Геометричні системи Келі-Клейна

Проте Клейн неодноразово зауважував, що справа зовсім не лише в тому, щоб перерахувати можливі системи; потрібно дійсно побудувати геометрію для кожної з цих систем, встановити її аксіоматику, з цієї аксіоматики дедуктивно вивести саму геометрію кожної системи і її метрику. Але це в необхідному об'ємі ще не виконано і на теперішній час.

Література

1.Гильберт Д., Основания геометрии м. - л., Гостехиздат, 1948.

2.Костип В.И.,Основания геометрии м. - л., Гостехиздат, 1946.

3.Несторович Н.М., Геометрические построения в плоскости Лобачевського. м. - л., Гостехиздат, 1951.

4.Смогоржевський А.С., Геометрические построения в плоскости Лобачевського. м. - л., Гостехиздат, 1951.

5.Глаголев Н.А., Проэктивная геометрия. м. - л., ОНТИ, 1936.

6.Эйзенхарт А.П., Риманова геометрия. м. - л., ИЛ., 1948.

7.Рошевський П.К., Введение в риманову геометрию и тензорный аналіз. м. - л., ОНТИ, 1936.

8.Букреев Б.А., Планиметрия Лобачевського в аналитическом изложения. м. - л., Гостехиздат, 1951.

9.Шатуповский С.О., Введение в анализ. Одесса, Матерес, 1923.

10.Дубров Я.С., Векторное исчиление. ч., м. - л., Гостехиздат, 1950.

11.Каган В.Ф., Основы теории поверхностей. тт. 1, 2, м. - л., Гостехиздат, 1947, 1948.

Додатки

Додаток 1

Історична довідка

Фелікс Клейн відомий за його роботу в неевклідової геометрії, та за роботу зв'язку між геометрією і теорія груп. Він народився 25 квітня 1849 і насолоджувався вказавши, що кожен день, місяць і рік був квадрат простого числа. Батько Клейна був секретарем глави уряду. Існуть барвисті описи народження Фелікса в його некролог у "Працях Королівського товариства: Без, гармати гриміли на барикадах піднятих повсталого проти ненависних правителів Пруссії. У рамках, хоча все було підготовлено для польоту, не було думки вильоту; з цієї ночі народився син, на корму секретаря Пруссії. Цей син був Фелікс Клейн. Революція проти пруссаків, в результаті яких такі драматичні народження для Фелікса Клейна, був абсолютно пригнічений до літа 1849 року.

Клейн поступив до гімназії в Дюссельдорфі. Отримавши диплом, він вступив до Боннський університет і вивчав математику і фізику протягом 1865-1866. Він почав свою кар'єру з наміром стати фізиком. Ще навчаючись в університеті Бонна, він був призначений на посаду лаборанта в Плюккер в 1866 році. Плюккереві інтереси досить міцно вкоренилася в геометрії. Клейн одержав докторський ступінь, якою керував Плюккер з Університету Бонна в 1868 році, з дисертацією Про групи перетворень. Однак цього року Клейн одержав доктора наук. Плюккер помер, залишивши свою головну працю з основ геометрії. Клейн був очевидна особа для завершення другої частини Плюккера і ця робота його познайомила з Клебшом. Клебш переїхав до Геттінген, в 1868 році і протягом 1869, Клейн зробив відвідувань в Берліні, Парижі та Геттінгені. У липні 1870 Клейн був у Парижі, коли Бісмарк, прусський канцлер, опублікував провокаційні повідомлення, спрямовані на гнів французького уряду. Франція оголосила війну Пруссії 19 липня, і Клейн відчув він не міг більше залишатися в Парижі і повернувся. Потім, протягом короткого періоду він зробив військову службу, був санітаром до свого призначення лектора в Геттінгені на початку 1871 року.

Клейн був призначений професором в Ерланген, в Баварії на півдні Німеччини, у 1872 році. Він рішуче підтримує Клебша, які розглядали його як провідного математика свого часу. Клейн хотів побудувати школу в Ерланген, де було лише кілька студентів, але йому це не вдалося тому він був радий запропонованому місці в Мюнхені в 1875 році. Там він і його колега Брілл, викладав курси для великого числа студентів-відмінників і великий талант Клейна в навчанні було повністю виражено. Серед студентів, що Клейн вчив в той час як у Мюнхені були Гурвіца, фон Дейка, Рон, Рунге, Планка, Бианки і Річчі-Курбастро.

Після п'яти років в Мюнхені, Клейн був призначений на кафедру геометрії в Лейпцигу. Разом із колегами, талановитими молодими викладачами, у тому числі фон Дейка, Рон і Енгель. З 1880 до 1886 , що Клейн провів у Лейпцигу багато часу, де докорінно змінив своє життя. Клейн пішов на кафедру в Геттінгенському університеті в 1886 році. Він викладав у Геттінгені, поки не вийшов на пенсію у 1913, але тепер він прагне до відновлення як провідного дослідницького центру математики у світі. Свою роль як лідера геометричній школі в Лейпцігську, був переведений в Геттінгену. У Геттінгені викладав широкий вибір курсів, головним чином, на рубежі математики і фізики, таких, як механіка і теорія потенціалу.

