результата операции. Эту концептуальную модель результата автор назвал иерархической семантической структурой (ИСС). С тех пор ИСС не раз успешно применялась на практике в качестве универсального шаблона для формирования конкретных векторных результатов при оценке исходов реальных операций в экономике. ИСС -- это граф, отражающий результаты процесса углубленного проникновения в сущность предмета исследования (явления, объекта, понятия и др.). Вершины графа моделируют частные составляющие предмета исследования. Эти составляющие содержательно раскрываются в ходе декомпозиции свойств предмета при постепенном увеличении масштаба исследования. В соответствии со смыслом рассматриваемого частного аспекта предмета исследования ЛПР присваивает каждой вершине графа имя, которое далее рассматривается как имя обобщенной или частной характеристики. Останов процесса увеличения масштаба исследования и, следовательно, ветвления графа должен происходить в тот момент, когда ЛПР считает, что терминальная составляющая адекватно описана понятной, измеримой и интерпретируемой характеристикой -- частным результатом операции. Предложенную иерархическую семантическую структуру следует считать графической моделью процесса применения системных принципов цели, декомпозиции и однозначной семантики (одинакового толкования понятий) к анализу проблемной ситуации. Структура может рассматриваться как шаблон для построения векторного результата или критерия для оценки предпочтительности альтернатив.

При обосновании решений, прежде всего, стремятся выяснить, нельзя ли свести исходную общую задачу к более простому, частному виду. Например, концептуальные частные критерии в ИСС могут иметь настолько сильное различие в важности, что, по сути, задача сводится к оценке вариантов решений только по одному из них. Иногда частные критерии эффекта, затрат и времени некоторым «естественным» образом агрегируются в скалярную функцию, либо исходная задача с векторным результатом может быть представлена как бы скалярной, если значения всех частных результатов, кроме одного, слабо варьируются по альтернативам. В подобной ситуации разумно задачу с векторным критерием аппроксимировать задачей со скалярным критерием.

Бывает, что информация об относительной важности частных критериев позволяет заранее определить способ решения задачи через какие-то вспомогательные скалярные критерии. Нередко множество альтернатив является дискретным, что также значительно упрощает поиск наилучшего решения.

Для каждой из таких частных постановок задач разработаны свои наиболее выгодные технологии их решения, по скалярному критерию.

Предположим, что в некоторой проблемной ситуации удалось обойти трудности, указанные для общей постановки задачи обоснования решений. Среди подобных проблемных ситуаций в практике управления часто встречаются следующие задачи принятия решений Балдин К.В., Воробьев С.Н. Управленческие решения: теория и технологии принятия. М., 2004. - С. 145.:

· составление оптимального плана транспортировки материальных средств;

· определение кратчайших маршрутов на заданной транспортной сети;

· принятие решений об оптимальной загрузке транспортных средств грузами;

· принятие решений о назначении исполнителей для выполнения работ какой-то целостной программы или проекта и др.

Как правило, все перечисленные задачи являются задачами дискретного математического программирования.

Эффективные альтернативы и технологии их отыскания без учета относительной важности частных критериев. В отличие от задач обоснования решений по скалярному критерию, результатом решения которых является оптимальная в рамках соответствующей модели альтернатива, в задачах с векторным критерием оказывается нельзя с абсолютной уверенностью утверждать, что то или иное решение действительно (объективно) оптимально. Один из вариантов решения может превосходить другой по одним критериям и уступать по другим (другому) критериям. Следовательно, объективно утверждать, что какое-то из двух решений в указанных условиях лучше другого не представляется возможным. Только со временем будет объективно ясно, сколь верным было принятое решение. Пока же, то есть до реализации решения, до оценки его фактической эффективности, личные предпочтения ЛПР, его опыт и интуиция являются единственной основой, которые хоть как-то помогают ему предвидеть последствия принятого компромиссного (по значениям частных критериев) решения. Невозможно строго математически доказать, что выбранное решение наилучшее -- любое решение из числа недоминируемых, то есть неулучшаемых одновременно по всем частным критериям, может оказаться наилучшим для конкретного ЛПР в конкретных условиях. Таким образом, сложность проблемы принятия решений по векторному критерию даже в условиях определенности связана не столько-с вычислительными трудностями, сколько с концептуальной обоснованностью выбора «оптимального» решения. Сравнение альтернатив по векторному критерию, прежде всего, будем осуществлять по следующему очевидному правилу: всякая альтернатива критерия не менее предпочтительнее любой другой, если для нее значение векторного значения критерия не хуже, чем у другой альтернативы.

