Вычислительная математика

0.3x₁ - 1.0x₂ + 1.0x₃ + 5.2x₄ = - 3.9 (3.10)

1.0x₁ + 0.2x₂ + 2.5x₃ - 1.0x₄ = 9.9

Будем делать округление чисел до четырех знаков после десятичной точки.

Прямой ход. 1-ый шаг. Вычислим множители:

m = = = 0.2; m = = = 0.15; m = = = 0.5.

Вычитая из второго, третьего и четвертого уравнений системы (3.10) первое уравнение, умноженное соответственно на m, m, m, получим новую систему:

2.0x₁ + 1.0x₂ - 0.1x₃ + 1.0x₄ = 2.7

0.3x₂ + 4.02x₃ - 8.70x₄ = 21.36

-1.15x₂ + 1.015x₃ + 5.05x₄ = - 4.305 (3. 11)

- 0.30x₂ + 2.55x₃ - 1.50x₄ = 8.55

2-ой шаг. Вычислим множители:

m = = = - 3.83333; m = = = -1.0.

Вычитая из третьего и четвертого уравнений системы (3.11) второе уравнение, умноженное соответственно на m и m, приходим к системе:

2.0x₁ + 1.0x₂ - 0.1x₃ + 1.0x₄ = 2.7

0.3x₂ + 4.02x₃ - 8.70x₄ = 21.36

16. 425x₃ - 28.300x₄ = 77.575 (3.12)

6.570x₃ - 10.200x₄ = 29.910

3-ий шаг. Вычислим множитель:

m = = = 0.4.

Вычитая из четвертого уравнения системы (3.12) третье, умноженное на m, приведем систему к треугольному виду:

2.0x₁ + 1.0x₂ - 0.1x₃ + 1.0x₄ = 2.7

0.3x₂ + 4.02x₃ - 8.70x₄ = 21.36

16. 425x₃ - 28.300x₄ = 77.575 (3.13)

1.12x₄ = -1.12

Обратный ход. Из последнего уравнения системы (3.13) находим x₄ = 1.000. Подставляя значение x₄ в третье уравнение, получим x₃ = 2.000. Подставляя найденные значения x₄ и x₃ во второе уравнение, найдем x₂ = 3.000. Наконец, из первого уравнения, подставив в него найденные значения x₄, x₃ и x₂, вычислим x₁ = -1.000.

Итак система (3.10) имеет следующее решение:

x₁ = 1.000, x₂ = 2.000, x₃ = 3.000, x₄ = - 1.000.

3.3 Метод исключения Гаусса с выбором главного элемента по столбцу

Хотя метод Гаусса является точным методом, ошибки округления могут привести к существенным погрешностям результата. Кроме того исключение по формулам (3.7) нельзя проводить, если элемент главной диагонали a равен нулю. Если элемент a мал, то велики ошибки округления при делении на этот элемент. Для уменьшения ошибок округления применяют метод исключения Гаусса с выбором главного элемента по столбцу. Прямой ход так же, как и для схемы единственного деления, состоит из n - 1 шагов. На первом шаге прежде, чем исключать переменную x₁, уравнения переставляются так, чтобы в левом верхнем углу был наибольший по модулю коэффициент a_i1, i = 1, 2, …, n. В дальнейшем, на k-м шаге, прежде, чем исключать переменную x_k, уравнения переставляются так, чтобы в левом верхнем углу был наибольший по модулю коэффициент a_ik, i = k, k + 1, …, n. После этой перестановки исключение переменной x_k производят, как в схеме единственного деления.

Трудоемкость метода. Дополнительные действия по выбору главных элементов требуют примерно n² операций, что практически не влияет на общую трудоемкость метода.

Пример 3.2.

