Криволінійні інтеграли

Поняття криволінійного інтеграла першого роду (по довжині дуги). Обчислення криволінійних інтегралів першого роду. Застосування криволінійного інтеграла першого роду. Фізичний зміст та поняття криволінійного інтеграла другого роду (по координатах).

Рубрика Математика
Вид реферат
Язык украинский
Дата добавления 10.03.2011
Размер файла 535,9 K

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://www.allbest.ru/

ТЕМА

КРИВОЛІНІЙНІ ІНТЕГРАЛИ

Поняття криволінійного інтеграла першого роду (по довжині дуги)

Размещено на http://www.allbest.ru/

Нехай у площині задано гладку чи кусково-гладку криву (рис. 1) і на цій кривій визначено обмежену функцію .

(Неперервна крива називається гладкою на відрізку , якщо функції та мають на цьому відрізку неперервні похідні та , які одночасного не дорівнюють нулю. Якщо неперервна крива складається із скінченного числа гладких кривих, її називають кусково-гладкою.) Розіб'ємо криву точками на довільних частин, на кожній окремій дузі виберемо будь-яку точку і складемо суму

, (1)

де - довжина дуги . Сума (1) називається інтегральною сумою для функції по кривій . Нехай - найбільша з довжин окремих дуг .

Якщо при інтегральні суми (1) мають скінченну границю, яка не залежить від розбиття кривої і вибору точок , то цю границю називають криволінійним інтегралом першого роду (або криволінійним інтегралом по довжині дуги) від функції по кривій і позначають

Таким чином, за означенням

. (2)

Якщо границя (2) існує, то функція називається інтегровною на кривій , сама крива - контуром інтегрування, - початковою, а - кінцевою точками інтегрування.

Зведемо криволінійний інтеграл першого роду до визначеного інтеграла. Для цього на кривій приймемо за параметр довжину дуги , яка відраховується від точки до довільної точки кривої . Тоді рівняння кривої можна записати у параметричній формі: , де - довжина кривої . При цьому функція визначена на кривій , перетворюється у складену функцію однієї змінної - параметра :

Позначимо через значення параметра , яке відповідає точці а через - яке відповідає точці , тоді сума (1) матиме вигляд

криволінійний інтеграл координата довжина дуга

, (3)

де . Сума (3) є інтегральною сумою для визначеного інтеграла від функції на відрізку . Оскільки суми (1) і (3) рівні між собою, то рівні і відповідні їм інтеграли:

. (4)

Формула (4) не тільки зводить криволінійний інтеграл до звичайного, але й доводить існування криволінійного інтеграла для функції , яка неперервна на кривій . Крім того, з формули (4) випливає, що властивості криволінійного інтеграла першого роду аналогічні властивостям визначеного інтеграла, тому ми їх навіть не формулюватимемо. Зауважимо лише, що за означенням криволінійного інтеграла - довжина дуги, тому завжди . У визначеному ж інтегралі

(5)

величина може бути як додатною, так і від'ємною. У зв'язку з цим

, але

тобто межі інтегрування в криволінійному інтегралі першого роду завжди необхідно брати від меншої до більшої.

Розглянемо фізичний зміст криволінійного інтеграла першого роду. Якщо вздовж неоднорідної матеріальної кривої розподілено масу з лінійною густиною , то

тобто з фізичної точки зору криволінійний інтеграл першого роду від невід'ємної функції вздовж деякої кривої дорівнює масі цієї кривої.

Криволінійний інтеграл першого роду має також і геометричний зміст.

Якщо визначений інтеграл (5) при визначає площу криволінійної трапеції, то криволінійний інтеграл (2) при чисельно дорівнює площі частини циліндричної поверхні, твірні якої мають довжину і паралельні осі , а напрямна збігається з кривою на площині (рис. 2).

Рисунок 2 - Геометричний зміст криволінійного інтеграла

Зокрема, якщо - не крива, а відрізок , що лежить на осі , то , і формула (2) перетворюється у формулу (5) - циліндрична поверхня «вирівнюється» і стає криволінійною трапецією, тобто криволінійний інтеграл першого роду стає звичайним визначеним інтегралом.

Якщо покласти , то площа циліндричної поверхні чисельно дорівнюватиме довжині дуги , тому довжину дуги можна знайти за формулою

2 Обчислення криволінійних інтегралів першого роду

Формула (4), яка зводить криволінійний інтеграл до звичайного, є не зовсім зручною для обчислення, бо не завжди можна легко знайти рівняння кривої у вигляді , де - довжина дуги. Спростимо цю формулу.