Словосочетание «отношение нестрогого предпочтения» следует понимать в математическом смысле. Означает оно в этом смысле нестрогое упорядочение, заданное на элементах какого-то множества. Наиболее употребительными в математической теории принятия решений являются бинарные отношения, так как они легко интерпретируются и достаточно просто выявляются традиционными способами выражения элементарных суждений Надежность и эффективность в технике: справочник. Т. 3. Эффективность технических систем / Под общ. ред. Уткина В.Ф., Крючкова Ю.В. М., 1988. - С. 328..

Для математического моделирования предпочтений всегда важно знать, какими из свойств бинарных отношений оно обладает. Среди разнообразных свойств бинарных отношений нас прежде всего будут интересовать такие, как рефлексивность, симметричность, транзитивность и связность (полнота), поскольку именно они во многом определяют разрешающую способность модели -- способность точно предсказывать истинные предпочтения и выборы ЛПР. Если перечисленные свойства у бинарного отношения, моделирующего предпочтения ЛПР, в той или иной степени отсутствуют, этот факт будем отмечать указанием на нерефлексивность, несимметричность, несвязность, вплоть до их полной противоположности, а именно -- антирефлексивности, антисимметричности и т.п.

В частности, бинарное отношение называют эквивалентностью, если оно обладает свойствами рефлексивности, транзитивности и симметричности. Это отношение играет важную роль при принятии решений, поскольку моделирует факт разбиения множества предъявленных ЛПР элементов на определенные классы одинаковой предпочтительности. Элементы, принадлежащие одному классу эквивалентности, равноценны по предпочтению, а принадлежащие разным классам -- резко различаются по предпочтительности при их сравнении с элементами других классов. Эквивалентность между элементами можно понимать как их взаимозаменимость при выборе для ЛПР. При этом свойство транзитивности очень важно для однозначности отнесения объекта к тому или иному классу. Если отношение предпочтения только лишь симметрично и рефлексивно, то оно будет толерантностью (образовывать класс «похожих» элементов), но не эквивалентностью. Так, например, результаты сортировки в ходе экспертизы могут моделироваться либо как эквивалентность, либо -- как толерантность -- в зависимости от степени уверенности, с которой ЛПР сортировало множество предъявления в соответствии со своими предпочтениями. Обычно ЛПР среди предъявленных ему элементов может уверенно отнести к тому или иному классу лишь элементы субъективно «сильно» различающиеся между собой, а среди оставшихся, «похожих», действует менее уверенно. В результате транзитивность на границах между классами может нарушаться, а выявленное отношение предпочтения моделируется лишь рефлексивным и симметричным бинарным отношением, которое и представляет собой толерантность.

Бинарное отношение называют строгим порядком, если оно транзитивно и строго антисимметрично. С его помощью моделируют отношение строгого предпочтения ЛПР.

Примером отношения строгого порядка является отношение «меньше» на множестве действительных чисел. Если же бинарное отношение помимо свойств транзитивности и антисимметричности обладает еще и рефлексивностью, то это -- квазипорядок («почти порядок»). Например, результаты попарного сравнения каких-то элементов в ходе экспертизы в общем случае могут оказаться как рефлексивными, так и антирефлексивными, поскольку сравнение элементов производится только в парах, то есть без учета остальных элементов. Это может привести к тому, что свойство транзитивности на множестве всех элементов может отсутствовать. Ранжирование элементов -- это также один из распространенных способов выявления элементарных суждений в ходе экспертизы. Так вот оно, в общем случае, задает отношение квазипорядка на множестве всех элементов, поскольку разрешается разные элементы располагать на одном месте в упорядоченном ряду. А вот если этого делать не разрешено, если ранжирование так называемое строгое, то при строгом ранжировании моделируемое отношение предпочтения будет отношением строгого порядка. Результаты же балльного оценивания, а также результаты выражения предпочтения субъективными вероятностями или коэффициентами важности устанавливают отношение связного квазипорядка.

