Розроблення автоматизованого методу оцінювання руйнування композитних матеріалів за даними фрактального аналізу

Розмірність фракталу D визначається як:

(2.1)

де - співвідношення подібності, N - число кроків, необхідне для того, щоб покрити криву.

Рисунок 2.3 Визначення розміру фракталу на прикладі чотирьох ламаних ліній

Практично розмір фракталу для кривої оцінюється шляхом вимірювання довжин кривої при різних розмірах кроку. Розмірність фракталу D може бути оцінена за допомогою такого рівняння регресії:

(2.2)

де L - довжина кривої, B - нахил регресії, G - величина кроку, С - константа.

Розглянемо докладніше реалізацію фрактального підходу до аналізу хмар. В основу цього методу покладено виведене Мандельбротом співвідношення між периметром і площею об'єкта. Для кіл, квадратів, рівносторонніх трикутників та інших багатокутників відношення периметра до квадратного кореня з площі, що ним обмежується, не залежить від розміру фігури і є постійною величиною для даного сімейства. Аналогічно для сімейства подібних островів відношення довжини нефрактальної берегової лінії будь-якого острова до квадратного кореня з його площі не залежить від розміру площі. Однак, якщо берегова лінія фрактальна, то її довжина залежить від довжини еталона і прямує до нескінченності якщо еталон також прямує до нуля.

При цьому площа острова , обумовлена кількістю квадратів , що на ній розташовані, залишається кінцевою. Таким чином, відношення периметра до квадратного кореня із площі розходяться. Мандельброт для випадку фрактальної берегової лінії одержав таке співвідношення між периметром і площею:

(2.3)

Це співвідношення виконується для будь-якого еталона довжини , досить малого, щоб задовільно виміряти найменший з островів. Співвідношення (2.3) застосовується при дослідженні геометрії хмар і зон дощу, розміри яких знаходяться в широких межах від 1 до . З'ясувалося, що периметр хмари пов'язаний з його площею співвідношенням (2.3) з фрактальним розміром . При цьому ці оцінки виявилися справедливі як для купчастих, так і для пір'ястих хмар. У роботі А. Вальдфогеля, присвяченій аналізу фрактальної розмірності хмар з потужними конвективними струмами, було встановлене співвідношення між периметром і площею для послідовності моментів часу (з інтервалом в 1 хвилину) у площині перерізу для постійного коефіцієнта відбиття. Основні висновки можуть бути такими: для хмар, периметр яких більше 8 км, розмір фракталу приблизно збігається з розміром менш потужних хмар і становить ; для хмар з периметром від 3 км до 8 км - , нарешті, хмари з периметром менш 3 км не є фракталами.

Мандельброт запропонував не тільки означення фракталів, але також і алгоритм побудови одного з них, що отримав назву на честь ученого. Алгоритм побудови множини Мандельброта заснований на ітеративному обчисленні за формулою:

(2.4)

де Z і C - комплексні змінні.

Ітерації виконуються для кожної стартової точки C прямокутної або квадратної області - підмножини комплексної площини. Ітераційний процес триває доти, поки не вийде за межі кола заданого радіуса, центр якого лежить у точці (0,0), або після досить великої кількості ітерацій. Остежно від кількості ітерацій, протягом яких остишається всередині кола, встановлюється колір точки C. Якщо остишається всередині кола протягом досить великої кількості ітерацій, то ця точка растра зафарбовується в чорний колір.

Множині Мандельброта (рис. 2.4) належать саме ті точки, які протягом нескінченного числа ітерацій не переходять у нескінченність.

Побудова іншої фрактальної множини, сніжинки Коха (рис. 2.5), починається з правильного трикутника, довжина сторони якого дорівнює 1. Сторона трикутника вважається базовою ланкою для вихідного положення. Далі, на будь-якому кроці ітерації кожна ланка заміняється на утворювальний елемент - ламану, що складається по краях з відрізків довжиною 1/3 від довжини ланки, між якими розміщаються дві сторони правильного трикутника зі стороною в 1/3 довжини ланки. Всі відрізки - сторони отриманої кривої - вважаються базовими ланками для наступної ітерації.

Рисунок. 2.4 Зображення множини Мандельброта а) Звичний масштаб; б) Збільшена ділянка границі множини Мандельброта

Крива, що одержується в результаті n-ї ітерації при будь-якому кінцевому n, називається передфракталом, і лише при n, що наближається до нескінченності, крива Коха стає фракталом. Отримана в результаті ітераційного процесу фрактальна множина є лінію нескінченної довжини, що обмежує кінцеву площу. Дійсно, при кожному кроці число сторін результуючого багатокутника збільшується в 4 рази, а довжина кожної сторони зменшується тільки в 3 рази, тобто довжина багатокутника на n-ій ітерації дорівнює і прагне до нескінченності з ростом n.

Рисунок. 2.5 Перші 5 поколінь сніжинки Коха

Площа під кривою, якщо прийняти площу утворювального трикутника за 1, дорівнює:

(2.5)

З недавнього часу фрактальні методи почали використовувати при розробці методів розпізнавання образів на радіолокаційних зображеннях. Суть їх така. Важко локалізувати танк замаскований серед кущів. Важко, навіть коли є якісний сигнал від теле- та теплотелевізора. Набагато легше зробити це за допомогою фрактальних методів. Як вже було сказано вище, обриси штучних об'єктів - танків, автомобілів - створені лініями, які описуються рівняннями цілого порядку. А ось об'єкти природні - рельєф, дерева - фрактальні, тобто мають фрактальну розмірність. Ось на цьому принципі і побудовані нові системи розпізнавання образів. Системи розпізнавання не бачать кущ, але дуже добре розпізнають штучний об'єкт, схований за кущем. Маскувальне забарвлення може допомогти, але якщо воно не створене кривими другого порядку, як звичайно.

Іншими словами, якщо ми виміряємо розмірність зображення якогось природного ландшафту, то вона буде дробова. Розмірність геометричної фігури рівна близько 2 (через похибку вимірювання). А коли накласти, наприклад, прямокутник (як це показано на рисунку 2.5) на природне зображення, то розмірність всієї картинки різко поміняється.

Рисунок 2.5 Приклад розрахунку розмірності зображення

Основною перевагою даного методу над іншими є те, що не потрібно витрачати зусилля і час на покращення якості зображення. Це не дуже впливає на результат. Інша перевага полягає в нижчій вимозі до високої роздільної здатності зображень, порівняно з іншими методами. На результат впливає лише площа, яку займає штучний об'єкт на зображенні, а не контраст, як звичайно.

