Решение алгебраических и трансцендентных уравнений
Методика отделения корней от заданных уравнений графическим методом и табулированием, а также половинным делением. Содержание, а также оценка преимуществ и недостатков использования метода итерации и касательных, условия их практического применения.
Рубрика | Математика |
Вид | лабораторная работа |
Язык | русский |
Дата добавления | 24.09.2014 |
Размер файла | 284,8 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Размещено на http://www.allbest.ru/
Лабораторная работа
Решение алгебраических и трансцендентных уравнений
Задание. Для каждого уравнения отделить корни
а) табулированием;
б) графически.
2. Уточнить один корень одного из уравнений с точностью =0.01 методами половинного деления и простых итераций, а так же одним из следующих методов (по указанию преподавателя):
а) хорд
б) касательных
в) секущих
Решение: а) графически;
Чтобы отделить корни уравнения графическим методом, необходимо построить график функции и посмотреть, в каких точках график пересекает ось х. Эти точки будут являться корнями уравнения.
На графике видно, что корень уравнения находится на интервале (1; 2)
На этом графике видно что На графике видно, что корни уравнения находится на интервалах (-3; - 2), (-1; 0), (0; 1), (1; 2).
Для дальнейшего отделения корней необходимо воспользоваться методом табулирования.
Метод половинного деления
В этом методе вычисляется значение функции путём подстановки некоторого значения , смещающегося при каждой итерации на определённый шаг (не более ), в уравнение. В дальнейшем строится таблица, с помощью которой можно определить интервалы залегания корня.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Размещено на http://www.allbest.ru/
По алгоритму представленному выше мы можем найти интервалы, на которых находятся корни уравнения.
Для функции
x |
F(x) |
|
1 |
-0,41 |
|
1,1 |
-0,31 |
|
1,2 |
-0,21 |
|
1,3 |
-0,10 |
|
1,4 |
0,02 |
|
1,5 |
0,15 |
|
1,6 |
0,28 |
|
1,7 |
0,42 |
|
1,8 |
0,57 |
|
1,9 |
0,71 |
|
2 |
0,86 |
Из таблицы мы видим, что корень уравнения залегает на интервале [1,3; 1,4].
Для функции
-3 |
28 |
-1 |
-12 |
0 |
1 |
1 |
-4 |
||||
-2,9 |
14,7083 |
-0,9 |
-9,6677 |
0,1 |
0,8843 |
1,1 |
-3,8037 |
||||
-2,8 |
3,5088 |
-0,8 |
-7,4992 |
0,2 |
0,5568 |
1,2 |
-3,1472 |
||||
-2,7 |
-5,7797 |
-0,7 |
-5,5317 |
0,3 |
0,0523 |
1,3 |
-1,9237 |
||||
-2,6 |
-13,331 |
-0,6 |
-3,7952 |
0,4 |
-0,5872 |
1,4 |
-0,0192 |
||||
-2,5 |
-19,313 |
-0,5 |
-2,3125 |
0,5 |
-1,3125 |
1,5 |
2,6875 |
||||
-2,4 |
-23,883 |
-0,4 |
-1,0992 |
0,6 |
-2,0672 |
1,6 |
6,3248 |
||||
-2,3 |
-27,196 |
-0,3 |
-0,1637 |
0,7 |
-2,7877 |
1,7 |
11,0283 |
||||
-2,2 |
-29,395 |
-0,2 |
0,4928 |
0,8 |
-3,4032 |
1,8 |
16,9408 |
||||
-2,1 |
-30,62 |
-0,1 |
0,8763 |
0,9 |
-3,8357 |
1,9 |
24,2123 |
||||
-2 |
-31 |
0 |
1 |
1 |
-4 |
2 |
33 |
Из этих таблиц видим что корни залегают на интервалах [-2,8; - 2,9], [-0,3; - 0,2], [0.3; 0,4], [1,4; - 1,5]. (Для уточнения взят интервал [-0,3; - 0,2])
Первый способ уточнения корня уравнения - метод половинного деления (дихотомии). Для этого следует разделить отрезок [a, b] пополам точкой . Возможны два случая: либо f(x) меняет знак на отрезке [a, c], либо на отрезке [c, b]. Выбирая в каждом случае тот отрезок, на котором функция меняет знак, и, продолжая процесс половинного деления дальше, можно дойти до сколь угодно малого отрезка, содержащего корень уравнения. Воспользуемся методом половинного деления с помощью данного алгоритма:
Размещено на http://www.allbest.ru/
Размещено на http://www.allbest.ru/
С помощью метода половинного деления корень был уточнен для уравнения
до значения .
Метод итераций
Второй способ уточнения корня уравнения - метод простых итераций (ПИ).
Для этого метода необходимо выразить из начального уравнения генерирующее отношение вида . Для уравнения было получено генерирующие отношение вида .
Для того чтобы метод простых итераций выполнялся, генерирующее соотношение должно удовлетворять условию , где х принадлежит интервалу, на котором находится корень.
Продифференцируем выражение
Для проверки применимости метода возьмем значение х, которое находится посередине интервала [1,3; 1,4], т.е. х = 1.35.
-1.4
Так как условие не выполняется , то метод в данном случае не применим, но если бы он был бы применим то корень был бы уточнен с помощью этого варианта:
Размещено на http://www.allbest.ru/
Размещено на http://www.allbest.ru/
Для дальнейшего уточнения корня воспользуемся методом касательных.
Метод касательных
Для уточнения корней методом касательных необходимо взять начальное приближение вблизи предположительного корня, после чего построить касательную к исследуемой функции в точке приближения, для которой находится пересечение с осью абсцисс. Эту точку необходимо взять в качестве следующего приближения. И так далее, пока не будет достигнута требуемая точность.
В качестве выступает уравнение а в качестве - её производная . Реализация метода касательных представлена в следующем алгоритме:
Размещено на http://www.allbest.ru/
Размещено на http://www.allbest.ru/
корень уравнение итерация алгебраический
С помощью метода касательных корень был уточнен до значения при начальном приближении . Результат был достигнут за 1 шаг.
Размещено на Allbest.ru
Подобные документы
Сущность и содержание метода Крамера как способа решения квадратных систем линейных алгебраических уравнений с ненулевым определителем основной матрицы. Содержание основных правил Крамера, сферы и особенности их практического применения в математике.
презентация [987,7 K], добавлен 22.11.2014Геометрическая интерпретация методов Ньютона, итерации и спуска. Определение корня уравнения с заданной степенью точности. Решение систем нелинейных алгебраических уравнений. Нахождение эквивалентного преобразования для выполнения условия сходимости.
курсовая работа [371,6 K], добавлен 14.01.2015Сущность итерационного метода решения задачи, оценка его главных преимуществ и недостатков. Разновидности итерационных методов решения систем линейных алгебраических уравнений: Якоби, Хорецкого и верхней релаксации, их отличия и возможности применения.
курсовая работа [39,2 K], добавлен 01.12.2009Характеристика видов математических уравнений - алгебраических и трансцендентных, их сравнение и отличительные особенности. Возможности метода замены неизвестного при решении алгебраических уравнений, применение в стандартных и нестандартных ситуациях.
контрольная работа [246,3 K], добавлен 21.09.2010Изучение методов уточнения корней нелинейных уравнений (половинного деления, хорд, касательных, простой итерации). Метод хорд и касательных дает высокую скорость сходимости при решении уравнений, и небольшую - метод половинного деления и простой итерации.
контрольная работа [58,6 K], добавлен 20.11.2010Метод Зейделя как модификация метода простой итерации. Особенности решения систем линейных алгебраических уравнений. Анализ способов построения графика функций. Основное назначение формул Симпсона. Характеристика модифицированного метода Эйлера.
контрольная работа [191,3 K], добавлен 30.01.2014Основные понятия теории погрешностей. Приближенное решение некоторых алгебраических трансцендентных уравнений. Приближенное решение систем линейных уравнений. Интерполирование функций и вычисление определенных интегралов, дифференциальных уравнений.
методичка [899,4 K], добавлен 01.12.2009Основные правила решения системы заданных уравнений методом Гаусса с минимизацией невязки и методом простых итераций. Понятие исходной матрицы; нахождение определителя для матрицы коэффициентов. Пример составления блок-схемы метода минимизации невязок.
лабораторная работа [264,1 K], добавлен 24.09.2014Сущность и графическое представление методов решения нелинейных уравнений вида F(x)=0. Особенности метода хорд, бисекции, простой итерации, касательных и секущих. Проверка результатов с помощью встроенных функций и оценка точности полученных значений.
контрольная работа [316,1 K], добавлен 09.11.2010Решение нелинейных уравнений методом касательных (Ньютона), особенности и этапы данного процесса. Механизм интерполирования функции и численное интегрирование. Приближенное решение обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка методом Эйлера.
курсовая работа [508,1 K], добавлен 16.12.2015