Теорії інтеграла Стільєса

Обчислити по формулі (11) інтеграли:

а)

б)

в)

Рішення:

а)

б)

в)

Обчислити по формулі (15) інтеграли:

а) де

б) де

Рішення:

а) Функція має стрибок 1 при й стрибок - 2 при ; в інших крапках . Тому

б) Стрибок 1 при й - 2 при (значення функції при не впливає на результат); в інших крапках .

Маємо:

Обчислити по формулі (15) інтеграли:

а) б) в)

де

Рішення:

Функція має перегони, рівні 1, при й . Похідна

Тому

а)

Аналогічно,

б)

в)

Припустимо, що уздовж відрізка осі розташовані маси, як зосереджені в окремих крапках, так інтеграл розподілені безупинно. Не роблячи розходження між ними, позначимо для через суму всіх мас, розташованих у проміжку ; поверх того, покладемо, . Очевидно, - монотонно зростаюча функція. Поставимо собі задачею знайти статичний момент цих мас відносно початку координат.

Розіб'ємо проміжок на частині крапками

На відрізку при втримується, мабуть, маса . Точно так само на відрізку втримується маса . Уважаючи масу у всіх випадках зосередженої, наприклад, на правому кінці проміжку, одержимо для шуканого статичного моменту наближеної вираження

.

При прагненні до 0 усіх , у межі прийдемо до точного результату:

. (16)

Можна було б тут спочатку встановити "елементарний" статичний момент , що відповідає відрізку осі від до , а потім "підсумувати" ці елементи.

Аналогічно для моменту інерції тих же мас відносно почав знайдемо формулу

(17)

Важливо підкреслити, що інтеграл Стільєса дав можливість об'єднати одною інтегральною формулою різнорідні випадки безупинно розподілених інтеграл зосереджених мас!

Нехай безупинно розподілені маси мають лінійну щільність ; крім них нехай у крапках розташовані зосереджені маси . Тоді, крім цих крапок, функція має похідну

У кожній же крапці функція випробовує стрибок, рівний саме масі , у цій крапці зосередженої.

Якщо тепер розкласти інтеграл (16) по формулі (15), то одержимо

Вдивившись у праву частину, легко в першому члені довідатися статичний момент безупинно розподілених мас, а в другому - статичний момент зосереджених мас. Аналогічний результат вийде інтеграл для інтеграла (17).

а) Скласти вираження й побудувати графік його для наступного розподілу мас: маси величини 1 у крапках і безупинно розподілені маси із щільністю 2 у проміжку .

Рішення:

У проміжку маємо:

б) Те ж саме - для такого розподілу: маси величини 2 при й 4 і безупинно розподілені маси із щільністю в проміжку .

Рішення:

У проміжку маємо

в) з'ясувати розподіл мас, якщо дорівнює функції задачі 3).

Рішення:

Маси величини 1 у крапках і 0, у проміжку безупинно розподілені маси із щільністю 1, у проміжку - маси із щільністю .

6. Розглянемо інше питання, у якому інтеграл Стільєса грає таку ж роль, як інтеграл у вправі 4). Припустимо, що на балку (мал) спочиваючу на двох опорах, крім безупинно розподіленого навантаження діють і зосереджені сили. Розташуємо вісь уздовж по осі балки, а вісь вертикально долілиць (див. мал) Не роблячи розходжень між діючими силами, позначимо для через суму всіх сил, прикладених на відрізку балки, включаючи інтеграл реакції опор; далі, нехай . Силу називають зусиллям, що перерізує, у перетині балки. При цьому сили, спрямовані долілиць, будемо вважати позитивними, а нагору - негативними.

Поставимо задачею визначити так званий згинальний момент у довільному перетині балки. Під цим розуміють суму моментів всіх сил, що діють на праву (або на ліву) частину балки, щодо цього перетину. При цьому, коли мова йде про праву частину балки, момент уважають позитивним, якщо він обертає цю частину за годинниковою стрілкою (для лівої частини - зворотне правило).

