Рассмотрим n дифференцируемых столбцов у₍₁₎, ..., у_(n). Запишем для них равенство (3.1.12):



(3.1.13)

Введем в рассмотрение постоянный столбец . Пользуясь этим столбцом и матрицей W(x}, составленной из у_(i) по правилу (3.1.7), можно (3.1.13) записать в виде

WC = 0. (3.1.14)

Так как, согласно правилу матричного исчисления, 2° считается С = 0, если все С_i (i = 1, ..., n) равны нулю, то определение линейной зависимости и независимости у_(i), …, y_(n) можно сформулировать следующим образом.

Определение. Будем говорить, что столбцы y₍₁₎, ..., y_(n) линейно зависимы на интервале X, если существует постоянный столбец C 0 такой, что тождественно на Х имеет место (3.1.14).

В противном случае, т.е. если (3.1.14) справедливо только при С = 0, будем говорить, что y₍₁₎, ..., y_(n) линейно независимы.

Определение. Назовем ?(x) = Det W(x) определителем Вронского для y₍₁₎, ..., y_(n) .

Теперь можно сформулировать и доказать теоремы, аналогичные теоремам 1.7 - 1.9 из теории уравнения n-го порядка. Все эти доказательства записываются весьма компактно, если пользоваться введенной матричной записью, которая очень удобна и требует лишь некоторого навыка.

Теорема 3.1.4. Если решения y₍₁₎, ..., y_(n) уравнения (3.1.6) линейно зависимы на X, то ?(x) 0 на X.

Доказательство.

Имеем WC = 0, С 0. Эта запись является кратким обозначением того факта, что при каждом х величины C₁, ..., С_n удовлетворяют системе линейных алгебраических уравнений с определителем ? (x), и так как решение нетривиальное, то ? (x) = 0 при любом х X, т.е. ?(x} 0.

Теорема 3.1.5. Если ? (x) = 0 хотя бы для одного х₀ X, то, решения y₍₁₎, ..., y_(n) уравнения (3.1.6) линейно зависимы на Г.

Доказательство.

Запишем кратко доказательство этой теоремы, уже не давая дополнительных разъяснений, как в предыдущей. Возьмем x₀ X, и пусть, ? (x₀) = 0. Составим уравнение W(x₀) C = 0 относительно С. В силу ? (x₀) = 0 существует решение С О. Положим у (x) = W (x) С. Согласно теореме 3.1.3 это решение уравнения (3.1.6), причем y (x₀) = W (x₀) C = 0, а тогда, в силу теоремы единственности, y (x) 0 и, таким образом, W (х) С 0, что , означает линейную зависимость y₍₁₎, ..., y_(n) .

Теорема 3.1.6. (альтернатива). Определитель Вронского либо тождественно равен нулю, и это означает, что решения y₍₁₎, ..., y_(n) линейно зависимы, либо не обращается в нуль ни в одной точке X, и это означает, что решения y₍₁₎, ..., y_(n) линейно независимы.

Определение. Фундаментальной системой решений уравнения (3.1.6) будем называть n линейно независимых решений y₍₁₎, ..., y_(n) уравнения (3.1.6), а соответствующую им по формуле (3.1.7) матрицу W{x) будем называть фундаментальной матрицей.

На основании теоремы 3.1.5. можно дать другое (эквивалентное) определение фундаментальной матрицы.

Определение. Решение W(x) уравнения (3.1.8), для которого ?(х} отлично от нуля всюду на X, называется фундаментальной матрицей.

Теорема 3.1.7. Линейная однородная система уравнений имеет фундаментальную матрицу.

В силу теоремы 3.1.6. достаточно взять произвольную матрицу а = const с отличным от пуля определителем и задать для W начальное условие W (x₀) = a.

Теорема 3.1.8. Если W (x) - фундаментальная матрица, то любое решение у(х) уравнения (3.1.6) представимо в виде

y (x) = W (x) C, (3.1.15)

где С -- некоторый постоянный столбец.

Доказательство.

