Теория машин и механизмов

Рис. 15.5

0 с

Р₂ = R₂₀ sin t

x₁

m₁

c_г k_г

г m_г

Области

эффективности

динамического

3 гасителя

1

0 _{01 0 02} , рад/с

Рис. 15.8

Контрольные вопросы

40. Статическое и динамическое уравновешивание при проектировании деталей.

41. В чем различие между виброгашением и виброизоляцией.

42. Сущность подрессоривания, или виброизоляции.

43. Динамическое гашение колебаний.

Лекция 16

Трение в кинематических парах. Трение скольжения: сила трения, угол и конус трения, движение на горизонтальной плоскости, трение на наклонной плоскости, трение клинчатого ползуна, трение во вращательных парах, трение в пятах.

Трение в кинематических парах

Явление трения имеет место всегда, когда любые тела - твёрдые, жидкие или газообразные, находящиеся в соприкосновении одно с другим, движутся относительно друг друга, или подвергаются воздействию сил, стремящихся вызвать их относительное движение.

Трение в машинах играет весьма существенную роль. В передаточных механизмах - фрикционных, ременных и др. за счет силы трения осуществляется передача движения от ведущего звена к ведомому. В других случаях трение нежелательно, так как оно препятствует движению и на преодоление сил трения затрачивается значительная часть работы движущих сил - так называется работа сил вредных сопротивлений.

Трение вызывает износ трущихся частей машины, что существенно препятствует повышению скоростей движения, а следовательно и производительности машин.

В дальнейшем мы будем иметь в виду трение только на поверхностях соприкасающихся твёрдых тел. Способность контактирующих поверхностей звеньев сопротивляться их относительному движению называется внешним трением.

Трение обусловлено неидеальным состоянием контактирующих поверхностей (микронеровности, загрязнения, окисные пленки и т.п.) и силами межмолекулярного сцепления.

Опыт показывает, что при относительном движении двух соприкасающихся твёрдых тел, прижатых одно к другому некоторой силой, на поверхности соприкосновения действует сила, сопротивляющаяся относительному движению - сила трения.

Различают следующие виды трения:

трение покоя проявляется в момент, когда два тела находящиеся в состоянии относительного покоя начинают относительное движение (касательную составляющую, возникающую в зоне контакта до возникновения относительного движения, в условиях когда она меньше силы трения покоя, будем называть силой сцепления; максимальная величина силы сцепления равна силе трения покоя);

трение скольжения появляется в кинематической паре при наличии относительного движения звеньев;

трение качения появляется в высших кинематических парах при наличии относительного вращательного движения звеньев вокруг оси или точки контакта;

трение верчения возникает при взаимодействии торцевых поверхностей звеньев вращательных кинематических пар (подпятники).

Опыт показывает также, что сила трения уменьшается, если соприкасающиеся поверхности твёрдых тел смазаны жидкостью. По наличию и виду применяемых смазочных материалов различают сухое, граничное, жидкостное трение и с газовой смазкой.

Снижение трения в подвижных соединениях машин требует дополнительных решений, эффективность которых в большой степени зависит от роддержания условий эксплуатации (рис. 16.1).

Рис. 16.1. Пути снижения трения

Трение скольжения несмазанных тел

Сила трения скольжения F возникает в плоскости касания (скольжения) двух соприкасающихся прижатых силой Fⁿ друг к другу тел при их относительном перемещении. Для преодоления силы трения необходимо приложить сдвигающую силу F, расположенную в плоскости скольжения.

Силу трения скольжения можно выразить следующей приближенной формулой (закон Кулона-Амонтона):

,

где F - сила трения скольжения, т.е. сила, препятствующая относительному движению двух соприкасающихся тел; f - коэффициент пропорциональности для конкретных условий трения, называемый коэффициентом трения скольжения (коэффициент трения 1-рода); Fⁿ - результирующая сила нормальных давлений, направленная по общей нормали к поверхности соприкасающихся тел, соответственно нормальная реакция Rⁿ равна Fⁿ. Тогда

.

Трение появляется не только во время движения тел, но и тогда, когда тела находятся в покое. Трущиеся тела 1 и 2 (рис. 16.2) с большей или меньшей силой сцеплены одно с другим. Пусть к телу 1 приложена сила, стремящаяся сдвинуть его слева направо. При увеличении силы будет иметь место невидимый глазом, но обнаруживаемый точными приборами упругий сдвиг одной трущейся поверхности относительно другой. При увеличении силы деформация сдвига будет увеличиваться и при некотором предельном значении сдвигающей силы начнется видимое движение тела 1 относительно тела 2. Опыты показывают, что для приведения в движение тела 1 требуется сила, несколько большая той, которую приходится преодолевать при последующем равномерном движении. Предельная сила, сопротивляющаяся в начальный момент движения трущегося тела, называется силой трения покоя или силой сцепления, а сила сопротивления, возникающая во время движения, получила название силы трения движения.