Применим метод исключения Гаусса с выбором главного элемента по столбцу для решения системы уравнений (3.10) из примера 3.1. Прямой ход. 1-ый шаг. Так как коэффициент a₁₁ = 2.0 наибольший из коэффициентов первого столбца, перестановки строк не требуется и 1-ый шаг полностью совпадает с 1-ым шагом примера 3.1. Из второго, третьего и четвертого уравнений исключается переменная x₁ и система приводится к виду (3.11).

2-ой шаг. Наибольший по модулю коэффициент при x₂ в системе (3.11) a = -1.15. Поэтому переставим уравнения следующим образом:

2.0x₁ + 1.0x₂ - 0.1x₃ + 1.0x₄ = 2.7

-1.15x₂ + 1.015x₃ + 5.05x₄ = - 4.305 (3.14)

0.3x₂ + 4.02x₃ - 8.70x₄ = 21.36

- 0.30x₂ + 2.55x₃ - 1.50x₄ = 8.55

Вычислим множители:

m = = = -0.26087 m = = = 0.26087.

Вычитая из третьего и четвертого уравнений системы (3.14) второе уравнение, умноженное соответственно на m и m, приходим к системе:

2.0x₁ + 1.0x₂ - 0.1x₃ + 1.0x₄ = 2.7

-1.15x₂ + 1.015x₃ + 5.05x₄ = - 4.305 (3.15)

4.28478x₃ - 7.38261x₄ = 20.23696

2.28522x₃ - 2.81739x₄ = 9.67305

3-ий шаг. Вычислим множитель:

m = = = 0.53333.

Вычитая из четвертого уравнения системы (3.15) третье, умноженное на m, приведем систему к треугольному виду:

2.0x₁ + 1.0x₂ - 0.1x₃ + 1.0x₄ = 2.7

-1.15x₂ + 1.015x₃ + 5.05x₄ = - 4.305 (3.16)

4.28478x₃ - 7.38261x₄ = 20.23696

1.11998x₄ = -1.11998

Обратный ход. Обратный ход полностью совпадает с обратным ходом примера 3.1. Решение системы имеет вид:

x₁ = 1.000, x₂ = 2.000, x₃ = 3.000, x₄ = - 1.000.

3.4 Вычисление определителя методом исключения Гаусса

Из курса линейной алгебры известно, что определитель треугольной матрицы равен произведению диагональных элементов. В результате метода исключений Гаусса система линейных уравнений (3.2) с квадратной матрицей A приводится к эквивалентной ей системе (3.8) с треугольной матрицей A_n. Поэтому

det A = (-1)^s det A_n,

где s - число перестановок строк, (s = 0, если использовался метод Гаусса по схеме единственного деления).Таким образом,

det A = (-1)^s a₁₁ aa …a (3.17)

Итак, для вычисления определителя det A необходимо выполнить процедуру прямого хода в методе Гаусса для системы уравнений Ax = 0, затем найти произведение главных элементов, стоящих на диагонали треугольной матрицы и умножить это произведение на (-1)^s, где s - число перестановок строк.

Пример 3.3.

Вычислим определитель det A =

2.0 1.0 0.1 1.0

0.4 0.5 4.0 8.5

0.3 1.0 1.0 5.2

1.0 0.2 2.5 1.0

Данный определитель совпадает с определителем системы, рассмотренной в примере 3.1. Он равен произведению диагональных элементов треугольной матрицы (3.13):

det A = 2.0 0.30 16.425 1.12 = 11.0376.

Если же обратиться к примеру 3.2, то, учитывая, что была одна перестановка строк, т.е. s = 1, получим:

det A = (-1) 2.0 (-1.15) 4.28478 1.11998 = 11.0375.

3.5 Вычисление обратной матрицы методом исключения Гаусса

Обратной матрицей к матрице A называется матрица A^-1, для которой выполнено соотношение:

A A^-1 = E, (3.18)

где E - единичная матрица:

1 0 0 … 0

0 1 0 … 0

E = 0 0 1 … 0 . (3.19)

0 0 0 … 1

Квадратная матрица A называется невырожденной, если det A 0. Всякая невырожденная матрица имеет обратную матрицу.

