Теорія і практика обчислення визначників
Основні поняття і теореми. Обчислення визначників методом зміни елементів, представлення їх у вигляді суми, виділення лінійних множників, методом рекурентних співвідношень, знижуючи їхній порядок за допомогою розкладання за елементами рядка або стовпця.
| Рубрика | Математика |
| Вид | контрольная работа |
| Язык | украинский |
| Дата добавления | 25.03.2011 |
| Размер файла | 137,9 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
ТЕОРІЯ І ПРАКТИКА ОБЧИСЛЕННЯ ВИЗНАЧНИКІВ
1. Основні поняття і теореми
Def. Нехай задано квадратну матрицю А n-го порядку з елементами aij, де i визначає номер рядка, j - номер стовпця і при цьому через хj позначені стовпці матриці А, тобто
і .
Визначником (det A) квадратної матриці А зі стовпцями хj називається функціонал (х1, х2, … , хn) щодо стовпців цієї матриці, який:
а) лінійний за кожним з аргументів (полілінійний):
теорема обчислення визначник сума
(х1, …, хi1 + хi2, … , хn) = (х1, … , хi1, … , хn) + (х1, … , хi2, … , хn);
б) абсолютно антисиметричний (антисиметричний по будь-якій парі аргументів): (х1, … , хi, … , хj, … , хn) = -(х1, … , хj, … , хi, … , хn);
в) підкоряється умові нормування:
.
Тоді, з огляду на загальний вигляд полілінійного антисиметричного функціонала, маємо:
а б
Рис. 1
, (1)
де N(j1 j2 … jn) - кількість безладів у перестановці .
Говорять, що в перестановці мається безлад, якщо jk > jm і k < m.
З формули (1) для визначника другого порядку одержуємо .
Визначник третього порядку дорівнює сумі шести (3! = 6) доданків. Для побудови цих доданків зручно скористатися правилом трикутників. Добуток елементів, що розташовані на головній діагоналі, а також добутки елементів, що є вершинами двох трикутників на рис. 1а, беруться з множником +1, а добуток елементів, що розташовані на побічній діагоналі, а також добутки елементів, що є вершинами двох трикутників на мал. 1б, беруться з множником -1, тобто
Властивості визначників:
1. det A = det AT. З цієї властивості випливає, що рядки і стовпці визначника рівноправні. У силу цього всі властивості, сформульовані для стовпців, можуть бути сформульовані і для рядків визначника.
2. Якщо один зі стовпців визначника складається з нульових елементів, то визначник дорівнює нулю.
3. Загальний множник у стовпці визначника можна виносити за знак визначника.
4. Якщо у визначнику поміняти два стовпці місцями, то визначник змінить знак.
5. Визначник, що має два рівних стовпці, дорівнює нулю.
6. Якщо стовпці визначника лінійно залежні, то визначник дорівнює нулю.
7. .
8. Визначник не зміниться, якщо до стовпця визначника додати лінійну комбінацію інших стовпців.
9. Визначник добутку двох квадратних матриць n-го порядку дорівнює добуткові визначників цих матриць.
Def. Якщо в матриці А порядку n викреслити i-й рядок та j-й стовпець, то елементи, що залишилися, утворять матрицю (n - 1)-го порядку. Її визначник називається мінором (n - 1)-го порядку, додатковим до елемента aij матриці А, і позначається Мij, а величина Аij = (-1) i + j Мij називається алгебраїчним доповненням до елемента aij матриці А.
10. (Розкриття визначника за елементами j-го стовпця та за елементами i-го рядка).
11.
12. (Теорема Лапласа).
.
Тут - мінор, складений з елементів матриці А, що розташовані на перетині рядків i1, i2, …, ik і стовпців j1, j2, …, jk, а - алгебраїчне доповнення до цього мінора.
13. (Про зміну елементів визначника).
Якщо , а , то .
3. Приклади розв'язування задач
Задача 1. Обчислити визначник: .
Розв'язання. I спосіб. Обчислимо визначник розкладанням за елементами (наприклад) третього рядка (властивість 10є):
.
Визначники третього порядку, що входять до останнього виразу, обчислені за правилом трикутників.
II спосіб. Обчислимо визначник розкладанням за мінорами 2-го порядку (наприклад тими, що розташовані в 1-му і 2-му рядках вихідного визначника, властивість 12є). Усього таких мінорів буде шість (1-й, 2-й стовпці; 1-й, 3-й стовпці; 1-й, 4-й стовпці; 2-й, 3-й стовпці; 2-й, 4-й стовпці; 3-й, 4-й стовпці). Одержимо:
.
III спосіб. Обчислимо визначник методом приведення визначника до трикутного вигляду. Для цього скористаємося властивістю 8.
