Основные динамические свойства и их классификация

Для данного типа ?? и одинакового вхождения всех неосновных букв в ?? импликацией ДС этих 16 семейств могут быть частично упорядочены, причем вводится иерархическая структура из 5 уровней (рис. 1). Здесь импликация семейств ДС понимается как совокупность импликаций тех их свойств, которые имеют один и тот же тип и одинаковое вхождение всех неосновных букв в слово ?? (с учетом их порядка и индексов ?). И, значит, принадлежат одному классу ДС (см. ниже). Вид вхождения x в ?? не является существенным при классификации семейств (и не рассматривается), так как

x ? , а = singl, поэтому = .

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

На первом (верхнем) уровне - одно семейство безусловных сильных универсальных ДС, называемое основным семейством ДС; на пятом (нижнем) - одно семейство (, ) - условных слабых экзистенциональных ДС; на 2, 3, 4-м уровнях - промежуточные (по силе) семейства ДС.

Дальнейшая классификация ДС связана с понятием ранга r ДС, равного числу неосновных букв в его слове ?? (r = 0, 1, 2, …). Слово , составленное из r неосновных букв (с их индексами), взятых в том порядке, в котором они входят в слово ?? данного ДС ранга r, называется представлением слова ?? и задает класс ДС.

Представлениями слов ?? определяется разбиение множества ДС на непересекающиеся классы. Классы ДС данного типа, семейства и ранга упорядочены с помощью импликации (частично).

В классе динамических свойств данного типа и семейства ДС частично упорядочены с помощью импликации и формально отличаются лишь вхождением основных букв в слово ?? относительно неосновных, т. е. “степенью равномерности (равностепенности) относительно , , x, t”. В частности, если в слово ?? входит одна экзистенциональная буква (или ), предшествующая , то это ДС влечет динамическое свойство того же класса, отличающееся лишь тем, что в его слове предшествует (или ).

Пример. Рассмотрим определение свойства -устойчивости системы процессов r, равномерной по t0 ? T0. При предположениях предыдущего примера его формула

???? ? (?P ? ??) (? ? ) (?t0 ? T0) (? ? ) (? ? rh)

(?t ? (, h)) (?x ? (t)) (x ? ) ? ????????.

Вместе с ДС -устойчивости (пример п. 2) оно образует класс -устойчивости ??(????) системы процессов r второго ранга, основного семейства, основного типа.

Динамические свойства -устойчивости и равномерной -устойчивости упорядочены с помощью импликации

???????? ? ????????,

т. е. равномерная по t0 ? T0 -устойчивость на T СП r является более сильным свойством, чем -устойчивость на T СП r. ДС равномерной по t0 -устойчивости на T охватывает свойство равномерной устойчивости по К. П. Персидскому, равномерной устойчивости при постоянно действующих возмущениях по С. Г. Горщину и др.

ДС основного типа ?? ? (x ? ) и основного семейства (безусловных сильных универсальных динамических свойств) называются основными динамическими свойствами (ОДС).

В классических и современных математических работах и в литературе по динамике исследовались главным образом основные динамические свойства.

Примеры определений неосновных ДС.

1. Пусть ?? ? (x ? ), ДС ?? содержится в семействе () безусловных слабых универсальных свойств, имеет основной тип, нулевой ранг и называется слабой P, P0-оценкой СП r. Оно обобщает понятия A, л-оценки Н. Г. Четаева (1962), (A, л, t0, T)-устойчивости по Н. Г. Четаеву и т. п.

2. Пусть T = T0 = R1, (?t ? T) X = . Рассмотрим ДС типа ?? ? ( = ) (не основного), предполагая

(?t0 ? T0) = (P0 ? dom r,

T() = ? T(x, h) ? {t ? T: t + ? T(x, h)}

и считая области изменения всех переменных формулы ???? непустыми. Пусть ?? ? . Свойство ???? относится к семейству (, ) - условных сильных универсальных свойств нулевого ранга и называется P0-сильной щ-периодичностью на T СП r. ДС ???? ? ?? (того же типа, что и предыдущее динамическое свойство), содержится в семействе условных слабых универсальных ДС, имеет нулевой ранг и называется P0-слабой щ-периодичностью на T СП r. Как легко заметить,

т. е. P0-сильная щ-периодичность на T СП имплицирует P0-слабую щ-периодичность.

Заключение

В данной курсовой работе дано строгое математическое определение динамической (функционирующей) системы и приведены некоторые способы задания динамических систем (глава 1); во второй главе дается определение системы процессов; в третьей приводится определение основных динамических свойств, ДС частично упорядочены с помощью импликации, введены типы, классы, семейства ДС и проведена основанная на них классификация ДС, приведены примеры.

Список литературы

1. Матросов В.М., Анапольский Л.Ю., Васильев С.Н. Метод сравнения в математической теории систем. - Новосибирск: Наука, 1980.

Размещено на Allbest.ru