Вычисление обратной матрицы можно свести к рассмотренной выше задаче решения системы уравнений.

Пусть A - квадратная невырожденная матрица порядка n:

a₁₁ a₁₂ a₁₃ … a_1n

a₂₁ a₂₂ a₂₃ … a_2n

A = a₃₁ a₃₂ a₃₃ … a_3n

a_n1 a_n2 a_n3 … a_nn

и A^-1 - ее обратная матрица:

x₁₁ x₁₂ x₁₃ … x_1n

x₂₁ x₂₂ x₂₃ … x_2n

A^-1 = x₃₁ x₃₂ x₃₃ … x_3n

x_n1 x_n2 x_n3 … x_nn

Используя соотношения (3.18), (3. 19) и правило умножения матриц, получим систему из n² уравнений с n² переменными x_ij, i, j = 1, 2, …, n. Чтобы получить первый столбец матрицы E, нужно почленно умножить каждую строку матрицы A на первый столбец матрицы A^-1 и приравнять полученное произведение соответствующему элементу первого столбца матрицы E. В результате получим систему уравнений:

a₁₁x₁₁ + a₁₂ x₂₁ + a₁₃x₃₁ + … + a_1nx_n1 = 1

a₂₁x₁₁ + a₂₂ x₂₁ + a₂₃x₃₁ + … + a_2nx_n1 = 0

a₃₁x₁₁ + a₃₂ x₂₁ + a₃₃x₃₁ + … + a_3nx_n1 = 0 (3.20)

a_n1x₁₁ + a_n2 x₂₁ + a_n3x₃₁ + … + a_nnx_n1 = 0

Аналогично, чтобы получить второй столбец матрицы E, нужно почленно умножить каждую строку матрицы A на второй столбец матрицы A^-1 и приравнять полученное произведение соответствующему элементу второго столбца матрицы E. В результате получим систему уравнений:

a₁₁x₁₂ + a₁₂ x₂₂ + a₁₃x₃₂ + … + a_1nx_n2 = 0

a₂₁x₁₂ + a₂₂ x₂₂ + a₂₃x₃₂ + … + a_2nx_n2 = 1

a₃₁x₁₂ + a₃₂ x₂₂ + a₃₃x₃₂ + … + a_3nx_n2 = 0 (3.21)

a_n1x₁₂ + a_n2 x₂₂ + a_n3x₃₂ + … + a_nnx_n2 = 0

и т. д.

Всего таким образом получим n систем по n уравнений в каждой системе, причем все эти системы имеют одну и ту же матрицу A и отличаются только свободными членами. Приведение матрицы A к треугольной по формулам (3.7) делается при этом только один раз. Затем по последней из формул (3.7) преобразуются все правые части, и для каждой правой части делается обратный ход.

Пример 3.4.

Вычислим обратную матрицу A^-1 для матрицы

A = 1.8 -3.8 0.7 -3.7

0.7 2.1 -2.6 -2.8

7.3 8.1 1.7 -4.9

1.9 -4.3 -4.3 -4.7

По формулам (3.7) за три шага прямого хода преобразуем матрицу A в треугольную матрицу

1.8 -3.8 0.7 -3.7

0 3.57778 -2.87222 -1.36111

0 0 17.73577 19.04992

0 0 0 5.40155

Далее, применим процедуру обратного хода четыре раза для столбцов свободных членов, преобразованных по формулам (3.7) из столбцов единичной матрицы:

1 0 0 0

0 1 0 0

0 , 0 , 1 , 0

0 0 0 1

Каждый раз будем получать столбцы матрицы A^-1. Опустив промежуточные вычисления, приведем окончательный вид матрицы A^-1:

-0.21121 -0.46003 0.16248 0.26956

-0.03533 0.16873 0.01573 -0.08920

0.23030 0.04607 -0.00944 -0.19885 .