Пусть y (x₀) = y⁰. Определим С уравнением W (x₀) C = у⁰, которое разрешимо в силу ? (x₀) 0. Построим (х) = W (x) C. Так как (x_о) = W(x₀) C = y⁰, то в силу теоремы единственности у (х) (х) = W (x) C, что и требовалось.

Замечание. На языке линейной алгебры теоремы 3.1.7. и 3.1.8. означают, что, пространство решений уравнения (3.1.6) n-мерно.

Построим решение уравнения (3.1.6), удовлетворяющее условиям (3.1.4), выразив с помощью W (x) величину С через у⁰. Имеем

y(x₀) = W (x₀) C = y⁰,

откуда

С = W- ¹ (x₀) у⁰

и, следовательно,

y (x) = W (x) W- ¹ (x₀) y⁰.

Матрицу (х, х₀) = W (х) W- ¹ (х₀), являющуюся функцией двух переменных х и x₀, назовем импульсной матрицей, или матрицантом. В силу теоремы 3.1.3. (х, х₀) как функция х удовлетворяет уравнению (3.1.8). Кроме того, очевидно, что



(х, х₀) = E.

Таким образом, справедлива

Теорема 3.1.9. Решение задачи (3.1.6), (3.1.4) имеет вид

y (x) = (x, x₀) y⁰, (3.1.16)

где матрица (х, x₀) удовлетворяет по аргументу х матричному уравнению (3.1.8) и условию (х, x₀) = Е.

Неоднородное уравнение. Рассмотрим теперь неоднородное уравнение (3.1.3).

Теорема 3.1.10. Если W (х) -- фундаментальная матрица, а (х) -- частное решение неоднородного уравнения (3.1.3), то любое решение у (х) уравнения (3.1.3) представило в виде

y (x) = W (x) C + (x), (3.1.17)

где С -- некоторый постоянный столбец.

Доказательство точно такое же, как в случае уравнения n-го порядка, и мы его опускаем.

Построим частное решение (х), удовлетворяющее нулевым начальным условиям (x₀) = 0. Будем искать его в виде

(x) = W (x) C (x),

где С (x)--неизвестный столбец. Это фактически просто замена переменных. Подставляя (х) в (3.1.3), получим



W' C + W C' = AWC + f.

Так как W удовлетворяет (3.1.8), то W - AW = 0 и, следовательно, WC' = f. Отсюда C' = W- ¹ f. А так как (x₀) = W(x₀) C(x₀) = 0, то С (х₀) = 0 и, следовательно,

Таким образом,

и справедлива

Теорема 3.1.11. Частное решение (х)'уравнения (3.1.3), удовлетворяющее условию (х₀) = 0, имеет вид

(3.1.18)

где (х, ) -- импульсная матрица, или матрицант, -- решение матричного уравнения (3.1.8), удовлетворяющее условию (, ) = E.

Замечания. 1. Изложенный метод построения частного решения системы линейных уравнений фактически является вариантом метода вариации постоянных, который для одного уравнения использовался в гл. 1. п. 1.1.

2. В силу принципа суперпозиции решение у (х) задачи (3.1.3), (3.1.4) имеет вид

(3.1.19)

3.2 Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

Пусть в (3.1.6) А -- постоянная матрица,

y' = A y, А = const. (3.2.1)

В этом случае построение фундаментальной системы решений, или фундаментальной матрицы сводится к алгебраическим операциям.

Будем искать частное решение системы (3.2.1) в виде е^x, где -- неизвестный параметр, -- неизвестный постоянный столбец. Подставляя это выражение в (3.2.1), получим e^x = Ae^x. Отсюда делаем вывод, что должно быть решением алгебраической системы уравнений

(А - Е) = 0. (3.2.2)

Для того чтобы было нетривиальным решением, нужно потребовать, чтобы

Det (А - Е) = 0. (3.2.3)

Это уравнение является алгебраическим уравнением степени n и называется характеристическим уравнением уравнения (3.2.1).