Из всего сказанного следует, что наиболее серьезными недостатками моделей предпочтения, вскрытыми в ходе экспертизы с использованием элементарных суждений, является отсутствие свойств транзитивности и связности. Именно это зачастую затрудняет анализ истинных предпочтений ЛПР. Понимая это, указанные недостатки моделей предпочтений всячески стараются избежать, специально организуя экспертизу, объединяя ее с математическими методами проверки, анализа и повышения достоверности суждений. В результате простая экспертиза превращается в сложный процесс -- процесс экспертного оценивания.

Если в процессе экспертного оценивания установлено, что на множестве оценок w критерия W предпочтения ЛПР транзитивные, связные и непрерывные, то каждый исход операции можно оценить по предпочтительности с помощью функции ценности v(w). Для задач обоснования решений в условиях определенности эта функция является частным случаем функции u (а) полезности. Доказано, что функция ценности существует всегда, когда ЛПР считает, что для любой оценки w уменьшение значений одних компонентов wi может быть компенсировано увеличением значений других компонентов wj так, что исходная оценка w новая оценка w' оказываются одинаково предпочтительными Кини Р., Райфа Х. Принятие решений при многих критериях: предпочтения и замещения. М., 1981. - С. 560. . Говорят, что в таком случае предпочтения ЛПР плавные, что не изменяются резко, скачком. Функция ценности задает весьма совершенную модель предпочтения, которая обладает свойствами связного квазипорядка. Если функция ценности построена, значит перед вами самый короткий путь для решения задачи выбора наилучшей альтернативы: выбирайте ту альтернативу, у которой измеренная с помощью этой функции ценность наибольшая.

Однако подчас необходимые для построения функции ценности знания в области ТПР, умения и навыки у ЛПР отсутствуют, а требуемые для совершения этой работы активные ресурсы -- время, деньги, специальное математическое обеспечение и т.п. -- отсутствуют в нужных количествах. Да ведь и не все проблемы, возникающие перед ЛПР, на практике оказываются столь важными, чтобы обязательно как можно более точно моделировать его предпочтения. Как тут быть? Во всех перечисленных случаях для отыскания наилучшей альтернативы ТПР рекомендует ЛПР следовать принципу Родена. Когда у этого великого скульптора спросили, как ему удается создавать столь великие шедевры, Роден ответил: «Я просто беру глыбу мрамора и отсекаю от нее все лишнее!». Концептуальную идею, изложенную в вербальной форме Роденом, реализовал в формальном виде и превратил в одну из наиболее эффективных функций выбора В. Парето. Парето ввел понятие взаимной независимости частных критериев по предпочтительности и на основе этого сформулировал известную аксиому о доминируемости. Рассмотрим это понятие и эту аксиому. При этом везде далее будем полагать, что для ЛПР большие значения каждого из частных критериев предпочтительнее меньших значений. Задачи обоснования решений с такими направлениями предпочтений по всем критериям будем называть положительно ориентированными (по предпочтениям).

Если число m частных критериев больше двух, то направления предпочтения по одним критериям могут измениться в зависимости от того, какие значения принимают другие критерии. Такая ситуация наблюдается, если ЛПР считает необходимым «выдержать пропорцию» между значениями критериев, придать их значениям некую определенную им гармоничность. Если же направление предпочтения по какому-либо критерию не изменяется с изменением значений других критериев, то такой критерий будем называть независимым по предпочтению от остальных. Следует сказать, что на практике довольно часто оказывается, что, по мнению ЛПР, каждый критерий является независимым по предпочтению от остальных. Такую ситуацию с предпочтениями ЛПР будем характеризовать словами «взаимная зависимость частных критериев по предпочтению».

