2

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ

ПО ДИСЦИПЛИНЕ

«ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА»

ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ СТУДЕНТОВ ЭКОНОМИЧЕСКИХ СПЕЦИАЛЬНОСТЕЙ ВСЕХ ФОРМ ОБУЧЕНИЯ

1. Программа курса «теория вероятностей и математическая статистика»

Раздел I. Теория вероятностей.

Тема 1. Основные понятия теории вероятностей. Предмет курса.

Предмет курса, его содержание. Роль и место курса как теоретической базы вероятностно - статистического моделирования, основ курсов "Математическое программирование", "Эконометрия", "Экономический риск и методы его измерения" и др.

Классификация событий: достоверные, невозможные, случайные. Понятие Элементарной и сложной случайных событий, простор элементарных событий; операции над событиями. Классическое определение вероятности случайного события. Элементы комбинаторики в теории вероятностей и следствия из них; геометрическая вероятность, статистическая вероятность.

Тема 2. Зависимые и независимые случайные события. Основные формулы умножения и сложения вероятностей.

Понятия зависимой и независимой случайных событий. Условная вероятность и ее особенности. Формулы умножения вероятностей для зависимых и независимых случайных событий. Использование формул умножения вероятностей для оценки надежности систем. Формула полной вероятности. Формула Бейеса.

Тема 3. Повторные независимые испытания по схеме Бернулли.

Определение повторных независимых испытаний. Формула Бернулли для вычисления вероятности и наивероятнейшего числа. Асимптотические формулы для формулы Бернулли (локальная и интегральная теоремы Муавра - Лапласа). Использование интегральной теоремы. Формула Пуассона для маловероятных случайных событий.

Тема 4. Одномерные случайные величины и их характеристики.

Определение случайной величины. Дискретные и непрерывные случайные величины и их законы распределения. Функция распределения вероятностей, ее свойства. Числовые характеристики с.в.: математическое ожидание, дисперсия и их свойства, среднее квадратическое отклонение, мода, медиана, начальные и центральные моменты, асимметрия и эксцесс. Числовые характеристики среднего арифметического n независимых с.в.

Тема 5. Многомерные случайные величины и их свойства.

Определение многомерной с.в. и ее закон распределения. Система двух дискретных с.в., числовые характеристики системы, корреляционный момент, коэффициент корреляции и его свойства. Функция распределения вероятностей, ее свойства. Числовые характеристики системы двух непрерывных с.в. Условные законы распределения и их числовые характеристики. Определение корреляционной зависимости. Система n с.в., числовые характеристики системы, корреляционная матрица, нормированная корреляционная матрица.

Тема 6. Функции случайных величин.

Определение функции случайных величин. Функция дискретного случайного аргумента и ее числовые характеристики. Функция непрерывного случайного аргумента и ее числовые характеристики. Функции двух случайных аргументов. Определение функции распределения вероятностей для функции двух случайных аргументов.

Тема 7. Основные законы распределения целочисленных случайных величин.

Определение целочисленной с.в. Биноминальный, пуассоновский, геометрический и равномерный законы распределения, функции и числовые характеристики для этих законов. Гипергеометрический закон.

Тема 8. Основные законы распределения непрерывных случайных величин.

Определение характеристической функции и ее использование в теории вероятностей. Нормальный закон распределения и его значение в теории вероятностей. Логарифмический нормальный закон. Гамма - распределение. Экспоненциальный закон и его использование в теории надежности, теории очередей. Распределение Вейбула. Равномерный закон. Распределение . Распределение . Распределение Стьюдента. Распределение Фишера.

Тема 9. Предельные теоремы теории вероятностей.

Неравенство Чебышева и его значение. Теорема Чебышева. Теорема Бернулли. Центральная предельная теорема теории вероятностей (теорема Ляпунова) и ее использование в математической статистике.

Тема 10. Элементы теории случайных процессов.

Определение случайного процесса и классификация случайных процессов. Законы распределения и основные характеристики. Поток событий и свойства. Поток событий Пальма. Пуассоновский поток и его свойства. Формула Пуассона для наипростейшего потока (потока Пуассона). Поток Эрланга. Марковские процессы. Цепи Маркова с дискретными состояниями. Однородные Марковские цепи и их классификация. Стационарные вероятности для регулярных цепей Маркова. Использование однородных цепей Маркова для оценки эффективности функционирования систем. Элементы теории массового обслуживания (теории очередей). Математическая модель для наипростейшей системы обслуживания.

Раздел II. Математическая статистика.

Тема 11. Элементы математической статистики. Выборочный метод.

Генеральная и выборочная совокупности. Статистическое распределение выборки. Гистограмма и полигон статистических распределений. Числовые характеристики: выборочная средняя, дисперсия выборки, среднее квадратичное отклонение, мода и медиана, для дискретных и интервальных статистических распределений выборки, эмпирические начальные и центральные моменты, асимметрия и эксцесс.

Тема 12. Статистические оценки параметров генеральной совокупности. Статистические гипотезы.

