Основы математики

Разобьем отрезок [а; b] на n равных частей длиныАбсциссы точек деления а = х₀, x₁,х₂,...,b = х_n (рис. 201). Пусть у₀,у₁...,у_n --

соответствующие им ординаты графика функции. Тогда расчетные формулы для этих значений примут вид:

х_i = a+h*i, у_i=ѓ(x_i), i= 0,1,2,..., n;

Заменим кривую у=ѓ(х) ломаной линией, звенья которой соединяют концы ординат y_i и y_i+1 (i = 0,1,2,.. .,n). Тогда площадь криволинейной трапеции приближенно равна сумме площадей обычных трапеций с основаниями у_i, y_i+1 и высотой

или

Формула (42.2) называется формулой трапеций.

Абсолютная погрешность R_n приближения, полученного по формуле трапеций, оценивается с помощью формулы

* М₂, где

Снова для линейной функции у=kх +b формула (42.2) -- точная.

42. Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка, интегрируемых в квадратурах

Дифференциальное уравнение -- уравнение, связывающее значение производной функции с самой функцией, значениями независимой переменной, числами (параметрами). Порядок входящих в уравнение производных может быть различен (формально он ничем не ограничен). Производные, функции, независимые переменные и параметры могут входить в уравнение в различных комбинациях или все, кроме хотя бы одной производной, отсутствовать вовсе. Не любое уравнение, содержащее производные неизвестной функции, является дифференциальным уравнением. Например,

не является дифференциальным уравнением.

Дифференциальное уравнение порядка выше первого можно преобразовать в систему уравнений первого порядка, в которой число уравнений равно порядку исходного уравнения.

Порядок, или степень дифференциального уравнения -- наивысший порядок производных, входящих в него.

Решением (интегралом) дифференциального уравнения порядка n называется функция y(x), имеющая на некотором интервале (a, b) производные до порядка n включительно и удовлетворяющая этому уравнению. Процесс решения дифференциального уравнения называется интегрированием.

Задача об интегрировании дифференциального уравнения считается решённой, если нахождение неизвестной функции удается привести к квадратуре, независимо от того, выражается ли полученный интеграл в конечном виде через известные функции или нет.

Все дифференциальные уравнения можно разделить на обыкновенные (ОДУ), в которые входят только функции (и их производные) от одного аргумента, и уравнения с частными производными (УРЧП), в которых входящие функции зависят от многих переменных. Существуют также стохастические дифференциальные уравнения (СДУ), включающие случайные процессы.

В зависимости от комбинаций производных, функций, независимых переменных дифференциальные уравнения подразделяются на линейные и нелинейные, с постоянными или переменными коэффициентами, однородные или неоднородные. В связи с важностью приложений в отдельный класс выделены квазилинейные (линейные относительно старших производных) дифференциальные уравнения в частных производных.

Важнейшим вопросом для дифференциальных уравнений является существование и единственность их решения. Разрешение этого вопроса дают теоремы существования и единственности, указывающие необходимые и достаточные для этого условия. Для обыкновенных дифференциальных уравнений такие условия были сформулированы Липшицем (1864).

Решения дифференциальных уравнений подразделяются на общие и частные решения. Общие решения включают в себя неопределенные постоянные, а для уравнений в частных производных -- произвольные функции от независимых переменных, которые могут быть уточнены из дополнительных условий интегрирования (начальных условий для обыкновенных дифференциальных уравнений, начальных и граничных условий для уравнений в частных производных). После определения вида указанных постоянных и неопределенных функций решения становятся частными.

Поиск решений обыкновенных дифференциальных уравнений привёл к установлению класса специальных функций -- часто встречающихся в приложениях функций, не выражающихся через известные элементарные функции. Их свойства были подробно изучены, составлены таблицы значений, определены взаимные связи и т. д.

Развитие теории дифференциальных уравнений позволило в ряде случаев отказаться от требования непрерывности исследуемых функций и ввести обобщённые решения дифференциальных уравнений.

Обыкновенное дифференциальное уравнение:

Обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ) -- это уравнения, зависящие от одной независимой переменной; они имеют вид илигде неизвестная функция (возможно, вектор-функция; в таком случае часто говорят о системе дифференциальных уравнений), зависящая от независимой переменной х штрих означает дифференцирование по х. Число называется порядком дифференциального уравнения. Наиболее практически важными являются дифференциальные уравнения первого и второго порядка.

Порядок дифференциального уравнения:

Порядком дифференциального уравнения называют наивысший порядок производной, входящей в данное уравнение.

Простейшие дифференциальные уравнения первого порядка:

Простейшие дифференциальные уравнения первого порядка -- класс дифференциальных уравнений первого порядка, наиболее легко поддающихся решению и исследованию. К нему относятся уравнения в полных дифференциалах, уравнения с разделяющимися переменными, однородные уравнения первого порядка и линейные уравнения первого порядка. Все эти уравнения можно проинтегрировать в конечном виде.

Отправной точкой изложения будет служить дифференциальное уравнение первого порядка, записанное в т. н. симметричной форме:где функции и определены и непрерывны в некоторой области

Линейное дифференциальное уравнение:

Как обыкновенные дифференциальные уравнения, так и уравнения в частных производных можно разделить на линейные и нелинейные. Дифференциальное уравнение является линейным, если неизвестная функция и её производные входят в уравнение только в первой степени (и не перемножаются друг с другом). Для таких уравнений решения образуют аффинное подпространство пространства функций. Теория линейных ДУ развита значительно глубже, чем теория нелинейных уравнений. Общий вид линейного дифференциального уравнения n-го порядка:

где p_i(x) -- известные функции независимой переменной, называемые коэффициентами уравнения. Функция r(x) в правой части называется свободным членом (единственное слагаемое, не зависящее от неизвестной функции) Важным частным классом линейных уравнений являются линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.

Подклассом линейных уравнений являются однородные дифференциальные уравнения -- уравнения, которые не содержат свободного члена: r(x) = 0. Для однородных дифференциальных уравнений выполняется принцип суперпозиции: линейная комбинация частных решений такого уравнения также будет его решением. Все остальные линейные дифференциальные уравнения называются неоднородными дифференциальными уравнениями.

Нелинейные дифференциальные уравнения в общем случае не имеют разработанных методов решения, кроме некоторых частных классов. В некоторых случаях (с применением тех или иных приближений) они могут быть сведены к линейным. Например, линейное уравнение гармонического осциллятора может рассматриваться как приближение нелинейного уравнения математического маятника для случая малых амплитуд, когда y ? sin y.

43. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, линейное относительно неизвестной функции и её производной. Оно имеет вид:

где и -- заданные функции от х, непрерывные в той области, в которой требуется проинтегрировать уравнение (1).

Если , то уравнение (1) называется линейным однородным. Оно является уравнением с разделяющимися переменными и имеет общее решение Общее решение неоднородного уравнения можно найти методом вариации произвольной постоянной, который состоит в том, что решение уравнения (1) ищется в виде, где -- новая неизвестная функция от х.



44. Признаки сходимости числовых рядов

Необходимый признак сходимости числового ряда:

Если ряд сходится, то. Данный признак означает, что если то ряд расходится. Например,расходится, так как. Из выполнения условия в общем случае не следует сходимость ряда. Например, для ряда (гармонический ряд), условие выполнено, но данный ряд расходится.

Признак Д'Аламбера:

Если существует то: при рядсходится; приряд расходится.

Радикальный признак Коши:

Если существуетто: при ряд сходится; приряд расходится.

Интегральный признак Коши:

Пусть задан ряд , члены которого являются значениями непрерывной, положительной и монотонно убывающей функции на промежутке . Тогда ряд сходится, если сходится несобственный интеграл. Если же расходится, то ряд также будет расходящимся.



45. Функциональный ряд

Ряд, каждым членом которого, в отличие от числового ряда, является не число, а функция формальное выражение вида называется функциональным рядом.

Множество Х- область определения ряда. Сумма n первых членов ряда

называется n-ой частичной суммой функционального ряда. Заметим, что является функциональной последовательностью, определенной на Х .

Пусть точка функциональный ряд сходится в точке , если числовой ряд сходится.

Множество D точек, где сходится, называется областью сходимости ряда.

Функциональный ряд сходится на множестве D, если последовательностьего частичных сумм сходится на D.

Если функциональный ряд сходится на множестве, D то его сумма есть функция

определенная на D, очевидно, есть предел функциональной последовательности

46. Степенные ряды и их свойства

Функциональный ряд, членами которого являются степенные функции аргумента x, называется степенным рядом: , где a ? коэффициенты степенного ряда (постоянные действительные числа).

Часто рассматривается степенной ряд, расположенный по степеням (x ? x₀):

, где точка x₀ называется центром степенного ряда.

Интервал сходимости степенного ряда:

Рассмотрим функции . Ее областью определения является множество значений x, при которых ряд сходится. Данная область определения называется интервалом сходимости.

Радиус сходимости степенного ряда: Если интервал сходимости представляется в виде (x₀ ? R, x₀ + R), где R > 0, то величина R называется радиусом сходимости. Степенной ряд сходится абсолютно в каждой точке интервала сходимости. Сходимость в граничных точках x₀ ? R и x₀ + R устанавливается отдельно.

Радиус сходимости по признаку Даламбера:

Радиус сходимости по радикальному признаку Коши:

Дифференцирование степенных рядов: Пусть дан степенной ряд , имеющий радиус сходимости R > 0. Функция является непрерывной при |x| < R. Степенной ряд внутри интервала сходимости можно дифференцировать почленно. Производная степенного ряда равна



Интегрирование степенных рядов: Степенной ряд можно почленно интегрировать на отрезке, расположенном внутри интервала сходимости. Если ?R < b < x < R, то справедливо соотношение

Если интегрирование выполняется на отрезке [0, x], то интеграл выражается формулой:

47. Ряды Фурье

Ряд Фурье -- в математике -- способ представления произвольной сложной функции суммой более простых. В общем случае количество таких функций может быть бесконечным, при этом, чем больше таких функций учитывается при расчете, тем выше оказывается конечная точность представления исходной функции. В большинстве случаев в качестве простейших используются тригонометрические функции синуса и косинуса, в этом случае ряд Фурье называется тригонометрическим, а вычисление такого ряда часто называют разложением на гармоники.

Ряд Фурье -- представление произвольной функции с периодомв виде ряда:



Этот ряд может быть также записан в виде:

, где -- амплитуда -го гармонического колебания, -- круговая частота гармонического колебания, начальная фаза -го колебания, --я комплексная амплитуда.

Тригонометрическим рядом Фурье называют функциональный ряд вида:

или, более сжато

Постоянные числа , и () называются коэффициентами тригонометрического ряда.

Если ряд (1) сходится, то его сумма есть периодическая функция с периодом так как и являются периодическими функциями с периодом

Размещено на Allbest.ru