Застосування математичного аналізу для обчислення статичних моментів та моментів сили

Размещено на http://www.allbest.ru/

Застосування математичного аналізу для обчислення статичних моментів та моментів сили

ВСТУП

Математичний аналіз у вигляді диференціального та інтегрального числення був створений в 17 сторіччі як інструмент природознавства. Його ефективність стала очевидною відразу, і з тих пір він став використовуватись всіма вченими та інженерами.

Основною мірою механічної взаємодії матеріальних тіл в механіці є сила. Одночасно в механіці широко користуються поняттям моменту сили відносно точки чи відносно осі. Окрім сил, що діють, рух тіла залежить від міри його інертності, тобто від того, наскільки швидко воно змінює свій рух під дією прикладених сил. Для матеріальної точки мірою інертності є її маса. Інертність матеріального тіла залежить не лише від його загальної маси, але і від розподілу мас в тілі, яке характеризуються положенням центру мас і величинами, які називаються осьовими та відцентровими моментами інерції. При розв'язанні задач механіки, зокрема при знаходженні статичних моментів чи моментів сили широко використовуються методи інтегрального числення як функцій однієї змінної, так і багатьох змінних, зокрема визначений інтеграл, подвійний та потрійні інтеграли, криволінійні та поверхневі інтеграли.

Нагадаємо, що статичнийм момент матеріальної точки масою відносно деякої вісі дорівнює добутку маси на відстань від вісі. Аналогічно можна означити поняття статичних моментів матеріальної кривої чи матеріального тіла.

Якщо ж маси не зосереджені в окремих точках, а розташовані неперервно, заповнюючи лінію чи плоску фігуру, чи об'ємне тіло, то тоді для знаходження статичних моментів знадобиться поняття інтегралу.

Моментом сили відносно точки називається векторний добуток радіус-вектора , проведеного з точки в точки прикладання сили, на вектор сили , тобто . Аналогічно , моментом сили відносно вісі називається скалярна величина, рівна проекції на дану вісь вектора моменту сили відносно якої-небудь точки тієї ж вісі.

Робота складається язі вступу, чотирьох параграфів, списку використаних джерел та висновків.

1. Застосування визначених інтегралів для знаходження статичних моментів та моментів сили

Відомо, що статичний момент матеріальної точки масою відносно деякої вісі дорівнює добутку маси на відстань точки до вісі. Якщо задана система з матеріальних точок з масами , що лежать в одній площині з віссю відповідно на відстанях від вісі, статичний момент знаходиться як сума

.

При цьому відстані точок, що лежать з одного боку від вісі, беруть зі знаком плюс, а відстані точок з іншого боку - зі знаком мінус.

Якщо маси не зосереджені в окремих точках, а розташовані неперервно вздовж деякої лінії чи плоскої фігури, то тоді для знаходження статичного моменту замість суми використовують поняття інтегралу.

Нехай точки з масами суцільно заповнюють деяку спрямлювану плоску криву (рис. 1). Поставимо задачу про обчислення статичних моментів відносно координатних осей розглядуваної кривої . Припустимо також, що ця крива спрямлювана (має довжину) і однорідна, тобто лінійна густина (маса, що припадає на одиницю довжини дуги) є сталою. Не зменшуючи загальності, можна вважати, що . В цьому випадку маса будь-якої ділянки дуги буде дорівнювати довжині дуги даної ділянки кривої .

Нехай криву задано параметрично:

,

де за параметр взято довжину дуги , . Нехай також функції неперервні і мають неперервні похідні першого порядку.

Розіб'ємо відрізок на частин за допомогою довільно вибраних точок

.

Тоді кожному значенню , , на кривій відповідає точка .

Розглянемо дугу . Припустимо, що точки і розташовані настільки близько одна до одної, що масу всієї дуги можна вважати зосередженою, наприклад, в точці . Тоді можна вважати, що статичний момент дуги наближено дорівнює статичному моменту точки . Позначимо через довжину дуги . Тоді статичні моменти точок відносно координатних осей відповідно дорівнюють

.

Підставивши в ці формули значення , отримаємо

. (1)

В правих частинах рівностей (1) містяться інтегральні суми неперервних функцій , побудовані на відрізку . Позначимо через найбільшу довжину частинних дуг , тобто

.

Якщо при , то, з одного боку, існують границі інтегральних сум в рівностях (1), і ці границі дорівнюють визначеним інтегралам

,

.

З другого боку, якщо , то різні точки кожної дуги , на які розбивається крива , все менше і менше відрізнятимуться своїми координатами. Тому природно за статичні моменти відносно координатних осей матеріальної дуги прийняти границі, тобто покласти

, . (2)

Зауважимо, що формула (2) виведена для того випадку, коли криву задано параметричними рівняннями, в яких за параметр взято довжину цієї кривої. Проте крива, як правило, задається одним із таких рівнянь: (явне задання), (параметричне задання при довільному параметрі ), (задання в полярних координатах). Тоді в формулі (2) треба та виразити відповідно через .

Зокрема, якщо криву задана явним рівнянням , де , то матимемо

;

при параметричному заданні , отримаємо

.

Нехай для параметрично заданої гладкої просторової кривої розподіл маси по довжині описує інтегровна на відрізку функція . Статичний момент цієї кривої віднос6но площини буде дорівнювати

.

Аналогічно можна записати формули для знаходження статичних моментів і для цієї кривої.

Приклад. Знайти статичний момент півкола радіуса відносно діаметра, що проходить через кінці цієї дуги.

Розв'язання. Виділимо елемент дуги кола, центральний кут якого дорівнює , тоді . Під відстанню дуги від діаметру розуміємо величину , де - множина відстаней всіх точок дуги від діаметра. З точністю до нескінченно малої того ж порядку, що і , маємо

, , .

Статичний момент елемента (з точністю до нескінченно малих більш високого порядку, ніж ) дорівнює

.

Звідси

.

Приклад. Знайти статичний момент дуги параболи відносно прямої .

Розв'язання. Нехай - абсциса точки , що лежить на дузі . Тоді з точністю до нескінченно малої більш високого порядку малості, ніж

.

Враховуючи симетрію кривої відносно вісі , отримаємо

Приклад. Знайти статичний моменти відносно осей координат дуги астроїди , , що лежить в першій чверті.

Розв'язання. В силу симетрії астроїди відносно координатних осей будемо мати . Тому достатньо обчислити лише момент відносно вісі . Для першої чверті маємо .

Знаходимо:

.

.

Розглянемо задачу про знаходження статичного моменту матеріальної пластини. Нехай це є криволінійна трапеція (рис.2), обмежена зверху кривою , задану рівнянням , де неперервна функція на відрізку .



Припустимо, що плоска фігура однорідна і густина . Розіб'ємо відрізок на частин за допомогою довільно вибраних точок , що задовольняють умовам

.

Через кожну точку проведемо пряму, паралельну вісі до перетину з кривою . При цьому криволінійна трапеція розіб'ється на смужок (частинних криволінійних трапецій).

Розглянемо смужку, яка відповідає прямим і (на рисунку 2 це фігура ). Вважатимемо, що дана смужка настільки вузька, що її можна вважати прямокутником, висота якого дорівнює . Тоді маса цієї смужки наближено дорівнює площі прямокутника, тобто .

Припустимо, що вся маса смужки зосереджена всередині прямокутника (в точці ). Знайдемо статичні моменти точки відносно координатних осей. Для цього зауважимо, що точка знаходиться від осі на відстані , а від вісі - на відстані . Числом можна знехтувати, бо якщо припустити, що точки і знаходяться близько, то це число дуже мале порівняно з .

Отже, статичні моменти точки відносно координатних осей є

,

.

Замінивши кожну смужку прямокутниками і припустивши, що маса зосереджена в їх центрі, дістанемо такі суми:

, .

Ці суми є наближеними значеннями статичних моментів розглядуваної плоскої фігури відносно координатних осей. Вони даватимуть точніші значення статичних моментів, якщо точки , , будуть все ближче і ближче розміщені одна до одної.

Тому природно покласти за означенням, що

,

,

де .

Під знаком границі маємо інтегральні суми неперервних функцій та , побудовані на відрізку , тому ці границі дорівнюють визначеним інтегралам:

, . (3)

Якщо поверхнева густина криволінійної трапеції задається за допомогою функції , то вирази для знаходження статичних моментів приймають вигляд

, .

Нехай така ж функція описує розподіл маси по поверхні, що утворюється обертанням навколо координатної вісі гладкої плоскої кривої, яка задається диференційовною на відрізку функцією . Тоді отримуємо

,

а (за рахунок симетрії поверхні обертання відносно вісі ), так що центр мас такої поверхні лежить на вісі .

Статичний момент тіла відносно площини тіла, утвореного обертанням навколо вісі криволінійної трапеції, яка має основою відрізок та обмеженої графіком неперервної на функції , дорівнює

,

де - залежність від густини тіла.

При значенні функції густини, тотожно рівній одиниці, статичний момент називають геометричним.

Приклад. Знайти статичні моменти відносно координатних осей фігури, обмеженої еліпсом та колом і розташованою в першому квадранті.

Розв'язання.

Приклад. Знайти статичний момент однорідної трикутної пластинки з основою та висотою відносно основи.

Розв'язання. Відрізок, кінці якого лежать на бокових сторонах трикутника, паралельний основі, та проходить на відстані від нього, має довжину . Розглянемо тепер горизонтальну смужку шириною , паралельну основі трикутника, взявши її наближено як прямокутник зі сторонами довжинами та . З точністю до нескінченно малих більш високого порядку ніж , отримаємо, що площа смужки рівна величині , а статичний момент смужки відносно основи трикутника дорівнює

.

Тоді

.

Приклад. Рівняння , , задає поверхню, яка нагадує підводну частину корабля. Одна з найважливіших якостей корабля є його здатність після відхилення під зовнішньою дією від положення рівноваги та припинення цієї дії повертатися у вихідне положення. Цю якість називають остійністю та кількісно характеризують метацентричною висотою, тобто перевищенням положення метацентру корабля над його центром мас. В положенні рівноваги метацентр співпадає з центром водотоннажності (центром мас тіла, що відповідає по формі підводній частині корабля та заповненого водою), причому апліката метацентру , де і - об'єм та статичний момент цього тіла відносно площини .

Переріз заданої поверхні площиною, перпендикулярною вісі , є еліпс з півосями та , тобто площа цього перерізу дорівнює . Тоді об'єм тіла, обмеженого заданою поверхнею і площиною , є

,

а його статичний момент відносно площини

.

Звідси , причому в силу симетрії метацентр лежить на вісі .

Для забезпечення остійності корабля необхідно, щоб , де - апліката його центру мас. Тоді при деякому відхиленні корабля від положення рівноваги виникне момент сили виштовхування води відносно центру мас, що намагається відновити положення рівноваги. Чим більше значення метацентричної висоти, тим більше цей момент та вище остійність корабля.

Зауваження. Можна навести загальну схему застосування визначеного інтегралу при обчисленні значень деяких фізичних величин.

Якщо довільному проміжку , що міститься в деякому фіксованому проміжку , відповідає значення визначеної фізичної величини , то називають функцією проміжку і позначають (наприклад, якщо - неперервна невід'ємна на функція, то з кожним проміжком пов'язуємо величину площі криволінійної трапеції, обмеженої кривою , відрізкам прямих , та відрізком вісі .

Функція проміжку називається адитивною, якщо при ) .

Розглянемо адитивну функцію проміжку та припустимо, що на фіксованому проміжку визначена неперервна функція , пов'язана з функцією співвідношенням

,

де така функція, що .

Тоді .

Таким чином, якщо вдається з точністю до нескінченно малої більш високого порядку в порівнянні з встановити наближену рівність , то можна знайти значення фізичної величини, яка нас цікавить за формулою .

Момент сили , яка діє на матеріальну точку із радіус-вектором , визначається за формулою

,

тобто є векторним добутком радіус-вектора на силу .

Момент сили - це вектор, перпендикулярний як до радіус-вектора точки, так і до сили, яка діє на цю точку. За абсолютною величиною момент сили дорівнює добутку сили на плече, або

,

де - кут між напрямком сили і радіус-вектором точки.

Момент сили адитивна величина, тобто момент сил, які діють на систему матеріальних точок дорівнює сумі моментів сил, які діють на окремі точки системи:

.

Приклад. П'ятою називають опорну частину вертикально розташованого валу, що обертається (рис. 4), а підп'ятником - нерухому опору 2, в якій ця п'ята обертається. Рівномірний знос поверхонь п'яти та підп'ятника, що труться, можливий, якщо ці поверхні є частинам псевдосфери. В даному випадку вал, навантажений осьовою силою , спирається на підп'ятник плоскою торцевою поверхнею у вигляді кругового кільця з внутрішнім та зовнішнім радіусами (зокрема, при опорна поверхня буде колом).

Силу зрівноважує рівна їй сила тиску підп'ятника на п'яту через її торцеву поверхню, яка є в даному випадку адитивною характеристикою по відношенню до тиску , що приходиться на одиницю площі п'яти. Внесок в силу тиску кільцевої ділянки п'яти, обмеженої колами радіусами та , наближено дорівнює

(похибка викликана наближеним виразом для площі кільця та знехтуванням можливою залежністю тиску від радіуса, але є при нескінченно малою більш високого порядку по відношенню з ). Звідси отримаємо

.

При обертанні п'яти в підп'ятнику на кожній її ділянці виникає пропорційна тиску напруга тертя ( коефіцієнт тертя), тобто сила тертя, що діє на одиницю площі п'яти та напрямлена протилежно переміщенню ділянки п'яти відносно підп'ятника. Ця напруга дає внесок в момент опору обертання, який в силу симетрії відносно вісі обертання однаковий для всіх ділянок, розташованих на вісі на однаковій відстані . Таким чином, внесок в сумарний момент опору обертанню кільцевої ділянки п'яти, обмеженої колами радіусами та , можна записати наближеним співвідношенням

.

Тоді для сумарного моменту отримаємо

.

Для того щоб пов'язати осьову силу , що навантажує вал, з моментом та потужністю , що витрачається на подолання опору обертанню, необхідно конкретизувати залежність тиску від радіуса. Якщо вважати , що відповідає новій п'яті, то отримаємо

.

Звідси і , де . Зокрема, при маємо .

При обертанні п'яти її ділянки, більш віддалені від осі обертання, мають більшу швидкість відносно підп'ятника, так що знос цих ділянок та ділянок, що з ними контактують, більш інтенсивний. Завдяки цьому відбувається перерозподіл тиску та він зростає на більш близьких до вісі менш зношених ділянках. Для прироблених п'ят приймають, потужність на одиницю площі , що розвивається силам тертя, а значить, і інтенсивність зносу постійні, тобто . Тоді

.

Звідси і (зокрема, при , тобто для приробленої п'яти момент, а значить, і потужність, витрачена на подолання опору обертанню, менша, ніж для нової п'яти).

Приклад. Знайдемо силу тиску води на прямокутну стулку воріт судноплавного шлюзу та момент цієї сили відносно вісі обертання стулки при найбільшому перепаді рівнів у верхньому та нижньому б'єфах.

Розв'язання. Відомо, що сила тиску на площадку стовпчика рідини висотою , в основі якого лежить ця площадка, дорівнює , де густина рідини, - прискорення вільного падіння. Таким чином, на глибині тиск рідини , причому, гідно закону Паскаля, він не залежить від розташування площадки.

Нехай висота стулки та її ширина . Координатну вісь сумістимо з віссю обертання стулки, а вісь - з верхнім рівнем води (рис. 4).

Сила тиску на горизонтальну смужку стулки, що відповідає відрізку , наближено дорівнює

,

а для смужки, що відповідає відрізку ,

.

Тоді сила тиску на стулку дорівнює

.

Сила тиску на довільну горизонтальну смужку прикладена в її всередині, тобто на відстані від вісі обертання стулки. Значить, і сила тиску на стулку прикладена на такій самій відстані, що і момент цієї сили

.

Цікаво відмітити, що сила тиску рідини

На занурену вертикальну плоску фігуру з прямолінійними верхніми та нижніми краями та криволінійними боковими краями, що відповідають графікам функцій та (), пропорційна геометричному статичному моменту площі цієї фігури відносно вісі , що відповідає рівню рідини , а момент сили тиску

.

Відносно вісі - геометричному моменту інерції площі зануреної фігури відносно цієї вісі.

2. Застосування подвійних та потрійних інтегралів до знаходження статичних моментів та моментів сили

Розглянемо на площині матеріальну пластинку, яка має форму замкненої області , в кожній точці якої густина визначається функцією , де - неперервна функція в області . Як відомо, маса такої пластинки визначається формулою

.

Розглянемо застосування подвійних інтегралів до обчислення статичних моментів. Нагадаємо, що статичний момент матеріальної точки маси відносно деякої осі дорівнює добутку маси цієї точки на відстань її від осі, тобто .

Візьмемо - розбиття області , , і в кожній області виберемо довільну точку . Припустимо, що густина в усіх точках області стала і дорівнює . Таке припущення природне, оскільки функція неперервна, а діаметри областей можна вважати досить малими. Таким чином, маса кожної з частин пластинки наближено дорівнює , де - площа області . Якщо вважати, що кожну з цих мас зосереджено в точці , то дістанемо дискретну сукупність матеріальних точок, для якої статичні моменти та відносно координатних осей визначаються за формулами

.

Це наближені значення статичних моментів та пластинки. Точні значення цих величин дістанемо, якщо перейдемо до границі при , де , тобто

,

.

Приклад. Знайти статичні моменти однорідної пластинки, обмеженої кривою , та віссю .

Розв'язання. Застосуємо виведені формули

,

.

Приклад. Знайти статичні моменти круглої пластинки , якщо густина її речовини в точці пропорційна відстані від точки до точки .

Розв'язання. З умови задачі випливає, що густина речовини пластинки виражається формулою , де - стала.

Маємо

, .

Перейдемо до полярних координат за формулами , отримаємо

.

Розглянемо тепер задачу про визначення статичних моментів матеріального неоднорідного тіла . Нехай масу розподілено по замкненій області з густиною , де - неперервна функція в області . Маса такого тіла обчислюється за формулою

.

Аналогічно повторюючи міркування при знаходженні статичних моментів для матеріальної пластинки, можна дістати формули для статичних моментів тіла з густиною, де неперервна функція в області :

,

,

,

де - статичні моменти тіла відносно площин відповідно.

Приклад. Знайти статичні моменти призматичного тіла, обмеженого площинами .

Розв'язання. Маємо тіло : , , . Тоді статичні моменти

.

Розглянемо приклади застосування теорії подвійних та потрійних інтегралів до знаходження моментів сил.

Приклад. Обчислити відцентрову силу, що діє на тіло, що обертається.

Розв'язання. Для цього розіб'ємо тіло довільним чином на частин , , та виберемо в кожній з них довільну точку . Наближено будемо вважати, що маса кожної частинної області зосереджена в точці і дорівнює , де - об'єм частинної області . При обертанні тіла навколо вісі з кутовою швидкістю на матеріальну точку діє напрямлена перпендикулярно вісі обертання елементарна відцентрова сила, абсолютна величина якої дорівнює . Проекція цієї сили на вісі та дорівнюють і , а проекція на вісь рівна нулю (рис. 5). Тому для проекцій рівнодіючої елементарних відцентрових сил, які діють на все тіло, отримуємо

.

.

В правих частинах цих наближених рівностей стоять інтегральні суми для потрійних інтегралів. Приймаючи за точні значення проекцій відцентрової сили границі цих правих частин при , отримаємо

,

.

Звідси видно, що на тіло, що обертається, діє така ж сама відцентрова сила, якби вся його маса знаходилась в центрі мас цього тіла.

Елементарна відцентрова сила створює відносно початку координат момент з проекціями і на вісі та , а проекція цього моменту на вісь обертання тіла рівна нулю. Тому проекції результуючого моменту відцентрової сили на вісі та мають вигляд

.

.

Перейшовши в цих співвідношеннях до границі при , отримаємо

.

Аналізуючи ці результати, отримаємо, що якщо вісь обертання проходе через його центр мас, то результуюча відцентрова сила рівна нулю. Але при цьому проекції результуючого моменту в загальному випадку будуть відмінними від нуля, тобто тіло, що обертається буде впливати на підшипники чи інші види підставок, в яких закріплена його вісь обертання. Для того щоб такий вплив був відсутнім, необхідно і достатньо, щоб вісь обертання проходила через центр мас і дорівнювали нулю відцентрові моменти інерції

.

Порівнюючи отримані формули, видно, що проекції результуючого моменту пропорційні відцентровим моментам інерції. На цьому побудовано принцип балансування тіл, що обертаються.

3. Застосування криволінійних інтегралів першого роду до знаходження статичних моментів

Нехай для матеріальної просторової кривої задана її лінійна густина . Розіб'ємо криву точками на елементарні дуги з довжинами . Припустимо, що це розбиття настільки мале, що густина на кожній елементарній дузі можна вважати постійною. В цьому випадку кожну елементарну дугу можна замінити матеріальною точкою , в якій зосереджена вся маса цієї дуги (рис. 6). Додавши маси по всім елементарним дугам, для матеріальної кривої можна наближено прийняти, що

,

,

.

В якості точних значень цих статичних моментів істотно взяти границі правих частин рівностей при . Це приводить нас до запису статичних моментів через криволінійні інтеграли першого роду:

,

,

.

Координати вектора статичного моменту часто називають статичними моментами відносно координатних площин .

Відмітимо, що у випадку плоскої кривої , що лежить в координатній площині , координата вектора статичного моменту рівна нулю, а в формулах для координат лінійна густина не буде залежати від координати . В цьому випадку називають статичними моментами відносно осей .

Приклад. Знайти статичні моменти півкола : з постійною лінійною густиною.

Розв'язання. Очевидно, що центр мас півкола в силу симетрії розташований на вісі , тобто . Для обчислення використаємо параметричне рівняння півкола у вигляді

.

Тоді і для проекції вектора статичного моменту отримаємо

.

Приклад. Знайти статичні моменти дуги однорідної астроїди відносно осей координат.

Розв'язання. Для розв'язання скористаємось параметричними рівняннями астроїди , . Диференціал дуги астроїди . Оскільки , то в знак модуля можна опустити. Маємо

.

4. Застосування поверхневих інтегралів першого роду при знаходженні статичних моментів матеріальної поверхні

В просторі введемо прямокутну Декартові систему координат з ортами (одиничними векторами) і розглянемо матеріальну поверхню , по якій розподілена маса з поверхневою густиною . Розіб'ємо поверхню на частинних областей , , вибравши на кожній з них довільним чином точку . При цьому покладемо, що при малих діаметрах частинних областей поверхнева густина розподіленої по поверхні маси в межах кожної частинної області постійна і дорівнює значенню .

При цих припущеннях, як і у випадку матеріальної кривої, можна отримати формули для знаходження статичних моментів матеріальної поверхні:

,

,

.

Приклад. Знайти статичні моменти однорідної трикутної пластинки відносно координатних площин.

Розв'язання. Виділимо елемент пластинки, площа якого дорівнює , та знайдемо наближено статичний момент цього елемента відносно площини . Відстань елемента пластинки від цієї площини наближено дорівнює , тому можна написати наближену рівність

,

Оскільки . Додаючи по всім елементам пластинки, прийдемо до формули

,

Де - проекція пластинки на площину . Обчислюючи подвійний інтеграл, маємо:

.

З міркувань симетрії можна зробити висновок, що виконуються рівності: .

Приклад. Знайти статичні моменти частини однорідної поверхні , вирізаної поверхнею .

Розв'язання. Маємо . Перейдемо до полярних координат при обчисленні подвійних інтегралів. Маємо

Висновки

В роботі розглянуто застування методів математичного аналізу для знаходження статичних моментів матеріальної точки, матеріальної кривої та матеріального тіла. Як було зазначено, при цьому використовується апарат інтегрального числення функцій однієї та багатьох змінних. А саме: визначений інтеграл, подвійний та потрійний інтеграли, криволінійний інтеграл першого роду та поверхневий інтеграл першого роду. Також в роботі сформульовано загальний спосіб застосування інтегралів до розв'язування фізичних задач.

Робота супроводжується великою кількістю прикладів знаходження вказаних фізичних величин. Тому є цікавою та корисною для студентів фізико-математичного факультету.

Список використаних джерел

математичний аналіз обчислення статичний момент

1. Шкіль М.І., Колесник Т.В. Вища математика: Підручник: У 3 кн.: Кн.3. Диференціальне та інтегральне числення функцій багатьох змінних. Диференціальні рівняння. - К.: Либідь, 1994. -352 с.

2. Шкіль М.І., Колесник Т.В. Вища математика: Підручник: У 3 кн.: Кн. 2. Диференціальне та інтегральне числення функцій однієї змінної. Ряди. - К.: Либідь, 1994. - 352 с.

3. В.С. Зарубин, Е.Е. Иванова, Г.Н. Кувыркин. Интегральное исчисление функций одного переменного: Учебник для вузов.- М., Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1999. - 528 с.

4. В.Р.Гаврилов, Е.Е. Иванова, В.Д. Морозова. Кратные и криволинейные интегралы. Элементы теории поля: Учеб. для вузов - М., Изд-во МГТУ им. Н.Э.Баумана, 2003. - 496 с.

5. Математический анализ в примерах и задачах, ч. 2. Ряды, функции нескольких переменных, кратные и криволинейные интегралы. Ляшко И.И., Боярчук А.К., Гай Я.Г., Головач Г.П. - Вища школа, 1977.- 672 с.

6. Математический анализ в примерах и задачах, ч. 1. Введение в анализ, производная, интеграл. Ляшко И.И., Боярчук А.К., Гай Я.Г., Головач Г.П. - Вища школа, 1975.- 680 с.

7. Б.М. Яворский, А.А. Детлаф. Справочник по физике для инженеров и студентов вузов.- М., Наука, 1965. - 848 с.

Размещено на Allbest.ru