-0.29316 -0.38837 0.06128 0.18513

3.6 Метод простой итерации Якоби

Метод Гаусса обладает довольно сложной вычислительной схемой. Кроме того, при вычислениях накапливается ошибка округления, что может привести к недостаточно точному результату. Рассмотрим метод простой итерации Якоби, свободный от этих недостатков, хотя требующий приведения исходной системы уравнений к специальному виду.

Для того, чтобы применить метод простой итерации, необходимо систему уравнений

Ax = b (3.22)

с квадратной невырожденной матрицей A привести к виду

x = Bx + c, (3.23)

где B - квадратная невырожденная матрица с элементами b_ij, i, j = 1, 2, …, n, x - вектор-столбец неизвестных x_i, c - вектор-столбец с элементами c_i, i = 1, 2, …, n.

Существуют различные способы приведения системы (3.22) к виду (3.23). Рассмотрим самый простой. Представим систему (3.22) в развернутом виде:

a₁₁x₁ + a₁₂ x₂ + a₁₃x₃ + … + a_1nx_n = b₁

a₂₁x₁ + a₂₂ x₂ + a₂₃x₃ + … + a_2nx_n = b₂

a₃₁x₁ + a₃₂ x₂ + a₃₃x₃ + … + a_3nx_n = b₃ (3.24)

a_n1x₁ + a_n2 x₂ + a_n3x₃ + … + a_nnx_n = b_n

Из первого уравнения системы (3.24) выразим неизвестную x₁:

x₁ = a(b₁ - a₁₂x₂ - a₁₃x₃ - … - a_1nx_n),

из второго уравнения - неизвестную x₂:

x₂ = a(b₂ - a₂₁x₁ - a₂₃x₃ - … - a_2nx_n),

и т. д. В результате получим систему:

x₁ = b₁₂ x₂ + b₁₃x₃ + … + b_1,n-1x_n-1 + b_1nx_n + c₁

x₂ = b₂₁x₁ + b₂₃x₃ + … + b_2,n-1x_n-1 + b_2nx_n + c₂

x₃ = b₃₁x₁ + b₃₂ x₂+ … + b_3,n-1x_n-1 + b_3nx_n + c₃ (3.25)

.

x_n= b_n1x₁ + b_n2 x₂ + b_n3x₃ + b_n,n-1x_n-1 + c_n

Матричная запись системы (3.25) имеет вид (3.23). На главной диагонали матрицы B находятся нулевые элементы, а остальные элементы вычисляются по формулам:

b_ij = , c_i = , i, j = 1,2, …n, i j. (3.26)

Очевидно, что диагональные элементы матрицы A должны быть отличны от нуля.

Выберем произвольно начальное приближение Обычно в качестве первого приближения берут x= c_i или x= 0. Подставим начальное приближение в правую часть (3.25). Вычисляя левые части, получим значения x, x, …, x. Продолжая этот процесс дальше, получим последовательность приближений, причем (k + 1)-е приближение строится следующим образом:

x = b₁₂ x + b₁₃ x + … + b_1,n-1 x + b_1n x + c₁

x = b₂₁ x₁ + b₂₃ x + … + b_2,n-1 x + b_2n x + c₂

x= b₃₁ x + b₃₂ x + … + b_3,n-1 x + b_3n x + c₃ … (3.27)

x= b_n1x + b_n2 x + b_n3 x + b_n,n-1 x + c._n

Система (3.27) представляет собой расчетные формулы метода простой итерации Якоби.

Сходимость метода простой итерации. Известно следующее достаточное условие сходимости метода простой итерации Якоби.

Если элементы матрицы A удовлетворяют условию:

|a_ii| > , i = 1, 2, …, n. (3.28)

то итерационная последовательность x^k сходится к точному решению x^*.