Пусть ₁, …, _n - простые корпи характеристического уравнения (3.2.3). Каждому _i отвечает _(i) 0 (собственный вектор матрицы А), который находится из (3.2.2), где положено = _i. В качестве компонент _(i) можно взять, например, алгебраические дополнения к одной из строк, определителя Det (А - _iЕ).

Теорема 3.2.1. Пусть ₁, …, _n - простые корни характеристического уравнения (3.2.3) и пусть _(i) -- решение (нетривиальное) уравнения (А - _iЕ) = 0. Тогда столбцы _(i) (i = 1, ..., n) образуют фундаментальную систему решений уравнения (3.2.1).

Доказательство:

Проводится но схеме, которая была использована в гл. 2 п. 2.4. Предположим, что решения _(i) линейно зависимы:

. (3.2.4)

Отсюда имеем

Дифференцируя это равенство, приходим к соотношению типа (3.2.4), содержащему уже n - 1 слагаемых. Повторяя операцию, приходим в конце концов к равенству C_{1 (i)} = 0. Так как хотя бы одна из компонент _(i), отлична от нуля, то получаем отсюда C₁ = 0, что противоречит (3.2.4).

Обратимся к общему случаю. Пусть характеристическое уравнение (3.2.3) имеет корни ₁, …, _i кратностей m₁, ..., m_i (m₁ + ... + m_i = n). Из предыдущего ясно, что _(i) , где _(i) -- собственный вектор, отвечающий _i, будет решением уравнения (3.2.1). Каждому _i в рассматриваемом случае может отвечать несколько собственных векторов, но, вообще говоря, их число р_i m_i. Таким образом, решений вида _(i) может быть меньше n и они, следовательно, не образуют фундаментальной системы решений.

Для того чтобы выяснить, откуда взять "недостающие" решения, потребуются некоторые построения, к которым и перейдем. Пусть у - решение уравнения (3.2.1). Тогда компоненты у_i, этого решения удовлетворяют системе уравнений

a_i1 y₁ + ... + a_iny_n - Dy_i = 0, i = l, ..., n, (3.2.5)

где d -- оператор дифференцирования. Определитель Det (A - ED) M(D) представляет собой некоторый операторный многочлен n-й степени. Если вместо D подставить , то получится левая часть характеристического уравнения (3.2.3) или характеристический многочлен системы (3.2.1). Так как умножение операторных многочленов можно производить по правилу умножения обычных многочленов, то, умножая (3.2.5) на алгебраические дополнения А_ij(D) определителя Det (A - ED) (умножение понимается как умножение операторов) и суммируя по i, получаем

M (D) y_j = 0, j = l, ..., n,

а это -- дифференциальное уравнение порядка та относительно у_j, характеристический многочлен которого совпадает с характеристическим многочленом системы (3.2.1). Таким образом, справедлива следующая

Теорема 3.2.2. Каждая компонента у_j решения у системы (3.2.1) удовлетворяет уравнению n-го порядка, характеристический многочлен которого равен характеристическому многочлену системы (3.2.1).

Рассмотрим корень _k кратности m_k. Индекс k будем в нижеследующих рассуждениях опускать, так как будем иметь дело только С одним корнем. Этому корню отвечает решение у системы (3.2.1), j-я компонента которого y_j в силу теоремы 3.2.2, имеет вид

y_j = (С_1j + С_2j х + ... + С_mj x^{m - 1}) е^x,

где С_kj = const, и, таким образом,

(3.2.6)

В этом выражении, однако, поскольку компоненты у_j, не независимы, а связаны системой (3.2.5), постоянные С_kj не являются независимыми.

Оказывается, в выражении (3.2.6) число независимых констант, С_kj равно кратности m корня . Обоснованием этого факта мы займемся ниже, а пока выясним, что это дает для построения фундаментальной системы решении уравнения (3.2.1).

Обозначим свободные постоянные через C₁, ..., C_m. Подставим (3.2.6) в (3.2.1), сократим на е^x и приравняем члены с одинаковыми степенями х. Тогда получится линейная алгебраическая система m однородных уравнений с m n неизвестными C_kj, которые можно выразить линейно через свободные постоянные C₁, ..., C_m. После этого (3.2.6) можно записать в виде

у = [С₁ р₁ (х) + ... + С_m p_m (х)] e^x, (3.2.7)

где р_i (х) - столбцы, компоненты которых являются вполне определенными многочленами относительно х степени не выше m - 1.