Определение статистической оценки. Точечные статистические оценки: смещенные и несмещенные, эффективные и состоятельные. Точечные несмещенные статистические оценки для генеральной средней и генеральной дисперсии, исправленная дисперсия. Интервальные статистические оценки. Точность и надежность оценки, определение доверительного интервала. Построение доверительных интервалов для генеральной средней с известным и неизвестным . Построение доверительных интервалов для генеральной дисперсии и генерального среднего квадратичного отклонения. Определение статистической гипотезы. Нулевая и альтернативная, простая и сложная. Ошибки первого и второго рода. Статистический критерий. Критическая область, область принятия нулевой гипотезы, критическая точка. Методика построения правосторонней, левосторонней и двусторонней критических областей. Проверка правдивости нулевой гипотезы нормального закона распределения. Признаки генеральной совокупности. Проверка статистических гипотез про равенство двух генеральных средних и двух дисперсий, признаки которых имеют нормальные законы распределения. Эмпирическая и теоретическая частоты. Критерий согласия Пирсона. Критерий согласия Смирнова.

Тема 13. Элементы дисперсионного анализа.

Модель эксперимента. Однофакторный анализ. Таблица результатов наблюдений. Общая дисперсия, межгрупповая и внутригрупповая дисперсии. Оценки дисперсий. Общий метод проверки влияния фактора на признак способом сравнения дисперсий. Понятие о двухфакторном дисперсионном анализе.

Тема 14. Элементы теории регрессии и корреляции.

Функциональная, статистическая и корреляционная зависимости. Уравнение парной регрессии. Свойства статистических оценок параметров парной функции регрессии. Выборочный коэффициент корреляции и его свойства. Доверительный интервал для линии регрессии. Коэффициент детерминации. Множественная регрессия, определение статистических оценок для параметров линейной множественной функции регрессии. Коэффициент корреляции и его свойства. Нелинейная регрессия. Определение статистических оценок для нелинейной функции регрессии.

2. Методические указания

Предмет теории вероятностей

Всякое действие, явление, реализуемое при определенном комплексе условий называют испытанием.

Результат испытания называют событием.

Пример. Брошена монета - испытание;

Появление герба - событие;

События обозначают заглавными буквами латинского алфавита: А, В, …

Наблюдаемые нами события можно подразделить на следующие три вида:

Достоверные;

Невозможные;

Случайные;

Достоверным называют событие, которое обязательно произойдет, если будет осуществлена определенная совокупность условий S.

Невозможным называют событие, которое заведомо не произойдет, если будет осуществлена определенная совокупность условий S.

Случайным называют событие, которое при осуществлении совокупности условий S может либо произойти, либо не произойти.

Пример. Брошена игральная кость - испытание;

Выпадение 4^х очков - событие; какое? - случайное;

Выпадение не больше 6^и очков - событие; какое? - достоверное;

Выпадение 10^и очков - событие; какое? - невозможное.

Каждое случайное событие, в частности - выпадение герба, есть следствие действия очень многих случайных причин (сила, с которой брошена монета, форма монеты, сплав, из которого она сделана и др.). Невозможно учесть влияние на результат всех этих причин, поскольку число их очень велико и законы их действия неизвестны. Поэтому теория вероятностей не ставит перед собой задачу предсказать, произойдет единичное событие или нет, - она просто не в силах это сделать.

По-иному обстоит дело, если рассматриваются случайные события, которые могут многократно наблюдаться при осуществлении одних и тех же условий S, т.е. если речь идет о массовых однородных случайных событиях. Оказывается, что достаточно большое число однородных случайных событий, независимо от их конкретной природы, подчиняется определенным закономерностям, а именно - вероятностным закономерностям. Установлением этих закономерностей и занимается теория вероятностей.

Предметом теории вероятностей является изучение вероятностных закономерностей массовых однородных случайных событий.

Знание закономерностей, которым подчиняются массовые случайные события, позволяет предвидеть, как эти события будут протекать.

Например, нельзя наперед определить результат одного бросания монеты, но можно предсказать, причем с небольшой погрешностью, число появлений герба, если монета будет брошена достаточно большое число раз. При этом предполагается, конечно, что монета бросается в одних и тех же условиях.

Например, то, что застрахованный объект (дом, домашнее имущество и т.п.) будет уничтожен в результате стихийного бедствия, - дело случая, Чем же тогда страховые органы руководствуются в своей работе? Оказывается, что если о будущем определенного застрахованного объекта сказать ничего нельзя, то о состоянии большого их числа можно почти наверняка сказать многое.

Виды случайных событий

События называют несовместными, если появление одного из них исключает появление других событий в одном и том же испытании.

Пример. Монета брошена 1 раз. События: А - выпал герб и В - выпала решка несовместные.

Брошена игральная кость. События: А - выпала 1, В - выпала 2, С - выпала 3 несовместные.

События называют совместными, если появление одного из них не исключает появление других событий в одном и том же испытании.

Пример. Брошена игральная кость. События: А - выпала 4, событие В - выпало четное число совместные.

События называют единственно возможными, если появление в результате испытания одного и только одного из них является достоверным событием.

Пример. Стрелок произвел выстрел по цели. События: А - попадание в цель, В - промах единственно возможные в данном испытании.

События называют равновозможными, если есть основание считать, что ни одно из этих событий не является более возможным, чем другие.

Пример. Брошена игральная кость. Равновозможные события: А - выпала 3 и В - выпала 5; или С - выпало четное число и Д - выпало нечетное число очков.

Совокупность всех единственно возможных событий испытания называют полная группа событий.

Пример. Стрелок произвел 2 выстрела.