Условие (3.28) называют условием преобладания диагональных элементов матрицы A, так как оно означает, что модуль диагонального элемента i-ой строки больше суммы модулей остальных элементов этой строки, i = 1, 2, …, n.

Необходимо помнить, что условие сходимости (3.28) является лишь достаточным. Его выполнение гарантирует сходимость метода простых итераций, но его невыполнение, вообще говоря, не означает, что метод расходится.

Справедлива следующая апостериорная оценка погрешности:

max|x - x| max|x- x|, i = 1, 2, …, n, (3.29)

где = max |b_ij| i, j = 1, 2, …, n.

Правую часть оценки (3.29) легко вычислить после нахождения очередного приближения.

Критерий окончания. Если требуется найти решение с точностью , то в силу (3.29) итерационный процесс следует закончить как только на (k+1)-ом шаге выполнится неравенство:

max|x- x| < , i = 1, 2, …, n. (3.30)

Поэтому в качестве критерия окончания итерационного процесса можно использовать неравенство

max|x- x| < ₁, i = 1, 2, …, n. (3.31)

где _{1 = .}

Если выполняется условие , то можно пользоваться более простым критерием окончания:

max|x- x| < , i = 1, 2, …, n. (3.32)

В других случаях использование критерия (3.32) неправомерно и может привести к преждевременному окончанию итерационного процесса.

Пример 3.5.

Применим метод простой итерации Якоби для решения системы уравнений

20.9x₁ + 1.2 x₂ + 2.1x₃ + 0.9x₄ = 21.70

1.2x₁ + 21.2 x₂ + 1.5x₃ + 2.5x₄ = 27.46

2.1x₁ + 1.5 x₂ + 19.8x₃ + 1.3x₄ = 28.76 (3.33)

0.9x₁ + 2.5 x₂ + 1.3x₃ + 32.1x₄ = 49.72

Заметим, что метод простой итерации сходится, т. к. выполняется условие преобладания диагональных элементов (3.28):

|20.9| > |1.2 + 2.1 + 0.9|,

|21.2| > |1.2| + |1.5| + |2.5|,

|19.8| > |2.1| + |1.5| + |1.3|,

|32.1| > |0.9| + |2.5| + |1.3|.

Пусть требуемая точность = 10^-3. Вычисления будем проводить с четырьмя знаками после десятичной точки.

Приведем систему к виду (3.25):

x₁ = - 0.0574 x₂ - 0.1005x₃ - 0.0431x₄ + 1.0383

x₂ = -0.0566x₁ - 0.0708x₃ - 0.1179x₄ + 1.2953

x₃ = -0.1061x₁ - 0.0758 x₂ - 0.0657x₄ + 1.4525 (3.34)

x₄ = -0.0280x₁ - 0.0779 x₂ - 0.0405x₃ + 1.5489

Величина = max |b_ij|, i, j = 1, 2, 3,4 равна 0.1179, т. е. выполняется условие , и можно пользоваться критерием окончания итерационного процесса (3.32).

В качестве начального приближения возьмем элементы столбца свободных членов:

x = 1.0383, x = 1.2953, x = 1.4525, x = 1.5489. (3.35)

Вычисления будем вести до тех пор, пока все величины |x- x|, i = 1, 2, 3, 4, а следовательно, и max|x- x| не станут меньше = 10^-3.

Последовательно вычисляем:

при k = 1

x = - 0.0574x - 0.1005x - 0.0431x + 1.0383 = 0.7512

x = -0.0566x - 0.0708x - 0.1179x + 1.2953 = 0.9511

x = -0.1061x - 0.0758 x - 0.0657x + 1.4525 = 1.1423

x = -0.0280x - 0.0779x - 0.0405x + 1.5489 = 1.3601

при k = 2

x= 0.8106, x= 1.0118, x= 1.2117, x= 1.4077.

при k = 3

x= 0.7978, x= 0.9977, x= 1.1975, x= 1.3983.