а) 1-й рядок додамо до 3-го рядка;
б) 1-й рядок, помножений на (-2), додамо до 4-го рядка.
При цьому визначник не зміниться.
Далі: в) від 1-го рядка віднімемо 2-й рядок;
г) 2-й рядок, помножений на 3, додамо до 4-го рядка, помноженого на 2. При цьому визначник збільшиться вдвічі за рахунок множення 4-го рядка на 2.
;
д) в останньому визначнику 3-ій рядок помножимо на 2 і додамо до 4-го рядка. Визначник не зміниться. Одержимо:
.
Визначник матриці трикутного вигляду обчислюється як добуток діагональних елементів. Доходимо висновку, що вихідний визначник дорівнює -3.
Задача 2. Обчислити визначник: .
Рішення. Для обчислення визначника скористаємося методом виділення лінійних множників. Насамперед відзначимо, що вихідний визначник є багаточленом 4-го степеня відносно х. Крім того, при х = 2 перший і другий рядки співпадають, тобто визначник дорівнює нулеві. Отже, х = 2 є коренем багаточлена. Далі зауважуємо, що при х = 6, х = 12, х = 20 перший рядок співпадає з третім, четвертим і п'ятим рядком відповідно. Виходить, ми встановили всі чотири корені полінома, тобто
det А= C(x - 2)(x - 6)(x - 12)(x - 20).
Для знаходження C відзначимо, що у визначник множник х4 входить з коефіцієнтом, який дорівнює 1/24, а в багаточлен, що стоїть в правій частині, - з коефіцієнтом який дорівнює 1. Тоді C = 1/24. У такий спосіб:
det А = (x - 2)(x - 6)(x - 12)(x - 20).
Задача 3. Обчислити визначник: .
Рішення. Зрозуміло, що вихідний визначник можна одержати, якщо до всіх елементів визначника додати х = 4. Тоді скористаємося методом зміни елементів визначника (властивість 13). Одержуємо:
.
Визначник діагонального вигляду дорівнює добуткові діагональних елементів (5! = 120). Алгебраїчні доповнення дорівнюють: А11 = 5! = 120;
А22 = 3.4.5 = 60; А33 = 2.4.5 = 40; А44 = 2.3.5 = 30 і А55 = 2.3.4 = 24.
Решта Аij = 0. Одержуємо: det А = 120 + 4(120 + 60 + 40 + 30 + 24) = 120 + 4.274 = 1216.
Задача 4. Обчислити визначник n-го порядку .
Рішення. Розкриємо визначник за елементами 1-го рядка:
,
а останній визначник розкриємо за елементами 1-го стовпця. Одержуємо:
n = 5n - 1 - 4n - 2. (*)
Записане співвідношення називається рекурентним співвідношенням і дозволяє виразити n через такі ж визначники більш низького порядку.
З (*) одержуємо:
n - n - 1 = 4(n - 1 - n - 2) = 42(n - 2 - n - 3) = … = 4n - 2 (2 - 1) =
= 4n - 2 (21 - 5) = 4n .
n - 4n - 1 = n- 1 - 4n - 2 = n- 2 - 4n - 3 = … = 2 - 41 = 21 - 4.5 = 1.
Маємо систему рівнянь: . Віднімаючи з 1-го рівняння 2-е, одержуємо: 3n - 1 = 4n - 1. У такий спосіб: .
4. Задачі і вправи для самостійного розв'язування
1. Визначити число безладів у перестановках (за вихідне розташування завжди, якщо немає особливих вказівок, приймається розташування 1, 2, 3, ... у зростаючому порядку):
а) 2, 1, 5, 4, 3; б) 6, 3, 2, 5, 1, 4; в) 7, 5, 6, 4, 1, 3, 2;
г) 2, 1, 7, 9, 8, 6, 3, 5, 4; д) 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1.
а) 4; б) 10; в) 18; г) 18; д) 36. ^
2. З'ясувати, які з наведених нижче добутків входять у визначники відповідних порядків і, якщо входять, то з яким знаком:
а) а43а21а35а12а54; б) а13а24а23а41а55;
в) а61а23а45а36а12а54; г) а32а43а14а51а66а25;
д) а27а36а51а74а25а43а62; е) а33а16а72а27а55а61а44;
ж) а12а23а34 …аn-1 n а25аkk (1 k n); з) а12а23а34 …аn-1nаn1n.
а) -; б) не входить у визначник; в) +; г) +; д) не входить у визначник; е) +; ж) не входить у визначник; з) (-1)n. ^
3. Вибрати значення i і k так, щоб наступні добутки входили у визначники відповідного порядку із зазначеним знаком:
а) а1iа32а4kа25а53 з « + »; б) а62аi5а33аk4а46а21 з « - »;
в) а47а63а1iа55а7kа24а31 з « + ».