Для того, чтобы тело 1 (рис. 16.2) вывести из состояния покоя, к нему нужно приложить движущую силу , равную

.

Рис. 16.2

Установлено, что трение представляет сложный комплекс механических, химических и др. явлений. Однако количественный учет этих явлений в настоящее время произвести не представляется возможным. Опыты показывают, что величина силы трения чрезвычайно изменчива. Помимо материала, чистоты обработки поверхности, смазки, удельного давления и относительной скорости передвижения трущихся тел на величину силы трения оказывают влияние такие, казалось бы, малозначимые факторы, как наличие или отсутствие оксидной плёнки, влажность, температура и т.п. Всё это приводит к тому, что наука до сих пор еще не имеет до конца разработанной теории трения и износа. Поэтому в инженерных расчетах приходится пользоваться некоторыми приблизительными (усредненными) величинами коэффициентов трения, значения которых получены как результат обобщения большого экспериментального материала. В большинстве справочников значения коэффициентов трения скольжения приводят в зависимости от материала соприкасающихся тел, чистоты обработки поверхности и для случая сухого трения.

Коэффициент f₀ называется коэффициентом трения покоя. Угол ₀, образованный направлениями полной реакции R₀ и нормальной реакции , называется углом трения покоя.

Для того, чтобы тело продолжало движение с постоянной скоростью, необходимо приложить силу , несколько меньшую силы и равную

.

Из рис. 16.2 получим

; ;

так как >, то F₀ >, f₀ f, ₀ , т.е. коэффициент трения покоя больше коэффициента трения движения.

При движении тела 1 в разных направлениях по плоскости 2 равнодействующая R₂₁ будет отклоняться от нормальной реакции Rⁿ на угол в сторону противоположную относительному движению, образуя конус с углом 2 при вершине - называемый конусом трения (рис. 16.3).

Конус трения - поверхность описываемая равнодействующей (силы трения и нормальной реакции) при вращении её вокруг нормальной реакции, или конус с углом при вершине равным двойному углу трения.

Рис. 16.3

Трение на горизонтальной плоскости

Движение тела на плоскости можно рассматривать под действием только одной силы, т.к. несколько действующих сил на тело можно привести к одной равнодействующей.

Предположим, что на тело действует сила Р (рис. 16.4) под углом к нормали. Перенесём силу Р в точку пересечения её вектора с перпендикуляром к плоскости соприкосновения и разложим её по двум взаимно перпендикулярным направлениям. Нормальная составляющая Рⁿ, прижимая тело к плоскости, создает противодействующую движению тела силу F₀ трения покоя; тангенциальная составляющая Р стремится сдвинуть тело.

Рис. 16.4

Для возможности движения необходимо выполнение условия:

.

Так как

То

,

откуда

,

где ₀ угол трения покоя.

Из этого следует, что сила, действующая внутри конуса трения, независимо от её величины, привести в движение тело не может.

Подставив в приведённые выше неравенства F вместо F₀, f и вместо f₀ и ₀ и заменив во всех неравенствах знак > знаками , придём к заключению, что движение тела на плоскости возможно лишь при соблюдении условия .

При получаем и движение с постоянной скоростью, при получаем и движение с ускорением.

При возникновение движения невозможно, при вызванное какими-либо силами и продолжающееся по инерции движение тела при действии на него силы Р будет происходить с замедлением, так как в этом случае создаваемая силой Рⁿ противодействующая движению сила трения будет больше силы Р, поддерживающей движение.

Трение на наклонной плоскости

Рассмотрим случай, когда на тело, находящееся на наклонной плоскости с углом к горизонту, действует одна сила, перпендикулярная основанию плоскости (рис 16.5), например сила веса.

Рис. 16.5

В этом случае возможно движение только вниз при соблюдении условия . При под действием силы, перпендикулярной основанию плоскости, движение, независимо от величины силы, не может ни возникнуть, ни продолжаться без замедления.

Плоскость с углом наклона, меньшим угла трения, называется самотормозящей.

Рассмотрим случай, когда на тело, находящееся на плоскости, наклоненной под углом к горизонту, действуют две силы, одна из которых перпендикулярна основанию плоскости, а другая параллельна. В этом случае возможно движение тела вверх, или вниз по наклонной плоскости.

1. Движение тела вверх по наклонной плоскости (рис. 16.6).

