Дослідження кратних інтегралів
Поняття подвійного та потрійного інтегралів. Кратні інтеграли в криволінійних координатах. Геометричні й фізичні додатки кратних інтегралів. Криволінійні й поверхневі інтеграли. Спосіб обчислення криволінійного інтеграла першого та другого роду.
| Рубрика | Математика |
| Вид | курсовая работа |
| Язык | украинский |
| Дата добавления | 14.01.2011 |
| Размер файла | 278,9 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
20
Курсова робота
По дисципліні: Вища математика
(Основи лінійного програмування)
На тему: Дослідження кратних інтегралів
Зміст
- 1. Кратні інтеграли
- Подвійний інтеграл
- Потрійний інтеграл
- Кратні інтеграли в криволінійних координатах
- Геометричні й фізичні додатки кратних інтегралів
- 2. Криволінійні й поверхневі інтеграли
- Криволінійні інтеграли
- Поверхневі інтеграли
- Геометричні й фізичні додатки
- Список літератури
1. Кратні інтеграли
Подвійний інтеграл
Розглянемо в площині Оху замкнуту область D, обмежену лінією L. Розіб'ємо цю область якими-небудь лініями на п частин , а відповідні найбільші відстані між крапками в кожній із цих частин позначимо d1, d2,., dn. Виберемо в кожній частині крапку Рi. Нехай в області D задана функція z = f (x, y). Позначимо через f (P1), f (P2),…,f (Pn) значення цієї функції в обраних крапках і складемо суму добутків виду f (Pi) ДSi:
, (1)
називану інтегральною сумою для функції f (x, y) в області D. Якщо існує той самий межа інтегральних сум (1) при й , не залежний ні від способу розбивки області D на частині, ні від вибору крапок Pi у них, то він називається подвійним інтегралом від функції f (x, y) по області D і позначається
. (2)
Обчислення подвійного інтеграла по області D, обмеженої лініями
x = a, x = b (a < b),
де ц1 (х) і ц2 (х) безперервні на [a, b] (мал.1) зводиться до послідовного обчислення двох певних інтегралів, або так званого дворазового інтеграла:
Мал.1
= (3)
Потрійний інтеграл
Поняття потрійного інтеграла вводиться за аналогією з подвійним інтегралом. Нехай у просторі задана деяка область V, обмежена замкнутою поверхнею S. Задамо в цій замкнутій області безперервну функцію f (x, y, z). Потім розіб'ємо область V на довільні частини Дvi, уважаючи об'єм кожної частини рівним Дvi, і складемо інтегральну суму виду
, (4)
Межа при інтегральних сум (11), що не залежить від способу розбивки області V і вибору крапок Pi у кожної під області цієї області, називається потрійним інтегралом від функції f (x, y, z) по області V:
. (5)
Потрійний інтеграл від функції f (x,y,z) по області V дорівнює трикратному інтегралу по тій же області:
. (6)
Кратні інтеграли в криволінійних координатах
Уведемо на площині криволінійні координати, називані полярними. Виберемо крапку О (полюс) і вихідний з її промінь (полярну вісь).
Мал.2
Координатами крапки М (мал.2) будуть довжина відрізка МО - полярний радіус? і кут? між МО й полярною віссю: М (?,?). Відзначимо, що для всіх крапок площини, крім полюса,? > 0, а полярний кут? будемо вважати позитивним при вимірі його в напрямку проти годинникової стрілки й негативним - при вимірі в протилежному напрямку.
Зв'язок між полярними й декартовими координатами крапки М можна задати, якщо сполучити початок декартової системи координат з полюсом, а позитивну піввісь Ох - з полярною віссю (мал.3). Тоді x=сcosц, в=сsinц. Звідси , tg.
Задамо в області D, обмеженої кривими с=Ц1 (ц) і с=Ц2 (ц), де ц1 < ц < ц2, безперервну функцію z = f (ц,?) (мал.4).