а) i = 1, k = 4; б) i = 5, k = 1; в) i = 6, k = 2. ^
4. Користуючись тільки визначенням, знайти члени визначників, які мають у собі множники х4 і х3:
а) ; б) .
а) 2х4, -х3; б) 10х4, -5х3. ^
5. Знайти члени визначника 4-го порядку а) що містять елемент а32 і входять у визначник зі знаком « + »; б) що містять елемент а23 і входять у визначник зі знаком « - ».
а) а11а24а32а43, а13а21а32а44, а14а23а32а41; б) а11а23а32а44, а12а23а34а41, а14а23а31а42. ^
6. Виписати всі члени визначника 5-го порядку, що мають вигляд . Що вийде, якщо з їхньої суми винести а14а23 за дужки?
. ^
7. Як зміниться визначник n-го порядку, якщо всі його стовпці записати в зворотному порядку? Визначник помножиться на (-1)(n(n-1))/2. ^
8. Не розкриваючи визначників, довести, що:
а) ;
б) ;
в) ;
г) ; д) .
а) властивості 7, 3; б) властивості 7, 3, 5; в) властивості 7, 3, 5; г) властивість 5;
д) властивість 5. ^
9. Знайти мінори елементів а13, а24, а43 визначника .
М13 = 24; М24 = - 126; М43 = 52. ^
10. Знайти алгебраїчне доповнення елементів а14, а23, а42 визначника
.
А14 = 8; А23 = 0; А42 = - 12. ^
11. Обчислити визначник, розкриваючи його по 3-му рядку .
8a + 15b + 12c - 19d. ^
12. Обчислити визначник, розкриваючи його по 2-му стовпцю: .
5a - 5b - 5c + 5d. ^
13. Обчислити наступні визначники, знижуючи їхній порядок за допомогою розкладання за елементами деякого рядка або стовпця:
а) ; б) ; в) .
а) abcd; б) abcd; в) xyzuv. ^
14. Обчислити наступні визначники 3-го порядку:
а) ; б) ; в) ;
г) ; д) ; е) .
а) 0; б) 6; в) 0; г) -2; д) -27; е) -27. ^
15. Обчислити наступні визначники 3-го порядку:
а) ; б) ; в) ;
г) ; д) ; е) .
а) -7; б) 0; в) -1; г) 4; д) 40; е) -3. ^
16. Обчислити наступні визначники 3-го порядку:
а) ; б) ; в) ;
г) ; д) ; е) .
а) 100; б) -5; в) 1; г) 2; д) 4; е) -8. ^
17. Обчислити наступні визначники 3-го порядку:
а) ; б) ; в) ;
г) ; д) ;
е) .
а) (1 - 3)2; б) abc + x(ab + bc + ac); в) 0; г) -2(x3 + y3); д) 0; е) 0. ^
18. Обчислити наступні визначники 4-го порядку:
а) ; б) ; в) ; г) .
а) -7; б) 0; в) -1; г) -18. ^
19. Обчислити наступні визначники 4-го порядку:
а) ; б) ; в) ; г) .
а) 1; б) -5; в) 0; г) -3. ^
20. Обчислити наступні визначники 4-го порядку:
а) ; б) ;
в) ; г) .
а) 1; б) 48; в) 1; г) . ^
21. Обчислити визначники 4-го порядку:
а) ; б) ; в) ; г) .
а) -8; б) -9; в) -6; г) -10. ^
22. Обчислити визначники 5-го порядку:
а) ; б) . а) 52; б) 5. ^
23. Зведенням до трикутного вигляду обчислити визначники:
а) ; б) ;
в) ; г) .
а) n!; б) 2n + 1; в) хn(а0 + а1 + … + аn); г) . ^
24. Обчислити визначники методом виділення лінійних множників:
а) ; б) ;
в) ; г) .
а) (х - 1)(х - 2)…(х - n +1); б) (x - a - b - c)(x - a + b + c)(x + a - b + c)(x + a + b - c);
в) (х2 - 1)(х2 - 4); г) x2z2, вказівка: визначник не зміниться, якщо 1-й стовпець поміняти місцями з 2-м стовпцем і одночасно 1-й рядок із 2-м рядком; при х = 0 визначник дорівнює 0, аналогічно по z. ^
25. Розв'язати рівняння:
а) ; б) ;
в) ; г) (х R).
а) хi = ai, i = 1, 2, … , n - 1; б) хi = ai, i = 1, 2, … , n; в) х = 0, 1, 2, … , n - 1; г) x = 1. ^
26. Використовуючи метод рекурентних співвідношень, обчислити визначники: а) ; б) ; в) .
