Решение задачи согласования

Размещено на http://www.allbest.ru/

Федеральное агентство по образованию

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ СРЕДНЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ КРАСНОДАРСКИЙ ГУМАНИТАРНО-ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ КОЛЛЕДЖ

КУРСОВАЯ РАБОТА

по дисциплине «Математические методы»

на тему: «Решение задачи согласования»

Работу выполнил:

студент

Специальности 230105

группы 22-01

Суслов АлександВладимирович

Руководитель:

преподаватель,

Тутынина Н.И.

Краснодар, 2010

Содержание

Введение

1. Задачи исследования операций

1.1 Предмет и задачи исследования операций

1.2 Основные понятия и принципы исследования операций

1.3 Математические модели операций

2.Задача согласования

2.1 Детерминированная задача согласования

2.2 Исследование математической модели

Заключение

Список использованной литературы

Введение

ЗАДАЧИ СОГЛАСОВАНИЯ - класс задач исследования операций, связанных с согласованием совокупности отдельных работ во времени для получения оптимального общего результата. Эти задачи обычно называют задачами сетевого планирования и управления, пользуясь термином, определяющим метод их представления и решения.

В самых различных областях - организация производства и снабжения, эксплуатация транспорта, боевые действия и вооружение, расстановка кадров, бытовое обслуживание, здравоохранение, связь, вычислительная техника и т.д. - часто возникают задачи, сходные между собой по постановке, обладающие рядом общих признаков и решаемые сходными методами, которые объединяют под общим названием «исследование операций». Типичная ситуация такова: организуется какое-либо целенаправленное мероприятие (система действий), которое можно организовать тем или иным способом, т.е. выбрать какое-нибудь одно «решение» из ряда возможных вариантов. Каждый из вариантов при этом обладает своими достоинствами и недостатками, причем, в силу сложности обстановки, не сразу ясно, какой из вариантов предпочтительнее других и почему. С целью прояснить обстановку и сравнить между собой но ряду признаков различные варианты решения организуется серия математических расчетов. Их задача - помочь людям, ответственным за выбор решения, произвести критический анализ ситуации и, в конечном счете, остановиться на том или ином варианте.

1. Задачи исследования операций

1.1 Предмет и задачи исследования операций

Под термином «исследование операций» понимают применение математических количественных методов для обоснования решений во всех областях целенаправленной человеческой деятельности.

Решение - это выбор одного из ряда возможных вариантов организации мероприятий, направленных на достижение конкретной цели.

Область действия «исследования операций» - процесс принятия решений, когда для их обоснования применяется тот или иной математический аппарат. До поры до времени решения в любой области практики принимаются без специальных математических расчетов, просто на основе опыта и здравого смысла. Однако чем сложнее, дороже, масштабнее планируемое мероприятие, тем менее допустимы в нем «волевые» решения и тем важнее становятся научные методы, позволяющие заранее оценить последствия каждого решения, заранее отбросить недопустимые варианты и рекомендовать наиболее удачные; установить, достаточна ли имеющаяся информация для правильного выбора решения, и если нет - какую информацию необходимо получить дополнительно.

1.2 Основные понятия и принципы исследования операций

Операцией называется всякое управляемое мероприятие (система действий), объединенное единым замыслом и направленное на достижение какой-либо цели.

Принимаемые решения могут быть удачными и неудачными, разумными и неразумными. Оптимальными называются решения, по тем или иным признакам предпочтительные перед другими. Цель исследования операций - предварительное количественное обоснование оптимальных решений.

Иногда (относительно редко) в результате исследования удается указать одно - единственное строго оптимальное решение, гораздо чаще - выделить область практически равноценных оптимальных (разумных) решений, в пределах которой может быть сделан окончательный выбор. При этом само принятие решения выходит за рамки исследования операций и относится к компетентности ответственного лица (группы лиц), которым пре- оставлено право окончательного выбора и на которых возложена ответственность за этот выбор. Делая выбор, они могут учитывать наряду с рекомендациями, вытекающими из математического расчета еще ряд соображений (количественного и качественного характера), которые этим расчетом не были учтены.

Те параметры, совокупность которых образует решение, называются элементами решения. В качестве элементов решения могут выступать различные числа, векторы, функции, физические признаки и т.д. Кроме элементов решения в любой задаче согласования операций имеются еще и заданные условия (ограничения), которые фиксированы с самого начала и не могут быть нарушены. Элементы решения и ограничения формируют так называемое «множество возможных решений».

Суть задачи исследования операций заключается в том, чтобы в множестве возможных решений X выделить те решения л:, которые с той или иной точки зрения эффективнее других. Чтобы сравнивать между собой по эффективности разные решения, нужно иметь какой-либо количественный критерий, так называемый показатель эффективности (целевую функцию). Этот показатель выбирается так, чтобы он отражал целевую направленность операции. Лучшим будет считаться то решение, которое в максимальной степени способствует достижению поставленной цели, т.е. обращает показатель эффективности W в максимум (W => шах) или минимум (W => min), например, доход от операции необходимо обратить в максимум, если же показателем эффективности являются затраты, их следует обратить в минимум.

Кроме того, часто выполнение операции сопровождается действием случайных факторов. В таких случаях обычно в качестве показателя эффективности берется не сама величина, которую следует обратить в максимум (минимум), а ее среднее значение.

В некоторых случаях бывает, что в качестве показателя эффективности следует выбирать вероятность достижения цели (если условия задачи не допускают промежуточных результатов в ее достижении).

1.3 Математические модели операций

Для применения количественных методов исследования в любой области всегда требуется какая-либо математическая модель. Чем удачнее эта модель будет подобрана и чем лучше она будет отражать характерные черты явления, тем успешнее будет исследование и полезнее его результаты.

Общих способов построения математических моделей не существует. В каждом конкретном случае модель выбирается исходя из вида операции, ее целевой направленности, с учетом задачи исследования. Точность и подробность математической модели необходимо соизмерять с необходимой точностью решения и с той информацией, которая имеется в распоряжении исследователя или которую он может получить.

Создание математической модели - самая важная и ответственная часть исследования, требующая глубокого знания не столько математики, сколько сущности моделируемых явлений.

2. Задача согласования

2.1 Детерминированная задача согласования

Пусть разработано устройство управления техническим объектом, и необходимо выполнить сборку, наладку и запуск устройства. Известен комплекс операций, которые необходимо выполнить, длительность и последовательность их выполнения (табл. 1). Требуется определить минимальное время выполнения комплекса работ, время начала и окончания каждой операции, резервы времени. Также следует определить операции, лежащие на критическом пути, который характеризует длительность всего процесса подготовки устройства к эксплуатации

согласование операция математическая детерминированная

Таблица 1.

Выявление основных взаимосвязей и количественных соотношений. В первую очередь следует выяснить, какие операции предшествуют каждой из заданных операций. Основная особенность задач согласования - это необходимость представления комплекса операций (работ) в виде ориентированного графа, отображающего отношения предшествования операций.

Рис. 1. Сетевой график процесса

Построение математической (сетевой) модели. Ориентированный граф в задачах согласования обычно называют сетевой моделью комплекса операций, или просто сетевым графиком. Каждая дуга сетевого графика соответствует одной операции (работе), а каждая вершина - событию. Направление дуги показывает переход от одного события (состояния) процесса к другому. Дуги располагаются согласно логической последовательности выполнения комплекса взаимосвязанных операций. Временная оценка события равна нулю, а операции имеют конечную длительность (например, табл. 1). Все операции, ведущие к событию должны быть закончены, прежде чем могут быть начаты операции, исходящие из события. Если начальное событие для операции обозначить i, а конечное -j, то для операции можно использовать обозначение (i -j).

Для нумерации событий существует несколько правил:

каждое событие имеет свой номер. Если одно событие соединено с другим несколькими дугами, то вводятся фиктивные события для однозначного определения хода выполнения работ;

для каждой операции номер события в конце операции должен быть больше, чем номер события в начале. Поэтому целесообразно не нумеровать события до тех пор, пока не будет полностью построен сетевой график.

2.2 Исследование математической модели

Введем обозначения:

Трi, ТРj - ранний срок наступления событий i,j;

Tпi, ТП j - поздний срок наступления событий i, j;

t ij -время проведения операции (проставляется над соответствующей дугой);

i - номер предшествующего события;

j - номер последующего события;

RП ij- полный резерв времени операции (i-j);

Rc ij -свободный резерв времени операции (i -j);

Ri, Rj -резервы времени событий i,j ;

tpo ij - ранний срок окончания операции (i-j);

tпн ij - поздний срок окончания операции(i-j).

В окончательном виде каждое событие обозначают на сетевом графике так, как это показано на рис. 2. Внутри событий и возле работ указывают их числовые параметры.

Рис. 2 - Расположение параметров событий и работ на сетевом графике

Алгоритм расчета сетевого графика с детерминированным временем выполнения операций включает следующие основные этапы:

1) расчет ранних сроков окончания операций tpo ij, которые определяются как сумма раннего срока наступления события Трi и времени проведения операции t ij:

tpo ij = Трi + t ij ; T0 =0 (1)

2) расчет ранних сроков наступления событий ТРj , при этом возможны два случая-

а) если к событию подходит одна операция, тогда ТРj = tpo ij,

б) если к событию подходит более одной операции, тогда

ТРj =max{ tpo ij }, (2)

т.е. ТРj равен максимальному значению раннего срока окончания операций, подходящих к данному событию j;

Расчет в соответствии с пунктами 1 и 2 ведется от начала сетевого графика к его концу, а расчет по пунктам 3 и 4 - от конца графика к его началу. Для начального события Тpi = 0, а для конечного события Трк = Тпк;

расчет поздних сроков начала операций tпн ij, которые определяются как разность позднего срока наступления события Tпi и времени проведения операции t ij:

tпн ij = ТП j- t ij ; (3)

4) расчет поздних сроков наступления событий Tпi при этом возможны два случая -

а)если от события отходит одна операция, тогда Tпi= tпн ij,

б)если к событию подходит более одной операции, тогда

Tпi = min {tпн ij}, (4)

{j}

т.е. Tпi равен минимальному значению позднего срока начала операций, выходящих из данного события i;

5) расчет резервного времени события Ri, которое определяется как разность между наиболее поздним Tпi и наиболее ранним Трi сроками свершения события i:

Ri = Tпi - Трi i.(5)

Для операций можно рассматривать различные виды резервов, из которых наиболее важными являются полный резерв времени операции и свободный резерв времени операции. Полные резервы времени операций принимают минимальные значения на критических операциях, лежащих на критическом пути. Эти минимальные значения равны нулю, если директивный срок наступления завершающего события не задан или превышает начало выполнения операций на критическое время;

6) расчет полного резерва операции RП ij. Полный резерв операции - это максимальное время, на которое можно отсрочить или увеличить продолжительность операции (i-j), не изменяя директивного или раннего срока наступления завершающего события:

RП ij= ТП j - tpo ij= ТП j - Трi - t ij ; (6)

7) расчет свободного резерва Rc ij. Свободный резерв операции - это максимальное время, на которое можно отсрочить начала или увеличить продолжительность работы (i-j) при условии, что все события сети наступают в свои ранние сроки. Определяется как разность раннего срока наступления события j и раннего срока окончания операции(i - j):

Rc ij= ТРj - tpo ij= ТРj - Трi- t ij ; (7)

8) Определение критических и подкритических путей LKp. Критический путь LKp - это путь, продолжительность которого равна критическому времени Тkp. Критическое время Ткр - это время, в течение которого может быть выполнен весь процесс. Подкритические пути это пути, у которых полный резерв времени R отличается от минимального не более чем на заданную величину. Критическим путем на сетевом графике является путь с наименьшим полным резервом. Любая операция, имеющая нулевой резерв времени, является критической по отношению к сроку завершения процесса.

Сетевой график может иметь несколько критических путей. Отсутствие резервов времени на операциях, расположенных на критическом пути, приводит к тому, что невыполнение срока окончания для любой из этих операций приведет к невыполнению в срок всего процесса в целом. На рис. 2 критический путь отмечен жирной линией.

Полный резерв времени R[Li] пути Li определяется как разность между длиной критического пути t[Lk] и длиной любого другого полного пути t[Li]:

R[Li] = t[Lk]-t[Li]. (8)

Заключение

Недостатком детерминированных задач согласования является то, что в них не учитываются случайные факторы, которые вызывают изменения продолжительности операций и оказывают существенное влияние на срок завершения всего процесса.

Список использованной литературы

Конюховский П.В. Математические методы исследования операций в экономике. - СПб.: Питер, 2000.

Ковалева В.В. Введение в финансовой менеджмент. М: Финансы и статистика 1994.

Кожин А.П. Математические методы в планировании и управлении грузовыми автомобильными перевозками. - М.: Высшая школа, 1994.

Колемаев В.А. и др. Теория вероятностей и математическая статистика: Учеб. пособие для экон. спец. Вузов. - М.: Высш.шк., 1991.

Количественные методы финансового анализа / Под ред. С. Дж. Брауна и М.П. Крицмена: Пер. с англ. - М.: ИНФРА-М, 1996.

Омельченко В. П., Математика: учебное пособие / Омельченко В. П., Курбатова Э. В. - Ростов н/Д.: Феникс, 2005

Богомолов Н.В. Практические занятия по высшей математике. - М.: Высшая школа, 1999

Подольский В.А. и др. Сборник задач по математике для техникумов. - М.: Высшая школа, 1999

Валуцэ И.И. и др. Математика для техникумов на базе средней школы: учеб. пособ. - М.: Наука, 1990

Дадаян А.А. Математика: учеб. - М.: ФОРУМ: ИНФРА-М, 2005

1. Размещено на www.allbest.ru