Из (3.2.7) следует, что корню характеристического уравнения кратности m отвечают m решений вида p_i (x) e^x (i = l, ..., m). Такое построение можно проделать для каждого _k кратности m_k. В результате получим m₁ + ... + m_i, = n решений.

Ниже будет доказано, что полученные описанным способом n решений образуют фундаментальную систему решений уравнения (3.2.1).

Практически для нахождения фундаментальной системы решений рекомендуется для каждого написать выражение (3.2.6), затем подставить в (3.2.1) и из полученной указанным выше способом алгебраической системы выразить все постоя иные через свободные постоянные. То, что число свободных постоянных заранее известно и равно, кратности m корня , помогает решению этой алгебраической системы, так как это означает, что заранее известен ее ранг.

Теорема 3.2.3. Существует n линейно независимых постоянных векторов (столбцов) (k = 1, ..., s; j_k = 1, ..., q_k), удовлетворяющих соотношениям

Ae_(k1) = _k e_(k1),

Ae_(k2) = _k e_(k2) + e_(k1) k = 1, …, s; q₁ + … +q_s = n, (3.2.8)

…………………………..

причем сумма q_k, отвечающих одинаковым _k, равна m, где m - кратность корня _k характеристического уравнения (3.2.3).

В (3.2.8) через е_(k1) обозначен собственный вектор, отвечающий _k. Векторы e_(k2), ..., называются присоединенными векторами, порожденными собственным вектором e_k1. Таким образом, каждому _k отвечают q_k линейно независимых векторов, среди которых один собственный вектор и остальные присоединенные, а всем ₁, ..., _s отвечают n линейно независимых векторов. Напомним, что _k для разных k могут быть одинаковыми.

Рассмотрим _k. Ему заведомо отвечает решение у_(k1) = e_(k1) Оказывается, ему отвечает еще q_k - 1 (и всего, таким образом, q_k) решений, как утверждается следующей теоремой.

Теорема 3.2.4. Каждому _k отвечает q_k решений вида

y_(k1) = e_(k1) exp _kx,

y_(k2) = (e_(k2) + xe_(k1)) exp (_kx),

…………………………………………… (3.2.9)

Доказательство. Это нетрудно доказать непосредственной проверкой, пользуясь (3.2.8). Действительно,



Итак, каждому _k (k = 1, ..., s) отвечает q_k решений вида (3.2.9), и, таким образом, всего имеется q₁ + ... + q_s = n решений:

(3.2.10)

Теорема 3.2.5. Решения (3.2.10) образуют фундаментальную систему решений.

Доказательство. Действительно,

а согласно теореме 3.2.3 столбцы в количестве q₁ + ... + q_s = n являются линейно независимыми и, следовательно, Det W (0) 0. В силу теоремы 3.1.4 отсюда следует, что решения (3.2.10) линейно независимы, т.е. образуют фундаментальную систему решений. Вернемся теперь к прежней нумерации корней характеристического уравнения, когда нумеруются различные по величине . Каждому может отвечать несколько групп решений вида (3.2.10) по числу отвечающих этому собственных векторов, по общее число решений в этих группах равно кратности m корня . Таким образом, действительно, линейная комбинация решении, отвечающих данному , имеет вид (3.2.6), где независимых констант будет m, так как число решений типа (3.2.10), отвечающих этому , есть m. Заметим, что, как видно из (3.2.9), (3.2.10), старшая степень многочленов в (3.2.6), вообще говоря, меньше, чем т.е. m - 1. При практическом вычислении фундаментальной системы решений можно пользоваться (3.2.9), предварительно найдя все собственные и присоединенные векторы, но проще поступать, как указано выше, подставляя (3.2.6) в исходное уравнение (3.2.1) и выделяя m свободных неизвестных С_kj.



Заключение

В ходе дипломной работы была изучена и проанализирована теория теории линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. При изучение данной теории били рассмотрены следующие разделы: линейные обыкновенные уравнения первого, второго и n-го порядков; основные свойства линейного обыкновенного уравнения второго порядка и общие свойства уравнения n-го порядка; однородные и неоднородные уравнения n-го порядка и приложение в котором показаны методы решения линейных уравнений и физических задач, решаемых с использованием линейных уравнений.

По результатом данной работы можно сделать вывод, что в настоящее время разработка методов решения этих задач для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений продвинута на столько, что зачастую исследователь имеющий дело с этой задачей не занимается выбором метода ее решения, а просто обращается к стандартному алгоритму.

Подводя итог, следует заметить, что данная дипломная работа может быть использована для подготовки материалов методического пособия по этой теме.



Библиография

Бибиков Ю.Н.. Курс обыкновенных дифференциальных уравнений. - М.: Высш. Шк., 1991.-303 с.

Виленкин Н.Я., Доброхотова М.А., Сафонов А.Н. Дифференциальные уравнения. - М.: Просвещение, 1984. - 175 с.

Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление.-М.:Наука,1970.-576 с.

Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. - М.: Наука,1983.

Самойленко А.М., Кривошея С.А., Перестюк Н.А.. Дифференциальные уравнения: примеры и задачи. - М.: Высш. Шк., 1989.-383 с.

Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений.-М.:Гостехиздат,1959.

Тихонов А.Н., Васильева А.Б., Свешников А.Г. Дифференциальные уравнения. - М.: Наука, 1985.-230 с.

Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. - М.: Мир, 1970.



Приложение

I Найти общее решение уравнений:

а) y??- 7y? + 12y = 0.

Решение:

Составим характеристическое уравнение и найдем его корни

?²-7?+12=0

т.к. корни характеристическое уравнение различны, то общее решение данного уравнения имеет вид

Ответ:

б) y?? + 4y? + 13y = 0

Решение:

Характеристическое уравнение для данного уравнения имеет вид

?² - 4? +13 = 0.



т.к. корнями характеристическое уравнение являются комплексно сопряженные числа, то общее решение заданного уравнения имеет вид

y = e^?x(C₁ cos ?x +C₂ sin ?x),

где ? = - 2 и ? = 3 Откуда

y = e-^2x(C₁ cos 3x +C₂ sin 3x)

Ответ: y = e-^2x(C₁ cos 3x +C₂ sin 3x)

в) y??- 6y? + 9y = 0

Решение :

Составим характеристическое уравнение

?² - 6? + 9 = 0, (? - 3)² = 0, ?_1,2 = 3

т.к. корнями характеристическое уравнение имеет корень второй кратности, то общее решение для данного уравнения имеет вид

y = (C₁ + C₂ x) e^?x

? y = (C₁ + C₂ x) e^3x

Ответ: y = (C₁ + C₂ x) e^3x

II Найти частные решения уравнений, удовлетворяющие указаным начальным условиям:

а)y?? - 5y? + 6y = 0, y(0) =, y?(0) =1.

Найдем общее решение исходного уравнения, для этого составим характеристическое уравнение и найдем его корни



?² - 5? + 6 = 0

y = C₁e^2x + C₂e^3x

Найдем y? и значение функций y(0) и y?(0)

y? = (C₁e^2x + C₂e^3x)? = 2C₁e^2x + 3C₂e^3x

y(0) = C₁e^2?0 + C₂e^3?0 =C₁ + C₂

y?(0) = 2C₁e^2?0 + 3C₂e^3?0 = 2C₁ + 3C₂

Исходя их начальных условий составим систему двух уравнений

Подставим в формулу общего решения, вместо С₁ и С₂ их значения и найдем частное решение

y = e^2x + 0 ? e^3x = e^2x

Ответ: y = e^2x

б)y?? + 4y = 0, y= - 4, y?= 2

?² + 4 = 0 ?² = - 4?_1,2 =? 2i

y = C₁ cos 2x + C₂ sin 2x

y? (C₁ cos 2x + C₂ sin 2x)? = - 2C₁ cos 2x + 2C₂ sin 2x

y= C₁ cos+ C₂ sin= C₁ cos ?+ C₂ sin ? = C₁(-1)+C₂ ? ? = - C₁

y?= - C₁ sin+ C₂ cos= - 2C₁ ? ? +2C₂(-1) = - 2C₂

y4 cos 2x - sin 2x

Ответ: y = 4 cos 2x - sin 2x

в)y?? - 6y? + 9y = 0, y?0? = 0, y??0? = 2

?²- 6? + 9 = 0 (?-3)² = 0 ? ?_1,2 = 3.

y = (C₁ + C₂x)e^3x

y? =((C₁ + C₂x)e^3x)? = C₂e^3x + 3(C₁ + C₂x)e^3x

y ?0? = (C₁ + C₂ ? 0)e^{3 ?0}= C₁

y? ?0? = C₂e^{3 ? 0} + 3 (C₁ + C₂ ??)e^{3 ? 0} =C₂ + 3C₁

y = (0 + 2x)e^3x = 2xe^3x

Ответ: y = 2xe^3x

III. Найти общее решение следующих уравнений

y?? + 4y? +y = 4

Найдем общее решение однородного уравнения

y?? + 4y? +y = 0.

?² + 4? +1 = 0 ?_1,2 = -

Общее решение будет имеет вид



y = C₁e^?x + C₂e^?2X

y₀₀ = C₁

Общее решение неоднократного уравнения определяется формулой

y_он = y_оо+y_чн

Для нахождения общего решения неоднократного уравнения, осталось найти частное решение неоднократного уравнения

Частное решение имеет вид

y_чн = b₀

y?_чн = 0, y??_чн = 0

Подставляя в исходное уравнение значения частного решения и производных получим частное решение неоднократного уравнения, т.е.

+ 4 ? 0 + b₀ = 4 ? b₀ = 4

y_чн = 4.

y_он = С₁

Ответ: y_он = С₁

2)y?? - 6y? + 9y = x².

?² + 6? + 9 = 0 ? ?_1,2 = 3 y₀₀ = (C₁ +C₂x) e^3x

y_чн =b_o +b₁x + b₂x²

y?_чн = b₁ + 2b₂x y??_чн = 2b₂

b₂ - 6b₁ - 12b₂x + 9b₀ + 9b₁x + 9b₂x² = x²

y_чн =

y_он = (C₁ + C₂)e^3x + (3x² + 4x +2)

Ответ: y_он = (C₁ + C₂)e^3x + (3x² + 4x +2)

3)y?? +6y? +9y = 12e-^3x

?² + 6? +9 = 0 ?_1,2 = - 3

y_оо = (C₁ + C₂)e^3x

y_чн = b₀x²e-^3x

y?_чн = 2 b₀x²e-^3x- 3b₀x²e-^3x

y??_чн = 2 b₀e-^3x - 6 b₀xe-^3x - 6 b₀xe-^3x + 9 b₀x²e-^3x = 2 b₀xe-^3x - 12 b₀xe-^3x + 9 b₀x²e-^3x

9 b₀x²e-^3x - 12 b₀xe-^3x + 2 b₀xe-^3x + 12 b₀xe-^3x - 18 b₀x²e-^3x + 9 b₀x²e-^3x =12e-^3x

b₀ = 12 ? b₀ = 6

y_чн =6 x²e-^3x

y_он = (C₁ + C₂x) e-^3x +6 x²e-^3x

Ответ: y_он = (C₁ + C₂x) e-^3x +6 x²e-^3x

4)y?? +6y? - 3y = 12 cos ^3x

?² + 6? - 3 = 0 ?_1,2 = - 3 ?