а) ; б) 2n + 1 - 1; в) . ^
27. Обчислити визначники методом представлення їх у вигляді суми визначників:
а) ; б) .
? а) хn + (а1 + а2 + … + аn)хn - 1; б) вказівка: xi (xi - ai + ai),
. ^
28. Обчислити визначники методом зміни елементів визначника:
а) ; б) .
? а) ; б) . ^
29. Обчислити визначники n-го порядку:
а) ; б) ; в) ;
г) ; д) ; е) .
? а) 1; б) 3n; в) 1; г) хn; д) 1 - n; е) (-2)n -1(5n - 2). ^
30. Обчислити визначники n-го порядку:
а) ; б) ; в) ;
г) ; д) ; е) .
? а) (-2)n -2(1 - n); б) n + 1; в) (-1)n -1(n - 1); г) 1; д) (1 - (-1)n)/2, вказівка:
n = 1- n -1; е) 0, якщо n = 2k +1; (-1)n/2, якщо n = 2k, k Z; вказівка: n = - n - 2. ^
31. Обчислити визначники n-го порядку:
а) ; б) ;
в) ; г) ;
д) ; е) .
? а) (b1 - а1) (b2 - а2) … (bn - аn); б) (n - 1)!; в) (-1)n - 1. n!; г) 0;
д) (-1)(n(n -1))/2nn-1(n + 1)/2; е) ^
Размещено на Allbest.ru
Подобные документы
Обчислення визначника матриці методом Гаусса. Розгорнення характеристичного визначника заданої матриці методом Крилова. Обчислення наближеного значення визначеного інтегралу за допомогою формули Сімпсона. Мінімум функції і суть методу золотого перерізу.
контрольная работа [45,7 K], добавлен 04.10.2009Огляд складання програми на мові програмування С++ для обчислення чотирьох лінійної системи рівнянь матричним методом. Обчислення алгебраїчних доповнень до елементів матриці. Аналіз ітераційних методів, заснованих на використанні повторюваного процесу.
практическая работа [422,7 K], добавлен 28.05.2012Рішення основних систем лінійних рівнянь. Визначники другого та третього порядку. Властивості визначників, теорема розкладання. Теорема Крамера для систем рівнянь. Доцільність рішення задачі автоматизованим способом. Ймовірність допущення помилок.
курсовая работа [386,2 K], добавлен 18.12.2010Розв'язання графічним методом математичної моделі задачі з організації випуску продукції. Розв'язання транспортної задачі методом потенціалів. Знаходження умовних екстремумів функцій методом множників Лагранжа. Розв'язання задач симплекс-методом.
контрольная работа [48,5 K], добавлен 16.07.2010Запис системи рівнянь та їх розв'язання за допомогою методів оберненої матриці та Гауса. Поняття вектора-стовпця з невідомих та вільних членів. Пошук оберненої матриці до даної. Послідовне виключення невідомих за допомогою елементарних перетворень.
контрольная работа [115,2 K], добавлен 16.07.2010Метод Монте-Карло як метод моделювання випадкових величин з метою обчислення характеристик їхнього розподілу, оцінка похибки. Обчислення кратних інтегралів методом Монте-Карло, його принцип роботи. Приклади складання програми для роботи цим методом.
контрольная работа [41,6 K], добавлен 22.12.2010Великий математик П’єр Ферма. Історія виникнення теореми Ферма-Ойлера. Способи її доведення Лагранжем та Д. Цагиром. Інволютивність перетворення трійки натуральних чисел. Єдиність та кількість представлення простого числа у вигляді суми двох квадратів.
курсовая работа [39,4 K], добавлен 08.05.2014Сутність, особливості та історична поява чисел "пі" та "е". Доведення ірраціональності та трансцендентності чисел "пі" та "е". Методи наближеного обчислення чисел "пі" та "е" за допомогою числових рядів та розкладу в нескінченні ланцюгові дроби.
курсовая работа [584,5 K], добавлен 18.07.2010Теорія межі послідовності й межі функції як один з розділів математичного аналізу. Поняття межі послідовності, огляд характерних прикладів обчислення меж послідовності з докладним розбором рішення, специфіка теореми Штольца й приклади її застосування.
курсовая работа [118,6 K], добавлен 17.01.2011Теорія обернених матриць та їх знаходження за формулою. Оберненні матриці на основі яких складається написання програми обчислення оберненої матриці до заданої. Побудова матриць та їх характеристика. Приклади проведення розрахунків при обчисленні матриць.
курсовая работа [96,8 K], добавлен 06.12.2008
