Решение систем линейных уравнений
Нахождение проекции точки на прямую, проходящую через заданные точки. Изучение формул Крамера для решения систем линейных уравнений. Определение точки пересечения перпендикуляра и исходной прямой. Исследование и решение матричной системы методом Гаусса.
| Рубрика | Математика |
| Вид | контрольная работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 19.04.2015 |
| Размер файла | 98,6 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Федеральное агентство связи
Сибирский Государственный Университет Телекоммуникаций и Информатики
Контрольная работа
По дисциплине: Линейная алгебра
Новосибирск, 2014г
1. Формулы Крамера для решения систем линейных уравнений
Система линейных уравнений порядка n имеет вид:
При этом числа -называются коэффициентами при неизвестных
-свободные члены
Матрица называется матрицей системы
Числа - решение системы если
при подстановке этих чисел в систему каждое из уравнений системы превращается в верное числовое тождество.
Система линейных уравнений называется совместной, если она имеет по крайней мере одно решение.
Если система линейных уравнений не имеет решений, то система называется несовместной.
Формулы Крамера. Рассмотрим систему уравнений (*). И пусть А- матрица системы
Если i -столбец заменим свободными членами , то соответствующую матрицу обозначим
Если система линейных уравнений (*) такова, что определитель системы отличен от нуля, то система линейных уравнений имеет единственное решение , которое находится по формуле:
2. Найти проекцию точки М0 (-8;12) на прямую, проходящую через точки А (2;-3), В(-5; 1)
Решение:
Напишем уравнение прямой проходящий через точки А(2;-3) и В (-5; 1)
Или
Отметим что угловой коэффициент равен . Поэтому у прямой, которая перпендикулярна данной, угловой коэффициент будет равен , и уравнение этого перпендикуляра , проходящего через точку М0 (-8;12) имеет вид:
Осталось найти точку пересечения перпендикуляра и исходной прямой. Так найдем нужную проекцию. Другими словами надо решить систему уравнений:
Слегка преобразив получим:
Выразив одну переменную через другую из первого уравнения и подставив это выражение во второе уравнение, найдем сначала одно, а потом и второе .
Ответ: х=-12; y=5.
3. Исследовать и найти решение системы
Решим систему методом Гаусса. Запишем систему в матричном виде и выполним элементарные преобразования
точка линейный уравнение матричный
Т.к. добавление столбца из нулей 9 свободных членов) не может повысить ранг матрицы. Ранг расширенной матрицы равен рангу матрицы, но меньше числа неизвестных (4=4, 1<4) следовательно (согласно теоремы Кронекера-Капелли) система совместна и имеет бесконечное множество решений, в том числе и нулевое решение: (0,0,0,0).
Общее решение системы имеет вид:
Базисные решения:
Фундаментальная система решений
Ответ:
Примечание: Решить методом Крамера и методом обратной матрицы нельзя, т.к. необходимо чтобы (а у данной матрицы ).
Размещено на Allbest.ru
Подобные документы
Выполнение действий над матрицами. Определение обратной матрицы. Решение матричных уравнений и системы уравнений матричным способом, используя алгебраические дополнения. Исследование и решение системы линейных уравнений методом Крамера и Гаусса.
контрольная работа [63,2 K], добавлен 24.10.2010Основные понятия теории систем уравнений. Метод Гаусса — метод последовательного исключения переменных. Формулы Крамера. Решение систем линейных уравнений методом обратной матрицы. Теорема Кронекер–Капелли. Совместность систем однородных уравнений.
лекция [24,2 K], добавлен 14.12.2010Изучение основ линейных алгебраических уравнений. Нахождение решения систем данных уравнений методом Гаусса с выбором ведущего элемента в строке, в столбце и в матрице. Выведение исходной матрицы. Основные правила применения метода факторизации.
лабораторная работа [489,3 K], добавлен 28.10.2014Метод Гаусса–Жордана: определение типа системы, запись общего решения и базиса. Выражение свободных переменных с использованием матричного исчисления. Нахождение координат вектора в базисе. Решение системы уравнений по правилу Крамера и обратной матрицей.
контрольная работа [200,4 K], добавлен 17.12.2010Способы решения системы уравнений с двумя переменными. Прямая как график линейного уравнения. Использование способов подстановки и сложения при решении систем линейных уравнений с двумя переменными. Решение системы линейных уравнений методом Гаусса.
реферат [532,7 K], добавлен 10.11.2009Примеры операций над матрицами. Ранг матрицы. Обратная матрица. Системы линейных уравнений. Метод Гаусса для решения систем линейных уравнений, две его составляющие: прямой и обратный ходы. Решение системы по формулам Крамера. Построение параболы.
контрольная работа [33,2 K], добавлен 05.02.2009Решение систем уравнений методом Гаусса, с помощью формул Крамера. Построение пространства решений однородной системы трех линейных уравнений с четырьмя неизвестными с указанием базиса. Определение размерности пространства решений неоднородной системы.
контрольная работа [193,5 K], добавлен 28.03.2014Понятие матрицы. Метод Гаусса. Виды матриц. Метод Крамера решения линейных систем. Действия над матрицами: сложение, умножение. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса. Элементарные пребразования систем. Математические перобразования.
лекция [45,4 K], добавлен 02.06.2008Методика проверки совместности системы уравнений и ее решение. Вычисление параметров однородной системы линейных алгебраических уравнений. Нахождение по координатам модуля, проекции вектора, скалярного произведения векторов. Составление уравнения прямой.
контрольная работа [104,2 K], добавлен 23.01.2012Решение системы линейных уравнений по правилу Крамера и с помощью обратной матрицы. Нахождение ранга матрицы. Вычисление определителя с помощью теоремы Лапласа. Исследование на совместимость системы уравнений, нахождение общего решения методом Гауса.
контрольная работа [97,3 K], добавлен 24.05.2009