Нехай крива задана рівняннями , причому значення відповідає точці , а значення - точці . Вважатимемо, що функції і разом з похідними і неперервні на відрізку , а функція неперервна вздовж кривої . Для довільної точки довжину дуги кривої можна розглядати як функцію параметра :, тоді

Звідси, згідно з правилом диференціювання визначеного інтеграла по верхній межі, маємо

.

Виконуючи заміну змінної у правій частині формули (4), маємо

(6)

Зокрема, якщо крива в декартових координатах задана рівнянням , де функція неперервна разом із своєю похідною на відрізку , то формула (6) набирає вигляду

. (7)

Якщо крива задається рівнянням і функції і неперервні на відрізку , то

. (8)

Досі ми вважали, що криволінійний інтеграл першого роду розглядається для плоскої кривої . Знайдені результати легко перенести на випадок просторових кривих.

Нехай функція визначена та неперервна на просторовій кривій , яку задано рівняннями , де функції та неперервні на відрізку . Тоді існує криволінійний інтеграл і справджується формула

. (9)

Приклади

1. Обчислити криволінійний інтеграл

де - відрізок прямої від точки до точки .

Розв'язання

Скористаємося формулою (7). Оскільки

, а , , то

2. Обчислити криволінійний інтеграл першого роду

де - астроїда .

Розв'язання

Запишемо параметричні рівняння астроїди:

Оскільки , то

Зазначимо, що у точках , тобто астроїда є кусково-гладкою кривою.

Для обчислення криволінійного інтеграла застосовуємо формулу (6). Отримаємо

3 Застосування криволінійного інтеграла першого роду

1. Застосування в геометрїї. Нехай у площині задано кусково-гладку криву замкнену чи незамкнену і на цій кривій визначено неперервну функцію , тоді:

а) площу циліндричної поверхні, визначеної функцією , знаходять за формулою

; (10)

б) довжину кривої визначають за формулою

. (11)

2. Застосування у механіці. Нехай вздовж неоднорідної матеріальної кривої розподілено масу з лінійною густиною , тоді:

а) маса кривої обчислюється за формулою

; (12)

б) координати центра маси кривої знаходяться за формулами

, (13)

де - статичні моменти кривої відносно осей і ;

в) моменти інерції кривої відносно осей , і початку координат відповідно дорівнюють

. (14)

У випадку, коли крива однорідна, тобто має сталу густину , у формулах (12) - (14) слід вважати . Наприклад, необхідно знайти момент інерції відносно осі однорідної дуги кола , яка міститься у першій чверті.

Скориставшись першою з формул (14), матимемо

.

Формули (10), (11) випливають з геометричного змісту криволіній-ного інтеграла першого роду (п. 1).

Формули (12) - (14) можна довести тим самим методом, яким були знайдені відповідні формули для матеріальної пластини (п. 1.6).

Формули (11) - (14) можна записати і для випадку, коли підін-тегральна функція розглядається на просторовій кривій.

4 Поняття криволінійного інтеграла другого роду (по координатах). Фізичний зміст

Криволінійний інтеграл другого роду визначається майже так само, як інтеграл першого роду. Нехай у площині задано гладку чи кусково-гладку криву (рис. 3) і на цій кривій визначено обмежену функцію . На відміну від інтегралів першого роду вважатимемо криву напрямною лінією, у якої точки та є відповідно початковою та кінцевою точками. Розіб'ємо криву точками на довільних частин, на кожній частинній дузі виберемо точку і складемо суму

, (15)

де - проекція вектора на вісь .

Відмінність сум (1) і (15) очевидна.

Якщо при інтегральні суми (15) мають скінченну границю, яка не залежить ні від розбиття кривої , ні від вибору точок , то цю границю називають криволінійним інтегралом від функції по координаті вздовж кривої і позначають

Рисунок 3 - Крива

Таким чином,

. (16)

Аналогічно вводиться криволінійний інтеграл від функції по координаті :

, (17)

де - проекція вектора на вісь (рис. 3). Суму

називають криволінійним інтегралом по координатах або криволінійним інтегралом другого роду від функцій і по кривій і позначають символом

.

Функції і іноді позначатимемо через і , а криволінійний інтеграл записуватимемо у вигляді .