Полная группа событий: ; где

Событие - промах;

Событие - одно попадание;

Событие - два попадания;

Противоположными называют два единственно возможных события образующих полную группу событий.

Обозначение: и ;

Пример. Монета брошена 1 раз. События: - выпал герб и - выпала решка противоположные.

Брошена игральная кость. События: - выпало четное число очков и - выпало нечетное число очков противоположные.

События: - выпала 1 и - не выпала 1 противоположные.

Операции над событиями

Суммой конечного числа событий называют новое событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из них.

(Суммой событий А и В называют событие состоящее в появлении или события А или события В, или обоих событий.);

Логический принцип: или - или.

Обозначение: А+В

Пример. Событие А - попадание в круг, а событие В - попадание в квадрат;

Тогда их сумма А+В заключается в попадании или в круг или в квадрат

2

Произведением конечного числа событий называют новое событие, состоящее в том, что произойдут все эти события.

(Произведением двух событий А и В называют событие, состоящее и в появлении события А и в появлении события В).

Логический принцип и - и.

Обозначение: АВ

Пример. Событие А - попадание в круг, а событие В - попадание в квадрат;

Тогда их произведение АВ заключается в попадании в общую часть круга и квадрата.

Классическое определение вероятности

Вероятность является одним из основных понятий теории вероятностей. Существует несколько определений этого понятия. Рассмотрим определение, которое называют классическим.

Каждый из возможных результатов испытания, т.е. каждое событие, которое может наступить в испытании, назовем элементарным исходом.

Те элементарные исходы, при которых интересующее нас событие наступает, назовем благоприятствующими этому событию.

Вероятностью события А называют отношение числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех единственно возможных и равновозможных исходов испытания.

;

где - число элементарных исходов, благоприятствующих событию ;

- число всех возможных элементарных исходов испытания.

Вероятность есть число, характеризующее возможность появления события.

Пример. В урне содержится 6 одинаковых, тщательно перемешанных шаров, причем из них - красные, - синие и - белый. Из урны наудачу вынимают один шар. Какова вероятность того, что извлеченный шар: а) красный; б) синий; в) белый?

Решение. а) Пусть событие - извлекли красный шар.

Число благоприятствующих событию исходов, (т.к. в урне красных шара);

Число возможных исходов n=6 (т.к. всего 6 шаров);

;

б) Пусть событие - извлекли синий шар:

;

в) Пусть событие - извлекли белый шар:

;

Пример. Брошена игральная кость. Найти вероятность того, что на верхней грани появится:

а) число «»; б) четное число; в) число «»; г) не более 6^и очков.

Решение. При бросании игральной кости на верхней грани может появится одна из следующих цифр

а) Пусть событие - на верхней грани появится число «».

Число благоприятствующих событию исходов, (выпадет );

Число возможных исходов n=6 (т.к. всего 6 разных цифр);

;

б) Пусть событие- на верхней грани появится четное число.

Число благоприятствующих событию исходов, (выпадет );

Число возможных исходов n=6.

;

в) Пусть событие - на верхней грани появится число «».

Число благоприятствующих событию исходов, (т.к. не выпадет);

.

г) Пусть событие - на верхней грани появится не более 6^и очков.

Число благоприятствующих событию исходов, (т.к. любое выпавшее число не превышает );

.

Свойства:

Вероятность достоверного события равна единице;

Вероятность невозможного события равна нулю;

Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между нулем и единицей ;

Наряду с вероятностью, к основным понятиям теории вероятностей относится относительная частота.

Относительной частотой события называют отношение числа испытаний, в которых событие появилось, к общему числу фактически произведенных испытаний.

,

где - число появления события;

- общее число испытаний.

Вероятность вычисляют до опыта, а относительную частоту - после опыта.

Пример. По цели произвели 24 выстрела, причем было зарегистрировано 19 попаданий. Относительная частота поражения цели .

Геометрическая вероятность

Геометрическое определение вероятности появилось, благодаря попытке отказаться от конечности m и n.

Пусть на плоскости имеется некоторая область G и в ней содержится другая область g. Требуется найти вероятность того, что точка, взятая наудачу в области G, попадет в область g.

При этом выражению «точка, взятая наудачу в области G» придается следующий смысл: эта точка может попасть в любую точку области G.

Вероятность попадания точки в какую либо область G пропорциональна мере (mes) этой части (длине, площади, объему и т.д.) и не зависит от ее расположения и формы:

;

(геометрическое определение вероятности).

Пример. Круглый диск радиуса R разбит на два сектора. Длина дуги одного из них (заштрихованного) равна радиусу R. По быстро вращающемуся диску произведен выстрел. Найти вероятность попадания в этот сектор.

Решение.

Событие А - попадание в сектор.

В данном случае, в качестве меры выступает площадь;

, где - площадь круга; - площадь сектора.

;

площадь кругового сектора соответствующего центральному углу в радиан: ;

длина дуги, соответствующей центральному углу в радиан: ;

По условию: рад.

.

Т.о. .

Пример. (задача о встрече). Два студента А и В условились встретится в определенном месте во время перерыва между 13ч и 13ч 50мин. Пришедший первым ждет другого в течение 10 мин, после чего уходит. Чему равна вероятность их встречи, если приход каждого из них в течение указанных 50мин. может произойти наудачу и моменты прихода неизвестны.