Мал.4
Тоді
(7)
У тривимірному просторі вводяться циліндричні й сферичні координати.
Циліндричні координати крапки Р (?,?,z) - це полярні координати?,? проекції цієї крапки на площину Оху й апліката даної крапки z (мал.5).
Мал.5 Мал.6
Формули переходу від циліндричних координат до декартовим можна задати в такий спосіб:
x =? cos?, y =? sin?, z = z. (8)
У сферичних координатах положення крапки в просторі визначається лінійною координатою r - відстанню від крапки до початку декартової системи координат (або полюса сферичної системи),? - полярним кутом між позитивною піввіссю Ох і проекцією крапки на площину Оху, і? - кутом між позитивною піввіссю осі Оz і відрізком OP (мал.6). При цьому
Задамо формули переходу від сферичних координат до декартової:
x = r sin? cos?, y = r sin? sin?, z = r cos?. (9)
Тоді формули переходу до циліндричних або сферичних координат у потрійному інтегралі будуть виглядати так:
, (10)
де F1 і F2 - функції, отримані при підстановці у функцію f замість x, y, z їхніх виражень через циліндричні (8) або сферичні (9) координати.
Геометричні й фізичні додатки кратних інтегралів
1) Площа плоскої області S: (11)
Приклад 1.
Знайти площу фігури D, обмеженої лініями
в = 2, в = 5.
Рішення.
20
Цю площу зручно обчислювати, уважаючи в зовнішньої змінної. Тоді границі області задаються рівняннями й
де обчислюється за допомогою інтегрування вроздріб:
Отже,
2) Об'єм циліндроїда, тобто тіла, обмеженого частиною поверхні S: z = f (x,y), обмеженої контуром L, проекцією D цієї поверхні на площину Оху й відрізками, паралельними осі Оz і з'єднуючу кожну крапку контуру L з відповідною крапкою площини Оху:
(12)
3) Площа частини криволінійної поверхні S, заданої рівнянням z = f (x,y), обмеженої контуром L:
(13)
де D - проекція S на площину Оху.
4) Момент інерції відносно початку координат Про матеріальну плоску фігуру D:
(14)
Приклад 2.
Знайти момент інерції однорідної круглої пластинки (x - a) 2 + (y - b) 2 < 4b2 відносно початку координат. Рішення.
У силу однорідності пластинки покладемо її щільність? (х, у) = 1.
20
Центр кола розташований у крапці C (a, b), а його радіус дорівнює 2b.
Рівняння границь пластинки мають вигляд
Обчислимо кожного з отриманих інтегралів окремо.
Для обчислення інтеграла I1 зробимо заміну: при x = a - 2b при x = a + 2b
Для обчислення інтеграла I2 перетворимо функцію по формулі різниці кубів:
. Тоді
Отже,
Моменти інерції фігури D щодо осей Ох і Оу:
(15)
5) Маса плоскої фігури D змінної поверхневої щільності? =? (х, у):
(16)
Приклад 3.
Знайти масу пластинки D щільності г = ух3, якщо
Рішення.
20
Координати центра мас плоскої фігури змінної поверхневої щільності? =? (х, у):
(17)
Приклад 4.
Знайти центр ваги однорідної пластини D, обмеженої кривими в2 = ах і . Рішення.
Тому що пластина однорідна, тобто її щільність постійна, то можна прийняти неї за одиницю.
20
Тоді
Знайдемо масу пластини, а для цього визначимо абсцису крапки перетинання обмежуючих її ліній:
Відповідно
6) Об'єм тіла V:
(18)
Приклад 5.
Знайти об'єм тіла V, обмеженого поверхнями
Рішення.
Знайдемо проекцію тіла на площину Оху (при цьому помітимо, що площина проектує на цю площину у вигляді прямій х = 0):
20
Визначимо абсцису крапки перетинання кривих в = х2 і х + в = 2:
сторонній корінь. Тоді, використовуючи формулу (18), одержуємо:
7) Маса тіла V щільності? =? (x, y, z):
(19)
8) Моменти інерції тіла V щодо координатних осей і початку координат:
(20)
(21)
де? (х, y, z) - густина речовини.
Статичні моменти тіла щодо координатних площин Oyz, Oxz, Oxy:
(22)
9) Координати центра мас тіла:
2. Криволінійні й поверхневі інтеграли
Криволінійні інтеграли
Розглянемо на площині або в просторі криву L і функцію f, певну в кожній крапці цієї кривої. Розіб'ємо криву на частині Дsi довжиною Дsi і виберемо на кожній із частин крапку Mi. Назвемо d довжину найбільшого відрізка кривій: .
Криволінійним інтегралом першого роду від функції f по кривій L називається межа інтегральної суми , не залежний ні від способу розбивки кривій на відрізки, ні від вибору крапок Mi:
(24)
Якщо криву L можна задати параметричне:
x = ц (t), y = ш (t), z = ч (t), t0 ? t? T,
те спосіб обчислення криволінійного інтеграла першого роду задається формулою
(25)
Зокрема, якщо крива L задана на площині явно:
в=ц (х), де х1 ? х ? х2, формула (40) перетвориться до виду:
. (26)
Тепер помножимо значення функції в крапці Mi не на довжину i-го відрізка, а на проекцію цього відрізка, скажемо, на вісь Ох, тобто на різницю xi - xi-1 = Дxi.
Якщо існує кінцева межа при інтегральної суми , що не залежить від способу розбивки кривій на відрізки й вибору крапок Mi, то він називається криволінійним інтегралом другого роду від функції f (M) по кривій L і позначається
. (27)
Подібним чином можна визначити й криволінійні інтеграли 2-го роди виду
Якщо уздовж кривій L визначені функції P (M) =P (x, y, z), Q (M) = Q (x, y, z), R (M) = R (x, y, z), які можна вважати компонентами деякого вектора , і існують інтеграли
,
тоді їхню суму називають криволінійним інтегралом другого роду (загального виду) і думають
.
Якщо крива L задана параметричними рівняннями
x =? (t), y =? (t), z =? (t),?? t??, де?,?,? - функції, то
. (28)
Зв'язок між подвійним інтегралом і криволінійним інтегралом 2-го роди задається формулою Гріна:
(29)
де L - замкнутий контур, а D - область, обмежена цим контуром. Необхідними й достатніми умовами незалежності криволінійного інтеграла
від шляху інтегрування є:
. (30)
При виконанні умов (30) вираження Pdx + Qdy +Rdz є повним диференціалом деякої функції й. Це дозволяє звести обчислення криволінійного інтеграла до визначення різниці значень і в кінцевій і початковій крапках контуру інтегрування, тому що
При цьому функцію й можна знайти по формулі
(31)
де (x0, y0, z0) - крапка з області D, a C - довільна постійна.
Поверхневі інтеграли
Розглянемо деяку поверхню S, обмежену контуром L, і розіб'ємо її на частині S1, S2,…,Sп (при цьому площа кожної частини теж позначимо Sп). Нехай у кожній крапці цієї поверхні задане значення функції f (x, y, z). Виберемо в кожній частині Si крапку Mi (xi, yi, zi) і складемо інтегральну суму
Якщо існує кінцева межа при цієї інтегральної суми, що не залежить від способу розбивки поверхні на частині й вибору крапок Mi, то він називається поверхневим інтегралом першого роду від функції f (M) = f (x, y, z) по поверхні S і позначається
. (32)
Якщо поверхня S задається явно, тобто рівнянням виду z =? (x, y), обчислення поверхневого інтеграла 1-го роду зводиться до обчислення подвійного інтеграла:
(33)
де? - проекція поверхні S на площину Оху.
Розіб'ємо поверхню S на частині S1, S2,…,Sп, виберемо в кожній частині Si крапку Mi (xi, yi, zi), і помножимо f (Mi) на площу Di проекції частини Si на площину Оху. Якщо існує кінцева межа суми
,
не залежний від способу розбивки поверхні й вибору крапок на ній, то він називається поверхневим інтегралом другого роду від функції f (M) по обраній стороні поверхні S і позначається
(34)
Подібним чином можна проектувати частини поверхні на координатні площини Оxz і Оyz. Одержимо два інших поверхневих інтеграли 2-го роди:
и.
Розглянувши суму таких інтегралів по однієї й тій же поверхні відповідно від функцій P (x, y, z), Q (x, y, z), R (x, y, z), одержимо поверхневий інтеграл другого роду загального виду:
(35)
Якщо D, D? і D?? - проекції поверхні S на координатні площини Оху, Oxz і Oyz, те
(36)
Зв'язок між потрійним інтегралом по тривимірній області V і поверхневим інтегралом 2-го роди по замкнутій поверхні S, що обмежує тіло V, задається формулою Гаусса-Остроградського:
(37)
де запис "S+" означає, що інтеграл, що коштує праворуч, обчислюється по зовнішній стороні поверхні S. Формула Стокса встановлює зв'язок між поверхневим інтегралом 1-го роду по поверхні? і криволінійним інтегралом 2-го роду по обмежуючому його контурі? з урахуванням орієнтації поверхні:
(38)
Геометричні й фізичні додатки
1) Довжина кривої.
Якщо підінтегральна функція f (x, y, z)? 1, то з визначення криволінійного інтеграла 1-го роду одержуємо, що в цьому випадку він дорівнює довжині кривої, по якій ведеться інтегрування:
(39)
2) Маса кривої.
Уважаючи, що підінтегральна функція? (x, y, z) визначає щільність кожної крапки кривій, знайдемо масу кривої по формулі
(40)
Приклад 6.
Знайти масу кривої з лінійною щільністю заданої в полярних координатах рівнянням с = 4ц, де
Рішення.
Використовуємо формулу (40) з обліком того, що крива задана в полярних координатах:
3) Моменти кривій l:
- (41)
статичні моменти плоскій кривій l щодо осей Ох і Оу;
- (42)
момент інерції просторовій кривій відносно початку координат;
- (43)
моменти інерції кривій щодо координатних осей.
4) Координати центра мас кривій обчислюються по формулах
. (44)
5) Робота сили , що діє на крапку, що рухається по кривій (АВ):
, (45)
Приклад 7.
Обчислити роботу векторного поля уздовж відрізка прямій від крапки А (-2; - 3;
1) до крапки В (1; 4;
2).
Рішення.
Знайдемо канонічні й параметричні рівняння прямій АВ:
Площа криволінійної поверхні, рівняння якої
z = f (x, y), можна знайти у вигляді:
(46)
(? - проекція S на площину Оху).
7) Маса поверхні
(47)
Приклад 8.
Знайти масу поверхні з поверхневою щільністю г = 2z2 + 3.
Рішення.
На розглянутій поверхні
Тоді
Проекцією D цієї поверхні на координатну площину Оху є півкільце із границями у вигляді дуг концентричних окружностей радіусів 3 і 4.
20
Застосовуючи формулу (47) і переходячи до полярних координат, одержимо:
8) Моменти поверхні:
(48)
статичні моменти поверхні щодо координатних площин Oxy, Oxz, Oyz;
(49)
моменти інерції поверхні щодо координатних осей;
- (50)
моменти інерції поверхні щодо координатних площин;
- (51)
момент інерції поверхні відносно початку координат
Координати центра мас поверхні:
. (52)
Список літератури
1. Фихтенгольц Г.М. Курс диференціального й інтегрального вирахування. К., 1999.
2. Кудрявцев Л.Д. Курс математичного аналізу. - К., 2000.
3. Ільїн В.А., Позняк Е.Г. Математичний аналіз. - К., 1999.
4. Смирнов В.І. Курс вищої математики. - Т.2. - К., 2005.
5. Бугрів Я.С., Нікольський С.М. Диференціальні рівняння. Кратні інтеграли. Ряди. Функції комплексного змінного. - К., 2001.
6. Пискунов М.С. Диференціальне й інтегральне вирахування. - К., 2004.
7. Мишкис А.Д. Лекції по вищій математиці. - К., 2003.
8. Титаренко В. І, Кратні, криволінійні й поверхневі інтеграли. Теорія поля. - К., 2006.
Подобные документы
Поняття криволінійного інтеграла першого роду (по довжині дуги). Обчислення криволінійних інтегралів першого роду. Застосування криволінійного інтеграла першого роду. Фізичний зміст та поняття криволінійного інтеграла другого роду (по координатах).
реферат [535,9 K], добавлен 10.03.2011Суть поверхневих інтегралів першого роду, які є узагальненням подвійних інтегралів. Лист Мебіуса, як приклад односторонньої поверхні. Формула Остроградського-Гаусса, яка встановлює зв'язок між поверхневим інтегралом по замкненій поверхні. Формула Стокса.
реферат [634,6 K], добавлен 16.03.2011Таблиця формул основних інтегралів. Методи обчислення площі плоскої фігури в декартових координатах. Означення потрійного інтеграла. Знаходження площі фігури обмеженої лініями, розрахунок обсягу просторового тіла. Властивості визначеного інтеграла.
презентация [467,7 K], добавлен 23.02.2013Метод Монте-Карло як метод моделювання випадкових величин з метою обчислення характеристик їхнього розподілу, оцінка похибки. Обчислення кратних інтегралів методом Монте-Карло, його принцип роботи. Приклади складання програми для роботи цим методом.
контрольная работа [41,6 K], добавлен 22.12.2010Вивчення елементарних функцій, інтеграли від яких не є елементарними функціями, тобто вони не обчислюються в скінченному вигляді або не 6еруться. Наближені методи обчислення визначених інтегралів. Дослідження невласних інтегралів та ознаки їх збіжності.
реферат [1,1 M], добавлен 18.07.2010Характерні особливості застосування визначених і подвійних інтегралів, криволінійних і поверхневих інтегралів першого роду для обчислення статичних моментів, моментів сили та моментів матеріальної поверхні. Приклади знаходження вказаних фізичних величин.
реферат [694,9 K], добавлен 29.06.2011Криволінійний інтеграл по довжині дуги. Обчислення визначеного інтеграла. Параметричні рівняння кривої. Властивості криволінійного інтеграла першого роду. Форми шляху інтегрування. Властивості визначеного інтеграла. Зміна напряму руху по кривій.
лекция [169,5 K], добавлен 30.04.2014Поняття та способи розв’язку невласного подвійного інтегралу. Теорема про абсолютну збіжність невласного подвійного інтеграла. Інтеграли від необмежених функцій. Приведення подвійного інтеграла до повторного. Заміна змінних в невласних інтегралах.
курсовая работа [782,9 K], добавлен 05.02.2011Проблеми відновлення функції по відомій її похідній для науки та техніки серед множини абелевих інтегралів та алгебраїчних кривих і функцій. Інтегрування виразів до многочленів під коренем як вид еліптичних інтегралів. Перетворення до канонічної форми.
курсовая работа [150,8 K], добавлен 25.05.2009Методика розрахунку невизначених інтегралів. Обчислення площі фігури, обмеженої вказаними лініями, та формування відповідного рисунку. Загальний та частинний розв’язок диференціального рівняння першого порядку. Дослідження на збіжність числових рядів.
контрольная работа [490,5 K], добавлен 19.01.2015