Для того щоб дати фізичну інтерпретацію криволінійного інтеграла другого роду, розглянемо задачу про роботу змінної сили на криволінійному шляху. Нехай матеріальна точка під дією змінної сили , де - проекції сили на осі та , рухається на площині вздовж кривої . Необхідно обчислити роботу сили при переміщенні точки з точки в точку (рис. 4).

Рисунок 4 - Робота сили при переміщенні

Розіб'ємо криву точками на частин і на кожній окремій дузі візьмемо довільну точку .

На цю точку діє сила . Роботу , яку виконує ця сила при переміщенні точки по вектору можна знайти за допомогою скалярного добутку

Ця робота наближено дорівнює роботі змінної сили при переміщенні матеріальної точки по дузі довжиною .

Робота сили вздовж усієї ламаної дорівнює

Цей вираз дає наближене значення шуканої роботи . Перейшовши до границі при , знайдемо точне її значення:

. (18)

Отже, з погляду фізики криволінійний інтеграл другого роду вздовж деякої кривої дорівнює роботі змінної сили при переміщенні матеріальної точки вздовж цієї кривої.

Размещено на Allbest.ru


Подобные документы

  • Поняття подвійного та потрійного інтегралів. Кратні інтеграли в криволінійних координатах. Геометричні й фізичні додатки кратних інтегралів. Криволінійні й поверхневі інтеграли. Спосіб обчислення криволінійного інтеграла першого та другого роду.

    курсовая работа [278,9 K], добавлен 14.01.2011

  • Криволінійний інтеграл по довжині дуги. Обчислення визначеного інтеграла. Параметричні рівняння кривої. Властивості криволінійного інтеграла першого роду. Форми шляху інтегрування. Властивості визначеного інтеграла. Зміна напряму руху по кривій.

    лекция [169,5 K], добавлен 30.04.2014

  • Характерні особливості застосування визначених і подвійних інтегралів, криволінійних і поверхневих інтегралів першого роду для обчислення статичних моментів, моментів сили та моментів матеріальної поверхні. Приклади знаходження вказаних фізичних величин.

    реферат [694,9 K], добавлен 29.06.2011

  • Таблиця формул основних інтегралів. Методи обчислення площі плоскої фігури в декартових координатах. Означення потрійного інтеграла. Знаходження площі фігури обмеженої лініями, розрахунок обсягу просторового тіла. Властивості визначеного інтеграла.

    презентация [467,7 K], добавлен 23.02.2013

  • Суть поверхневих інтегралів першого роду, які є узагальненням подвійних інтегралів. Лист Мебіуса, як приклад односторонньої поверхні. Формула Остроградського-Гаусса, яка встановлює зв'язок між поверхневим інтегралом по замкненій поверхні. Формула Стокса.

    реферат [634,6 K], добавлен 16.03.2011

  • Введення поняття інтеграла Стільєса та його розробка. Визначення проблеми моментів. Загальні умови та класи випадків існування інтеграла Стільєса. Теорема про середній. Застосування інтеграла Стільєса в теорії ймовірностей та у квантовій механіці.

    дипломная работа [797,1 K], добавлен 25.02.2011

  • Задачі, що приводять до поняття подвійного інтеграла. Обчислення об'єму циліндричного тіла. Маса неоднорідної матеріальної пластини. Поняття подвійного інтеграла, умови його існування та властивості. Адитивність подвійного інтеграла та його оцінка.

    контрольная работа [631,2 K], добавлен 22.03.2011

  • Поняття та способи розв’язку невласного подвійного інтегралу. Теорема про абсолютну збіжність невласного подвійного інтеграла. Інтеграли від необмежених функцій. Приведення подвійного інтеграла до повторного. Заміна змінних в невласних інтегралах.

    курсовая работа [782,9 K], добавлен 05.02.2011

  • Означення і основні властивості інтеграла Стілтьєса, його зв’язок, особливості і відмінності від інших визначених інтегралів і загальні умови існування. Приклади застосування інтеграла для розв’язку різних класів задач. Узагальнення інтегралу Рімана.

    курсовая работа [370,2 K], добавлен 21.05.2009

  • Дослідження системи з відомим типом крапок спокою. Знаходження першого інтеграла системи, умови його існування. Застосування теореми про еквівалентність диференціальних систем. Визначення вложимої системи, умови вложимості. Поняття функції, що відбиває.

    курсовая работа [115,3 K], добавлен 14.01.2011

Работы в архивах красиво оформлены согласно требованиям ВУЗов и содержат рисунки, диаграммы, формулы и т.д.
PPT, PPTX и PDF-файлы представлены только в архивах.
Рекомендуем скачать работу.