Рис. 16.6

В этом случае параллельная основанию плоскости сила Р должна быть направлена вправо. Для возможности движения вверх по плоскости необходимо, чтобы равнодействующая R сил P и Q составляла угол с перпендикуляром к плоскости не меньше угла трения , т.е. необходимо выполнение условия

.

Из построения следует

.

Из приведенных выше неравенства и равенства вытекает следующее условие для возможности движения тела вверх по наклонной плоскости:

.

2. Движение тела вниз по наклонной плоскости (рис. 16.7).

В этом случае из построения следует

и, следовательно, движения тела вниз по наклонной плоскости оказывается при возможным при соблюдении условия

.

Рис. 16.7

На рис. 16.7 сила Р направлена вправо и является силой, противодействующей движению. Необходимость в силе Р, направленной влево (рис. 16.8), для движения тела вниз будет только в том случае, если под действием только одной силы Q движение не будет происходить (самотормозящая плоскость).

Из построения (рис. 16.8) получаем

При необходимая для движения сила Р должна удовлетворять условию

.

Рис. 16.8

Трение клинчатого ползуна

На рис. 16.9 изображён клинчатый ползун, имеющий в поперечном сечении форму трапеции, который прижимается силой Q к двум поверхностям трения, наклоненным каждая к линии действия силы Q под углом . При движении клинчатого ползуна в направлении, перпендикулярном к плоскости чертежа, величина силы трения:

.

Приняв во внимание, что сумма проекций сил на вертикаль равна нулю, получаем

.

Введя обозначение , получаем

,

где величина f называется фиктивным или приведённым коэффициентом трения.

Рис. 16.9

Трение во вращательных парах

Вращательная кинематическая пара образуется цапфой (опорной частью вала) и охватывающим её подшипником.

Для того чтобы цапфа, находящаяся под действием нескольких приложенных к ней сил, могла вращаться, необходимо, чтобы равнодействующая Р этих сил (рис. 16.10) создавала момент не меньший момента силы трения.

Рис. 16.10

Разложив силу Р на нормальную Рⁿ и тангенциальную Р составляющие и обозначив через: r плечо действия силы Р относительно оси вращения цапфы; R - радиус цапфы; - угол между линией действия силы Р и радиусом, проведённым в точку приложения силы P, получим:

момент, вращающий цапфу, равен

;

момент силы F трения равен

.

Для возможности движения необходимо соблюдение условия

,

откуда

,

и поэтому

.

Следовательно, момент силы Р не может вращать цапфы, если линия действия силы Р проходит внутри круга с радиусом .

Такой круг получил название - круга трения.

Трение в пятах (трение верчения)

Трение в пятах имеет место на поверхности соприкосновения двух прижатых одно к другому тел, вращающихся одно относительно другого вокруг нормали к поверхности соприкосновения (рис. 16.11, а).

Рис. 16.11

При учете сопротивления, оказываемого силами трения моменту, вращающему одно тело относительно другого, приходится определять равнодействующий момент сил трения, заменяя элементарные силы трения на всей поверхности трения равнодействующей силой, приложенной на окружности с радиусом R. Определим величину радиуса R, предположив, что поверхность трения представляет собой кольцевую площадь с внешним радиусом r₁ и внутренним радиусом r₂ и что вращение происходит вокруг общего центра окружностей (рис. 16.11, б).

Полная сила трения скольжения равна:

,

где р - давление на поверхности трения, т.е. сила, приходящаяся на единицу поверхности трения; площадь поверхности соприкосновения.

Момент полной силы трения

,

где R - радиус окружности, на которой приложена равнодействующая элементарных сил трения.

Элементарная сила трения, распределённая по кольцу с площадью , равна

.

Момент элементарной силы трения равен

.

Суммарный момент

.

Тогда приравнивая правые половины уравнений, получаем равенство

,

откуда

.

При r₂ = 0, получаем .

Контрольные вопросы

44. Что такое трение, и от чего оно зависит.

45. Трение скольжения: сила, угол и конус трения.

46. Трение на горизонтальной плоскости.

47. Трение на наклонной плоскости.

48. Трение клинчатого ползуна, приведенный коэффициент трения.

49. Трение во вращательных парах.

50. Трение в пятах.

Лекция 17

Трение гибких тел. Трение качения. Коэффициент полезного действия механизмов: общие сведения, КПД при последовательном и параллельном соединении звеньев, КПД винтовой передачи.