Самоподібність (self-similarity) є основною характеристикою фракталу і означає, що він більш-менш одноманітно побудований у широкому діапазоні масштабів. Так, при збільшенні маленькі фрагменти фракталу виходять дуже схожими на більші. В ідеальному випадку така самоподібність приводить до того, що фрактальний об'єкт є інваріантним до збільшень.

Звичайно, для реального природного фракталу існує деякий мінімальний масштаб довжини такий, що на відстанях його основна властивість - самоподібність - пропадає. Крім того, на досить великих масштабах довжин max , де - характерний геометричний розмір об'єктів, ця властивість самоподібності також порушується. Тому властивості природних фракталів розглядаються лише в масштабах l, що задовольняє співвідношення .

Відмітимо, що властивість точної самоподібності характерна лише для регулярних фракталів. Якщо замість детермінованого способу побудови внести в алгоритм їхнього створення деякий елемент випадковості (як це буває, наприклад, у багатьох процесах дифузійного росту кластерів, електричному пробої й т. д.), то виникають так звані випадкові фрактали.

Основна їхня відмінність від регулярних полягає в тому, що властивості самоподібності справедливі тільки після відповідного усереднення по всіх статистично незалежних реалізаціях об'єкта. При цьому збільшена частина фракталу не точно ідентична вихідному фрагменту, однак їхні статистичні характеристики збігаються.

За допомогою фракталів можна стискувати зображення з деякою втратою якості аналогічно іншим методам стику з втратами. Але фрактальний стиск дає кращі результати.

Методи компресії, основані на RLE, класичний алгоритм Хаффмана, LZW не враховують природи стискуваних даних і тому дають незадовільні результати при обробці зображень. Фрактальний стиск зображень - це алгоритм стиску зображень з втратами, заснований на застосуванні систем

ІFS до зображень. Даний алгоритм відомий тим, що в деяких випадках дозволяє одержати дуже високі коефіцієнти стиску (кращі приклади - до 1000 разів при прийнятній візуальній якості) для реальних фотографій природних об'єктів, що недоступно для інших алгоритмів стиску зображень у принципі.

Основна проблема фрактального стиску - це те, що компресія-декомпресія виконується швидко і однозначно в той час, як пряма процедура потребує від машини великих інтелектуальних можливостей.

При компресії можна не зберігати оригінальні розміри зображення, достатньо просто запам'ятати їх відношення. А при декомпресії - задавати ті розміри, які нам найбільше підходять. Така можливість дозволяє вирішити задачу екстраполяції початкового зображення. При встановленні нових розмірів, що перевищують старі, в нове зображення додаються елементи, подібні іншим елементам зображення. І якщо обробляється природний об'єкт (наприклад, гранітний камінь), то заміна не буде помітною.

Основа методу фрактального кодування - це виявлення самоподібних ділянок у зображенні. Патенти ідеї були отримані в 1990-1991 роках.

В основі більшості методів фрактального кодування, що застосовуються сьогодні, використовуються системи доменних і рангових блоків зображення, блоків квадратної форми, що покривають все зображення. Фрактальне кодування напівтонових зображень основане на гіпотезі, згідно з якою в будь-якому зображенні можна знайти локальну самоподібність різних його частин. Існуючі алгоритми фрактального стиску, як правило, притримуються такої схеми кодування. Зображення, яке кодується розбивається на множину блоків, що не перекриваються (рангові області), для кожного з яких, в межах цього ж зображення, відшукується блок більшого розміру (домен), пікселі якого, шляхом деякого перетворення, переводились би в пікселі рангової області. При цьому для пошуку оптимальної відповідності рангових областей і доменів необхідний повний перебір варіантів, що веде за собою значні обчислювальні затрати. З перетворень, що переводять домени в рангові області, формується відображення, що переводить зображення в зображення. При цьому кодом зображення буде місце розташування і розміри рангових областей, а також коефіцієнти перетворень, які описують самоподібність всередині зображення. Кількість бітів, необхідних для опису коду, буде значно менше кількості бітів, необхідних для опису початкового зображення. Коефіцієнтом стиску називається відношення бітового подання зображення до бітового представлення коду. В відомих фрактальних методах стиску зображень значення цього коефіцієнта може досягати 100 при достатньо непоганій якості відновлення. Для відновлення закодованого таким чином зображення використовується принцип стиснених відображень, який говорить, що стискувальне відображення, що діє в повному метричному просторі, має єдину нерухому точку. Відображення, що діє на повному метричному просторі зображень, формується з перетворень, які переводять домени в рангові області [51].

Відповідно до даного методу зображення розбивається на безліч неперекривних рангових підзображень і визначається безліч перекривних доменних підзображень. Для кожного рангового блоку алгоритм кодування знаходить найбільш підходящий доменний блок і афінне перетворення, що переводить цей доменний блок у даний ранговий блок. Структура зображення відображається в систему рангових блоків, доменних блоків і перетворень. Основна складність фрактального стиску полягає в тому, що для знаходження відповідних доменних блоків, загалом кажучи, потрібен повний перебір. Оскільки при цьому переборі щораз повинні порівнюватися два масиви, дана операція виходить досить тривалою.

Порівняно простим перетворенням її можна звести до операції скалярного добутку двох масивів, однак навіть скалярний добуток обчислюється порівняно тривалий час.

Крім стиску, іншою областю фрактальної обробки зображень є їх генерація. В наш час існує множина найрізноманітніших пакетів прикладних програм (від простих, які створюють зображення на основі множини Мандельброта (Fractal SSE), до складних, які генерують зображення 3d, анімаційні зображення та IFS-зображення). Всі вони побудовані на основі відкриття Мандельброта: якщо нанести визначені точки на площину комплексних чисел, то можна створювати зображення надзвичайного абстрактного вигляду - множина Мандельброта. В рівняння Мандельброта підставляються координати деякої точки комплексної площини, і результатом є координати іншої точки. Результат, отриманий при введенні координат першої точки, слугує початком для наступної ітерації, її результат підставляється в наступне рівняння і так далі. Обидві ці найголовніші області застосування фрактальних методів в наш час знаходяться на порівняно високому рівні розвитку, незважаючи на те, що фрактальна наука досить молода. Існує надзвичайно велика кількість програм, за допомогою яких можна створити або стиснути зображення, і ефективність обробки зображень деяких з цих програм достатньо висока.

Потенційним, хоч і менш відомим видом фракталів, є фрактал на основі системи ітераційних функцій (Iterated Function System - IFS).