Тому що на елементі , скажемо, правої частини балки прикладена сила , що створює елементарний момент

те, "підсумовуючи" одержимо

Аналогічно, виходячи з лівої частини балки, можна було б одержати (з огляду на зміну позитивного напрямку для відліку моментів)

(18)

Легко безпосередньо доглянути, що обоє вираження згинального моменту в дійсності тотожні. Їхня рівність рівносильна умові

яке є наслідком з умов рівноваги

Які виражають рівність нулю суми всіх сил інтеграл суми моментів (відносно початку) всіх сил, що діють на балку.

Якщо інтенсивність безупинно розподіленого навантаження позначити через , те, крім крапок, де прикладені зосереджені сили, буде

Нехай зосереджені сили прикладені в крапках . Тоді, мабуть, що перерізує зусилля саме в цих крапках має перегони, відповідні рівні . Далі, застосовуючи, наприклад, до інтеграла (18) формулу (15), одержимо

.

У двох доданках правої частини легко довідатися моменти, породжені порізно безперервним навантаженням інтеграл зосередженими силами: інтеграл Стільєса охоплює їх єдиною інтегральною формулою.

Установимо ще один факт, цікавий для теорії опору матеріалів. Зробивши у формулі (18) інтегрування вроздріб, одержимо

Звідси ясно, що всюди, за винятком крапок додатка зосереджених сил, має місце рівність

Нехай балка довжини несе "трикутну" навантаження з інтенсивністю ; крім того, нехай до неї прикладені зосереджена сила, рівна 3, у крапці , інтеграл реакції опор, обидві рівні - 3 (вони встановлюються за законом важеля). Визначити зусилля, що перерізує, інтеграл згинальний момент .

Рішення:

Формула (15) може виявитися корисної інтеграл для обчислення звичайних інтегралів (у змісті Римана). Проілюструємо це на наступному прикладі.

Нехай - "кусочно-поліноміальна" функція в проміжку ; це означає, що проміжок розкладається на кінцеве число частин крапками

так, що в кожній із частин функція представляється поліномом не вище -й ступеня. Замінивши значення функції й всіх її похідних у крапках і нулями, позначимо через величину стрибка -й похідній в -й крапці .

Нехай, далі, - будь-яка безперервна функція; покладемо

і, взагалі,

Тоді має місце наступна формула:

Дійсно, послідовно знаходимо

подвійна підстановка зникає, а інтеграл

Аналогічно

і т.д.

Установимо на закінчення, за допомогою формули (11) одне корисне узагальнення формули інтегрування вроздріб для звичайних інтегралів. Саме, якщо й обидві абсолютно інтегрувальні в проміжку , а й визначаються інтегральними формулами:

те справедлива формула

(19)

Для доказу, по формулі (11) замінимо інтеграл ліворуч інтегралом Стільєса інтеграл інтегруємо вроздріб (п.5):

Залишається ще раз застосувати формулу (11) до останнього інтеграла, щоб прийти до (19).

Тут функції й грають як би роль похідних від функцій , не будучи ними на ділі. При безперервності функцій і ми вертаємося до звичайної формули інтегрування вроздріб, тому що тоді, напевно

Геометрична ілюстрація інтеграла Стільєса

Нехай у проміжку функція обмежена:

а монотонно зростає. Якщо існує інтеграл Стільєса від по , то має місце формула

(22)

Це і є теорема про середній для інтегралів Стільєса.

Для доказу будемо виходити з очевидних нерівностей для стільєсовской суми :

Переходячи до межі, одержимо

(23)

Або

Позначаючи написане відношення через , прийдемо до (22).

Якщо функція в проміжку безперервна, то звичайним шляхом переконуємося в тім, що є значення функції в деякій крапці цього проміжку, інтеграл формула (22) здобуває вид

, де (24)

У практиці інтегралів Стільєса найбільш важливим є випадок, коли функція безперервна, а функція має обмежену зміну. Для цього випадку справедлива така оцінка інтеграла Стільєса:

(25)

Де

.