при k = 4

x= 0.8004, x= 1.0005, x= 1.2005, x = 1.4003.

Вычисляем модули разностей значений xпри k = 3 и k = 4:

| x- x| = 0.026, | x- x| = 0.028, | x- x| = 0.0030, | x- x| = 0.0020.

Так как все они больше заданной точности = 10^-3, продолжаем итерации.

При k = 5

x= 0.7999, x= 0.9999, x= 1.1999, x = 1.3999.

Вычисляем модули разностей значений xпри k = 4 и k = 5:

| x- x| = 0.0005, | x- x| = 0.0006, | x - x| = 0.0006, | x- x| = 0.0004.

Все они меньше заданной точности = 10^-3, поэтому итерации заканчиваем. Приближенным решением системы являются следующие значения:

x₁ 0.7999, x₂ 0.9999, x₃ 1.1999, x₄ 1.3999.

Для сравнения приведем точные значения переменных:

x₁ = 0.8, x₂ = 1.0, x₃ = 1.2, x₄ = 1.4.

3.7 Метод Зейделя

Модификацией метода простых итераций Якоби можно считать метод Зейделя.

В методе Якоби на (k+1)-ой итерации значения x, i = 1, 2, …, n. вычисляются подстановкой в правую часть (3.27) вычисленных на предыдущей итерации значений x. В методе Зейделя при вычислении xиспользуются значения x, x, x, уже найденные на (k+1)-ой итерации, а не x, x, …, x, как в методе Якоби, т.е. (k + 1)-е приближение строится следующим образом:

x = b₁₂ x + b₁₃ x + … + b_1,n-1 x + b_1n x + c₁

x = b₂₁ x + b₂₃ x + … + b_2,n-1 x + b_2n x + c₂

x= b₃₁ x + b₃₂ x + … + b_3,n-1 x + b_3n x + c₃ (3.36)

x= b_n1 x + b_n2 x x + b_n3 x x+ … + b_n,n-1 x + c._n

Формулы (3.36) являются расчетными формулами метода Зейделя.

Введем нижнюю и верхнюю треугольные матрицы:

0 0 0 … 0 0 b₁₂ b₁₃ … b_1n

b₂₁ 0 0 … 0 0 0 b₂₃ … b_2n

B₁ = b₃₁ b₃₂ 0 … 0 и B₂ = 0 0 0 … b_{3n .}

b_n1 b_n2 b_n3 …0 0 0 0 … 0

Матричная запись расчетных формул (3.36) имеет вид:

x^k+1= B₁x^k+1+ B₂x^k+ c. (3.37)

Так как B = B₁+ B₂, точное решение x^* исходной системы удовлетворяет равенству:

x^*= B₁x^*+ B₂x^*+ c. (3.38)

Сходимость метода Зейделя. Достаточным условием сходимости метода Зейделя является выполнение неравенства:

= max |b_ij|,< 1, i, j = 1, 2, …, n. (3.39)

Неравенство (3.39) означает, что для сходимости метода Зейделя достаточно, чтобы максимальный по модулю элемент матрицы B был меньше единицы.

Если выполнено условие (3.39), то справедлива следующая апостериорная оценка погрешности:

max|x - x| max|x- x| i = 1, 2, …, n, (3.40)

где - максимальный элемент матрицы B, ₂ - максимальный элемент матрицы B₂.

Правую часть оценки (3.40) легко вычислить после нахождения очередного приближения.

Критерий окончания. Если требуется найти решение с точностью , то в силу (3.37) итерационный процесс следует закончить как только на (k+1)-ом шаге выполнится неравенство:

max|x- x| < , i = 1, 2, …, n. (3.41)

Поэтому в качестве критерия окончания итерационного процесса можно использовать неравенство

max|x- x| < ₁, i = 1, 2, …, n. (3.42)

где _{1 = .}

Если выполняется условие , то можно пользоваться более простым критерием окончания:

max|x- x| < , i = 1, 2, …, n. (3.43)

Метод Зейделя как правило сходится быстрее, чем метод Якоби. Однако возможны ситуации, когда метод Якоби сходится, а метод Зейделя сходится медленнее или вообще расходится.