Решение. Обозначим момент прихода студента А через x, а студента В через y.

Для того чтобы они встретились, необходимо и достаточно, чтобы .

Изобразим x и y как декартовы координаты на плоскости, а в качестве масштаба выберем 1 минуту.

Всевозможные исходы изобразятся точками квадрата со стороной 50:

;

Исходы, благоприятствующие встрече, - точками заштрихованной области.

;

Откуда

.

Аксиомы теории вероятностей

Аксиома 1.

Каждому событию соответствует определенное число , удовлетворяющее условию , и называемое его вероятностью.

Аксиома 2.

Вероятность достоверного события равна единице.

Аксиома 3.

Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме их вероятностей.

Аксиома 3^*.

Вероятность суммы конечного или бесконечного множества несовместных событий равна сумме их вероятностей:

.

Элементы комбинаторики

Формулы комбинаторики составляют теоретическую базу при использовании классического определения вероятности, которое в прикладных задачах играет большую роль.

В зависимости от правил составления можно выделить три типа комбинаций:

Перестановки;

Размещения;

Сочетания;

I. Перестановки.

Комбинации из n элементов, которые отличаются друг от друга только порядком элементов, называют перестановками.

Обозначаются символом ;

;

Пример. В соревновании участвовало 4 команды, сколько существует вариантов распределить места между ними.

Решение. Количество вариантов распределения четырех команд по местам - равно числу перестановок из четырех элементов: .

Пример. В ящике пять одинаковых пронумерованных кубиков. Наудачу по одному извлекают все кубики из ящика. Найти вероятность того, что номера извлеченных кубиков появятся в возрастающем порядке.

Решение. Обозначим событие, состоящее в том, что номера извлеченных кубиков появятся в возрастающем порядке.

Благоприятствует событию только один исход, (из всех возможных комбинаций номеров только одна с порядком возрастания номеров).

Общее число возможных исходов - количество комбинаций из номеров, .

Искомая вероятность: .

Размещения

Комбинации из n элементов по k элементов, которые отличаются друг от друга или самими элементами, или порядком элементов называют размещениями.

Обозначаются символом

- количество всех имеющихся элементов;

- количество элементов в каждой комбинации; .

;

Пример. Сколько существует вариантов размещения призовых мест, если в розыгрыше участвуют команд?

Решение. Необходимо просчитать число возможных комбинаций извлеченных из элементов и включающих по элемента (причем {I-«Таврия», II-«Динамо», III-«Спартак»} и {I-«Динамо», II-«Таврия», III-«Спартак»}- различные комбинации). Используем число размещений из элементов по :

.

Пример. Из пяти карточек с буквами О, П, Р, С, Т наугад одну за другой выбирают три и располагают в ряд в порядке появления. Какова вероятность того, что получится слово «ТОР»?

Решение. Обозначим событие, состоящее в том, что получится слово «ТОР».

Благоприятствует событию только один исход, (комбинация букв «ТОР»).

Общее число возможных исходов - равно числу способов, которыми можно отобрать карточки из имеющихся , получая при этом комбинации букв отличающиеся либо самими буквами (СОР - ТОР), либо их порядком (РОТ - ОРТ). Оно определяется числом размещений из элементов по :

.

Искомая вероятность:

.

Сочетания

Сочетаниями называют все возможные комбинации из n элементов по k элементов, которые отличаются друг от друга по крайней мере хотя бы одним элементом.

Обозначаются символом

- количество всех имеющихся элементов;

- количество элементов в каждой комбинации; .

;

Пример. Сколькими способами можно выбрать студентов, из группы численностью человек.

Решение. Необходимо просчитать число возможных комбинаций извлеченных из 30 элементов и включающих по элемента (причем комбинации: {Пархоменко, Сергиенко, Божок} и {Сергиенко, Божок, Пархоменко}- одинаковые комбинации). Используем число размещений из элементов по :

.

Пример. В урне белых и красных шара. Из урны наудачу извлекают шара. Найти вероятность того, что извлеченные шары - белые.

Решение. Обозначим событие, состоящее в том, что все 3 шара будут белыми.

Всего в урне шаров.

Общее число возможных элементарных исходов испытания равно числу способов, которыми можно извлечь шара из :

.

Число исходов благоприятствующих событию равно числу способов, которыми можно отобрать белых шара из имеющихся белых:

.

Искомая вероятность равна:

.

Пример. В ящике имеется одинаковых шаров. Причем из них окрашены в синий цвет, а остальные белые. Наудачу извлекают шаров. Найти вероятность того, что среди них синих.

Решение. Обозначим событие, состоящее в том, что среди извлеченных шаров синих.

Обще число возможных элементарных исходов испытания равно числу способов, которыми можно извлечь шаров из , т.е.

.

Подсчитаем число исходов, благоприятствующих событию : синих шара можно взять из имеющихся синих шаров способами; при этом остальные шара должны быть белыми, взять же белых шара из имеющихся можно способами. Следовательно, число благоприятствующих исходов равно:

.

Искомая вероятность:

.

В общем случае, для решения задач типа: В партии из деталей имеется стандартных. Наудачу отобраны деталей. Найти вероятность того, что среди отобранных деталей ровно стандартных. Можно использовать формулу:

.

Теоремы сложения и умножения вероятностей

Теорема сложения вероятностей несовместных событий.

Вероятность появления одного из двух несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий:

.

Следствие 1: Вероятность появления одного из нескольких попарно несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий.

.

Следствие 2: Сумма вероятностей событий, образующих полную группу событий равна единице.

,

где - полная группа событий.

Следствие 3: Вероятность события, противоположного событию , равна разности между единицей и вероятностью события .

.

Теорема сложения вероятностей совместных событий.

Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:

.

Теорема может быть обобщена на любое конечное число совместных событий (например, для трех совместных событий):

.

Пример. Вероятность того, что стрелок при одном выстреле выбьет очков, равна ; вероятность выбить очков, равна . Найти вероятность того, что при одном выстреле стрелок выбьет не менее очков.

Решение. Обозначим событие, состоящее в том, что при одном выстреле стрелок выбьет не менее очков. Событие произойдет, если стрелок выбьет или очков (событие ), или очков (событие ), т.е. - сумма событий и .

События и несовместные (попадание в , исключает попадание в при одном выстреле, и наоборот), поэтому применима теорема сложения вероятностей несовместных событий:

.

Пример. В условиях предыдущего примера найти вероятность того, что при одном выстреле стрелок выбьет меньше очков.

Решение. Событие - при одном выстреле стрелок выбьет меньше очков, является противоположным событию (при одном выстреле стрелок выбьет не менее очков). Следовательно:

.

Пример. Игральную кость подбросили один раз. Найти вероятность следующего события: на верхней грани появится либо четное число, либо число кратное трем.

Решение. Обозначим событие, состоящее в том, что появится либо четное число, либо число кратное трем. Событие произойдет, если при бросании появится или четное число (событие ), или число кратное трем (событие ), т.е. - сумма событий и .

; (т.к. общих исходов , благоприятствующих исходов

).

; ( ).

События и совместные (при появлении «» появится и четное число, и кратное трем). Поэтому применяем теорему сложения вероятностей совместных событий:

.

Два события называют независимыми, если вероятность одного из них не зависит от появления или непоявления другого.

Пример. игральная кость брошена два раза. Вероятность появления «» при втором бросании (событие ) не зависит от появления «» при первом бросании (событие ).

События и - независимые.

Пример. В ящике красных и белых шара. Из ящика наудачу берут один шар. Очевидно, вероятность появления красного шара (событие ) равна . Взятый шар возвращают в ящик и испытание повторяют. Вероятность появления красного шара при втором испытании (событие ), по прежнему равна и не зависит от результата первого испытания. Т.о. события и - независимые.

Несколько событий называют попарно независимыми, если каждые два из них независимы.

Несколько событий называют независимыми в совокупности, если вероятность каждого из них не меняется при наступлении других событий.

Два события называют зависимыми, если вероятность появления одного из них зависит от наступления или ненаступления другого события.

Пример. В ящике красных и белых шара. Наудачу берут один шар, не возвращая его в ящик. Если появился красный шар (событие ), то вероятность извлечения красного шара при втором испытании (событие ) ; если же в первом испытании вынут белый шар, то вероятность .

Т.о. вероятность появления события зависит от наступления или ненаступления события . События и - зависимые.

Теорема умножения вероятностей независимых событий.

Вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий:

.

Следствие: Вероятность появления нескольких событий, независимых в совокупности, равна произведению вероятностей этих событий.

.

Пример. Имеется три ящика в каждом из которых по шаров. В первом ящике красных шаров, во втором - , в третьем - красных шаров. Из каждого ящика наудачу вынимают по одному шару. Найти вероятность того, что все три вынутые шара окажутся красными.

Решение. Обозначим событие, состоящее в том, что все три вынутые шара окажутся красными. Событие произойдет если и из I ящика извлекут красный шар (событие ), и из II - красный (событие ), и из III - красный (событие ), т.е. - произведение событий ; и .

Вероятность того, что из I ящика взят красный шар:

.

Вероятность того, что из II ящика взят красный шар:

.

Вероятность того, что из III ящика взят красный шар:

.

Т.к. события ; и независимые в совокупности, то искомая вероятность:

.

Пример. Два стрелка стреляют по мишени. Вероятность попадания в цель при одном выстреле для первого стрелка , для второго стрелка . Каждый стрелок произвел по одному выстрелу. Найти вероятности следующих событий:

Оба стрелка попадут в цель;

Оба стрелка промахнуться;

Только один стрелок попадет в цель;

Хотя бы один попадет в цель.

Решение. 1) Обозначим событие, состоящее в том, что оба стрелка попадут в цель. Событие произойдет, если и первый стрелок попадет в цель, и второй попадет.

Используем теорему умножения вероятностей независимых событий:

.

2) Обозначим событие, состоящее в том, что оба стрелка промахнуться. Событие произойдет, если и первый стрелок промахнется, и второй промахнется.

Вероятность промаха для первого стрелка .

Вероятность промаха для второго стрелка .

Искомая вероятность:

.

3) Обозначим событие, состоящее в том, что только один стрелок попадет в цель. Событие произойдет, если: (первый стрелок попадет в цель и второй промахнется) или (первый стрелок промахнется в цель и второй попадет).

Искомая вероятность:

.

4) Событие, хотя бы один стрелок попадет в цель, является противоположным событию - оба промахнутся:

.

Пусть события и зависимые.

Условной вероятностью называют вероятность события , вычисленную в предположении, что событие уже наступило.

Теорема умножения вероятностей зависимых событий.

Вероятность совместного появления двух зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность второго:

.

Следствие: Вероятность совместного появления нескольких зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условные вероятности всех остальных, причем вероятности каждого последующего события вычисляются в предположении, что все предыдущие события уже появились.

.

где - вероятность события , вычисленная в предположении, что события , , …, наступили.

Пример. В ящике шаров: синих и желтых. Наудачу из ящика вынули один шар, а затем второй (не возвращая их обратно). Найти вероятность того, что первый из взятых шаров синий, а второй желтый.

Решение. Событие - первый взятый шар синий. Вероятность события : .

Событие - второй взятый шар желтый. Вероятность события , вычисленная в предположении, что первый шар синий (т.е. условная вероятность) равна: .

Искомая вероятность по теореме умножения вероятностей зависимых событий равна:

.

Формула полной вероятности. Формула Бейеса

Пусть событие может наступить при условии появления одного из несовместных событий , , …, , которые образуют полную группу. Пусть известны вероятности этих событий и условные вероятности , , …, события . В поставленных условиях вероятность события можно найти по формуле:

формулу называют формулой полной вероятности;

события , , …, называют гипотезами.

Пример 1. На контроль поступают детали с двух станков. Производительность станков не одинакова. На первом станке изготовляют всех деталей, на втором - . Вероятность брака на первом станке , на втором - . Найти вероятность того, что поступившая на контроль деталь бракованная.

Решение. Событие - поступившая на контроль деталь бракованная.

и - события означающие, что деталь сделана соответственно на первом и втором станке.

Тогда по условию задачи:

.

Искомая вероятность:

.

Пусть событие может наступить при условии появления одного из несовместных событий (гипотез) , , …, , которые образуют полную группу. Если событие уже произошло, то вероятности гипотез могут быть переоценены по формулам Бейеса:

,

где - находят по формуле полной вероятности.

Пример 2. В условиях примера 1, проверенная деталь оказалась бракованной. Определить вероятность того, что она была изготовлена на первом станке.

Решение. Искомая вероятность -вероятность, что деталь изготовлена на первом станке, при условии что уже известно, что деталь бракованная.

По формуле Бейеса:

.

Из примера 1: ; ; .

Искомая вероятность:

.

Повторные независимые испытания. испытания по схеме Бернулли

На практике приходится сталкиваться с такими задачами, которые можно представить виде многократно повторяющихся испытаний, в результате каждого из которых может появиться или не появится событие . При этом интерес представляет исход не каждого отдельного испытания, а общее количество появлений события в результате определенного количества испытаний.

Испытания называют повторно независимыми, если испытания являются независимыми и вероятность появления события в каждом испытании постоянна.

Повторяющиеся испытания, удовлетворяющие условию независимости и постоянства вероятностей появления в каждом из них события , называют испытаниями Бернулли, или схемой Бернулли.

Пусть производится независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события постоянна и равна . Требуется найти вероятность того, что при повторных испытаниях событие произойдет раз.

В зависимости от значений и задача предложенного типа решается по различным формулам.

Если , то используют формулу Бернулли:

,

где -вероятность не наступления события в каждом испытании.

Если и , то используют локальную теорему Лапласа:

,

где , .

Значения находят по таблице приложения 1. Функция четная, т.е. , таблица содержит значения функции лишь для ; для можно принять .

Если и , (либо ) то используют формулу Пуассона:

,

где .

Пример. Вероятность появления события в каждом из независимых испытаний постоянна и равна . Определить вероятность того, что:

Событие наступит ровно раз;

Событие наступит не менее раз.

Решение. По условию ; . Т.о. для решения задачи используют формулу Бернулли.

Вероятность того что событие наступит раз: ; .

Искомая вероятность:

.

2) Событие наступит не менее раз (следовательно событие наступит или раз, или раз, или раз). Используем теорему сложения вероятностей несовместных событий и формулу Бернулли:

.

;

;

.

Искомая вероятность:

.

Пример. Процент всхожести семян . Определить вероятность того, что из посеянных семян взойдут .

Решение. Т.к. процент всхожести семян , то вероятность взойти для каждого семени постоянна и равна . Количество посеянных семян (общее количество испытаний) . Т.к. и , то используем локальную теорему Лапласа:

, где ;

; .

Откуда .

По таблице значений функции (приложение 1), учитывая четность функции, найдем:

.

Искомая вероятность:

.

Пример. Вероятность того, что станок изготовит бракованное изделие постоянна и равна . Найти вероятность того, что из произведенных станком изделий:

ровно бракованных;

не менее бракованных.

Решение. Вероятность изготовления бракованного изделия постоянна и равна . Общее количество изготовленных изделий (общее количество испытаний) . Т.к. и , то используем формулу Пуассона:

, где .

1) Среди изготовленных изделий ровно бракованных: ;

.

Искомая вероятность:

.

2) Для определения вероятности того, что среди изготовленных деталей не менее бракованных целесообразно найти вероятность противоположного события: среди изготовленных деталей меньше бракованных.

.

Событию, среди изготовленных деталей меньше бракованных, благоприятны исходы: бракованных деталей, или бракованная деталь, или бракованных детали.

Используя теорему сложения вероятностей несовместных событий и формулу Пуассона, найдем вероятность того, что среди изготовленных деталей меньше бракованных:

.