Дійсно, для суми Стільєса буде

так що залишається лише перейти до межі, щоб одержати необхідну нерівність.

Звідси випливає, зокрема, і оцінка близькості суми до самого інтеграла Стільєса (при колишніх припущеннях щодо функцій і ). Представивши й у вигляді

і по членне віднімаючи ці рівності, одержимо

Якщо, як звичайно, позначити через коливання функції в проміжку , так що

для

те, застосовуючи оцінку (25) до кожного інтеграла окремо, будемо мати

Якщо проміжок роздроблений на настільки дрібні частини, що всі , де - довільне наперед узяте число, то містимо, що

(26)

Ці оцінки будуть нами використані в наступному пункті.

2.11 Граничний перехід під знаком інтеграла Стільєса

Нехай функції безперервні в проміжку й при рівномірно прагнуть до граничної функції

(очевидно, також безперервної), а - функція з обмеженою зміною. Тоді

Доказ: По заданому найдеться таке , що при буде для всіх

Тоді, у силу (25), для

що, через довільність , і доводить теорему.

Нехай тепер функція безперервна в проміжку , а функції - усе з обмеженою зміною в цьому проміжку. Якщо повні зміни цих функцій у їхній сукупності обмежені:

і при прагнуть до граничної функції

Те

Доказ:

Насамперед, переконаємося в тім, що гранична функція сама також буде мати обмежену зміну. Розклавши проміжок довільним образом на частині крапками

будемо мати (при кожному )

Переходячи до межі тут при , одержимо

звідки й

Складемо суми Стільєса

Якщо припустити, що проміжок при цьому розкладений на настільки дрібні частини, що коливання функції в кожній з них буде вже менше довільного наперед узятого числа , то в силу оцінки (26), при всіх

(27)

З іншого боку, якщо розбивка, обрана під зазначеною умовою, фіксувати, то, мабуть, при , так що найдеться таке , що для буде

. (28)

Тоді для тих же значень будемо мати, у силу (27) і (28),

звідки, через довільність , і треба необхідний висновок.

2.12 Приклади й доповнення

Припускаючи функцію монотонно зростаючої в точному значенні, можна довести щодо числа , що фігурує у формулі (24), більше точне твердження:

Дійсно, позначивши через і найменше й найбільше значення функції в проміжку й уважаючи , легко знайдемо таку частину цього проміжку, у якій границями служать числа й , так що

Написавши для проміжків і нерівності виду (23) інтеграл складаючи їх з попередніми, одержимо замість (23) більше точні нерівності:

так що число

Лежить строго між і ; а тоді знайдемо й строго між і , для якого й т.д.

Використовуючи формулу (11) п., формулу інтегрування вроздріб і теорему про середній для інтегралів Стільєса, дуже легко заново встановити другу теорему про середній для звичайних інтегралів.

Отже, нехай інтегрувальна (у змісті Римана), а монотонно зростає в проміжку . Уведемо функцію

;

вона, як ми знаємо, буде безперервна.

Тепер послідовно маємо

що й було потрібно довести.

Якщо монотонно зростає в точному значенні, то на підставі зробленого в 1) зауваження можна точніше сказати відносно :

Довести, що, якщо в крапці одна з функцій і безперервна, у той час як інша в околиці цієї крапки обмежена, то існування інтегралів і спричиняє існування й .

Із цією метою помітимо, що, якщо при складанні стільєсової суми ми будемо включати крапку до складу крапок ділення, то сума буде складатися із двох аналогічних сум для часткових проміжків і ; при вона буде прагнути до суми інтегралів . Нехай тепер крапка не входить до числа крапок ділення. Приєднуючи до них крапку , ми від перейдемо до нової суми , про яку ми вже знаємо, що при вона має зазначену межу. Таким чином, досить показати, що різниця буде разом із прагнути до 0.

Нехай крапка попадає в проміжок ; тоді сума відрізняється від суми лише тим, що замість доданка

у ній є два доданки:

де й вибираються довільно під умовами й . Поклавши для спрощення , зведемо останнє вираження до

так що

(29)

Коли , те один із множників правої частини нескінченно малий, у той час як другий обмежений; отже, що й було потрібно довести.