Аксиома Парето (принцип доминирования).

Если частные критерии Wi,- взаимно независимы по предпочтению, то из двух векторных оценок w(a), w(b), для которых выполняются неравенства

1. Wj(a)?Wj(b), i=1, 2, ..., m,

векторная оценка w(a) не менее предпочтительна оценки w(b). При этом если хотя бы одно из указанных нестрогих неравенств выполняется как строгое, то оценка w (а) доминирует над оценкой w (b).

Будем обозначать любую информацию о предпочтениях, на основе которой построена модель предпочтения ЛПР, с помощью аббревиатуры inf. Для уточнения типа модели предпочтения и того, на основе какой конкретно информации эта модель построена, будем использовать различные аббревиатуры. Так, информацию о. предпочтениях ЛПР, содержащую сведения о взаимной независимости критериев по предпочтительности, будем обозначать аббревиатурой iop. Если inf= iop, то из исходного множества вариантов решений как раз и можно выделить так называемые недоминируемые (их еще называют эффективные, нехудшие, неулучшаемые одновременно по всем критериям) альтернативы. С учетом этих обозначений краткую формальную запись факта доминирования альтернативы а над альтернативой b запишем так:

2. a } ?(iop) b- w(a)}?(iop) w(b)-wj(a) ?w(b)I, i=1,2, …,m

Если все неравенства в выражении выполняются как равенства, то альтернативы а и b эквивалентны (символ ?) по предпочтительности. Формальная запись такого факта имеет вид а ? (iop) b.

Отношения 1 и 2 не являются связными, так как для произвольных векторных оценок w(a), w(b) часть неравенств 1 может выполняться «в одну сторону», (то есть Wj(a)>Wj(b)), a остальные -- «в другую сторону» (Wj(a)<Wj(b)). Такие векторные оценки оказываются несравнимыми по Парето и образуют множество недоминируемых оценок, которым соответствует множество недоминируемых (эффективных по Парето) альтернатив. Таким образом, отличительной особенностью недоминируемых или эффективных по Парето альтернатив является то, что ни у одной из них ни по одному из их частных критериев оценка не может быть улучшена без ухудшения оценки какого-то другого (или других) критерия. Следовательно, эффективные альтернативы между собой несравнимы, и на множестве значений векторных оценок можно определить результат применения функции выбора. Этот результат применения функции выбора на множестве значений векторных оценок будем называть ядром отношения по заданной информации о предпочтениях ЛПР и обозначать eff(w, inf). Таким образом, ядро отношения Парето получит обозначение eff(w,iop). Для задач с положительно ориентированными критериями ядро eff (w,iop) отношения Парето расположено в северо-восточном направлении на границе достижимого множества векторных оценок. При этом мощность множества оценок ядра может быть различной в зависимости от конкретных особенностей (в частности, конфигурации) достижимого множества оценок. Если для каждой альтернативы уже получены оценки частных критериев, поиск эффективного ядра, как правило, не вызывает затруднений. Технология здесь предельно проста:

· выбрать какую-то альтернативу;

· включить ее во множество недоминируемых;

· взять очередную альтернативу из исходного множества; назовем ее «претендент»;

· проверить, не доминируется ли «претендент» альтернативой из множества недоминируемых; если «претендент» не доминируется, то проверить, не доминирует ли он над первой; если «претендент» доминирует, исключить первую альтернативу из числа недоминируемых, а «претендента» включить в число недоминируемых, иначе -- «претендента» также включить в число недоминируемых;

· если среди альтернатив исходного множества осталась хотя бы одна еще не проверенная на эффективность, назначить ее «претендентом», иначе -- «Stop»;

· последовательно проверять, не доминируется ли «претендент» какой-либо из альтернатив, уже включенных во множество недоминируемых; при первом же обнаружении факта доминирования над «претендентом» его из дальнейшего анализа исключить и перейти к шагу 5;

· последовательно проверять, не доминирует ли «претендент» над какой-то из альтернатив, ранее уже включенных во множество недоминируемых; если окажется, что «претендент» доминирует над какой-то из альтернатив, уже включенных во множество недоминируемых, эту альтернативу из множества недоминируемых исключить;

· перейти к Шагу 5;

· «Stop».