y_оо=

y_чн=b₀ cos 3x + a₀ sin 3x

y?_он=-b₀ sin 3x + a₀ cos 3x, y??_чн= - b₀ cos 3x - a₀ sin 3x

- b₀ cos 3x - a₀ sin 3x - 6 b₀ sin 3x + 6a₀ cos 3x - 3b₀ cos 3x - 3a₀ sin 3x = 12 cos 3x

y_чн= - cos 3x +sin 3x

Ответ: y_чн= - cos 3x +sin 3x

5)y?? + 4y? = 4xe-^4x

?² + 4? = 0 ? = 0, ? = - 4

y_оо = C₁ + C₂e- ^4x

y_чн = x(b₀ + b₁x)e-^4x

y?_чн = b₁xe-^4x + (b₀ + b₁x)(e-^4x - 4xe-^4x) = b₁xe-^4x + b₀e-^4x - 4 b₀xe-^4x + b₁xe-^4x- 4 b₁x²e-^4x = b₀e-^4x + 2 b₁xe-^4x - 4 b₀xe-^4x - 4 b₁x²e-^4x

y??_чн = - 4b₀e-^4x + 2b₁e-^4x - 8 b₁ xe-^4x - 4 b₀e-^4x + 16 b₀xe-^4x- 8 b₁xe-^4x +

+ 16b₁x²e-^4x = - 8 b₀e-^4x + 2 b₀e-⁴ - 16 b₁xe-^4x +16b₀xe-^4x + 16 b₀x²e-^4x

y_чн = x(--x) e- ^4x = - (x + 2x²) e- ^4x

y_он = C₁ + C₂e- ^4x - e- ^4x (x + 2x²)

Ответ: y_он = C₁ + C₂e- ^4x - e- ^4x (x + 2x²)

6)y?? + y = 2x - 1 + e^5x

?² - 1 = 0 ? = ? 1 ? y_оо = C₁e^x + C₂e- ^x

y_оо = C₁ + C₂e- ^4x

y_чн = b₀ + b₁x + b₂e^5x

y?_{чн =} b₁ + 5b₂e^5x

y??_{чн =} 0 + 25 b₂e^5x

b₂e^5x - b₀ - b₁x + b₂e^5x = 2x - 1+ e^5x

y_он = C₁e^x + C₂e- ^x -2x + 1 + e^5x

Ответ: y_он = C₁e^x + C₂e- ^x -2x + 1 + e^5x

IV. Найти решения, удовлетворяющие заданным начальным условиям:

1)y?? + y = 3x,y(1) - 1,y?(1) = 0

?² - 1 = 0 ? = ? 1

y_оо = C₁e^x + C₂e- ^x

y_чн = b₀ + b₁x

y?_{чн =} b₁, y??_чн = 0

- b₀ + b₁x =3x

y_он = C₁e^x + C₂e- ^x -3x

y_чн (1) = C₁e + C₂e- ¹ -3

y?_он = C₁e^x - C₂e- ^x -3

y?_он (1) = C₁e - C₂e- ¹ -3

Ответ:

Правило отыскания частного решения линейного неоднородного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами в зависимости от вида правой части уравнения

вид правой части	Корни характеристического уравнения	частного решения уравнения
Аm(x) - многочлен степени m	Число 0 не является корнем характеристического уравнения	Z = Pm(x)
	Число 0 является корнем характеристического уравнения кратности s	Z = xs Pm(x)
Am(x) ? e?x	Число Х не является корнем характеристического уравнения	Z = Pm(x)e?x
	Число Х является корнем характеристического уравнения кратности s	Z = Pm(x) xse?x
Am(x) cos ?(x) + + Bm(x) sin ?(x)	Число ? ?i не является корнем характеристического уравнения	Z =Pm(x) cos ?x + Qm(x) sin ?x
	Число ? ?i является корнем характеристического уравнения кратности s	Z = xs(Pm(x) cos ?x + + Qm(x) sin ?x)
e?x (Am(x) cos ?x + + Bm(x) sin ?x)	Число ? ? i ? не является корнем характеристического уравнения	Z = e?x (Pm(x) cos ?x + Qm(x) sin ?x)
	Число ? ? i ? является корнем характеристического уравнения кратности s	Z = e?x (Pm(x) cos ?x + Qm(x) sin ?x) xs

V Задача. Узкая длинная трубка вращается с постоянной угловой скоростью ? вокруг перпендикулярной ей вертикальной оси. В начальный момент на расстоянии ?_? от оси внутри трубки находится шарик массы m. Считая, что в начальный момент скорость шарика относительно трубки была ровна нулю, найти закон движения шарика относительно трубки.

Решение:

Направим ось координат ?x по оси трубки, приняв точку ? за начало. Обозначим через x = x(1) координату шарика (точку М) в момент времени t. Так как по условию шарик движется по трубке без трения, то на него действует только центробежная сила f_c = m?²x. Поэтому по второму закону Ньютона для относительного движения имеем mx?? =m?x² или x?? - ?²x = 0.

К этому уравнению присоединим начальные условия:

x (t₀) = a₀, x?(t₀) = 0

Нормальная фундаментальная система решений уравнения имеет вид:

Использовав её, получим

x(t) = a₀ ch ? (t - t₀)

Ответ: x(t) = a₀ ch ? (t - t₀)

VI Задача. Один конец пружины закреплен неподвижно, а к другому прикреплен груз массы m, на который действует периодическая возмущающая сила H sin (?t + ?), направленная по вертикали. При отклонении груза на расстояние x от положения равновесия пружина действует на него с силой kx (упругая сила пружины), направленной к положению равновесия; при движении груза со скоростью ? сила сопротивления среды ровна b? (H > 0,? > 0, k > 0, 0 < b < m, ? - постоянные). Найти движение груза в установившемся режиме и частоту вращающийся силы ?_рез (резонансную частоту), при которой амплитуда колебаний груза в установившимся режиме является наибольшей. Найти эту амплитуду.

Решение:

Пусть x = x(t) - отклонение груза от положения равновесия в момент времени t. Согласно второму закону Ньютона, , от суда для определения для определения закона движения x = x(t) груза получаем линейное неоднородное уравнение вида:

Поскольку p > 0, q > 0, а установившиеся движение груза существует и описывается решением данного уравнения вида:

Частоту ?_рез, при которой амплитуда А(?) колебаний груза в установленном режиме достигает наибольшего значения, можно найти из условия минимума функций

?(?) = (q -?²)² + p²?². Имеем

??(?) = - 4? (q - ?²)² +2p²? = 0, откуда

?_рез =



амплитуда колебаний груза при резонансе такова:

Ответ:

Пример: Найти фундаментальную систему решений

y₁ = 4y₁ - y₂,y₂ = 3y₁ + y₂ - y₃,y₃ = y₁ + y₃. (1)

Решение:

Характеристическое уравнение, отвечающее этой системе, имеет корень ₁ = 2 кратности m₁ = n = 3.

(2)

Подставляя его в (1), сокращая на е^2x и приравнивая члены с одинаковыми степенями x, получим следующие 9 уравнений для определения 9 коэффициентов:

(3)



Заранее известно, что ранг этой системы равен 6 и свободных неизвестных 3.

Записывая определитель этой системы, расположив неизвестные в порядке a₀, b₀, с₀, a₁, b₁, с₁, a₂, b₂, с₂, легко видеть, Что правый верхний определитель 6-го порядка отличен от нуля и равен, очевидно, произведению диагональных элементов, т.е. 8, так как справа от главной диагонали -- нули. Следовательно, в качестве свободных неизвестных можно взять a₀, b₀, с₀.

Первая группа уравнении (3) уже дает выражения для a₁, b₁, с₁, через a₀, b₀, с₀, а подставляя это во вторую группу уравнений" (3), получим

Третья группа уравнений (3) обращается автоматически в тождество.

Подставляя полученные выражения в (2) и приводя его к виду (3.2.7), будем, иметь

(4)

Здесь a₀, b₀, с₀ -- произвольные постоянные (можно ид обозначить C₁, С₂, С₃, как в (3.2.7), векторы р₁(х), р₂(х), р₃(х) усматриваются в правой части (4). Таким образом, получено решение системы (3.2.1) в виде линейной комбинации трех линейно независимых решений p_i (x) e^2x (i = 1, 2, 3).

Размещено на Allbest.ru