Пример 3.6.

Применим метод Зейделя для решения системы уравнений (3.33) из примера 3.5. Первые шаги полностью совпадают с процедурой решения по методу Якоби, а именно: система приводится к виду (3.34), затем в качестве начального приближения выбираются элементы столбца свободных членов (3.35). Проведем теперь итерации методом Зейделя.

При k = 1

x = - 0.0574x - 0.1005x - 0.0431x + 1.0383 = 0.7512

При вычислении xиспользуем уже полученное значение x:

x = -0.0566 x - 0.0708x - 0.1179x + 1.2953 = 0.9674

При вычислении x используем уже полученные значения x и x:

x = -0.1061 x - 0.0758 x - 0.0657x + 1.4525 = 1.1977

При вычислении x используем уже полученные значения x, x, x:

x = -0.0280 x - 0.0779 x - 0.0405x x + 1.5489 = 1.4037

Аналогичным образом проведем вычисления при k = 2 и k = 3. Получим:

при k = 2

x= 0.8019, x= 0.9996, x= 1.9996, x= 1.4000.

при k = 3

x= 0.80006, x= 1.00002, x= 1.19999, x= 1.40000.

Известны точные значения переменных:

x₁ = 0.8, x₂ = 1.0, x₃ = 1.2, x₄ = 1.4.

Сравнение с примером 3.5 показывает, что метод Зейделя сходится быстрее и дает более точный результат.

Тема 4. Приближение функций

4.1 Постановка задачи

Задача приближения (аппроксимации) функций заключается в том, чтобы для данной функции построить другую, отличную от нее функцию, значения которой достаточно близки к значениям данной функции. Такая задача возникает на практике достаточно часто. Укажем наиболее типичные случаи.

1. Функция задана таблицей в конечном множестве точек, а вычисления нужно произвести в других точках.

2. Функция задана аналитически, но ее вычисление по формуле затруднительно.

При решении задачи поиска приближенной функции возникают следующие проблемы.

1. Необходимо выбрать вид приближенной функции. Для приближения широко используются многочлены, тригонометрические функции, показательные функции и т. д.

2. Необходимо выбрать критерий близости исходной и приближенной функции. Это может быть требование совпадения обеих функций в узловых точках (задача интерполяции), минимизация среднеквадратического уклонения (метод наименьших квадратов) и др.

3. Необходимо указать правило (алгоритм), позволяющее с заданной точностью найти приближение функции.

4.2 Приближение функции многочленами Тейлора

Пусть функция y = f(x) определена в окрестности точки a и имеет в этой окрестности n + 1 производную. Тогда в этой окрестности справедлива формула Тейлора:

f(x) = c₀ + c₁(x - a) + c₂(x - a)² + … + c_n(x - a )ⁿ + R_n(x) = T_n(x) + R_n(x),

где

c_k =

T_n(x) - многочлен Тейлора:

T_n(x)= c₀ + c₁(x - a) + c₂(x - a)² + … + c_n(x - a )ⁿ, (4.1)

R_n(x) - остаточный член формулы Тейлора. Его можно записать различными способами, например, в форме Лагранжа:

R_n(x)= , a x.

Многочлен Тейлора (4.1) обладает свойством, что в точке x = a все его производные до порядка n включительно совпадают с соответствующими производными функции f, т. е.

T(a)= f^(k)(a), k = 0, 1, …, n.

В этом легко убедиться, дифференцируя T_n(x). Благодаря этому свойству многочлен Тейлора хорошо приближает функцию f в окрестности точки a. Погрешность приближения составляет

|f(x) - T_n(x)| = |R_n(x)|,

т. е. задавая некоторую точность > 0, можно определить окрестность точки a и значение n из условия:

|R_n(x)| = < . (4.2)

Пример 4.1.