Якщо обидві функції й виявляються розривними в один інтеграл тій же крапці , то інтеграл Стільєса

(30)

свідомо не існує.

Для доказу будемо розрізняти два випадки. Нехай спочатку , і межі й не рівні. Тоді при побудові суми Стільєса ми крапку не станемо вводити в число крапок ділення; нехай, скажемо, Вибравши один раз , а інший раз взявши в якості складемо дві суми й , різниця яких зведеться до вираження (29).

Зближаючи крапки ділення, будемо мати

Крім того, крапку можна вибрати так, щоб різниця була по абсолютній величині більшій деякого постійного позитивного числа. Тоді різниця не прагне до 0, так що інтеграл існувати не може.

Якщо ж , але їхнє загальне значення відмінно від ("переборний розрив"), те, навпаки, включимо в число крапок ділення; нехай . Якщо має, наприклад, розривши в крапці праворуч, те, як і тільки що, складемо дві суми й , що відрізняються лише вибором : для крапка взята довільно між і , а для в якості взята . Як і раніше маємо (29), інтеграл міркування завершується аналогічно.

Вправи 3) і 4) проливають світло на той факт, про яке говорилося наприкінці п.4.

Нехай безперервна, а має обмежена зміна в проміжку .

Опираючись на оцінку (25), довести безперервність інтеграла Стільєса

по змінній верхній межі в крапці , де функція безперервна.

Висновок відразу випливає з нерівності

якщо взяти до уваги, що в крапці повинна бути безперервна й варіація .

Якщо є клас безперервних у проміжку функцій, а - клас функцій з обмеженою зміною в цьому проміжку, те, як відомо, кожна функція одного класу, інтегрувальна по кожній функції іншого класу. Довести, що жоден, ні іншої із цих класів не може бути розширений зі збереженням згаданої властивості.

Це, через 4), майже очевидно щодо класу . Дійсно, якщо функція має крапку розриву , то вона свідомо не інтегрувальна, наприклад, по функції з обмеженою зміною , що має ту ж крапку розриву.

Нехай тепер у проміжку має нескінченна повна зміна; у цьому припущенні побудуємо таку безперервну функцію , для якої інтеграл (30) не існує.

Якщо розділити проміжок навпіл, то хоч в одній з половин повна зміна функції теж буде нескінченно; розділимо цю половину знову навпіл інтеграл т.д. По цьому методі визначиться деяка крапка , у кожній околиці якої не має обмеженої зміни. Для простоти нехай .

У такому випадку легко побудувати послідовність зростаючий інтеграл прагнучих до значень :

так, щоб ряд

розходився. Для цього ряду потім можна підібрати таку послідовність прагнучих до 0 чисел , щоб і ряд

(31)

все-таки розходився. Тепер визначимо функцію , думаючи

а в проміжках уважаючи лінійної:

Очевидно, буде безперервна. У той же час, через ряд (31), при й

так що інтеграл від по дійсно не існує.

Доведене твердження можна сформулювати й так: якщо інтеграл Стільєса (30) для даної функції існує по кожній з , те необхідно належить ; аналогічно, якщо цей інтеграл по даній функції існує для кожної з , те необхідно належить .

У першій теоремі про граничний перехід під знаком інтеграла Стільєса ми поставили вимогу, щоб послідовність функцій прагнула до граничної функції рівномірно. Можна, однак, замінити ця вимога більше загальною умовою, що ці функції обмежені в їхній сукупності:

(Тільки при цьому потрібно ще наперед припустити безперервність граничної функції ).

При доказі досить розглянути випадок, коли зростає в точному значенні. Але для цього випадку можна скористатися перетворенням, проведеним у п.:

і, маючи справу вже з римановими інтегралами, просто застосувати теорему Арцелла.

Укажемо, на закінчення, інше трактування поняття інтеграла Стільєса, зв'язавши його з поняттям адитивної функції від проміжку.