Данный алгоритм значительно выгоднее по числу сравнений, которые потребуется провести, чтобы найти эффективное ядро, чем прямое использования правила Воробьев С.Н., Варфоломеев В.И. Принятие управленческих решений. М., 2001. - С. 288..

Если же нет данных о значениях оценок критерия W(a) для альтернатив а Є А, а эти оценки могут быть получены, если предварительно формально задать описание альтернатив а Є А через некоторые их характеристики х Є X, то задача построения эффективного ядра существенно усложняется. Здесь приходится специальным образом организовать зондирование пространства X характеристик альтернатив, для каждой получаемой точки х Є X, отражающей а Є А, вычислять W(a), а затем уже -- решать вопрос о доминировании. Чтобы придать указанному процессу логическую направленность, в общем-то, вновь обращаются к соотношению 2, но технологически его интерпретируют по-разному.

Наиболее распространенными технологиями отыскания эффективных альтернатив по методу зондирования пространства характеристик являются технология, основанная на использовании теоремы Гермейера, технология, предполагающая максимизацию линейной свертки от всех критериев. Эта технология построена на результатах теоремы, доказанной тремя учеными -- Куном, Таккером и Карлиным.

Технологии отыскания эффективных решений с учетом относительной важности критериев. Суждения об относительной важности частных критериев ЛПР может выразить как в качественной, так и в количественной шкале. Если частные критерии измеряются в различных, а тем более разных по классам шкалах (количественных и качественных), их оценки не могут быть пересчитаны в некоторую объективную шкалу оценивания (например, в универсальный денежный эквивалент), то трудно представить, как соизмерить их относительную важность. А сделать это иногда требуется как можно быстрее и как можно адекватнее, чтобы можно было сразу представить себе ценность какой-то конкретной альтернативы. В подобных ситуациях, когда информацию об относительной важности требуется получить и использовать как можно быстрее и при этом обеспечить высокую адекватность и надежность суждений, более предпочтительным представляется учет относительной важности частных критериев в качественной шкале (так называемая «качественная информация об относительной важности»). К качественной информации об относительной важности частных критериев будем относить следующие вербальные суждения Надежность и эффективность в технике: справочник. Т.3. Эффективность технических систем / Под общ. ред. Уткина В.Ф., Крючкова Ю.В. М., 1988. - С. 328.:

· «критерий с номером i важнее критерия с номером i»; информацию такого типа будем формально обозначать как inf= i pre j;

· «критерии с номерами s и t равноценны по важности»; краткое обозначение inf=s ind t.

Напрямую использовать информацию inf=pre или inf=ind для дальнейшего сокращения размера множества eff(w,iop) эффективных альтернатив и поиска наилучшего решения среди них можно только для некоторых частных случаев. Во-первых, это случай, когда шкалы всех частных критериев, относительно которых получена информация inf=pre или inf=ind, однородны и имеют небольшое число дискретных градаций. Чаще всего для этих целей используют 3-7-балльные шкалы. Это обусловлено тем, что дискретные однородные шкалы имеют важную особенность. Если в какой-то исходной векторной оценке, имеющей значения в однородной дискретной шкале.

Второй частной ситуацией, когда возможно прямое использование качественной информации о равноценности или превосходстве в важности одних частных критериев над другими, является такая, в рамках которой фигурируют сообщения о равноценности всех критериев между собой, об абсолютно строгом (лексикографическом) упорядочении критериев по важности, а также -- о симметрически-лексикографическом упорядочении частных критериев по важности. Обозначениями для этих особых случаев будут inf=sym, inf=lex и inf=sl соответственно. Заметим, что информация inf= lex о лексикографическом упорядочении настолько сильна, что позволяет всегда подучить наилучшее решение даже, непосредственно из исходного множества. Технология использования лексикографической информации для поиска решения задачи выбора даже не требует преобразования шкал критериев к однородной. Однако за подобные технологические «удобства» приходится подчас жестоко расплачиваться потерей адекватности результата. Поэтому лексикографической моделью предпочтений следует пользоваться крайне осторожно.

Самая сложная в получении, но и самая действенная -- это информация об относительной важности критериев в количественной форме. Это информация о величинах замещений значений критериев между собой, о значениях коэффициентов важности частных критериев, количественная информация о допустимой степени взаимной компенсации значений тех или иных критериев, а также -- о виде функции агрегирования частных критериев в обобщенные критерии. В некоторых случаях такая информация поступает от ЛПР сразу. Но это -- скорее исключение из правил. Значительно чаще количественную информацию приходится получать по частям.

Технология реализации базовых методов решения многокритериальных задач. Рассмотрим базовые методы решения задачи выбора, получившие широкое распространение в практике принятия решений. Наиболее известными и широко применяемыми из них являются:

· лексикографический метод и его модификации;

· метод последовательных уступок;

· метод главного критерия;

· метод агрегированного критерия («обобщенного показателя»).

Все эти методы объединяет общий прием поиска наилучшего решения: векторный критерий тем или иным способом превращается в скалярную целевую функцию, а затем решается задача оптимизации.

Лексикографические задачи, пусть ситуация обоснования решений характеризуется сведениями об абсолютном превосходстве в важности одних частных критериев над другими. В определенном смысле подобная ситуация полярно противоположна ситуации с информацией sym о предпочтениях ЛПР. Основанием для вывода об абсолютном превосходстве в важности одних частных критериев над другими является следующее. При предъявлении ЛПР для сравнения векторных оценок оно прежде всего обращает внимание на значения какого-то вполне определенного частного критерия. Следовательно, именно этот частный критерий ЛПР считает абсолютно самым важным среди других частных критериев. ЛПР сравнивает значения оценок у альтернатив вначале только по этому, самому важному частному критерию.

Если для какой-либо из альтернатив значение именно этого критерия окажется наиболее предпочтительным, то такую альтернативу ЛПР безоговорочно признает наилучшей. Другими словами, ЛПР делает свой выбор вне зависимости от того, какие у этой альтернативы значения оценок по остальным критериям.

Если же значения самого важного частного критерия у некоторых альтернатив оказались одинаковы, ЛПР обращает внимание на значения другого (также вполне определенного) частного критерия, который является следующим по важности в абсолютно упорядоченном ряду частных критериев, и т.д. Информация об абсолютном упорядочении критериев по важности столь совершенна, что позволяет задать связное отношение нестрогого предпочтения на множестве даже неоднородных векторных оценок, выделить из них лучшую и поставить ей в соответствие оптимальную стратегию. Информацию такого типа будем называть лексикографической и обозначать inf= lex, а задачи с подобной информацией об относительной важности критериев будем называть задачами лексикографической оптимизации.