Найдем приближение функции y = sinx многочленом Тейлора в окрестности точки a = 0. Воспользуемся известным выражением для k-ой производной функции sinx:

(sinx)^(k) = sin x + k (4.3)

Применяя последовательно формулу (4.3), получим:

f(0) = sin0 = 0;

f '(0) = cos(0) = 1;

f"(0) = -sin0 = 0;

f^(2k-1)(0) = sin (2k - 1) = (-1)^{k - 1} ;

f^(2k)(0) = 0;

f^(2k+1)() = (-1)^kcos.

Следовательно, многочлен Тейлора для функции y = sinx для n = 2k имеет вид:

sinx = x - + … + (-1)^{k - 1} + R_2k(x),

R_2k(x) = (-1)^k .

Зададим = 10 ^-4 и отрезок [-,]. Определим n =2k из неравенства:

|R_2k(x)| = < < < = 10^-4.

Таким образом, на отрезке -, функция y = sinx с точностью до = 10^-4 равна многочлену 5-ой степени:

sinx = x - + = x - 0.1667x³ + 0.0083x⁵.

Пример 4.2.

Найдем приближение функции y = e^x многочленом Тейлора на отрезке [0, 1] с точностью = 10 ^-5.

Выберем a = ?, т. е в середине отрезка. При этом величина погрешности в левой части (4.2) принимает минимальное значение. Из математического анализа известно, что для k-ой производной от e^x справедливо равенство:

(e^x)^(k) = e^x.

Поэтому

(e^a)^(k) = e^a = e^1/2,

Следовательно, многочлен Тейлора для функции y = e^x имеет вид:

e^x = e^{1/2 +} e^1/2(x - ?) + (x - ?)² + … + (x - ?)ⁿ+ R_n(x),

При этом, учитывая, что x [0, 1], получим оценку погрешности:

|R_n(x)| < . (4.4)

Составим таблицу погрешностей, вычисленных по формуле (4.4):

n	2	3	4	5	6
Rn	0.057	0.0071	0.00071	0.000059	0.0000043

Таким образом, следует взять n = 6.

4.3 Интерполяция функции многочленами Лагранжа

Рассмотрим другой подход к приближению функции многочленами. Пусть функция y = f(x) определена на отрезке [a, b] и известны значения этой функции в некоторой системе узлов x_i [a, b], i = 0, 1, … , n. Например, эти значения получены в эксперименте при наблюдении некоторой величины в определенных точках или в определенные моменты времени x₀, x₁, … , x_n. Обозначим эти значения следующим образом: y_i = f(x_i), i = 0, 1, … , n. Требуется найти такой многочлен P(x) степени m,

P(x) = a₀ + a₁x + a₂x² + … + a_mx^m, (4.5)

который бы в узлах x_i, i = 0, 1, … , n принимал те же значения, что и исходная функция y = f(x), т. е.

P(x_i) = y_i, i = 0, 1, … , n. (4.6)

Многочлен (4.5), удовлетворяющий условию (4.6), называется интерполяционным многочленом.

Другими словами, ставится задача построения функции y = P(x), график которой проходит через заданные точки (x_i, y_i), i = 0, 1, … , n (рис. 4.1).

Рис. 4.1

Объединяя (4.5) и (4.6), получим:

a₀ + a₁x_i + a₂x + … + a_mx = y_i, i = 0, 1, … , n. (4.7)

В искомом многочлене P(x) неизвестными являются m +1 коэффициент a₀ , a₁, a₂, …, a_m. Поэтому систему (4.7) можно рассматривать как систему из n +1 уравнений с m +1 неизвестными. Известно, что для существования единственного решения такой системы необходимо , чтобы выполнялось условие: m = n. Таким образом, систему (4.7) можно переписать в развернутом виде: