Елементи теорії векторних просторів і систем лінійних рівнянь
Загальна характеристика системи Moodle. Поняття кільця та його найпростіші властивості. Алгебраїчна форма запису комплексного числа. Основні типи бінарних відношень. Властивості операцій над множинами. Лінійні комбінації і лінійні оболонки векторів.
| Рубрика | Математика |
| Вид | дипломная работа |
| Язык | украинский |
| Дата добавления | 26.02.2014 |
| Размер файла | 1,0 M |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Звідси:
Отже, -- координати матриці в нашому базисі.
Приклад 4. Розв'язати матричне рівняння , якщо , .
Розв'язання
Нехай . Тоді
За означенням добутку матриць матимемо:
Отже, матричне рівняння має такий розв'язок
2.8 Системи лінійних рівнянь
1. Поняття системи лінійних рівнянь та її розв'язку
Означення. Рівняння виду
де -- деякі елементи числового поля , а -- невідомі елементи цього поля, називають лінійним рівнянням з невідомими.
Означення. Вектор називають розв'язком рівняння (1), якщо рівність є правильною.
Розглянемо систему лінійних рівнянь з невідомими:
Числа називають коефіцієнтами системи (2), а числа -- вільними членами. Якщо , , то систему (2) називають однорідною системою лінійних рівнянь; якщо ж хоча б один з цих коефіцієнтів відмінний від нуля -- неоднорідною.
Означення. Вектор називають розв'язком системи рівнянь (2), якщо він є розв'язком кожного рівняння системи.
Розглянемо вектори
…,
Використовуючи ці вектори, систему (2) можна записати так:
(2) -- векторна форма запису системи (2).
Систему рівнянь (2) можна записати у матричній формі:
де
Матрицю А називають основною матрицею системи (2), а матрицю
-- розширеною матрицею. Якщо система рівнянь записана в матричній формі, то її розв'язком буде така матриця що матрична рівність є правильною.
Означення. Якщо система лінійних рівнянь має хоча б один розв'язок, то її називають сумісною, якщо немає розв'язків -- несумісною.
Теорема. Якщо система лінійних рівнянь має два різні розв'язки, то вона має безліч розв'язків.
Означення. Якщо система лінійних рівнянь має лише один розв'язок, то її називають визначеною, якщо ж безліч розв'язків -- невизначеною.
2. Рівносильні системи лінійних рівнянь. Елементарні перетворення
систем лінійних рівнянь
Розглянемо поряд із системою рівнянь (2) систему:
Означення. Якщо кожен розв'язок системи (2) є розв'язком системи (3), то систему (3) називають наслідком системи (2). (2)(3).
Означення. Якщо множини розв'язків систем рівнянь (2), (3) співпадають, то ці системи називають рівносильними. (2)(3).
Означення. Елементарними перетвореннями системи лінійних рівнянь називають:
1) заміну місцями (транспозицію) двох рівнянь системи;
2) множення деякого рівняння системи на відмінне від нуля число;
3) додавання до одного рівняння системи іншого рівняння, помноженого на деяке число.
Теорема. При будь-якому елементарному перетворенні система лінійних рівнянь переходить у рівносильну їй систему.
3. Розв'язування систем лінійних рівнянь методом послідовного виключення невідомих (метод Гауса)
Розглянемо систему лінійних рівнянь (2) і нехай і тоді будь-який вектор є розв'язком системи. Якщо всі , але , то система несумісна.
Розглянемо випадок, коли серед коефіцієнтів є відмінні від нуля. Не порушуючи загальності будемо вважати, що (якщо а, наприклад, то, переставивши місцями перше і третє рівняння і зробивши заміну одержимо систему, в якій відмінний від нуля коефіцієнт стоїть на місці ). До другого рівняння системи додамо перше рівняння, помножене на ; до третього -- перше, помножене на , і так далі. Одержимо систему:
Система (4) одержана із системи (2) шляхом елементарних перетворень, тому (4)(2). Не порушуючи загальності будемо вважати, що . Виходячи з другого рівняння системи (4), позбуваємось невідомого у третьому, ..., -му рівняннях і т. д. Врешті решт прийдемо до системи:
де
Якщо , то система (2) сумісна. Оскільки, , то з -го рівняння системи (5) можна виразити через ; з -го рівняння -- через а тоді через і так далі. Прийдемо до системи:
(6) -- загальний розв'язок системи (2), невідомі -- вільні невідомі.
Якщо , то система (2) має єдиний розв'язок (є визначеною); якщо , то система (2) має безліч розв'язків (є невизначеною).
Якщо в системі (5) серед чисел є відмінні від нуля, то система (2) несумісна.
Системи рівнянь можна розв'язувати методом Жордана-Гауса. Він відрізняється від методу Гауса тим, що невідоме виключають не лише з рівнянь, а й з -го рівнянь.
Нехай потрібно знайти ранг системи векторів . Рівність
будемо розглядати як систему лінійних рівнянь, записану у векторній формі. Нехай
-- її загальний розв'язок, тоді ранг системи Можна сказати, що ранг системи векторів дорівнює різниці кількості векторів і кількості вільних невідомих у відповідній системі лінійних рівнянь.
4. Ранг матриці
Нехай
,
де -- деяка матриця, -- система векторів-рядків матриці А, де
;
;
а -- система векторів-стовпців, де
.
Означення. Ранг системи векторів-рядків матриці А називають рядковим рангом матриці, а ранг системи векторів-стовпців -- стовпцевим рангом.
Теорема. Для будь-якої матриці її рядковий ранг дорівнює стовпцевому рангу.
Означення. Рангом матриці називають її рядковий (стовпцевий) ранг. Позначають: .
5. Знаходження рангу матриці за допомогою елементарних перетворень
Означення. Елементарними перетвореннями рядків (стовпців) матриці називають:
1) заміну місцями (транспозицію) двох рядків (стовпців) матриці;
2) множення деякого рядка (стовпця) на відмінне від нуля число;
3) додавання до деякого рядка (стовпця) матриці іншого рядка (стовпця), помноженого на деяке число.
Теорема 1. При елементарних перетвореннях рядків (стовпців) матриці ранг не зміниться.
Теорема 2. Якщо шляхом елементарних перетворень рядків (стовпців) матриця зведена до матриці
,
де то ранг матриці дорівнює .
6. Критерії сумісності та визначеності системи лінійних рівнянь
Теорема 1 (Критерій сумісності, теорема Кронекера-Капеллі). Система лінійних рівнянь буде сумісною тоді і тільки тоді, коли ранг основної матриці системи дорівнює рангу розширеної матриці.
Теорема 2 (Критерій визначеності). Сумісна система лінійних рівнянь буде визначеною тоді і тільки тоді, коли ранг основної матриці системи дорівнює кількості невідомих.
Означення. Систему лінійних рівнянь, в якій кількість рівнянь дорівнює кількості невідомих називають квадратною.
Означення. Квадратну матрицю порядку називають невиродженою, якщо її ранг дорівнює і виродженою, якщо її ранг менший від .
Квадратна матриця буде невиродженою тоді і тільки тоді, коли її вектори-рядки (вектори-стовпці) є лінійно незалежними, і виродженою, якщо вектори-рядки (вектори-стовпці) є лінійно залежними.
Теорема 3. Квадратна система лінійних рівнянь буде сумісною при будь-яких правих частинах тоді і тільки тоді, коли основна матриця системи є невиродженою. У випадку сумісності така система рівнянь має лише один розв'язок.
7. Підпростір розв'язків і фундаментальна система розв'язків однорідної системи лінійних рівнянь
Теорема. Множина розв'язків однорідної системи лінійних рівнянь з невідомими утворює підпростір простору вимірності , де -- ранг основної матриці системи.
Означення. Фундаментальною системою розв'язків однорідної системи лінійних рівнянь називають базис підпростору розв'язків цієї системи рівнянь.
Якщо -- фундаментальна система розв'язків однорідної системи лінійних рівнянь, то -- загальний розв'язок системи рівнянь у векторній формі.
8. Зв'язок між розв'язками неоднорідної та зведеної однорідної систем лінійних рівнянь
Означення. Для неоднорідної системи лінійних рівнянь
систему
називають зведеною однорідною системою лінійних рівнянь.
Теорема. Різниця будь-яких двох розв'язків неоднорідної системи лінійних рівнянь є розв'язком зведеної однорідної системи рівнянь. Сума довільного розв'язку неоднорідної системи і довільного розв'язку зведеної однорідної системи є розв'язком неоднорідної системи.
Нехай -- частковий розв'язок неоднорідної системи, а -- довільний її розв'язок, тоді -- довільний розв'язок зведеної однорідної системи. Отже
де -- фундаментальна система розв'язків зведеної однорідної системи. Тоді -- загальний розв'язок неоднорідної системи.
Приклади розв'язання типових задач
Приклад 1. Розв'язати систему лінійних рівнянь
1) методом Гауса;
2) методом Жордана-Гауса.
Розв'язання
1) Метод Гауса.
Запишемо систему лінійних рівнянь, що відповідає останній матриці
З цієї системи знаходимо:
Отже, отримали розв'язок системи лінійних рівнянь:
Відповідь.
2) Метод Жордана-Гауса.
Отримали розв'язок системи лінійних рівнянь:
Відповідь.
Приклад 2. Знайти ранг матриці
де -- параметр.
Розв'язання
За допомогою елементарних перетворень зведемо матрицю до ступінчастого вигляду:
Якщо , то в матриці
буде три ненульових рядки, при всіх інших значеннях -- чотири. Отже, якщо , то ранг матриці дорівнює ; якщо , то ранг матриці дорівнює .
Приклад 3. Знайти ранг і максимальну лінійно незалежну підсистему системи векторів якщо
,
,
,
.
Розв'язання
Розглянемо матрицю
,
векторами-рядками якої є вектори даної системи. За допомогою елементарних перетворень зведемо матрицю до ступінчастого вигляду:
Ранг матриці дорівнює , а отже і ранг системи векторів дорівнює . Перший, другий і четвертий вектори системи утворюють максимальну лінійно незалежну підсистему (а третій вектор є лінійною комбінацією цих векторів).
Приклад 4. Дослідити на сумісність та визначеність систему лінійних рівнянь
тобто з'ясувати, при яких значеннях система несумісна, а при яких -- сумісна, зокрема -- визначена чи невизначена.
Розв'язання
Запишемо розширену матрицю даної системи й зведемо її до ступінчастого вигляду:
(Перший і четвертий рядок поміняли місцями.)
.
(Перший рядок помножили на і додали до кожного наступного, потім перший і четвертий стовпці поміняли місцями.) Отже, ми одночасно основну матрицю системи звели до ступінчастого вигляду:
,
а її розширену матрицю -- до ступінчастого вигляду:
.
Якщо то
;
.
Оскільки при ранг основної матриці системи дорівнює , а ранг її розширеної матриці дорівнює , то при система рівнянь несумісна.
Якщо то
,.
Ранг матриці дорівнює і ранг матриці також дорівнює . У цьому випадку ранг основної матриці системи дорівнює рангу її озширеної матриці і він менший від числа невідомих, тому система рівнянь сумісна, невизначена.
Якщо відмінне від і , то ранг матриці дорівнює і ранг матриці також дорівнює . Отже, ранг основної матриці системи рівнянь дорівнює рангу її розширеної матриці і дорівнює числу невідомих. У цьому випадку система рівнянь сумісна, визначена.
Відповідь. Якщо то система рівнянь несумісна; якщо -- сумісна, невизначена; якщо відмінне від і -- сумісна, визначена.
Приклад 5. Знайти загальний розв'язок і фундаментальну систему розв'язків однорідної системи лінійних рівнянь
Розв'язання
Перетворимо основну матрицю цієї системи:
.
Останній матриці відповідає система рівнянь:
Вільними невідомими будемо вважати , і . З другого рівняння знаходимо
.
Підставляючи це значення в перше рівняння, знайдемо:
.
Отже, загальний розв'язок цієї системи рівнянь має вигляд:
Щоб дістати з загального розв'язку фундаментальну систему розв'язків, візьмемо послідовно
, , ;
, , ;
, , .
Тоді фундаментальну систему розв'язків заданої системи рівнянь складатимуть такі вектори:
,
,
.
Приклад 6. Знайти однорідну систему лінійних рівнянь для якої вектори
утворюють фундаментальну систему розв'язків.
Розв'язання
Нехай -- довільний розв'язок шуканої системи рівнянь. Тоді він є лінійною комбінацією векторів і :
.
Якщо , то
Визначимо з третього рівняння , з другого і підставимо їх в перше і четверте рівняння. Отримаємо наступну систему рівнянь:
Остання система і є однорідною системою лінійних рівнянь для якої вектори
утворюють фундаментальну систему розв'язків.
ВИСНОВКИ
В даній дипломній роботі розроблений електронний навчальний курс «Лінійна алгебра» у середовищі системи управління навчальними ресурсами MOODLE.
Даний курс, що охоплює елементи теорії векторних просторів та систем лінійних рівнянь, містить:
- основні факти теоретичного матеріалу та приклади розв'язання задач;
- ІНДЗ;
- підсумковий тест.
Курс допоможе науково-педагогічним працівникам у здійсненні диференційованого підходу при вивченні курсу лінійної алгебри, сприятиме повнішому і глибшому засвоєнню студентами навчального матеріалу, закріпленню його в пам'яті.
Використання електронного навчання та дистанційних технологій для підтримки денної форми навчання дозволяє не тільки економити час на заняттях та час викладача на перевірку різного роду завдань, але й допомагає інтенсифікувати весь процес навчання, приділити більше часу на розвиток комунікативних та творчих властивостей студентів і сприяє підвищенню ефективності самостійної роботи та її індивідуалізації.
Сподіваємось, що рекомендований навчальний курс значно полегшить самостійну навчальну діяльність студентів і фахову підготовку конкуренто-спроможних спеціалістів.
СПИСОК ВИКОРИСТАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ
1. Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. 5-е изд. -- М. Наука, 1984. -- 319 с.
2. Бугров Я.С., Никольский С.М. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. -- Наука, 2008. -- 176 с.
3. Діскант В. І. та ін. Збірник задач з лінійної алгебри та аналітичної геометрії. -- К.: Вища шк., 2009. -- 303 с.
4. Завало С.Т., Костарчук В.М., Хацет Б.І. Алгебра і теорія чисел. ч. І. К. «Вища школа», 1976. -- 384 с.
5. Завало С.Т. та ін. Алгебра і теорія чисел. Практикум. І. К. «Вища школа», 1976. -- 288 с.
6. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Линейная алгебра. -- 3-е изд. -- М.: Наука, 1980. -- 280 с.
7. Козакова Г.О. Інформаційно-програмне забезпечення дистанційної освіти: зарубіжний і вітчизняний досвід. -- К.: ВЦ «Просвіта», 2010. --233 с.
8. Курош А.Г. Курс вищої алгебри. М. «Наука», 1971. -- 548 с.
9. Нові інформаційні технології навчання в навчальних закладах України: Наук.-метод. зб. -- Одеса: Друк, 2003. -- Вип. 9, ч. 1,2. -- 246 с.
10. Сборник задач по математике для втузов/ Под ред. А.В. Ефимова, Б.П. Демидова. -- М.: Наука, 1986. -- 254 с.
11. Фадеєв Д.К., Сомінський І.С. Збірник задач з вищої алгебри. К. «Вища школа», 1971. -- 320 с.
12. Філіпова Л.Я. Організація дистанційного навчання на базі Інтернет-технологій (зарубіжний досвід). -- К.: НТІ, 2010. -- 44 с.
Размещено на Allbest.ur
Подобные документы
Означення теорії множин. Дії над множинами. Алгебра множин. Вектори і прямий добуток множин. Властивості відношень. Способи задання функції. Сукупність підстановок множини. Алгебраїчні операції та системи. Властивості рефлексивності та симетричності.
конспект урока [263,1 K], добавлен 28.06.2012Лінійні діофантові рівняння. Невизначені рівняння вищих порядків. Невизначене рівняння Ферма. Приклади розв’язання лінійних діофантових рівнянь та системи лінійних діофантових рівнянь. Алгоритми знаходження всіх цілочисельних розв’язків рівнянь.
курсовая работа [1,7 M], добавлен 29.12.2010Поняття кільця в математиці, обов'язкові умови та основні властивості, приклади, що підтверджують несуперечливість системи аксіом кільця. Сутність ідеалу по відношенню до кільця, операції над ними. Факторіальність евклідових кілець. Кільце поліномів.
курсовая работа [123,6 K], добавлен 26.04.2010Розв’язання систем лінійних рівнянь методом Жордана-Гауса. Еквівалентні перетворення системи, їх виконання як елемент методів розв’язування системи рівнянь. Базисні та вільні змінні. Лінійна та фундаментальна комбінації розв’язків, таблиці коефіцієнтів.
контрольная работа [170,2 K], добавлен 16.05.2010Поняття лінійного оператора, алгебраїчні операції над ним та базові властивості. Лінійні перетворення (оператори) із простору V в W. Матриця лінійного оператора. Перетворення матриці оператора при заміні базису. власні значення і власні вектори.
курсовая работа [452,3 K], добавлен 25.03.2011Системи лінійних рівнянь з двома змінними з параметром. Тригонометричні рівняння та системи тригонометричних рівнянь з параметрами. Лінійні та квадратні нерівності. Застосування графічних методів паралельного переносу в розв’язанні задач з параметрами.
дипломная работа [1,3 M], добавлен 16.06.2013Лінійні різницеві рівняння зі сталими коефіцієнтами. Теоретичне дослідження основних теорій інваріантних тороїдальних многовидів для зліченних систем лінійних і нелінійних різницевих рівнянь, що визначені на скінченновимірних та нескінченновимірних торах.
курсовая работа [1,3 M], добавлен 18.12.2013Означення і найпростіші властивості лінійних операторів. Контрольний приклад отримання власних значень. Матриця лінійного оператора. Опис та текст програми. Власні вектори й значення лінійного оператора. Теорія лінійних просторів та її застосування.
курсовая работа [74,8 K], добавлен 28.03.2009Історія створення теорії алгебраїчних рівнянь. Сутність системи лінійних алгебраїчних рівнянь в лінійній алгебрі. Повна характеристика методів розв'язання рівнянь: точні, ітераційні та ймовірнісні. Особливості теорем Гауса-Жордана та Габріеля Крамера.
реферат [543,7 K], добавлен 23.04.2015Системи лінійних алгебраїчних рівнянь, головні означення. Коротка характеристика головних особливостей матричного способу, методу Жордано-Гаусса. Формули Крамера, теорема Кронекера-Капеллі. Практичний приклад розв’язання однорідної системи рівнянь.
курсовая работа [690,9 K], добавлен 25.04.2013