Нехай для кожної частини даного проміжку визначене число , причому, якщо проміжок крапкою розкладений на частині й , те й

Тоді є адитивна функція від змінного проміжку . Припустимо, що крім її для проміжку задана й функція крапки . Розкладемо тепер, як звичайно, проміжок крапками

на частині , у кожній частині довільно виберемо по крапці й, нарешті, складемо суму

(32)

Межа цієї суми при і є інтеграл Стільєса, що природно - з огляду на процес його побудови - позначити так:

(33)

Якщо визначити другу функцію крапки , поклавши

для

те, через адитивності функції , у всіх випадках

(34)

так що сума (32) зведеться до звичайного стільєсовой сумі

а межа (33) - до звичайного інтеграла Стільєса

.

Обернено, якщо існує останній інтеграл, те, визначивши функцію від проміжку рівністю (34) (причому легко перевірити, що вона виявиться адитивною), можна звести звичайний інтеграл Стільєса до інтеграла (33).

Апарат стільєсовського інтегрування пристосований для однакового опису дискретних і безперервних явищ. Ця обставина виявилася вирішальної й при введенні його в математичний арсенал квантової механіки.

Якщо в механіку раніше користувалися в основному класичним математичним аналізом - апаратом, пристосованим для опису певного класу безперервних явищ, а в тих випадках, коли потрібно було описати дискретні явища, прибігали до теорії рядів, кінцевих або нескінченних, то у квантовій механіці такі прийоми виявилися недостатніми. Безперервні й дискретні аспекти переплелися в ній настільки тісно, що ідея їхнього однакового опису напрошувалася сама собою.

Ідея стільєсовського інтегрування могла виявитися корисної із самого початку. Але в момент зародження квантової механіки і якийсь час через інтегрування по Стільєсу було ще недостатньо розроблене, а головне - занадто мало відомо, щоб лягти в основу квантової механіки. І Дирак повернув напрямок її розвитку в іншому напрямку.

Дирак як вихідна позиція тож ставить проблему однакового опису дискретних і безперервних явищ. При цьому за основне поняття він бере поняття безперервності, а дискретне описує в термінах останнього. Проти такого підходу відразу повстав И. Нейман, запропонувавши замінити узагальнені функції інтегралами Стільєса. Більшість фізиків не прийняло концепції Неймана, проте він продовжував відстоювати й розвивати свою точку зору, докладно виклавши свої міркування у своїй монографії. І хоча його концепція була прийнята не відразу, проте у квантовій механіці інтеграл Стільєса знайшов своє застосування.

Інтеграл Стільєса й лінійні функціонали.

Поняття функціонала з'явилося предметом численних досліджень, що сходять ще до Ейлеру. Серед цих досліджень важливе місце зайняли вишукування по аналітичному зображенню функціоналів.

У явній формі поняття функціонала сформулював Вольтера в 1887 році. Він же дав і перше аналітичне вираження для деякого класу функціоналів у вигляді вираження, аналогічного ряду Тейлора із залученням поняття похідній функціонала. У теорії функцій найпоширенішим способом зображення функцій є вираження їхніми рядами того або іншого типу. За аналогією почалися спроби подання функціоналів у вигляді рядів по функціоналах

,

де - деякі константи, що залежать від природи функціонала, що розкладається в ряд , а - певна послідовність фіксованих функціоналів. Першим таким розкладанням було розкладання, запропоноване Пинкерле й Амальді в 1901 р. Воно мало вигляд:

,

де з - деяке фіксоване число проміжку , на якому задане розглянута множина функцій .

Крім них запропонували загальні вираження лінійних функціоналів Фреше й Адамар, але всі ці способи придатні тільки для відносно вузьких класів безперервних функцій. Тому пошуки нових аналітичних виражень для функціоналів тривали.

Вирішальної в цьому напрямку був результат Рисса. В 1909 р. Він довів, що всякий лінійний функціонал , певний у просторі безперервних функцій , заданих на , відстань між якими виражається інтегралом Стільєса