Информация lex является весьма сильной в том смысле, что для дискретных множеств А стратегий она дает возможность практически всегда выделять единственное решение. В то же время описанный алгоритм лексикографического выбора имеет существенные недостатки. Во-первых, получаемые решения обладают резко выраженной ортодоксальностью, в том смысле, что они ориентированы исключительно на более предпочтительные частные критерии. В итоге допускается любой мыслимый ущерб значениям остальных критериев. Во-вторых, в основе идеи перехода к сравнению по следующего по важности компонента лежит вывод об «одинаковости значений». На самом деле точно одинаковыми значения частных критериев могут оказаться только при использовании дискретных шкал, что само по себе достаточная редкость, а, следовательно, делая подобный вывод, ЛПР всегда имеет в виду некоторую зону неразличимости (нечувствительности) к значениям критериев. Симметрически лексикографические задачи. Иногда, рассматривая задачи с равноценными однородными критериями, ЛПР может считать недопустимой компенсацию уменьшения меньших значений одинаково важных критериев сколь угодно значительным увеличением больших. Основанием для вынесения такого суждения может служить следующий факт. При сравнении альтернатив ЛПР обращает внимание на самые низкие значения частных критериев, вне зависимости от их конкретного наполнения. Если у каких-либо альтернатив самые малые значения частных компонентов векторных оценок равны (но больше, чем у остальных альтернатив), то ЛПР принимает во внимание следующие по величине компоненты и т.д. Поскольку эта информация о равноценных частных критериях, сравнение величин которых ЛПР осуществляет, по сути, лексикографически, то подобный частный случай информации о равноценности будем обозначать symlex или информацией sl. Информация sl является более сильной, чем просто информация sym о равноценности частных критериев, так как обладает всеми преимуществами лексикографической. Но одновременно symlex-задачи приобретают и все недостатки лексикографических.

Искусственные лексикографические задачи. В практике часто применяют прием сведения задачи обоснования решений с различающимися по важности частными критериями к задаче лексикографической оптимизации. Без потери общности можно считать, что упорядочение частных критериев по относительной важности задается информацией {1 рге2, 2рте3,..., (m-1) рге m}. Еще раз подчеркнем, что различие в важности по информации {г рге m} не носит абсолютного, лексикографического характера. От ЛПР получают информацию о том, какие минимальные значения w^di по каждому из частных критериев Wj его бы вполне устроили. Информацию об этих «уровнях притязаний» в виде ограничений вида Wi>w^dj, i=-1,2, ..., m вводят в условия задачи. После этого в ходе поиска наилучшего решения вначале стремятся достигнуть минимально допустимой величины по первому критерию (или немного превысить уровень притязания), затем -- минимально допустимой величины по второму критерию, при условии, что значение первого критерия не опускается ниже уровня притязания и т.д. Этот прием формально соответствует преобразованию исходного критерия W с компонентами wi,- в новый критерий Wyn с лексикографическим упорядочением компонентов wi, ^yn=min {wi, w^di}.

Метод последовательных уступок. В его основе лежит идея понижения размерности исходной задачи путем назначения главного критерия в специально формируемых двухмерных подзадачах условной оптимизации. Для этого в ходе вербального анализа исходов операции все частные критерии wi, i= l,2,...,m ранжируют и нумеруют в порядке убывания важности. Затем максимизируют первый, самый важный критерий w1 и находят его наибольшее значение w1^max. Далее, исходя из практических соображений, лицом, принимающим решения, назначается некоторая уступка ?1 от достигнутого значения w₁^max. Величина уступки -- это своеобразная плата за возможность повысить значения очередного по важности критерия w₂ от его достигнутого к данному шагу уровня w2(a) для альтернативы a, обеспечивающей величину w₁^max . В результате второй критерий может достичь величины w₂^max(?1), зависящей, естественно, от величины ?1 уступки по первому критерию. Затем назначают уступку ?₂ по критерию w₂ (от значения w₂^max(?₁)), ценой которой стремятся увеличить значения критерия w₃, и т.д. Таким образом, величины уступок последовательно назначаются в результате анализа только попарной взаимосвязи критериев. Выбирая уступки, ЛПР должно рассматривать только зависимость, wi(wi+1), не обращая внимания на остальные критерии. При этом чаще всего вначале даже незначительная уступка ?1,- от значения w₁^max приводит к существенному увеличению значения критерия wi+1, а затем с ростом величины уступки маргинальные приращения в значениях критерия wi₊₁ резко уменьшаются. Сопоставляя получаемый в этом случае выигрыш по критерию Wi₊₁ с потерями в значениях критерия wi, ЛПР окончательно назначает величину уступки ?1,- и определяет значение w_i+1^max(?1). Следовательно, именно ранжирование критериев по важности позволяет ЛПР ограничиваться назначением величины уступки для предыдущего критерия только с учетом поведения последующего.