;

;

;

Следовательно

.

Искомая вероятность:

.

Наивероятнейшим числом появления события в независимых испытаниях называют такое число , для которого вероятность, соответствующая этому числу, превышает или, по крайней мере, не меньше вероятности каждого из остальных возможных чисел появления события .

Для определения наивероятнейшего числа не обязательно вычислять вероятности возможных чисел появлений события, достаточно знать число испытаний и вероятность появления события в отдельном испытании.

Для определения наивероятнейшего числа используют двойное неравенство:

Следует иметь в виду, что:

если - целое число, то существуют два значения наивероятнейшего числа, а именно: и ;

если - дробное число, то существует одно наивероятнейшее число, а именно: единственное целое, заключенное между дробными числами, полученными из неравенства;

если - целое число, то существует одно наивероятнейшее число, а именно: .

Пример. Определить наивероятнейшее число качественных изделий в партии из изделий, если вероятность качественного изделия равна .

Решение. По условию , ; следовательно .

Используя неравенство:

имеем

;

откуда

.

Следовательно, наивероятнейшее число качественных изделий в партии из изделий равно .

Предположим, что проводится независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события постоянна и равна . Требуется найти вероятность того, что при повторных испытаниях событие произойдет не менее раз и не более раз. Это можно сделать с помощью интегральной теоремы Лапласа:

,

где , ;

, Значения находят по таблице приложения 2. Функция нечетная, т.е. , таблица содержит значения функции лишь для ; для можно принять .

Пример. Вероятность того, что деталь изготовлена с нарушениями стандартов равна . Найти вероятность того, что среди случайно отобранных деталей нестандартных окажется от до деталей.

Решение. По условию , , ,, следовательно .

Воспользуемся интегральной теоремой Лапласа:

, где , ;

найдем

;

.

По таблице значений функции (приложение 2), учитывая нечетность функции, найдем:

;

.

Искомая вероятность:

.

Дискретные случайные величины и их числовые характеристики

Дискретной называют случайную величину, возможные значения которой есть изолированные числа, которые эта величина принимает с определенными вероятностями.

Законом распределения дискретной случайной величины называют перечень ее возможных значений и соответствующих им вероятностей. Закон распределения дискретной случайной величины может быть задан в виде таблицы, первая строка которой содержит возможные значения , а вторая вероятности :

где .

Закон распределения дискретной случайной величины можно изобразить графически, для чего строят прямоугольную систему координат, причем по оси абсцисс откладывают возможные значения , а по оси ординат - соответствующие значения вероятности . Строят точки и соединяют их отрезками прямых. Полученную фигуру называют многоугольником распределения.

Математическим ожиданием дискретной случайной величины называют сумму произведений всех ее возможных значений на их вероятности:

Математическое ожидание служит характеристикой среднего значения случайной величины.

Дисперсией случайной величины называют математическое ожидание квадрата отклонения:

Вычислять дисперсию удобно по формуле:



Средним квадратическим отклонением случайной величины называют квадратный корень из дисперсии:

Дисперсия и среднее квадратическое отклонение служат характеристиками рассеяния возможных значений случайной величины вокруг математического ожидания.

Пример. Найти математическое ожидание , дисперсию и среднее квадратическое отклонение дискретной случайной величины , закон распределения которой задан в виде таблицы:

Решение. Математическое ожидание равно сумме произведений всех возможных значений на их вероятности:

.

Для вычисления дисперсии воспользуемся формулой:

Составим закон распределения :

Найдем математическое ожидание :

.

Подставив в формулу для вычисления дисперсии и найденное ранее, получим:

.

Найдем искомое среднее квадратическое отклонение:

.

Начальным моментом порядка k случайной величины называют математическое ожидание величины :

.

В частности, .

Центральным моментом порядка k случайной величины называют математическое ожидание величины :

.

В частности, .

Центральные моменты целесообразно вычислять, используя формулы, выражающие центральные моменты через начальные:

Пример. Дискретная случайная величина задана законом распределения:

Найти начальные и центральные моменты первого, второго и третьего порядков.

Решение. Найдем начальный момент первого порядка:

.

Составим закон распределения величины :

Найдем начальный момент второго порядка:

.

Составим закон распределения величины :

Найдем начальный момент третьего порядка:

.

Центральный момент первого порядка равен нулю: .

Для вычисления центральных моментов второго и третьего порядков удобно воспользоваться формулами, выражающими центральные моменты через начальные:



Системы двух случайных величин

Двумерной называют случайную величину , возможные значения которой есть пары чисел . Составляющие и , рассматриваемые одновременно, образуют систему двух случайных величин.

Дискретной называют двумерную случайную величину, составляющие которой дискретны.

Законом распределения дискретной двумерной случайной величины называют перечень возможных значений этой величины, т.е. пар чисел и их вероятностей . Обычно закон распределения задают в виде таблицы с двойным входом:

Зная закон распределения двумерной дискретной случайной величины, можно найти законы распределения каждой из составляющих. Для того, чтобы найти вероятность , надо просуммировать вероятности «столбца ». Сложив вероятности «строки », получим вероятность .

Корреляционным моментом случайных величин и называют математическое ожидание произведения отклонений этих величин:

.

Для вычисления корреляционного момента дискретных величин используют формулу:

.

Корреляционный момент служит для характеристики связи между величинами и .

Коэффициентом корреляции случайных величин и называют отношение корреляционного момента к произведению средних квадратических отклонений этих величин:

.

Пример. Распределение вероятностей дискретной двумерной случайной величины задано таблицей:

Найти: 1) законы распределения составляющих и ;

2) математические ожидания и дисперсии составляющих;

3) коэффициент корреляции .

Решение. 1) Сложив вероятности «по столбцам», получим вероятности возможных значений : ; ; .

Составим закон распределения составляющей :



Контроль: .

Сложив вероятности «по строкам» найдем распределение составляющей :

Контроль: .

2) Найдем математическое ожидание и дисперсию величины :

;.

Найдем математическое ожидание и дисперсию величины :

;

.

3) По определению коэффициента корреляции

Найдем корреляционный момент случайных величин и и их средние квадратические отклонения:



Подставим найденные значения в получим:

.

непрерывная случайная величина

Интегральной функцией распределения называют функцию , определяющую для каждого значения вероятность того, что случайная величина примет значение, меньшее , т.е.

.

Интегральная функция обладает следующими свойствами:

Свойство 1. Значения интегральной функции принадлежат отрезку :

.

Свойство 2. Интегральная функция есть неубывающая функция, т.е.

, если .

Следствие. Вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное в интервале , равна приращению интегральной функции на этом интервале:

.

Дифференциальной функцией распределения вероятностей называют первую производную от интегральной функции:

.

Зная дифференциальную функцию, можно найти интегральную функцию по формуле:

.

Пример. Дана дифференциальная функция непрерывной случайной величины :

Найти: а) интегральную функцию и построить ее график;

б) вероятность того, что в результате испытания примет значение, принадлежащее интервалу .

Решение. а) Воспользуемся формулой .

Если , то , следовательно, .

Если , то .

Если , то .

Итак, искомая интегральная функция имеет вид:

График этой функции приведен на рис.1.

Рис.1

б) Воспользуемся формулой .

По условию . Следовательно искомая вероятность:

.

Математическое ожидание непрерывной случайной величины , возможные значения которой принадлежат всей оси , определяется равенством

,

где -дифференциальная функция.

В частности, если все возможные знаения принадлежат интервалу , то

.

Дисперсия непрерывной случайной величины , возможные значения которой принадлежат , определяется равенством

,

или равносильным равенством

.

В частности, если все возможные значения принадлежат интервалу , то

,

или .

Среднее квадратическое отклонение непрерывной случайной величины определяется так же, как и для дискретной величины:

.

Пример. Случайная величина задана дифференциальной функцией

Найти математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение .

Решение. Найдем математическое ожидание

.

Для вычисления дисперсии воспользуемся формулой

.

Учитывая, что получим

.

Найдем искомое среднее квадратическое отклонение

.

Функция двух случайных аргументов

Если каждой паре возможных значений случайных величин и соответствует одно возможное значение случайной величины , то называют функцией двух случайных аргументов и и пишут:

.

Если и - дискретные независимые случайные величины, то для того, чтобы найти распределение функции , надо найти все возможные значения , для чего достаточно сложить каждое возможное значение со всеми возможными значениями ; вероятности же найденных значений равны произведениям вероятностей складываемых из значений и .

Пример. Дискретные независимые случайные величины заданы распределениями:

Составить распределение случайной величины .

Решение. Возможные значения есть суммы каждого возможного значения со всеми возможными значениями :

.

Найдем вероятности этих возможных значений.

Для того чтобы , достаточно, чтобы величина приняла значение и величина - значение .вероятности этих возможных значений, как следует из данных законов распределения, соответственно равны и .

Аргументы и независимы, поэтому события и независимы и, следовательно, вероятность их совместного наступления (т.е. вероятность события ) по теореме умножения равна .

Аналогично найдем:

запишем искомое распределение, сложив предварительно вероятности несовместных событий :

Контроль: .

Пусть и непрерывные независимые случайные величины, тогда дифференциальная функция суммы (при условии, что дифференциальная функция хотя бы одного из аргументов задана в интервале одной формулой) может быть найдена по формуле

,

либо по равносильной формуле

,

где и - дифференциальные функции аргументов.

Если возможные значения аргументов неотрицательны, то дифференциальную функцию величины находят по формуле

,

либо равносильной формуле

.

Плотность распределения суммы независимых случайных величин называют композицией.

Элементы математической статистики

Выборочной совокупностью или просто выборкой называют совокупность случайно отобранных объектов.

Генеральной совокупностью называют совокупность объектов, из которых производится выборка.

Объемом совокупности (выборочной или генеральной) называют число объектов, из которых производится выборка.

Пусть для изучения количественного (дискретного или непрерывного) признака из генеральной совокупности извлечена выборка объема , причем наблюдалось раз, раз, раз и . Наблюдаемые значения называют вариантами, а последовательность вариант, записанных в порядке возрастания - вариационным рядом.

Числа наблюдений называют частотами, а их отношения к объему выборки - относительными частотами.

Статистическим распределением выборки называют перечень вариант и соответствующих им частот или относительных частот. Статистическое распределение можно задавать также в виде последовательности интервалов и соответствующих им частот (в качестве частоты, соответствующей интервалу, принимают сумму частот, попавших в этот интервал).