Метод IFS, який застосовується до побудови фрактальних зображень, винайшов Майкл Барнслі. Він базується на самоподібності елементів зображення і полягає в моделюванні малюнка декількома меншими частинами його самого. Найвідомішим IFS-зображенням є чорний папоротник, в якому кожен лист в дійсності являє собою мініатюрний варіант самого папоротника [52].

Система IFS - це також сукупність стискальних афінних перетворень. Як відомо, афінні перетворення містять у собі масштабування, поворот і паралельний перенос. Афінне перетворення вважається стискальним, якщо коефіцієнт масштабування менше одиниці. Розглянемо докладніше побудову кривої Коха з використанням афінних перетворень. Кожний новий елемент кривої містить чотири ланки, отриманих з утворювального елемента з використанням масштабування, повороту й переносу.

Порядок утворення ланок:

1. Для одержання першої ланки досить стиснути вихідний відрізок у три рази. Слід зазначити, що те ж масштабування застосовується для всіх ланок.

1. Наступна ланка будується з використанням всіх можливих перетворень, а саме: стиск у три рази, поворот на 60 градусів і паралельний перенос на 1/3 по осі X.

2. Третя ланка будується аналогічно другому: стиск у три рази, поворот на 60 градусів, паралельний перенос на 2/3 вздовж осі X.

3. Остання ланка: стиск у три рази, паралельний перенос на 2/3 вздовж осі X.

Для синтезу фракталу вибирається початкова точка, до якої застосовується випадковим образом обране з ІFS перетворення, у результаті чого точка переміщується в інший кінець екрана. Ця операція повторюється багато разів (досить 100 ітерацій), і через деякий час точка починає блукати атрактором (безліч всіх можливих траєкторій), що і буде являти собою зображення фракталу. Кожне нове положення точки зафарбовується кольором, відмінним від фону. Існує теорема, яка доводить, що отриманий атрактор буде замкнутим. Для того, щоб блукаюча точка зафарбовувала нові пікселі, а не блукала старими, використовують сьомий параметр, що являє собою ймовірність появи конкретного афінного перетворення з набору перетворень ІFS. Якщо вибрати початкову точку так, щоб вона відразу виявилася на атракторі, то вона починає блукати в області цього атрактора, не переміщуючись в інші області екрана. Розглядаючи кожне перетворення окремо, можемо помітити, що де б ми не починали, після декількох ітерацій точка перестане рухатися екраном. Точка зупинки називається нерухомою точкою - це розв'язок системи лінійних рівнянь двох змінних, який знаходиться методом простої ітерації. Нерухома точка кожного перетворення входить до складу атрактора. Тому за початкову точку при побудові фракталу можна взяти нерухому точку першого перетворення з набору ІFS.

2.2 Теорія фракталів та її практичне застосування

Після того як у 1982 р. Бенуа Мандельброт опублікував свою монографію «Фрактальна геометрія природи» [53] вчені різних країн активно зацікавились даною темою та розвивали не лише його теорію, а й додатки.

Поняття дробової фрактальної розмірності можна пояснити найпопулярнішим методом - визначенням відстані між двома точками на фракталі. Так відомий приклад аналізу на прикладі берегової лінії: довжину берегової лінії L можна представити у вигляді:

(2.6)

де а - використовуваний масштаб, R - відстань між досліджуваними точками на прямій, D - фрактальна розмірність.

Усі існуючі фрактальні об'єкти можна поділити на два класи: регулярні (предфрактали [54]) та стохастичні фрактали.

Прикладами регулярних фракталів є крива Коха, коврик Серпинського та ін. Регулярні фрактали були першими об'єктами в теорії фракталів, які підтверджували принципову можливість існування геометричних об'єктів дробової топологічної розмірності.

Побудова трійної кривої Ельзе Коха (рис 2.6) починається з прямолінійного відрізку одиничної довжини («затравка» що може бути замінена будь-яким багатокутником). Завтравка - нульове покоління кривої Коха (n=0).

В процесі побудови першого покоління кривої (n=1) необхідно розділити відрізок на три частини і замінити середню частину двома рівновеликими їй. Довжина всієї кривої першого покоління L=4/3.

Рисунок 2.6. Крива Коха, етапи побудови.

Наступні покоління кривої отримуються в результаті поділу та заміни над кожним елементом першого покоління. Процедура продовжується при все меншому й меншому масштабі.

Визначимо фрактальну розмірність кривої Коха, перетворивши формулу 2.7:

(2.7)

де - число елементів на самоподібній частині кривої.

Отже шукана фрактальна розмірність .

Тріадна крива Коха показує можливість існування кривої з розмірністю більше одиниці. Можна побудувати плоский об'єкт з розмірністю менше двох.

Для механічних матеріалів найбільший інтерес представляють стохастичні фрактали. Прикладом такого роду об'єкту є фрактальний кластер (рис. 2.7). Він виглядає як типова дендритна структура (притаманна багатьом матеріалам). Відмінною особливістю даного кластера є те, що він побудований в результаті моделювання на ЕОМ з врахуванням методів теорії фракталів.

Рис. 5.7. Фрактальний кластер, що виникає в результаті обмеження дифузії агрегації типу частина - кластер

Фрактальний кластер відрізняється тим, що зі збільшенням розмірів його щільність зменшується по степеневому закону

(2.8)

де - щільність матеріалу частин кластера, - середній радіус частин, - евклідна розмірність простору

Остежність (2.8) означає, що зі збільшенням виділеного об'єму кластера в ньому виникатимуть пустоти більші і більші, це приведе до зменшення відносного об'єму, зайнятого рідиною. В реальному зразку матеріалу фрактальна розмірність буде проявлятись при розмірах .

Враховуючи велику кількість виявлених в даний час фрактальних об'єктів, з типологічної точки зору стохастичні фрактали варто поділити на три типи: природні (зустрічаються в природних умовах), штучні (спеціально створенні в різних дисперсних системах як от колоїдні), модельні (побудовані в результаті моделювання на ЕОМ.

Загальне уявлення про міру вивченості стохастичних фракталів дає інформація про те,що станом на сьогодні кількість виявлених фракталів першого та другого типів прямує до десяти тисяч. Проте кількість математичних моделей, для отримання кластеру з наперед відомою фрактальною розмірністю, менша десяти.

Найбільшу популярність досягла дифузійно-лімітована агрегація типу частина - кластер (DLA P - CI), розроблена у 1981 р. Науковцями Віттеном і Сандером [55]. В даній моделі в систему від початку вводиться «затравочна» частина, всі інші створюють броунівський рух до тих пір, поки не зіткнуться із «затравочною» частиною або нарослим на ній кластером. Існують модифікації моделі, що припускають ймовірність прилипання частини, при прилипанні з кластером, з ймовірністю відмінною від одиниці.

В ролі «затравки» в моделі DLA P - CI може виступати поверхня, в двомірній площині - нитка. Тоді утворюються структури типу «ліс», що є більш складними (рис. 5.8.), «дерева» якого є частинами кластерів в моделі DLA P - CI

Рисунок 5.8. Кластери на межі двомірного простору при дифузійно-лімітованому осаджені частин.

Процес росту колоїдів та аерозолей пояснює модель типу кластер 0 кластер. Відповідно до даної моделі число кластерів в системі внаслідок агрегації зменшується, а їх розмір - збільшується. Модель запропонував Сезерленд [54]

Фрактальні розмірності кластерів, отриманих при різних процесах агрегації наведена в табл. 2.1.

Таблиця 2.1 - Фрактальні розмірності кластерів, утворених при агрегації частин

Модель агрегації	Ймовірність приєднання, P	Фрактальна розмірність кластера, D
		d=2	d=3
Частина - кластер, лінійна траєкторія	P=1.00	2.00	3.00
Частина - кластер, броунівський рух	P=1.00	1.68	2.46
Частина - кластер, броунівський рух	P=0.25	1.71	2.48
Частина - кластер, броунівський рух	P=0.10	.73	-
Частина - кластер, лінійна траєкторія	P=1.00	1.54	1.94
Частина - кластер, броунівський рух	P=1.00	1.44	1.77
Частина - кластер, хімічно лімітована агрегація	P=1.00	1.59	2.11

Імітаційні моделі процесів агрегації дають результати, аналіз яких дозволяє розширити можливості обробки даних експериментальних дослідів фрактальних властивостей реальних матеріалів. Як наслідок - після експериментального визначення фрактальної розмірності структур матеріалів з'являється можливість побудови певної гіпотези та припущення відносно процесів та технологій створення цих матеріалів.

В багатьох випадках з процесом агрегації конкурує процес розчеплення, коли кластер перебудовується під-час росту. В такому випадку модель доповнюється умовою, що з певною ймовірністю будь-який зв'язок може бути зруйнований. Огляд таких моделей та отриманих результатів наведений в [56].

Об'єктом опису теорії фракталів є самоподібні множини дробової розмірності. Самоподібність - це локальна інваріантність відносно півгрупи ділатації (стиснення) з параметром л. Для регулярних фракталів це точна властивість, для стохастичних - вона виконується в середньому. Саме самоподібність і випливаючі з цього властивості зробили фрактали ефективним інструментом дослідження, адже дозволяють в багатьох випадках порівно легко отримати скейлингові зони поведінки величин, що характеризують процеси на фракталах [57].

Клас фрактальних об'єктів не обмежується самоподібними множинами. Фракталами є, наприклад, самоафінні множини [54]. На сьогодні вже зібрано досвід роботи з фракталами при вирішенні завдань певною мірою пов'язаних з різними розділами механіки загалом і механіки матеріалів зокрема. Найбільш успішно фрактали застосовуються там, де можна використати їх геометричні властивості. Фрактальна модель структури нерівностей поверхні для рішення контактних завдань побудована в [58].

Проблемою остишається описання механічних властивостей на основі теорії фракталів. В деяких випадках це не вдається через те, що наперед постулюється наявність простого прямого зв'язку між механічними характеристиками і параметрами структури [59]. Вказані перепони носять тимчасовий характер, тому варто очікувати їх подолання в результаті подальшого вивчення даної області.

2.3 Фрактальна механіка композитних середовищ

Неоднорідність структури композитних матеріалів спричинена процесами консолідації в тому чи іншому вигляді присутніх в технології виготовлення. На протязі усієї консолідації структура дисперсної системи є фрактальною.

Головними представниками пористих випадково-неоднорідних композитних середовищ із сферичними частинами є полімербетони, деякі види кераміки [59], пористі матеріали на основі металевий порошків [60].

Пластинчасті частини використовуються в основному для наповнення пластмас. (пластини слюди, отримані при сухому змішуванні лусок слюди з надвисоким характеристичним відношенням і порошкоподібними реактопластами) [61]. Відомі епоксидні композиції, що включають лускоподібний деборид алюмінію, діоксид алюмінію, карбід кремнію. Використання високого степеня наповнення (60% і більше) і близько 10% пор приводять до того, що епоксидна матриця більше не утворює нерозривну фазу.

Наймасовішим видом пористих композитів випадково-неоднорідної структури з пластинчастими частинами є дерево-полімерні (зокрема деревостружні плити всіх видів) композити. Дослідження генезису вивчення структури дерево-полімерних композитних матеріалів, приводить до висновку що систематизація структурних ознак і їх вплив на властивості матеріалів є ключовою темою багатьох досліджень.

В роботі Т. Садо [62], шляхом комбінування рентгенографічного методу та методу заповнення пустот алюмінієм, досліджено вплив ряду технологічних факторів на розподіл пустот та щільності по товщині плити для лабораторних умов пресування.

Існуючий рівень розвитку фізики нерегулярних структур створює певні можливості для побудови статистичної моделі структури дерево-стружних плит. Для цього застосовується спосіб прямого визначення фрактальної розмірності, базований на замірах законів розподілу щільності в композитах.

Побудувавши в логарифмічному масштабі закони розподілу щільностей, можна зробити висновок, що для опису скелету дерево-полімерних композитів придатним є степеневий закон розподілу щільності, а також числа структурних елементів.

(2.9)

Степеневий закон (формула 2.9) підтверджує що структура матеріалу характеризується фрактальною геометрією. Визначення фрактальної розмірності за експериментальними даними проводиться по формулі 2.2 Результати обрахунку розмірності, представлені в табл. 2.3, свідчать, що її значення змінюється в доволі вузькому діапазоні, хоча композити виготовлялись різними науковцями як в лабораторних, так і в промислових умовах:

(2.10)

Фрактальна розмірність D може бути використана в якості універсальної сталої, що характеризує структуру композиту.

Таблиця 2.3 - Фрактальна розмірність структури дерево-полімерних композитів

Умови виготовлення зразків і характеристики процесів пресування	Інтегральна щільність композиту, кг/м3	Показник степеня, а	Фрактальна розмірність, D	Посилання на експериментальні дані
Лабораторні, швидкість пресування	570	0,16	2,84	[6]
Лабораторні, швидкість пресування	570	0.22	2.78	[6]
Лабораторні	700	0.26	2.74	[8]
Лабораторні	700	0.21	2.79	[8]
Лабораторні	700	0.24	2.76	[8]
Лабораторні	700	0.20	2.80	[8]
Промислові	658	0.17	2.83	[4]
Промислові	700	0.37	2.63	[9]

Отримані значення фрактальної розмірності для композитів свідчать, що при їх виготовленні має місце суперпозиція обох типів агрегацій частин. Фрактальна розмірність є чутливою до зміни технологічних параметрів. Так, при зміні швидкості пресування від 4 до 30 , фрактальна розмірність зростає від 2,78 до 2,84, тобто структура стає щільнішою, чому сприяють як інерційні ефекти, так і руйнування проміжних структур і більш щільне пакування їх фрагментів.

Для матеріалів, отриманих в лабораторних умовах, D, як правило, менша порівняно з промисловими, оскільки умови пресування ближчі до ізостатичних. Певний вклад у структуроутворення може дати агрегація типу кластер - кластер, що сприяє утворенню більш ажурних структур.

Побудована методами теорії фракталів модель структури може слугувати основою для розгляду пружно-міцних властивостей композитів.

композитний фрактальний дефект енергоємність

3. Оптико-цифровий аналіз досліджуваних зразків

3.1 Фрактальна розмірність та методи її обчислення

Дослідження складається з наступних основних етапів: бінаризація оригінального чорно-білого зображення, його фільтрації та повторна бінаризація отриманого зображення.

Для того щоб встановити положення тріщини відносно кожного пікселя необхідно визначити чи пікселі належать до поверхні тріщини чи до фону. Ця завдання було виконана за допомогою бінаризація. У бінарному зображенні білі пікселі відповідають за задній план, а чорні - належать до об'єкту. Аналіз тріщини поверхню зображень проводили з використанням програмного забезпечення «Fractalys», розробленого науковцем Gilles Vuidel [63], який був попередньо протестований на моделі образу килимка Серпінського.

Програма «Fractalys» дозволяє провести аналіз та визначити фрактальну розмірність кількома методами:

1. Сітка (grid)

4. Радіус маси (radius mass)

5. Розширення (dilation)

6. Кореляція (correlation)

7. Згортки Гауса (gaussian convolution)

8. Коробковий підрахунок (box-counting)

9. Мережа (Network)

Сітковий. Це найбільш поширений метод для оцінки фрактальної розмірності. Зображення вкрите квадратними сітками, при чому відстань сітки е є різноманітною. Для кожного значення е, число квадратів N(е) є сумою комірок де значення існує. Зазвичай е набуває значення 2.

Параметри: можна вибрати центр, вибравши піксель натиснувши клавішею курсору на зображенні, або безпосередньо ввівши координати. Можна також використовувати барицентр зображення. Розмір площі визначає значення набору е.

Радіус маси. Цей метод відноситься до конкретної точки, відомої як центр підрахунку і визначає закон розподілу моментів довкола неї. Виділяється область довкола цієї точки, а радіус R поступово збільшується. На кожному етапі, загальна кількість зайнятих точок N (е) всередині кола додається. В цьому методі, е дорівнює 2.R + 1.

Параметри : підрахунок центра і форми досліджуваного об'єкта (коло або квадрат).

Метод кореляції. Кожна точка зображення оточена невеликим квадратним вікном. Кількість зайнятих точок всередині кожного вікна сумується. Це дозволяє знайти середнє число точок у вікні заданого розміру, що можуть бути обчислені. Та ж операція застосовується для вікон більших розмірів. Вісь X графіка представляє розмір сторони вікна підрахунку е = (2i + 1). Вісь Y представляє середнє число підрахованих точок у вікні.

Теорія, що лежить в основі кореляційного аналізу враховує одночасну присутність двох точок на певній відстані, тобто середня відстань між парою наявних пікселі, співвідношення виміру другого порядку фрактальної розмірності. В принципі, можна вибрати будь-яку форму для вікна, таку як коло, шестикутник тощо. Однак, так як пікселі квадратні - вибір квадрата допомагає уникнути помилок округлення.

Параметри: максимальний розмір вікна (е).

Метод розширення. Цей метод заснований на алгоритмі Маньковського і Булігана. Мета - встановити розмір об'єкта, використовуючи підхід теорії міри. В цьому аналізі кожна точка оточена квадратом розміром е, поверхня якого, як вважають, повністю зайнята. Розмір цих квадратів потім поступово збільшується, і ми вимірюємо загальну поверхню A(е), зайняту на кожному етапі. Зі збільшенням квадрату якість деталі менша, ніж дозволяє е пропускаються, і ми поступово отримуємо наближення первісному вигляду. Оскільки все більше і більше квадратів перекриваються, займана загальна поверхня для конкретного значення е стає меншою, ніж це було б, якщо те ж саме число зайнятих точок, які складають первісну форму, були оточені окремо. Розділивши цю загальну поверхню по поверхні тіла площі (е²)ми отримуємо наближення числа елементів N (е), необхідне для покриття цілого тіла.

Параметри: кількість.

Згортка Гауса. Коли зображення зводиться до однієї кривої, ми можемо застосувати інший метод підрахунку - Гаусова згортка. На відміну від інших способів, Гаусова згортки застосовується на кривій, а не на зображенні. На кожному кроці ітерації крива стає все більш і більш згладженою. В цьому випадку, структурний елемент (який збільшується на кожному кроці ітерації) є дисперсією функції використання Гауса для згладженя кривої. По осі х представляють дисперсію функції Гауса, а Y-вісь - довжину кривої (вираженої в кількості пікселі) поділеній на дисперсію.

Параметри: число кроків і максимальна дисперсія(в пікселях).

Коробковий метод. Цей метод полягає в знаходженні найменшої кількості площ розміром е, достатніх для того щоб охопити всі чорні пікселі. Алгоритм зводиться до мінімуму в нескінченному часу, так що результати наближення краще висвітлюється. Це узагальнена версія методу сіток.

Фрактальна розмірність була визначена сітковим методом [53], окрім того, кожен елемент зображення був оточений рамкою квадратної форми задля того, щоб визначити кількість пікселів в обмеженій області.

Використання прогресивного методу апроксимації (наближення) збільшує аналізоване вікно з метою визначення кількості чорних пікселів в кадрах різного розміру. В результаті обробки зображення було отримано ряд точок (емпірична крива), де вісь абсцис відповідає розміру бічної грані рамки, а вісь ординат позначає кількість N(1) елементарних частинок зображення (в пікселях) оточений рамкою певного розміру [53]:

(3.1)

Де N - кількість чорних пікселів у вікні?

- розмір елементарної площі?

D - фрактальна розмірність

с - цей параметр, який дозволяє правильно регулювання емпіричну криву

Для кількох дефектів пошкодження розподіляється, насправді, дуже нерегулярно. Проте експериментально встановлено, що кількість тріщин є фрактальним процесом в кінцевому діапазоні [64, 65]. Це означає, що можна було б використовувати фрактальну розмірності як параметр діагностики для множинного аналізу тріщин. Загальні зауваження щодо фракталу і фрактальної розмірності можна знайти в [64, 65] і окремих уточненнях [53] Адекватність визначення фрактальної розмірності руйнування структури стільниковим методом додатково перевірялась методом методом сіток [66].

Отримана крива була реконструйована за допомогою логарифмічного масштабування за допомогою наближення Експоненціального рівняння [53]:

(3.2)

Так реальнй графік не є ідеальним фракталом (це не безперервна функція), тому була проведена апроксимація отриманого масиву та визначено коефіцієнт кореляції.

3.2 Опис параметрів цифрових відбитків досліджуваних зразків

Конкретизуємо визначення Фракталу відповідно до обраної тематики.

Фрактал - це об'єкт, окремі елементи якого успадковують якості батьківських структур. Слово фрактал утворене від латинського лат. fractus і в перекладі означає складається з фрагментів. Воно було запропоноване Бенуа Мандельбротом в 1975 році для позначення нерегулярних, проте слабоподібних структур, якими він займався [67].

Фрактальна розмірність служить строгою кількісною характеристикою параметрів структури матеріалів, що мають складну конфігурацію, наприклад: зерен, меж зерен, поверхонь руйнування, скупчень дислокацій, дрібнодисперсних часток вторинних фаз і т.д. В фрактальній розмірності відбивається компактність заповнення простору досліджуваним структурним елементом [68].

На сьогоднішній день дедалі ширше розвивається вивчення фрактальної розмірності. Появляються нові методи її розрахунку, що спричинено виявленням недоліків, або уточненням уже існуючих методі. Розглянемо найпоширеніші методи, які і розглянемо у нашій роботі.

Радіус маси (radius mass)

Цей метод відноситься до конкретної точки, відомої як центр підрахунку і визначає закон розподілу моментів довкола неї. Виділяють область довкола цієї точки, а радіус R поступово збільшується. На кожному етапі, загальна кількість зайнятих точок N (е) всередині кола додається. В цьому методі, е дорівнює 2.R + 1.

Радіус мас визначає співвідношення між площею, розташованою в певному радіусі та розміром цього радіусу (або поля). Операція підрахунку виконується для різних радіусів, а також з різних початкових точок. Маса виміру може бути оцінена в подвійному логарифмічному масштабі області в остежності від радіуса [69].

Особливість. Особливість випливає з характеристики методу. Метод підходить для роботи з круглими об'єктами.

Коробковий підрахунок (Box-counting)

Цей метод обчислює кількість клітин, необхідних для повного покриття об'єкту решітками клітин різного розміру. Практично це здійснюється шляхом накладення регулярної сітки на об'єкт та подальший підрахунку кількості зайнятих клітин. Логарифм N (R), число зайнятих клітин, в порівнянні з логарифмом 1 / R, де R є розмір одного осередку, дає лінію, градієнт відповідає розмірності коробки. Уточнення цього методу здійснюється в Harfa, де вводиться відмінність між повністю зайнятими клітинами і частково зайнятими осередками. Це дозволяє обчислювати коробки в декількох вимірах, шляхом побудови логарифму комбінації клітин: повністю зайнятих, абсолютно не зайнятих, частково зайнятих [69].

Особливість. Метод коробкового підрахунку спирається на оцифрованих уявленнях об'єктів, що становлять інтерес і буде остежати від їх вирішення. Він чутливий до орієнтації сітки, а також до її первісного розміщення. Крім того, обрахунок з врахуванням інтенсивності (число комірок в лічильних дільницях) буде вимагати спеціальної обробки, наприклад, з використанням східчастих довільно заданих символів.

Розширення (dilation)

Цей метод заснований на алгоритмі Маньковського і Булігана. Мета - встановити розмір об'єкта, використовуючи підхід теорії міри. В цьому аналізі кожна точка оточена квадратом розміром е, поверхня якого, як вважають, повністю зайнята. Розмір цих квадратів потім поступово збільшується, і ми вимірюємо загальну поверхню A (е), зайняту на кожному етапі. Зі збільшенням квадрату якість деталі менша, ніж дозволяє е пропускаються, і ми поступово отримуємо наближення первісному вигляду. Оскільки все більше і більше квадратів перекриваються, займана загальна поверхня для конкретного значення е стає меншою, ніж це було б, якщо те ж саме число зайнятих точок, які складають первісну форму, були оточені окремо. Розділивши цю загальну поверхню по поверхні тіла площі (е²)ми отримуємо наближення числа елементів N (е), необхідне для покриття цілого тіла.

Dathe та ін. (2001) тільки опублікували доповідь щодо цього методу в сфері ґрунтознавства. Метод розширення слідує по суті ту ж процедуру, що і метод коробкового підрахунку, але замість коробки він використовує інші елементи структурування, щоб покрити досліджуваний об'єкт, наприклад, кола (Dathe та ін., 2001). Зображення формується пікселями квадратної або прямокутної форми. При використанні кіл мірою їх масштабу служить їх діаметр (як довжина сторони коробки в методі коробкового підрахунку). Якщо ми хочемо мати те ж розширення в будь-якому напрямку, то ортогональні і діагональні прирости повинні бути зміщені на , що відповідає гіпотенузі площі одиниці довжини бічної (Kaye, 1989). Довжина досліджуваного об'єкта відраховується числа кіл, а потім нахил лінії регресії між логарифмом довжини об'єкта і логарифмом діаметра об'єкта та визначається співвідношенням: .

Особливість. Dathe ін. (2001) застосував метод коробкового підрахунку і метод розширення для однакових зображень і знайшов незначущі відмінності в значеннях фрактальної розмірності, отриманих з обох методів. Слід, однак, відзначити, що фрактальні розмірності оцінками обох методів різні: розмірність методу коробкового підрахунку є розмірністю Колмогорова в той час як розмір отримані за допомогою методу розширення є розмірністю вкладення (Маньківського-Булігана).

Кореляція (correlation)

Кожна точка зображення оточена невеликим квадратним вікном. Кількість зайнятих точок всередині кожного вікна сумується. Це дозволяє знайти середнє число точок у вікні заданого розміру, що можуть бути обчислені. Та ж операція застосовується для вікон більших розмірів. Вісь X графіка представляє розмір сторони вікна підрахунку . Вісь Y представляє середнє число підрахованих точок у вікні.

Теорія, що лежить в основі кореляційного аналізу враховує одночасну присутність двох точок на певній відстані, тобто середня відстань між парою наявних пікселів, співвідношення виміру другого порядку фрактальної розмірності. В принципі, можна вибрати будь-яку форму для вікна, таку як коло, шестикутник тощо. Однак, так як пікселі квадратні - вибір квадрата допомагає уникнути помилок округлення.

B теорії хаосу, кореляційна розмірність (позначається н) є мірою розмірності простору, займаного набору випадкових точок, часто згадується як тип фрактальної розмірності ([69], [70],[71]).

Реальний утиліта кореляційної розмірності полягає у визначенні (можливо, дробові) Розміри фрактальних об'єктів.

Кореляційний розмірність має перевагу в тім що прямо і швидко розраховується, і тому менше шумів, коли тільки невелике число точок доступні, і часто знаходиться у згоді з іншими розрахунками розмірності.

Для будь-якого безлічі N точок в м - мірному просторі [71].

1. Default correlation (кореляція взаємозв'язку) - кореляція між схожими об'єктами, об'єктами що мають схожі характеристики.

10. Symetric correlation (симетрична кореляція) - Симетричне розширення створює гладкі кордони кінцевих точок сигналів, щоб уникнути розрив кінцевих точок. Симетрична кореляція виконується за допомогою дискретного косинусного перетворення (DCT) без збільшення числа зразків. Кореляція є симетричним, якщо х корелює з у, як у з х.

11. White correlation (біла кореляція) - використовуються для відображення деформацій.

12. Internal correlation (внутрішня кореляція) - кореляція між різними гілками даних.

Особливість. Метод може бути використаний для розрізнення (детермінований) хаотичної і по-справжньому випадкової поведінки, хоча метод має проблеми при виявленні детермінованої поведінки, якщо детермінована генерація механізму дуже складна. (Grassberger and Procaccia, 1983)

Для проведення наших досліджень застосуємо певний алгоритм, що дасть змогу зрозуміти послідовність та логіку наших дій (рис.3.1)

У результаті обробки та аналізу фотографій чотирьох дослідних зразків були отримані наступні результати (таблиця 3.1).



Рисунок 3.1 Алгоритм дослідження фрактальної розмірності

Таблиця 3.1 - Результати обробки зображень дослідних зразків у програмі fractalyse

Вихідний зразок	Досліджуваний зразок
	1	2	3	4
Метод дослідження	Опції
Radius mas	Quadratic, Barycentre	1.773	1.71	1.768	1.71
Box…	Exponential, Grid	1.722	1.7431	1.797	1.81
	Linear, Grid	1.665	1.656	1.68	1.689
Dilation	Number of dilation: 2	1.717	1.786	1.734	1.61
Correla-tion	Quadratic, Default	1.734	1.86	1.768	1.742
	Quadratic, Symetric	1.758	1.878	1.768	1.769
	Quadratiс, White	1.734	1.86	1.768	1.742
	Quadratic, Internal	1.75	1.881	1.787	1.76

Методи Correlation Default Correlation White в нашому випадку дають абсолютно однакові результати, адже природа нашого зображення ідеально підходить для обрахунку цими методами. Оскільки Матеріал не є однорідним і присутні включення різного роду, тому два інші варіанти методу кореляції не підходять і не можуть дати правильного результату. Значення збіглися б якщо б утворення на матеріалі мали іншу форму, а точніше - були симетричними об'єктами що повторюються по усьому зразку.

Також складемо таблицю коефіцієнтів кореляції для аналізованих методів (Таб. 3.2), попередньо визначивши метод визначення коефіцієнтів.

Кореляція (від лат. сorrelation - відповідність)статистична остежність між величинами, яка не має, взагалі кажучи, строго функціонального характеру.

Кореляційна залежність виникає тоді, коли одна з величин залежить не тільки від заданої другої, а й від деяких випадкових факторів; або, коли серед умов, від яких залежать обидві величини, є загальні для них обох.

За формою кореляція може бути прямолінійною і криволінійною, за напрямком - прямою і оберненою

При додатній кореляції залежність між величинами буде прямою: при збільшенні однієї величини, збільшується й інша. При від'ємній кореляції залежність обернена: збільшення однієї величини пов'язано зі зменшенням другої. Степінь кореляції вимірюється різними показниками зв'язку. Такими показниками є коефіцієнт кореляції, кореляційне відношення та ін.

Кореляційним моментом називають математичне сподівання добутків відхилень випадкових величин Х та Y від їх середніх:

(3.3)

Числове значення не може бути мірою тісноти зв'язку, бо залежить від одиниць вимірювання величини та . Тому вводиться поняття коефіцієнта кореляції.

Коефіцієнтом парної кореляції називають відношення кореляційного моменту до добутку середніх квадратичних відхилень:

(3.4)

де , - числові значення величин, між якими встановлюється кореляційний зв'язок, , ? їх середні арифметичні значення величин. Для незалежних величин , для функціональних залежностей . Якщо зростання призводить до зростання , то ? додатній, якщо до зменшення ? то ? від'ємний.

Квадрат коефіцієнта кореляції називається коефіцієнтом детермінації (). Він показує, яка частка загальної варіації результативної ознаки визначається досліджуваним фактором. Якщо коефіцієнт детермінації виражений в процентах, то його слід читати так: варіація (коливання) залежної змінної на стільки-то процентів зумовлена варіацією фактора.

Коефіцієнт детермінації показує, якою мірою варіація залежної змінної(результативного показника) визначається варіацією залежної змінної (вхідного показника) .

(3.5)

де - теоретичні значення залежної змінної на підставі побудованої регресійної моделі;

- загальна середня фактичних даних залежної змінної;

yі - фактичні індивідуальні значення залежної змінної.

Коефіцієнт детермінації приймає значення від 0 (відсутній лінійний зв'язок між показниками) до 1 (відсутній кореляційний зв'язок між показниками).

Оскільки введення нових незалежних змінних у множинну регресію, а значить і ступенів вільності моделі, приводить до зменшення коефіцієнта детермінації, то його розрахунок повинен бути відкоригований з урахуванням ступенів вільності, залишкової дисперсії та загальної дисперсії. Скоригований коефіцієнт детермінації розраховується за формулою:

, (3.4)

де - залишкова дисперсія ;

- загальна дисперсія моделі .

Підстановка залежностей для дисперсій у формулу для скоригованого коефіцієнта детермінації дає його вираз в залежності від ступенів вільності:

. (3.5)

Існує формула, яка пов'язує коефіцієнт детермінації та скоригований коефіцієнт детермінації:

, (3.6)

де (n-m-1) та (n-1) -ступені вільності чисельника та знаменника залежності;

n - кількість спостережень;

m - кількість параметрів моделі;

Справедлива нерівність:

Скоригований коефіцієнт детермінації не перевищує одиниці:

Числові значення коефіцієнта детермінації лежать у діапазоні від 0 до 1. Чим ближчий він до одиниці, тим більше варіація остежної змінної визначається варіацією незалежних змінних [72, ст. 230].

Таблиця 3.2 - Значення коефіцієнта кореляції та скоригованого коефіцієнта детермінації для обраних методів

		Досліджуваний зразок
		1	2	3	4
	Опції	r		r		r		r
Radius mas	Quadratic, Barycentre	0.97874	0.97874	0.99813	0.99813	0.99770	0.997702	0.98674	0.98674
Box…	Exponential, Grid	0.86684	0.85205	0.98931	0.98797	0.68575	0.640864	0.48991	0.41704
	Linear, Grid	0.99511	0.99507	0.91256	0.91192	0.99049	0.990407	0.99186	0.99180
Dilation	Number of dilation: 2	1	0	1	0	1	0	1	0
Correla-tion	Quadratic, Default	0.99946	0.99946	0.99975	0.99975	0.99981	0.999818	0.99954	0.99954
	Quadratic, Symetric	0.99872	0.99872	0.99996	0.99996	0.99981	0.999818	0.99985	0.99985
	Quadratic, White	0.99946	0.99946	0.99975	0.99975	0.99981	0.999818	0.99954	0.99954
	Quadratic, Internal	0.99905	0.99905	0.99996	0.99996	0.99957	0.999577	0.99984	0.99954

Для наочності побудуємо графік по отриманих даних (рис.3.2)

Рисунок 3.2 Фрактальна розмірність досліджуваних зразків.

Як бачимо результати по різних методах різняться, подекуди навіть дуже сильно. Причиною цьому є невідповідність підібраного методу вихідному зображенню. Так для кожного аналізованого зразка, відповідно до його природи та структури необхідно обирати той метод (таблиця 3.2), характеристика якого найбільш точно підходить нам.

Модуль оцінки програми fractalyse дозволяє отримати емпіричну та оцінювану криві, потім наочно побачити відхилення.

В модулі підрахунку на кожному кроці ітерації метод бере участь у сумуванні кількості чорних пікселів, що містяться у вікні рахунку. Переходячи від однієї стадії до іншої розмір вікна рахунку збільшується. Роблячи це, ми штучно змінюємо рівень аналізу зображення.

Таким чином, для кожного методу ми маємо два змінні елементи остежно від стадії підрахунку (кроку ітерації) (i):

- Кількість підрахованих елементів (що виражає кількість чорних пікселів, присутніх у вікні) (N)

- розмір вікна рахунку або опорного елемента (е).

Тоді ми отримаємо ряд точок, які можуть бути представлені на Декартові діаграмі. Y-вісь відповідає кількості підрахованих елементів (N) а вісь Х відповідає розміру вікна рахунку або розміру опорного елемента е (рис. 3.3), зі збільшенням е від кроку до кроку.

Рисунок 3.3 - Алгоритм модулю підрахунку

Наступним етапом є співставлення цієї емпіричної кривої з іншою, оцінюваною кривою. Якщо емпірична крива відповідає фрактальному закону, то досліджувана крива відповідає степеневому закону (параболічному чи гіперболічному), і D представляє фрактальну розмірність: або

У таблиці 3.3 представимо результати отримані за нашими методами, попередньо відкинувши ті з них, характеристика яких безсумнівно не підходить для аналізу наших зразків:

Таблиця 3.3 Емпірична та оцінювана криві обраних методів

Метод дослідження	Опції	Досліджуваний зразок
		10	11	12	13
Box…	Exponential, Grid
	Linear, Grid
Correla-tion	Quadratic, Default
	Quadratic, Symetric
	Quadratik, White
	Quadratic, Internal

Для наочності підтвердження правильно обраного методу обрахунку побудуємо порівняльну характеристику використовуваних методів

Таблиця 3.4

	Метод дослідження
	Радіус маси Radius mas	Коробковий підрахунок Box-counting	Розширення Dilation	Кореляція Correlation
Форма аналізованої області	Квадрат, коло	Без обмежень	Без обмежень	Перевага надається квадратним, круглим
Одночасний аналіз кількох точок	-	-	+	+
Особливість	Визначає закон розподілу моментів довкола центру мас	Підрахунок кількості клітин для повного покриття об'єкту	Збільшення площі квадрата довкола певної токи, перекривання цих площ та порівняння з вихідною для зразка	Сумування кількості заповнених в квадраті клітин (розмір квадрата поступово збільшується). Порівнюється площа квадрату та кількість заповнених клітин
Недолік	Вузькоорієнтованість	Чутливий до орієнтації сітки і її початкового розміщення	Є розмірністю вкладень	Проблеми при оцінці якщо детермінована генеоація механізму складна

Співставивши характеристики методу та особливості зображення та характеристику методу зробимо висновок, що найбільш підходящим буде метод коробкового підрахунку

Враховуючи особливості кожного методу підрахунку фрактальної розмірності виберемо ті з них, що найкраще підходять для аналізу наших зображень:

Таблиця 3.5 - Фрактальна розмірність заданих зразків найоптимальнішими методами

Метод	Опція	№ досліджуваного зразка
		10	11	12	13
Box…	box size: Exponential Algorithm: Grid	1.722	1.743	1.797	1.81
	box size: Linear Algorithm: Grid	1.665	1.656	1.68	1.659
Correlation	Default, White,	1.734	1.86	1.768	1.742

Різниця результатів спричинена алгоритмом обрахунку.

1.1. Нелінійна регресія

У цьому методі, ми можемо апроксимувати емпіричну криву за чотирма різними рівняннями: фрактальним законом N (е) = е^D і трьома іншими, які дозволяють проводити вимірювання відхилення фрактального закону: