Системы автоматического управления

В операторной форме уравнение интегрирующего звена по схеме б):

I_вых(р) = U_вх(р)/(рL). (12)

Соответственно, передаточная функция звена равна:

W(p) = y/x = I_вых(р)/U_вх(p) = (1/L)/p = К/р, (13)

где К = 1/L.

Дифференцирующее звено. Идеальными дифференцирующими звеньями являются цепи с конденсатором и элементом индуктивности. Входной величиной х в схеме а) является напряжение, а ток через конденсатор - выходной величиной у. В схеме б) входной величиной х является входной ток, а напряжение на индуктивности - выходной величиной у.

Представим выходной ток схемы а) в операторной форме:

I_вых(р) = U_вх(р)•рС. (14)

Соответственно, передаточная функция данного звена равна:

W(p) = y/x = I_вых(р)/U_вх(p) = pC = Кр, (15)

где К = С.

Особенностью дифференцирующего звена является то, что значение выходной величины у прямопропорциональна скорости изменения входной величины х.

В операторной форме уравнение дифференцирующего звена по схеме б):

U_вых(р) = I_вх(р)•рL. (16)

Соответственно, передаточная функция звена равна:

W(p) = y/x = U_вых(р)/I_вх(p) = pL = К•р, (17)

где К = L.

Лекция 6. Передаточные функции и характеристики разомкнутых САУ

Системы САУ в большинстве случаев являются замкнутыми системами.

Однако при их анализе (например, устойчивости) и проектировании часто предварительно рассматривается разомкнутая цепь звеньев, которая затем замыкается.

Различают последовательное, параллельное и параллельное с обратной связью соединение звеньев.



Последовательным соединением звеньев называют такое соединение, когда выходная величина предыдущего звена является входной величиной последующего звена (схема а), т.е. y_m-1 = х_m.

Передаточная функция разомкнутой цепи n последовательно соединенных звеньев равна произведению передаточных функций всех звеньев:

W(p) = y(p)/x(p) = W₁(p)•W₂(p) •…•W_n(p). (1)

Полагая p = jщ, перейдем от передаточных функций в операторном виде к частотным характеристикам.

АФЧХ = W(jщ) = W₁(jщ)•W₂(jщ) •…•W_n(jщ) = H(щ)?exp[ц(щ)] =

= H₁(щ)•H₂(щ) •…•H_n(щ)•expj[ц₁(щ) + ц₂(щ) + … + ц_n(щ)]. (2)

АЧХ = H(щ) = H₁(щ)•H₂(щ) •…•H_n(щ). (3)

ФЧХ = ц(щ) = ц₁(щ) + ц₂(щ) + … + ц_n(щ). (4)

ЛАЧХ = L(щ) = 20lg H(щ) = 20. (5)

Таким образом, при последовательном соединении звеньев амплитудно-частотные характеристики перемножаются , а логарифмические амплитудно-частотные и фазовые частотные характеристики складываются.

Рассмотрим получение асимптотической ЛАЧХ разомкнутой цепи при последовательном соединении звеньев на следующем примере.

Пусть передаточная функция разомкнутой цепи описывается следующей формулой:

W(p) = . (6)

При этом коэффициент демпфирования о принимаем 0,5 < о < 1 (при таких значениях о можно не учитывать «горб» АЧХ колебательного звена).

Асимптотическую ЛАЧХ можно построить непосредственно по передаточной функции. При этом каждому сомножителю (Тр + 1) в знаменателе соответствует точка излома характеристики при щ = 1/Т с последующим наклоном минус 20 дБ/декаду, а каждому сомножителю такого же типа в числителе соответствует точка излома также при щ = 1/Т, но с последующим наклоном плюс 20дБ/декаду. Сомножителю (Т²р² + 2оТр + 1) в знаменателе соответствует излом характеристики при щ = 1/Т с наклоном минус 40 дБ/декаду.

Методика построения асимптотической ЛАЧХ сводится к следующему:

1) определяем сопрягающие частоты типовых звеньев в порядке возрастания. Так, например, для случая Т1 > T3 > T4 > T2 > T5:

щ₁ = 1/Т₁; щ₂ = 1/Т₃; щ₃ = 1/Т₄; щ₄ = 1/Т₂; щ5 = 1/Т₅;

2) вычисляем на частоте щ = 1 ординату L(1) = 20lgK, где К - общий коэффициент усиления разомкнутой системы.

3) Через полученную точку проводим низкочастотную асимптоту ЛАЧХ, представляющую собой прямую с наклоном минус 20•m дБ/декаду, где m - число интегрирующих звеньев (в нашем примере согласно формуле (6) m = 1).

4) изменяем наклон асимптот ЛАЧХ на сопрягающих частотах по отношению с наклоном, который имела ЛАЧХ до рассматриваемой частоты.

Фазовая частотная характеристика определяется по выражению:

ц(щ) = - 90^о + arctg(щT₁) + arctg(щT₂) - arctg(щT₃) - arctg - arctg(щT₅)

Параллельным соединением звеньев называется такое соединение, когда на входы всех звеньев подается одна и та же величина, а выходные сигналы суммируются (схема б). Если соединяются n звеньев, то входной сигнал равен: х = х₁ = х₂ = … х_i = … = х_n, а выходной сигнал у = .

Переходя к операторной форме представления выходной функции, получим:

y(p) = x(p)•,

откуда: W(p) = y(p)/x(p) = . (7)

Таким образом, при параллельном соединении звеньев передаточные функции каждого звена суммируются.

Так как передаточная функция W(p) есть ничто иное, как изображение весовой функции, то весовая функция g(t), а, следовательно, и переходная функция h(t) разомкнутой цепи, состоящей из параллельно соединенных n звеньев, равны сумме соответственно весовых и передаточных функций отдельных звеньев:

g(t) = ; h(t) = . (8)

При параллельном соединении звеньев с обратной связью (схема «в» замкнутой системы САУ) обратная связь может быть положительной, если сигнал обратной связи х_ос складывается с входным сигналом х, или отрицательной, если сигнал обратной связи х_ос вычитается из х.

При отрицательной обратной связи схема описывается следующим уравнением:

y(p) = W₁(p)•[x(p) - x_oc(p)]. (9)

Вместе с тем сигнал обратной связи х_ос определяется в соответствии с выражением:

x_oc(p) = W₂(p)•y(p). (10)

Подставляя значение хос из формулы (10) в уравнение (9), получим:

y(p) = W₁(p)•[x(p) - W₂(p)•y(p)] (11)

Решим уравнение (11) относительно y(p):

y(p)•[1 + W₁(p)•W₂(p)] = W₁(p)•x(p). (12)

Отсюда:

у(р) = W₁(p)•x(p)/[1 + W₁(p)•W₂(p)] = W_з(p)•x(p). (13)

Передаточная функция замкнутой системы при отрицательной обратной связи W_з(p) определяется в соответствии с выражением (13):

W_з(p) = у(р)/х(р) = W₁(p)/[1 + W₁(p)•W₂(p)] (14)

При положительной обратной связи:

W_з(p) = у(р)/х(р) = W₁(p)/[1 - W₁(p)•W₂(p)] (14)

Лекция 7. Точность систем САУ

Требования к процессу управления. Системы САУ выполняют задачу стабилизации или управления. В первом случае система поддерживает регулируемую величину на заданном уровне, а во втором - с заданной точностью изменяет регулируемую величину по определенному закону.

Режим работы системы, при котором отклонение регулируемой величины от заданного значения не превышает допустимого, называется установившимся режимом. В общем случае, за установившийся режим принимается такой режим, при котором ошибка системы (разность между заданным и фактическим значением регулируемой величины) постоянна во времени. Установившийся режим часто называют невозмущенным движением системы.

Если на систему действуют возмущающие внешние воздействия, то в системе возникает возмущенное движение, которое называют переходным процессом. Процесс управления во времени определяется решением уравнения динамики системы:

y(t) = y_в(t) + y_св(t), (1)

где y_в(t) - вынужденная составляющая, y_св(t) - свободная (переходная) составляющая.

За невозмущенное движение принимается вынужденная составляющая y_в(t), представляющая собой установившуюся часть процесса управления. На нее накладывается переходной процесс y_св(t), который теоретически длится бесконечно долго, но его влияние практически становится существенно малым через определенное конечное время. После затухания переходной составляющей устанавливается y_в(t).

По графику установившегося процесса определяется точность САУ. При этом установившаяся ошибка системы равна:

е_ус(t) = y_в(t) - x(t), (2)

а полное значение ошибки: е (t) = y(t) - x(t). (3)

С целью обеспечения нормального протекания процесса управления к системе САУ предъявляются требования по точности, устойчивости и качеству переходного процесса.

Точность системы задается и определяется в установившихся режимах. Устойчивость гарантирует затухание переходного процесса, после чего обеспечивается желаемое качество затухающего переходного процесса.

Точность при типовых воздействиях. Значение установившейся ошибки можно найти по теореме операционного исчисления о конечном значении функции. Суть теоремы звучит так: если известно изображение F(p) функции f(t), то конечное значение оригинала f(t > ?) можно вычислить по формуле:

f(t > ?) = lim[p•F(p)] при р > 0.

Применяя эту формулу для решения поставленной задачи, получим:

е_ус = lim[р•W_е(p)•x(p)] при р > 0, (4)

где W_е(p) - передаточная функция, представляющая собой отношение установившейся ошибки е_ус к входной величине х.

В общем случае задающее воздействие является сложной функцией времени, при которой вычисление ошибки значительно усложняется. Поэтому реальные управляющие воздействия заменяют типовыми, в качестве которых применяют известную вам ступенчатую функцию m•1(t), линейную функцию а•t или квадратичную функцию at²/2.

Эти воздействия называются детерминированными или регулярными, поскольку их значения можно вычислить для любого момента времени.

Передаточная функция ошибки замкнутой системы определяется в соответствии с выражением:

W_е(p) = 1/[1 + W(p)], (5)

где W(р) - передаточная функция разомкнутой системы.

Подставляя выражение (5) в уравнение (4), получим:

е_ус = lim{р•x(p)/[1 + W(p)]} при р > 0. (4)

Если W(0) = К, т.е. структурная схема разомкнутой системы не содержит интегрирующих звеньев, то САУ называется статической, где К - статический коэффициент усиления разомкнутой системы.

Астатическими системами первого и второго порядка называют такие, у которых передаточные функции соответственно равны W(p) = К·W*(p)/р и W(p) = К·W*(p)/р², т.е. структурные схемы систем содержат одно или два интегрирующих звена. При этом W*(p) - передаточная функция без учета интегрирующих звеньев и их коэффициентов усиления.

При вычислении ошибок необходимо иметь в виду, что изображение по Лапласу типовых воздействий для х = х_о, х = а•t и х = at²/2 равно соответственно:

х(р) = х_о/р; х(р) = а/р²; х(р) = а/р³. (5)

Рассмотрим ошибки некоторых САУ при типовых воздействиях.

Подставив в выражение (4) значение х(р) для ступенчатого воздействия найдем установившуюся ошибку статической системы САУ при р = 0:

е_ус = р•x(p)/[1 + W(p)] = p• х_о/{р•[1 + W(p)]} =

= х_о/[1 + W(p)] = х_о/[1 + W(0)] = х_о/(1 + K). (6)

Эта ошибка называется статической ошибкой. Она пропорциональна задающему воздействию и уменьшается с увеличением коэффициента К разомкнутой системы. При изменяющихся во времени воздействиях типа х(t) = а•t или х = at²/2 ошибка непрерывно возрастает и при р > 0 е_ус > ?.

е_ус = а/[p•(1 + K)]; е_ус = а/[p²•(1 + K)]. (7)

Наличие статической ошибки является характерным свойством статических САУ.

Астатические системы первого порядка точно отрабатывают ступенчатое воздействие.

е_ус = р•x(p)/[1 + W(p)] = p• х_о/{р•[1 + К·W*(p)/p]} =

= х_о•p/[p + К·W*(p)] = 0/[0 + W(0)] = 0/K = 0. (8)

В то же время при отработке линейно возрастающего сигнала эти системы имеют постоянную ошибку е_ус = а/K:

е_ус = р•x(p)/[1 + W(p)] = p• а/{р²•[1 + К·W*(p)/p]} =

= а/[p + К·W*(p)] = а/[0 + W(0)] = а/K. (9)

Эта ошибка пропорциональна скорости изменения входного сигнала «а», поэтому ее называют скоростной ошибкой, а коэффициент усиления разомкнутой системы К - добротностью системы по скорости.

При отработке квадратичного сигнала отклонение е_ус > ?.

е_ус = р•x(p)/[1 + W(p)] = p• а/{р³•[1 + К·W*(p)/p]} =

= а/{р•[p + К·W*(p)]}. (10)

Астатические системы второго порядка точно отрабатывают ступенчатый и линейно возрастающие сигналы. При отработке квадратичного сигнала имеет место ошибка е_ус = а/K, которая пропорциональна ускорению «а» входного сигнала и обратно пропорциональна коэффициенту усиления разомкнутой системы К, который называется добротностью системы по ускорению, а сама ошибка - ошибка системы по ускорению.

С увеличением коэффициента усиления К разомкнутой системы установившиеся ошибки уменьшаются. Однако с возрастанием К ухудшается устойчивость автоматических систем, т.е. требование к точности противоречит требованию к устойчивости. При заданном относительно большом значении К улучшение устойчивости достигается включением в систему корректирующих устройств.

Порядок астатизма системы также влияет на точность системы. Чем выше астатизм, тем точнее система отрабатывает более сложные воздействия. Однако с увеличением порядка астатизма системы ее устойчивость ухудшается. Поэтому системы САУ с порядком астатизма более двух встречаются редко.

Лекция 8. Показатели качества САУ и их коррекция

Качество системы САУ определяется качеством переходного процесса, которое оценивают по переходной функции h(t), представляющей собой реакцию системы на внешнее воздействие типа единичной ступенчатой функции 1(t).

На примере переходной функции колебательного звена рассмотрим основные показатели качества переходного процесса: время регулирования, перерегулирование, частоту колебаний, число колебаний, максимальную скорость и максимальное ускорение регулируемой величины.

Время регулирования t_p определяет длительность переходного процесса. Теоретически переходной процесс длится бесконечно долго, однако он заканчивается практически, как только отклонение регулируемой величины от установившегося значения не будет превышать допустимых пределов е = (3-5)%?h_уст. Временем регулирования характеризуют быстродействие системы. Однако иногда быстродействие системы характеризуют временем t_у достижения переходной функцией первый раз установившегося значения или временем t_max достижения максимального значения h_max.

Перерегулирование Дh_max или выброс представляет собой максимальное отклонение регулируемой величины от установившегося значения. Обычно, первый максимум является наибольшим. Относительное перерегулирование определяется следующей формулой:

е = Дh_max•100% / h_уст. (1)

Время регулирования и перерегулирование тесно связаны между собой. Перерегулирование появляется вследствие того, что система к установившемуся состоянию подходит с определенной скоростью, которая определяется тангенсом угла наклона б касательной в точке, соответствующей времени t_у: Дh/Дt = tgб при t = t_y.

Чем больше эта скорость (круче кривая переходной функции), тем больше будет перерегулирование Дh_max. Для уменьшения перерегулирования необходимо снизить скорость, с которой система подходит к установившемуся состоянию, что приведет к увеличению времени регулирования t_p. Если система подходит к установившемуся состоянию с нулевой скоростью, то перерегулирования не происходит, но время регулирования значительно возрастает. Таким образом, можно сделать вывод, что, как отсутствие, так и очень большое перерегулирование являются нежелательными. Поэтому перерегулирование допускают в пределах 20-30% от установившегося значения. При этом число полупериодов колебаний переходной функции равно двум-трем.

Качество переходного процесса оценивают на основе анализа кривой переходной функции. Однако на практике при анализе качества регулирования часто используют косвенные оценки, которыми являются некоторые числа, характеризующие отдельные моменты переходного процесса и которые можно найти без построения графика переходного процесса. Рассмотрим некоторые из косвенных оценок.

Частотные оценки. Для оценки используется относительная АЧХ в виде зависимости отношения H(щ)/К от частоты щ: Д(щ) = H(щ)/К.

Относительная АЧХ на резонансной частоте щ_max имеет максимум, соответствующий значению Д(щ_max) = Д_max. При дальнейшем увеличении частоты система в следствие своей инерционности не успевает реагировать на колебания больших частот и Д(щ) резко «падает».

Установлено, что чем больше Д_max, тем более колебательным является переходной процесс. Отношение Д_max/Д(0) = М называют показателем колебательности. Для следящих систем Д(0) = 1, поэтому М = Д_max. Обычно М = 1,2 - 1,5. При малых М система имеет большое время регулирования. При больших М увеличивается перерегулирование и система приближается к границе устойчивости. Кроме частоты щ_max характерными частотами АЧХ являются частота среза щ_с и полоса пропускания щ_п. Частота среза замкнутой системы щ_с определяется на уровне Д(щ) = 1.Для следящих систем частота среза определяет диапазон вынужденных колебаний, которые система пропускает без ослабления.

На этой частоте амплитуды входного и выходного колебаний равны. Полоса пропускания щ_п замкнутой системы определяется на уровне Д(0)/?2 = 0,707. Так как в диапазоне частот (щ_с - щ_п) АЧХ резко «падает», то числовые значения частот щ_с и щ_п близки.

Полоса пропускания влияет на точность и быстродействие системы. С увеличением полосы пропускания быстродействие системы растет. Чем больше полоса пропускания, тем больший спектр частот входного сигнала передается без искажений.

О качестве регулирования можно судить по ЛАЧХ. Установлено, что для удовлетворительного качества регулирования участок средних частот, на котором ЛАЧХ пересекает ось абсцисс, должен имеет наклон минус 20 дБ/декаду.

Протяженность этого участка влияет на перерегулирование. С его увеличением уменьшается колебательность переходного процесса. Приемлемое качество переходного процесса имеет место, если протяженность этого участка примерно равна декаде. Время регулирования t_p зависит от частоты среза, при которой ЛАЧХ пересекает ось абсцисс. Чем больше частота среза, тем меньше t_p.

Корневые оценки.

Корневыми называются оценки, которые основываются на расположении корней характеристического уравнения замкнутой системы, которые являются полюсами передаточной функции замкнутой системы и находятся из уравнения W_з(щ) = ?.

Корневой оценкой качества является степень устойчивости - расстояние з от мнимой оси до ближайшего корня на плоскости корней характеристического уравнения замкнутой системы.



Если ближайшим является вещественный корень (схема а), то ему соответствует экспоненциальная составляющая решения для переходного процесса С₁ = ехр(-з?t) - апериодическая степень устойчивости з. Время ее затухания t_п = 3/з при погрешности 5% характеризует общую длительность переходного процесса, так как все остальные члены решения , соответствующие основным корням затухают быстрее.

Если же ближайшей к мнимой оси окажется пара комплексных сопряженных корней (схема б), то доминирующей составляющей решения для переходного процесса является С₁ = ехр(-з?t)•sin(в₁•t + C₂), которая называется колебательной составляющей - колебательная степень устойчивости з. При этом оценка длительности переходного процесса остается прежней t_п = 3/з.

Колебательность переходного процесса определяется величиной м = в/з, где в и з - соответственно мнимая и вещественная части корней характеристического уравнения. Эта величина характеризует быстроту затухания колебаний за каждый период. Чем больше величина м, называемая колебательностью, тем слабее затухания колебаний в переходном процессе.

Для уменьшения амплитуд отклонений в переходном процессе желательно, чтобы нули передаточной функции замкнутой системы W_з(р), представляющие собой значения р, при котором W_з(р) = 0, располагались вблизи ее полюсов.

Понятие о коррекции. Основная задача корректирующих устройств в улучшении точности и качества переходных процессов систем САУ. Кроме того, корректирующие устройства предварительно используются для обеспечения устойчивости неустойчивых систем.

Для уменьшения ошибок в установившемся режиме необходимо повышать коэффициент усиления К системы в разомкнутом состоянии. Но с увеличением К, как мы с вами уже отмечали ранее, уменьшается запас устойчивости САУ. С возрастанием К увеличивается и частота среза щ_с (щ_с2 > щ_с1).

Большим значениям щ_с соответствуют меньшие значения запаса устойчивости по фазе ш. При щ_с = щ_с2 система неустойчива из-за вносимого инерционными звеньями системы запаздывания колебаний по фазе, которое растет с увеличением частоты.

Для того, чтобы при увеличении К система оставалась устойчивой и обеспечивала требуемый запас устойчивости по фазе ш и амплитуде h, необходимо частично компенсировать запаздывание в полосе частот, которая расположена около частоты среза щ_с2, соответствующей увеличенному коэффициенту К₂ системы, и тем самым деформировать ЛФЧХ системы, приподняв ее вверх (штриховая кривая). Такую деформацию ЛФЧХ можно осуществить, включив последовательно элементам системы устройство, которое вносило бы опережение по фазе синусоидальных колебаний.

Коррекция САУ осуществляется с использованием последовательных и параллельных корректирующих устройств.

Последовательные корректирующие устройства. К числу последовательных корректирующих устройств относится дифференцирующая фазоопережающая цепь, которая называется форсирующей цепью.

Передаточная функция этой цепи имеет следующий вид:

W(p) = U_вых(р)/U_вх(р) = R₂•(1 + pR₁•C)/(R₂ + R₁ + pR₁•R₂•C) (2)

Разделим числитель и знаменатель дроби (2) на сумму сопротивлений (R₁ + R₂), в результате получим

W(p) = . (3)

Обозначим отношение R₂/(R₁ + R₂) как K - статический коэффициент усиления, произведение (R₁•С) как постоянную времени Т₁, а К•Т₁ = Т₂. Здесь постоянные времени характеризуют соответственно опережение Т₁ и отставание Т₂ (поскольку К < 1, то Т₂ < Т₁). Подставив в формулу (3) соответствующие замены, получим стандартное изображение передаточной функции форсирующего звена:

W(p) = К•(1 + р•Т₁)/(1 + р•Т₂). (4)

ЛАЧХ данного звена имеет вид:

L(щ) = 20lgH(щ) = 20lgK + 20lg. (5)

ЛФЧХ форсирующего звена:

ц(щ) = arctg(щТ₁) - arctg(щТ₂). (6)

Примечание: L(щ) = 20lgK в диапазоне частот (0 - 1/Т₁), (20lgK + 20дБ/дек) в диапазоне частот (1/Т₁ - 1/Т₂) и (20lgK + 20дБ) = const в диапазоне частот щ > 1/Т₂. Фазовый угол ц(щ) с ростом частоты до щ_max изменяется от 0^о до +45^о, а затем вновь падает до 0^о.

Опережение создается благодаря тому, что Т₁ > Т₂. Частоту щ_max, при которой цепь создает максимальное опережение, находим из условия dц(щ)/dщ = 0: щ_max = 1/.

Подставляя в формулу (6) выражение для щ_max, определяем значение фазового угла, соответствующее данной частоте:

ц(щ) = arctg(Т₁ /) - arctg(Т₂ /) = arctg - arctg. (7)

Из формулы (7) следует, что получение больших углов опережения связано с уменьшением коэффициента усиления цепи К. Для компенсации ослабления вносимого фазоопережающей цепью, необходимо увеличивать коэффициент усиления системы другими ее элементами.

Для уменьшения влияния помех САУ целесообразно корректировать, используя интегрирующее устройство, которое позволяет увеличивать К, не повышая ее частоты среза.

Передаточная функция наиболее распространенной пассивной интегрирующей цепи имеет следующий вид:

W(p) = U_вых(р)/U_вх(р) = (pR₂•C + 1)/(pR₁•C + pR₂•C + 1). (8)

Обозначим произведение R₂•C как Т₂ - постоянная времени опережения контура, С•(R₁ + R₂) = Т₁ - постоянная времени отставания. Подставив замены в выражение (8), получим:

W(p) = (1 + р•Т₂)/(1 + р•Т₁). (9)

Наличие отставания, вносимого интегрирующим устройством, является недостатком корректирующего устройства. Однако при соответствующем выборе параметров этого устройства область отставания может быть смещена в диапазон низких частот значительно левее частоты среза системы, поэтому запас устойчивости системы при включении интегрирующего звена практически не уменьшается.

ЛАЧХ данного звена имеет вид:

L(щ) = 20lgH(щ) = 20lg. (10)

ЛФЧХ интегрирующего звена:

ц(щ) = arctg(щТ₂) - arctg(щТ₁). (11)

Примечание: L(щ) = 0 в диапазоне частот (0 - 1/Т₁), (- 20дБ/дек) в диапазоне частот (1/Т₁ - 1/Т₂) и (- 20дБ) = const в диапазоне частот щ > 1/Т₂. Фазовый угол ц(щ) с ростом частоты до щ_max изменяется от 0^о до некоторого отрицательного максимума (больше - 90^о), а затем вновь падает до 0^о.

На практике для коррекции САУ часто применяют интегро-дифференцирующие цепи.

Передаточная функция этой цепи имеет вид:

W(p) = U_вых(р)/U_вх(р) = (1 + р•Т₁)•(1 + р•Т₂)/[ (1 + р•Т₃)·(1 + р•Т₄)], (12)

где Т₁ = R₁•C₁; Т₂ = R₂•C₂; T₃ + T₄ = R₁•C₁ + (R₁ + R₂)•C₂; T₃ · T₄ = T₁ · T₂.

ЛФЧХ интегро-дифференцирующего звена:

ц(щ) = arctg(щТ₂) + arctg(щТ₁) - arctg(щТ₃) - arctg(щТ₄). (13)

Примечание: L(щ) = 0 в диапазоне частот (0 - 1/Т₃), (- 20дБ/дек) в диапазоне частот (1/Т₃ - 1/Т₁), (- 20дБ) = const в диапазоне частот (1/Т₁ - 1/Т₂), (+ 20дБ/дек) в диапазоне частот (1/Т₂ - 1/Т₄) и 0 в диапазоне частот в диапазоне частот щ > 1/Т₄. Фазовый угол ц(щ) с ростом частоты имеет два максимума: отрицательный более - 90^о и положительный менее 90^о, а также нулевой угол в средней части диапазона частот (1/Т₁ - 1/Т₂).

Используя последовательную интегро-дифференцирующую цепь можно значительно повысить коэффициент усиления системы и увеличить ее частоту среза, а следовательно повысить точность системы в установившемся и переходном режимах.

Параллельные корректирующие устройства. Параллельное корректирующее устройство выполняет функции обратной связи, которая охватывает один из элементов прямой цепи системы.

Передаточная функция этой части системы W_охв(р) = W(p)/[1 + W(p)•W_oc(p)] может быть представлена в следующем виде: W_охв(р) = W(p)•W_n(p), где W_n(p) = 1/[1 + W(p)•W_oc(p)] - передаточная функция последовательно включенного звена, эквивалентного параллельному корректирующему устройству с передаточной функцией W_oc(p).

Таким образом, если удается повысить показатели качества, используя последовательные корректирующие устройства, то такое же повышение показателей качества можно осуществить и, используя параллельные корректирующие устройства. Если известно W_n(p), то можно найти W_oc(p):

W_oc(p) = [1 - Wn(p)]/[W_n(p)•W(p)]. (14)

Если в какой-либо области частот выполняется условие |W(jщ)•W_oc(jщ)| >> 1, то

W_охв(jщ) = W(jщ)/[1 + W(jщ)•W_oc(jщ)] ? 1/W_oc(jщ), (15)

т.е. передаточная функция части системы, охваченной обратной связью, в этой области частот полностью определяется передаточной функцией параллельного корректирующего устройства. Благодаря этому применением параллельных корректирующих устройств удается изменить частотные характеристики систем САУ в желаемом направлении.

Корректирующие обратные связи делятся на жесткие и гибкие. Жесткая обратная связь действует на систему в переходном и установившемся режимах, т.е. W_жос(0) ? 0, и реализуется она безинерционным (W_жос = К_ос) или инерционным [W_жос(p) = К_ос/(T_ocp + 1)] звеньями.

Гибкая обратная связь действует лишь в переходных режимах. Реализуется она дифференцирующим [W_гос(р) = К_оср] или инерционно-дифференцирующим звеном [W_гос(p) = К_оср/(T_ocp + 1)]. При охвате интегрирующего звена [W_д(p) = K/p] отрицательной жесткой обратной связью (W_жос = К_ос) получим:

W(p) = K/(p + K•K_oc) = K₁/(T₁p + 1), (16)

где К₁ = 1/К_ос: Т₁ = 1/К•К_ос.

Таким образом, под действием жесткой обратной связи теряется интегрирующее свойство звена и оно превращается в апериодическое с коэффициентом усиления, который полностью определяется только обратной связью. Постоянная времени Т₁ мала при большом коэффициенте усиления звена К.

При охвате инерционного интегрирующего звена гибкой обратной связью:

W(p) = K/[p•(Tp + 1); W_oc(p) = K_oc•p;

W_охв(р) = K/[p•(Tp + 1 + K•K_oc)] = K₁/[p•(T₁p + 1), (17)

где K₁ = К/(1 + К•К_ос); Т1 = Т/(1 + К•К_ос).

Т.е. в этом случае сохраняется тот же тип интегрирующего звена, но с уменьшенной инерционностью.

ЗАДАНИЕ НА КОНТРОЛЬНУЮ РАБОТУ

Задача 1. Расчет динамических характеристик линейных САУ

Определить весовую функцию g(t) и переходную функцию h(t) линейной САУ, состоящей из последовательного соединения апериодического и идеального интегрирующего звеньев, по заданным в табл. 1 параметрам ее передаточной функции в соответствии с последними двумя цифрами учебного шифра:

, где р - оператор Лапласа.

Составить таблицу расчетных значений искомых временных характеристик и построить их графики для временного интервала: t = 0 - 5T с шагом дискретизации, равным 0,5Т. Масштаб по оси ординат студентом выбирается самостоятельно, исходя из того, что высота графика должна быть не менее 8-10 см.

Таблица 1

Номер варианта	1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
последняя цифра шифра	К	5	10	8	6	4	3	2	1	7	9
предпоследняя цифра шифра	Т	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9	1

Пример. В качестве примера рассмотрим САУ, передаточная функция которой имеет следующий вид:

.

Известно, что изображение весовой функции L[g(t)] любой линейной САУ есть ничто иное, как ее передаточная функция:

L[g(t)] = .

Для отыскания оригинала весовой функции g(t) = L^-1[W(p)] разложим W(p) на элементарные дроби, соответствующие передаточным функциям отдельных звеньев системы САУ, и воспользуемся методом неопределенных коэффициентов для определения неизвестных статических коэффициентов усиления этих звеньев (коэффициенты А и В в знаменателе элементарных дробей):

. (1)

После приведения правой части выражения (1) к общему знаменателю можно приравнять числители левой и правой частей полученного уравнения:

10 = А•(0,1•р + 1) + В•р = р•(0,1•А + В) + А (2)

Приравнивая коэффициенты левой и правой частей уравнения (2) при одинаковых степенях р, получим систему двух уравнений из двух неизвестных:

10 = А;

0 = 0,1•А + В, откуда

А= 10; В = - 0,1•А = - 1.

Подставляя вычисленные значения коэффициентов А и В в уравнение (1), получим:

. (3)

Переход от изображений элементарных функций f(p) в операторной форме записи к их оригиналам, как функций времени f(t), осуществляется, как правило, с использованием стандартных таблиц изображений, приводимых в справочной литературе. Так, например:

оригинал L^-1[1/р] функции 1/р равен: L^-1[1/р] = 1.

оригинал L^-1[1/(р + 10)] функции 1/(р + 10) равен: L^-1[1/(р + 10)] = е ^-10•t.

Заменив в правой части уравнения (3) изображения элементарных функций на их оригиналы, получим искомое выражение для весовой функции:

g(t) = 10•(1 - е ^-10•t) (4)

Задаваясь различными значениями t, заполним таблицу расчетных значений и построим график g(t).

По известной весовой функции g(t) можно найти переходную функцию h(t), принимая во внимание, что h(t) = .

Изображение L[h(t)] функции h(t) можно получить путем умножения передаточной функции W(p) исходной САУ на передаточную функцию 1/р идеального интегрирующего звена, что соответствует включению последовательно с САУ интегрирующего звена.

L[h(t)] = W(p)•1/р = . 5)

Разложим правую часть уравнения (5) на элементарные дроби с тем, чтобы получить более простые изображения функций для нахождения их оригиналов.

= . (6)

После приведения правой части выражения (6) к общему знаменателю приравняем числители левой и правой частей полученного уравнения:

10 = А•р•(0,1•р +1) + В•(0,1•р + 1) + С•р². (7)

Приравнивая коэффициенты левой и правой частей уравнения (7) при одинаковых степенях р, получим систему трех уравнений из трех неизвестных:

10 = В;

0 = 0,1•В + А;

0 = 0,1•А + С, откуда

В= 10; А = - 0,1•В = - 1; С = - 0,1•А = 0,1.

Подставляя вычисленные значения коэффициентов А, В и С в уравнение (6), получим:

. (8)

Воспользовавшись известными таблицами изображений, найдем оригиналы простейших функций:

L^-1[1/р] = 1;

L^-1[1/р²] = t;

L^-1[1/(р + 10)] = е ^-10•t.

Заменив в правой части уравнения (8) изображения элементарных функций на их оригиналы, получим искомое выражение для переходной функции:

h(t) = 10•[t - 0,1•(1 - е ^-10•t)] (9)

Задаваясь различными значениями t, заполним таблицу расчетных значений и построим график h(t).

Этот результат можно получить путем непосредственного интегрирования весовой функции g(t):

h(t) =

Задача 2. Расчет частотных характеристик линейных САУ

Определить круговую частоту щ, с которой устройство САУ, состоящее из последовательно включенных двух апериодических и одного идеального интегрирующего звеньев, дает заданный сдвиг по фазе между выходным и входным сигналами. При этом следует определить амплитуду выходного сигнала Y_m на данной частоте, если известна амплитуда входного сигнала X_m.

Передаточная функция заданной САУ имеет следующий вид:

. (10)

Исходные данные для решения задачи приведены в табл. 2.

Таблица 2

Номер варианта	Последняя цифра шифра	Предпоследняя цифра шифра
	К	Т1, с	Т2, с	Хm	ц, град
1	10	0,05	0,5	2	- 150
2	9	0,1	0,05	4	- 160
3	8	0,02	0,2	6	- 170
4	7	0,01	0,1	8	- 150
5	6	0,1	0,03	10	- 160
6	5	0,2	0,02	3	- 170
7	4	0,4	0,04	5	- 140
8	3	0,8	0,08	4	- 150
9	2	0,5	0,05	1	- 160
0	1	0,025	0,25	7	- 170

Пример. По передаточной функции W(p), представленной в операторной форме, найдем выражение для частотной передаточной функции W(jщ) путем замены в выражении (10) оператора Лапласа р на комплексную переменную jщ.

W(jщ) = , (11)

где: Н(щ) = - модуль частотной передаточной функции, представляющий собой амплитудно-частотную характеристику (АЧХ) системы САУ;

ц(щ) = - 90^о - arctg(щ•T₁) - arctg(щ•T₂) - аргумент частотной передаточной функции, представляющий собой фазочастотную характеристику (ФЧХ) системы САУ.

Задаваясь значениями круговой частоты щ с шагом 1-2 рад/с определим значения функции ц(щ), занесем их в таблицу расчетных значений и построим график ФЧХ, на котором проведем горизонтальную прямую через точку, соответствующую заданному углу сдвига фаз ц, до пересечения с кривой ФЧХ. Через найденную точку пересечения проведем горизонтальную прямую до пересечения с осью частот, на которой отметим искомую круговую частоту щ_и, которая дает заданный табл. 2 сдвиг фазы ц(щ_и) = ц.

Подставляя найденное значение круговой частоты щ_и в выражение для модуля Н(щ) частотной передаточной функции вычислим его значение Н(щ_и).

Затем определяем искомую амплитуду выходного сигнала, как

Y_m = Н(щ_и)•X_m.

Задача 3. Построение логарифмических частотных характеристик и годографа АФЧХ

1. Построить асимптотическую логарифмическую амплитудно-частотную характеристику (ЛАЧХ) и логарифмическую фазочастотную характеристику ЛФЧХ для линейной системы САУ, состоящей из четырех последовательно включенных звеньев:

одного реального дифференцирующего звена с передаточной функцией W₁(р) = К₁•(Т₁•р + 1);

двух апериодических звеньев первого порядка с передаточными функциями W₂(р) = К₂/(Т₂•р + 1) и W₃(р) = К₃/(Т₃•р + 1);

одного идеального интегрирующего звена с передаточной функцией К₄/р.

Исходные данные приведены в табл. 3.

Таблица 3

Номер варианта	Последняя цифра шифра	Предпоследняя цифра шифра
	К	Т1, с	Т2, с	Т3, с
1	100	0,125	0,2	0,02
2	50	0,1	0.2	0.01
3	40	0.2	0,5	0,01
4	20	0,5	1,0	0,05
5	10	0,8	1,5	0,05
6	4	0,5	2,0	0,1
7	1	0,8	5,0	0,2
8	0,5	0,5	5,0	0,1
9	0,2	0,4	4,0	0,04
0	10	0,1	2,0	0,5

По условиям задачи передаточная функция заданной линейной САУ имеет следующий вид:

, (12)

где К = К₁• К₂• К₃• К₄.

2. Построить годограф АФЧХ W(jщ) заданной САУ.

Пример. Найдем выражение для логарифмической АЧХ и ФЧХ, для чего сначала определим АФЧХ системы по ее передаточной функции W(р), заменяя в ней оператор Лапласа р на комплексную переменную jщ.

W(jщ) = , (13)

где: Н(щ) = - амплитудно-частотная характеристику (АЧХ) системы САУ;

ц(щ) = [- 90^о + arctg(щ•T₁) - arctg(щ•T₂) - arctg(щ•T₃)] - аргумент частотной передаточной функции, представляющий собой фазочастотную характеристику (ФЧХ) системы САУ.

По известной АЧХ определим выражение для ЛАЧХ L(щ):

L(щ) = 20•lgH(щ) =

= , дБ (14)

Асимптотическую ЛАЧХ строим путем замены непрерывной кривой ЛАЧХ несколькими прямыми отрезками, которые сопрягаются между собой в точках, соответствующих круговым частотам щ_с (сопрягающим частотам), численно равным обратной величине от постоянных времени, входящих в выражение (14). В нашем примере имеем три сопрягающие частоты:

щ_с1 = 1/Т₁, рад/с; щ_с2 = 1/Т₂, рад/с; щ_с3 = 1/Т₃, рад/с.

Расположим сопрягающие частоты в порядке возрастания при следующих исходных данных нашего примера: К = 10; Т₁ = 0,4 с; Т₂ = 2 с; Т₃ = 0,02 с. Учитывая, что чем больше значение постоянной времени, тем меньше значение сопрягающей частоты, можем написать следующее неравенство:

щ_с2 = 0,5 < щ_с1 = 2,5 < щ_с3 = 50 рад/с.

Выбираем масштаб для одной декады частот так, чтобы в этом масштабе на оси абсцисс (частот) разместить три декады логарифмической шкалы. Если значения всех сопрягающих частот больше или равно 1 (щ_с ? 1рад/с), то в качестве границ декад выбираем круговые частоты 1, 10, 100 и 1000 рад/с. В том случае, когда значение хотя бы одной из сопрягающих частот находится в диапазоне 0,1 ? щ_с < 1, то границы декад необходимо сместить влево на одну декаду, т.е. выбрать 0,1, 1, 10 и 100 рад/с.

В пределах каждой декады можно выделить промежуточные значения частот, используя для этих целей логарифмическую шкалу. Затем на логарифмической оси частот отмечаем точки, соответствующие сопрягающим частотам щ_с1, щ_с2, щ_с3, и проводим через них вертикальные пунктирные линии. Ось ординат проводим через частотную отметку 1 рад/с и выбираем соответствующий масштаб, исходя из значения величины 20•lgK, так, чтобы можно было отложить значения (20•lgK + 20) и (20•lgK - 40), дБ.

В нашем случае откладываем на оси ординат следующие точки:

20•lg10 = 20; 20•lg10 + 20 = 40; 20•lg10 - 40 = -20 дБ.

С целью удобства построения асимптотической ЛАЧХ выбираем масштаб 1 см на 10 дБ. Проводим через точку 20•lgK вправо от оси ординат прямую линию с наклоном -20 дБ на декаду, для чего соединяем эту точку с точкой (20•lgK - 20), расположенной на частотной отметке 10 рад/с. Так как в нашем примере первая по порядку следования сопрягающая частота щ_с2 < 1, то продолжим эту прямую влево от оси ординат до пересечения с вертикальной пунктирной линией, исходящей из точки 0,1 рад/с на оси частот. Очевидно, что ордината точки пересечения равна (20•lgK + 20) = 40 дБ.

На отрезке логарифмической оси частот 0,1 ? щ ? щ_с2 асимптотическая ЛАЧХ описывается выражением: L(щ) = 20•lgK - 20•lgщ и представляет собой отрезок проведенной ранее прямой с наклоном -20 дБ/дек, соединяющий точки ее пересечения с вертикальными пунктирными линиями, проведенными из точек 0,1 и щ_с2 и имеющими ординаты, соответственно: L(0,1) = 20•lg10 - 20•lg0,1 = 40 дБ и L(щ_с2) = L(0,5) = 20•lg10 - 20•lg0,5 = (40 - 20•lg5) дБ.

Первая сопрягающая частота щ_с2 принадлежит инерционному звену, поэтому после этой частоты асимптотическая ЛАЧХ на отрезке частотной оси щ_с2 ? щ ? щ_с1 описывается выражением: L(щ) = 20•lgK - 20•lgщ - 20?lg(щ?Т₂) и, следовательно, ее наклон увеличивается на -20 дБ/дек и становится равным -40 дБ/дек. Соединяя ординаты (40 - 20•lg5) в точке щ_с2 = 0,5 рад/с с ординатой (- 20•lg5) в точке щ = 10?щ_с2 = 5 рад/с пунктирной линией получим отрезок прямой с наклоном -40 дБ/дек, который пересекает вертикальную пунктирную линию, соответствующую круговой частоте щ_с1 = 2,5 рад/с, в точке с ординатой L(щ_с1) = L(2,5) = 20•lg10 - 20•lg2,5 - 20•lg(2,5•2) = (20 - 20•lg12,5) = (-20 lg1,25) дБ. Соединяя ординату L(щ_с2) = (40 - 20•lg5) дБ сплошной прямой линией с ординатой L(щ_с1) = (-20•lg1,25), соответствующей точке пересечения наклонной пунктирной линии с вертикальной пунктирной линией), получим на отрезке логарифмической оси частот щ_с2 ? щ ? щ_с1 очередную асимптоту ЛАЧХ с наклоном -40 дБ/дек.

Вторая сопрягающая частота щ_с1 принадлежит дифференцирующему звену, поэтому после этой частоты асимптотическая ЛАЧХ на отрезке частотной оси щ_с1 ? щ ? щ_с3 описывается выражением: L(щ) = 20•lgK - 20•lgщ - 20?lg(щ?Т₂) + 20•lg(щ?Т₁) и, следовательно, ее наклон уменьшается на 20 дБ/дек и становится вновь равным -20 дБ/дек. Соединяя пунктирной линией ординаты (-20•lg1,25) в точке щ_с1 = 2,5 рад/с с ординатой (-20 - 20•lg1,25) в точке щ = 10?щ_с1 = 25 рад/с получим отрезок прямой с наклоном -20 дБ/дек. Продолжим эту наклонную прямую до пересечения с вертикальной пунктирной линией, соответствующей круговой частоте щ_с3 = 50 рад/с, в точке с ординатой L(щ_с3) = L(50) = 20•lg10 - 20•lg50 - 20•lg(50•2) + 20•lg(50•0,4) = (-40 + 20•lg4) дБ. Соединяя ординату L(щ_с1) = (-20•lg1,25) дБ сплошной прямой линией с ординатой L(щ_с3) = (-40 + 20•lg4), соответствующей точке пересечения наклонной пунктирной линии с вертикальной пунктирной линией), получим на отрезке логарифмической оси частот щ_с1 ? щ ? щ_с3 очередную асимптоту ЛАЧХ с наклоном -20 дБ/дек.

Третья сопрягающая частота щ_с3 принадлежит интегрирующему звену, поэтому после этой частоты асимптотическая ЛАЧХ на отрезке частотной оси щ ? щ_с3 описывается выражением: L(щ) = 20•lgK - 20•lgщ - 20?lg(щ?Т₂) + 20•lg(щ?Т₁) - 20•lg(щ?Т₃) и, следовательно, ее наклон вновь увеличивается на -20 дБ/дек и становится равным -40 дБ/дек. Соединяя сплошной линией ординаты (-40 + 20•lg4) в точке щ_с3 = 50 рад/с с ординатой (-80 + 20•lg4) в точке щ = 10?щ_с3 = 500 рад/с получим асимптоту ЛАЧХ с наклоном -40 дБ/дек.

На рис. 1 показан график асимптотической ЛАЧХ, построенный в соответствии с вышеприведенным алгоритмом.

Рис. 1 Логарифмические асимптотическая амплитудно-частотная и фазочастотная характеристики

Для построения логарифмической ФЧХ воспользуемся выражением

ц(щ) = [- 90^о + arctg(щ•T₁) - arctg(щ•T₂) - arctg(щ•T₃)].

Задаваясь численными значениями круговой частоты от 0,1 до 100 рад/с (при щ_с2 < 1) или от 1 до 1000 рад/с (при щ_с2 ? 1), заполнить соответствующий столбец табл. 4 значениями частотной функции ц(щ) и выполнить ее построение так, как показано применительно к нашему примеру на рис. 1. Для построения годографа АФЧХ необходимо также заполнить соответствующие столбцы табл. 4, для чего необходимо произвести расчет модуля Н(щ) частотной передаточной функции W(jщ) и его проекций на мнимую (М(щ) = Н(щ)?sin[ц(щ)]) и действительную (N(щ) = Н(щ)?cos[ц(щ)]),

Н(щ) =

а также использовать данные выполненного ранее расчета фазочастотной характеристики.

Таблица 4

щ, рад/с	Н(щ)	N(щ)	М(щ)	ц(щ), град
0,1	98,04	-16,40	-96,66	-99,63
. . .	. . .	. . .	. . .	. . .
1	4,816	-3,270	-4,05	-132,77
. . .	. . .	. . .	. . .	. . .
10	0,285	-0,109	-0,263	-112,48
. . .	. . .	. . .	. . .	. . .
100	0.0089	-0,008	-0,0052	-154,57

Так как значение модуля Н(щ) АФЧХ обратно пропорционально круговой частоте, то для построения годографа следует брать более высокие частоты с наиболее близкими относительно малыми значениями модуля. Так, например, в нашем примере это частоты в диапазоне от 1 до 10 рад/с.

Откладываем на отрицательной действительной полуоси комплексной плоскости значения проекции N(щ) модуля Н(щ), а на отрицательной полуоси - значения проекции М(щ) этого модуля, выбрав предварительно наиболее удобный масштаб. Затем через отложенные точки проводим вертикальные или горизонтальные линии параллельно противоположным координатным осям. Соединив точки пересечения этих линий с началом координат, получим векторы АФЧХ, соответствующие частотам, при которых вычислялись проекции их модуля на координатные оси. Соединив точки пересечения этих линий между собой и с началом координат, получим фрагмент годографа АФЧХ, представляющего собой кривую, которую описывает конец вектора W(jщ) при изменении частоты в выбранном диапазоне частот.

Другой способ построения годографа АФЧХ основан на использовании полярных координат, для чего на комплексной плоскости через начало ее координат проводят ряд линий под углами, взятыми из табл. 4 для соответствующих частот, и на этих линиях откладывают в произвольно выбранном масштабе значения модуля Н(щ) АФЧХ. Соединяя затем концы векторов между собой и с началом координат, получим искомый фрагмент годографа АФЧХ.

Фрагмент годографа АФЧХ, построенного на основании данных табл. 4, показан на рис. 2.

Рис. 2 Фрагмент годографа АФЧХ

Для построения ЛАЧХ, ЛФЧХ и годографа АФЧХ можно воспользоваться программой МАТЛАБ. Пример фрагмента годографа АФЧХ, построенного с применением этой программы, показан на рис. 3 для области частот 1 - 15 рад/с.

Рис. 3 Фрагмент годографа АФЧХ, построенного с использованием программы МАТЛАБ

Лабораторная работа № 1

ИССЛЕДОВАНИЕ ВРЕМЕННЫХ И ЧАСТОТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК ЛИНЕЙНЫХ САУ

Цель работы: изучение основных характеристик и параметров линейных систем автоматического управления (САУ).

Теоретическая часть

Линейной САУ называется динамическая система, поведение которой во времени описывается линейным дифференциальным уравнением n-степени:

a_n•y⁽ⁿ⁾ + a_(n-1)•y^(n-1) + … + a₁•y⁽¹⁾ + a₀•y = b_m•x^(m) + b_(m-1)•x^(m-1) + … + b₁•x⁽¹⁾ + b₀•x,

где a₀, b₀, … , a_n, b_n - постоянные коэффициенты уравнения;

y - регулируемая переменная (выходная функция САУ);

х - входная переменная (функция) САУ;

y⁽ⁱ⁾ = dⁱy(t) / dtⁱ - i-я производная функции у, (i = 1, … , n);