Трение гибких тел

Рассмотрим идеально гибкое и нерастяжимое тело, т.е. тело, совершенно не деформирующееся под действием растягивающей силы и не оказывающее никакого сопротивления при его перегибе, которое огибает неподвижный цилиндр. Охват цилиндра происходит по дуге ab с центральным углом (рис. 17.1). На тело действуют силы S₁ и S₂, для движения его по цилиндру с равномерной скоростью необходимо соблюдение условия

,

где F - сила трения между гибким телом и цилиндром.

Рис. 17.1

Так как сила трения распределена на дуге ab соприкосновения гибкого тела с цилиндром, то натяжение гибкого тела от точки a набегания его на цилиндр до точки b сбегания его с цилиндра возрастает по некоторому закону от S₂ до S₁. В точке с бесконечно малой дуги cd натяжение достигает некоторой величины S, в точке d натяжение увеличивается до S + dS.

Бесконечно малая сила трения на дуге cd, обуславливающая увеличение натяжения на величину dS и поэтому равная dS, может быть выражена следующим образом:

,

где f - коэффициент трения; dRⁿ - бесконечно малая сила, нормальная к поверхности трения.

Величина силы dRⁿ создается проекциями натяжений S и S + dS на радиус, проведенный в середину дуги cd:

.

Так как и , как член высшего порядка малости, то

;

.

Разделив, получаем

.

Интегрируя, а затем, дифференцируя, получаем

;

;

;

.

Зависимость между силой S₁, движущей идеально гибкое и нерастяжимое тело, охватывающее цилиндр, и силой S₂, сопротивляющейся движению была получена Л. Эйлером.

На основании формулы Эйлера сила трения на поверхности соприкосновения гибкого тела и охватываемого им цилиндра равна

.

Анализируя формулу, видим, что величина силы трения в значительной степени зависит и от коэффициента трения и от угла охвата: при f = 0,35 обмотав гибкое тело вокруг цилиндра на два полных оборота ( = 4), силой 10 Н, можно уравновесить силу 800 Н.

Трение качения

При перекатывании одного тела, имеющего криволинейную поверхность, по другому телу с плоской или криволинейной поверхностью возникает сопротивление, которое называется трением второго рода или трением качения. Сопротивление перекатыванию зависит от упругих свойств материалов соприкасающихся тел, кривизны их поверхностей и величины нормальной силы, действующей между телами.

Пусть на плоскости лежит цилиндр, вес которого G (рис. 17.2, а). Так как цилиндр и плоскость не являются абсолютно твёрдыми телами, то в зоне их соприкосновения под действием силы G образуется некоторая площадка смятия АВ. Согласно теории упругости Герца, в зоне площадки смятия напряжения распределяются по эллиптическому закону. Равнодействующая этих напряжений Rⁿ будет равна по величине и противоположна по направлению силе G и действует по одной линии с нею.

Рис. 17.2

Если цилиндр не будет находиться в статическом состоянии, то закон распределения напряжений изменится: на участке СВ контактной площадки напряжения будут больше, нежели на участке АС (рис. 17.2, б). Участок СВ называется зоной нарастающих деформаций, а участок АС - зоной исчезающих деформаций. Зона исчезающих деформаций является результатом гистерезиса, т.е. сохранения части деформаций и после того, как исчезла причина, вызвавшая эту деформацию.

Равнодействующая напряжений всей контактной площадки, равная внешней нагрузке G, будет смещена за вертикальную ось симметрии цилиндра на некоторую величину k. Эту величину называют коэффициентом трения качения.

Для перекатывания тела необходимо преодолеть момент трения равный:

.

Если на цилиндр действует внешняя сдвигающая горизонтальная сила Р, приложенная по центру цилиндра, то для преодоления момента трения необходимо приложить момент

,

откуда внешняя сдвигающая сила

.

Отношение k/R можно рассматривать как приведенный коэффициент трения .

Если между телами сцепление недостаточно, то возможно появление скольжения

., т.е. или .

Таким образом, при тело будет катиться без скольжения, в противном случае тело будет скользить без качения. При будет одинаковая возможность и качения и скольжения.

Коэффициент полезного действия механизмов

Коэффициентом полезного действия или КПД механической системы называют отношение работы сил полезного сопротивления к работе движущих сил.

КПД механизма характеризует его эффективность при преобразовании энергии, определяет соотношение полученной на выходе полезной энергии и энергетических потерь в механизме на трение, перемешивание масла, вентиляцию, деформацию звеньев и др. Величину КПД можно рассчитать по следующей зависимости:

А_пот

М_д.с. Механическая М_п.с.

A_i система A_j

с КПД < 1

_I i_{ij j}

Рис. 17.3

,

где A_i работа движущих сил; A_j работа сил полезного сопротивления; A_j работа сил вредных сопротивлений (потерянная); коэффициент полезного действия, коэффициент потерь.