Клейном був створений дослідний центр в Геттінгені який повиннен був служити в якості моделі для кращого математично науково-дослідницького центра по всьому світу. Він вносив на щотижневих нарадах обговорення математичних читальний зал з математичної бібліотеки. Клейн запросив Гільберта з Кенігсберга, щоб приєднатися до його дослідницької групи в Геттінгені в 1895 році. Клейн подав у відставку у зв'язку з поганим здоров'ям в 1913 році. Проте він продовжував викладати математику в своєму будинку в роки Першої світової війни. Вклад Клейна в геометрію стало такою ж невід'ємною частиною нашої сучасної математичної думки, що це нам важко зрозуміти, новизну отриманих результатів.

Під час перебування в Геттінгені в 1871 році Клейн зробив великі відкриття відносно геометрії. Він опублікував два документи з неевклідової геометрії, в якій він показав, що можна було розглянути питання про геометрії Евкліда і неевклідової геометрії, як особливі випадки проективної поверхні з конкретними конічними перетинами. Це світліло про те, що неевклідова геометрія була послідовною, якщо і геометрія Евкліда була послідовною. Той факт, що в неевклідової геометрії, в той час ще були суперечливі теми зараз зникли. Його статус був зроблений на основі до ідентичних геометрії Евкліда. Келі ніколи не приймав ідеї Клейна вірячи своїм аргументам кругової геометриї.

Ці перетворення відігравали важливу роль у сучасній математиці і Клейн показав, як істотні властивості даної геометрії можуть бути представлені групою перетворень, які зберігають ці властивості. Таким чином, визначена програма геометрії з тим щоб вона включає як геометрію Евкліда так і неевклідову геометрію.

Також клейн розглянув рівняння ступеня вище 4 і була особливо зацікавленій у використанні трансцендентних методів для вирішення загальних рівнянь п'ятого степеня.

Він розробив теорію автоморфних функцій, що з'єднують алгебраїчні і геометричні результати, це він опублікував у своїй книзі, виданої 1884 р. Однак Пуанкаре почав публікувати виклад його теорії автоморфних функцій, в 1881 році і, як пояснюється це призвело до конкуренції між ними.

Повинні також зазначити, пляшку Клейна, односторонньо закритою поверхнею імені Клейна. Пляшка Клейна не може бути побудована в евклідовому просторі. Краще за все, зображено у вигляді циліндра. Однак це не є неперервною поверхнею в тривимірному просторі. Але можна побудувати пляшку Клейна в неевклідовому просторі.

У 1890 Клейн зацікавився математичною фізикою, хоча протягом всієї своєї кар'єри він показав, що він ніколи не був далекий від цієї області. Виходячи з цього інтересу, він написав важливу роботу по гіроскопа з Зоммерфельда.

Клейн був обраний головою Міжнародної комісії з математичного Навчання в Римі Міжнародний математичний конгрес 1908 року. Під його керівництвом німецького відділення комісія опублікувала багато томів на викладання математики на всіх рівнях в Німеччині.

Клейн був обраний членом Королівського товариства в 1885 році і отримав медаль Коплі Товариства в 1912 році. Лондонське математичне товариство нагородило його своєю медолю де Моргана у 1893 році. Помер Ф.Клейн в 1925році, 22травня.

Додоток2

Задача 1. Основою піраміди є рівнобедрений прямокутний трикутник з гіпотенузою . Бічне ребро перпендикулярне до площини основи і дорівнює 1. Знайти величину кута і відстань між мимобіжними прямими, одна з яких проходить через точку і середину ребра , а друга - через точку і середину.

Розв'язування.

Рис.

Позначимо через - середину, через - середину.

Тоді та - мимобіжні прямі, відстань і кут між якими і треба знайти за умов: , , ,

Проведемо через точку пряму ||, а через точку пряму b|| (у площині основи).

- точка перетину прямих а та b, - точка перетину прямих а та.

Згідно означення кута між мимобіжними прямими, менший з кутів та і буде шуканим.

- кут ?. За умовою - медіана рівнобедреного трикутника, але |||| гострий кут прямокутного ? - шуканий.

З ?: , .

З ?: , , де - за умовою.

З ?: ,тоді

Тепер знайдемо відстань між вказаними прямими. Очевидно, що в силу побудови, шукана відстань буде дорівнювати відстані від точкидо площини (адже || || ). Для знаходження цієї відстані розглянемо тетраедр в якому - шукана відстань і висота.

Враховуючи, що ,

маємо , .

Відповідь: 60о та . Задача2. В правильній трикутній призмі см, см. Знайти відстань між прямими та , де - середина ребра .

Рис.

Розв'язування

Оберемо систему координат так, щоб початок співпав з вершиною , вісь ординат містила ребро , вісь аплікат - ребро , а вісь абсцис проведемо паралельно медіані Д.

Визначимо координати точок у обраній системі координат, враховуючи, що - середина сторони , - медіана правильного трикутника

, ,

.

Проведемо || , тоді || і.

Запишемо рівняння площини , користуючись схемою.

За відповідною формулою маємо

Відповідь.

Размещено на Allbest.ru