Вычислительная математика
Решение задач вычислительными методами. Решение нелинейных уравнений, систем линейных алгебраических уравнений (метод исключения Гаусса, простой итерации Якоби, метод Зейделя). Приближение функций. Численное интегрирование функций одной переменной.
| Рубрика | Математика |
| Вид | учебное пособие |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 08.02.2010 |
| Размер файла | 581,1 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
f(ti+1,)
0
1
2
3
4
5
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1
1.1867
1.3484
1.4938
1.6272
1.7542
0.1
0.0850
0.0755
0.0690
0.0645
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
1.3566
1.4993
1.6180
1.7569
0.867
0.767
0.699
0.651
0.618
Таблица 6.4 заполняется последовательно по строкам, сначала первая строка, затем вторая и т. д. Третий столбец таблицы 6.4 содержит приближенное решение yi, i = 0, 1, …, 5.
Сравним полученное приближенное решение с точным решением (6.11), представленном в таблице 6.2. Видим, что погрешность составляет R = | y(ti) - yi| = 0.0222.
6.4 Метод Рунге - Кутта
Метод Рунге - Кутта является одним из наиболее употребительных методов высокой точности. Метод Эйлера можно рассматривать как простейший вариант метода Рунге - Кутта.
Рассмотрим задачу Коши для дифференциального уравнения
y' (t) = f(t, y(t))
с начальным условием y(t0 ) = y0.
Как и в методе Эйлера, выберем шаг h = и построим сетку с системой узлов ti = t0 + ih, i = 0, 1, …, n.
Обозначим через yi приближенное значение искомого решения в точке ti.
Приведем расчетные формулы метода Рунге - Кутта четвертого порядка точности:
yi+1 = yi + h(k+ 2k+ 2k + k),
k = f(ti, yi),
k = f(ti + , yi + k), (6.17)
k = f(ti + , yi + k),
k = f(ti +h, yi + hk),
i = 0, 1, …, n.
Оценка погрешности. Оценка погрешности метода Рунге - Кутта затруднительна. Грубую оценку погрешности дает правило Рунге (см. раздел 6.2). Так как метод Рунге - Кутта имеет четвертый порядок точности, т. е. p = 4, то оценка погрешности (6.6) примет вид
R |y- y|. (6.18)
Используя правило Рунге, можно построить процедуру приближенного вычисления решения задачи Коши методом Рунге - Кутта четвертого порядка точности с заданной точностью . Нужно, начав вычисления с некоторого значения шага h, последовательно уменьшать это значение в два раза, каждый раз вычисляя приближенное значение y, i = 0, 1, …, n. Вычисления прекращаются тогда, когда будет выполнено условие:
R |y- y| < . (6.19)
Приближенным решением будут значения y, i = 0, 1, …, n.
Пример 6.4.
Методом Рунге - Кутта четвертого порядка точности найдем решение на отрезке [0, 1] следующей задачи Коши.
y' (t) = 2ty, y(0) = 1. (6.20)
Возьмем шаг h = 0.1. Тогда n = = 10.
В соответствии с (6.17) расчетные формулы примут вид:
yi+1 = yi + h(k+ 2k+ 2k + k),
k = 2tiyi,
k = 2(ti + )(yi + k), (6.21)
k = 2(ti + )(yi + k),
k = 2(ti +h)(yi + hk),
i = 0, 1, …, 10.
Задача (6.20) имеет точное решение: y(t) = e, поэтому погрешность определяется как абсолютная величина разности между точными и приближенными значениями i = | y(ti) - yi|.
Найденные по формулам (6.21) приближенные значения решения yi и их погрешности i представлены в таблице 6.5:
Таблица 6.5
|
ti |
yi |
i |
ti |
yi |
i |
|
|
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 |
1.01005 1.04081 1.09417 1.17351 1.28403 |
10-9 410-9 210-8 610-8 210-7 |
0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 |
1.43333 1.63232 1.89648 2.24790 2.71827 |
510-7 210-6 310-6 610-6 210-5 |
Задачи к зачету по курсу “Вычислительные методы”
Указание. Каждый студент вначале должен определить параметр своего контрольного задания, s = log10(1 +), где k - номер студента в списке группы, k = 1, 2, … Решение задач должно быть оформлено аккуратно и содержать все промежуточные расчеты. В качестве образца можно взять примеры, рассмотренные в соответствующих разделах методических указаний.
1. Методом деления отрезка пополам найти корень уравнения
4(1 - x2) - ex = s с точностью = 10-3.
2. Методом Зейделя решить систему уравнений с точностью =10-3.
6.2+s 2.2+s 1.2+s 16.55+s
A = 2.2+s 5.5+s -1.5+s , b = 10.55+s .
1.2+s -1.5+s 7.2 +s 16.80+s
3. Найти приближение функции f(x) = esx на отрезке [0, 1] многочленом Тейлора с точностью = 10-3 . Вычислить es.
4. Вычислить приближенно по формуле средних прямоугольников интеграл при n = 4 и оценить погрешность результата.
5. Методом Эйлера найти численное решение задачи Коши
y' = 2sy; y(0) = 1, на отрезке [0, 1] с шагом h = 0.2.
Сравнить с точным решением.
Указания к выполнению лабораторных работ
Программой курса предусмотрено проведение четырех лабораторных работ. Лабораторные работы ориентированы на использование системы Maple.
Система Maple V была создана группой символьных вычислений в 1980 году в университете Waterloo, Канада. В конце 1997 года вышла реализация Maple V R5.
Maple V принадлежит к классу прикладных программных пакетов, объединенных под общим названием Computer Algebra Systems (CAS) - системы компьютерной алгебры. Самым важным отличием Maple от таких пакетов как MathCad, MatLAB, Mathematica, является то, что она была изначально задумана как символьный пакет. Как и любой представитель данного семейства продуктов, Maple ориентирована на решение широкого ряда математических проблем. Она включает в себя большое количество специальных пакетов для решения задач линейной и тензорной алгебры, евклидовой и аналитической геометрии, теории чисел, теории графов, теории вероятностей, математической статистики, комбинаторики, теории групп, численной аппроксимации и линейной оптимизации, задач финансовой математики и многих других.
В основу Maple положен алгоритмический язык высокого уровня, предназначенный для реализации обычного процедурного программирования. Maple-язык "понимает" все стандартные объекты типа циклов (while, for), операторов условного перехода (if-then-else), массивов (array), списков (list), наборов (set), таблиц и т.д. Есть также возможность работы с файлами, что позволяет строить системы, состоящие из множества модулей, подгружая необходимые процедуры в процессе выполнения программы, а также реализовывать ввод и вывод больших объемов данных. Реализованы также все стандартные процедуры обработки строковой информации.
Применение Maple в образовании способствует повышению фундаментальности математического образования и сближает нашу образовательную систему с западной.
Лабораторные работы предполагают использование встроенных функций Maple, позволяющих решать основные задачи курса "Вычислительные методы".
В задачах используется параметр n - номер студента в списке группы.
Лабораторная работа №1.
Решение нелинейных уравнений и систем линейных уравнений.
Используемые функции: solve, fsolve, plot.
1. Найти точное решение уравнения:5x2+2x - n = 0.
2. Найти приближенное решение этого же уравнения.
3. Построить график левой части уравнения.
4. Найти приближенное решение уравнения x2ex - n = 0.
5. Построить график левой части уравнения.
6. Найти точное решение системы уравнений.
2x1 + 6x2 - x3 = -12 + n
5x1 - x2 + 2x3 = 29 + n
-3x1 - 4x2 + x3 = 5 + n
7. Найти приближенное решение этой же системы уравнений.
Лабораторная работа №2.
Построение интерполяционных многочленов.
Используемые функции: interp, plot, subs.
1. Найти приближение функции, заданной в точках, многочленом, значения которого совпадают со значениями функции в указанных точках.
x 1 3 5 7 9
y 0+n 4+n 2+n 6+n 8+n
2. Построить график полученного интерполяционного многочлена .
3. Найти значение функции в точке x = 6.
Лабораторная работа №3
Вычисление определенных интегралов.
Используемые функции: int, plot, evalf.
1. Найти аналитическое выражение для неопределенного интеграла .
2. Построить графики найденного интеграла - красным цветом и подинтегральной функции - синим цветом.
3. Вычислить значение этого интеграла в пределах от 2 до n + 2:
4. Вычислить приближенное значение интеграла .
Лабораторная работа №4
Решение обыкновенных дифференциальных уравнений.
Используемые функции: dsolve, plot, odeplot, op, with.
1. Найти аналитическое решение задачи Коши: y'(t) = (1/n)(t + y), y(0) = n.
2. Построить график найденного решения на отрезке [0, n].
3. Найти численное решение задачи Коши y'(t) = sin(ny(t))+t2), y(0) = n в точках t = 1 и t = 2.
4. Построить график найденного решений на отрезке [0, 5].
Указания к выполнению курсовых работ
Цель курсовой работы - приобретение студентами практического опыта реализации на ЭВМ алгоритмов численных методов для конкретных задач. Язык программирования выбирает студент.
Требования к выполнению курсовой работы
Результаты курсовой работы оформляются в виде отчета. Отчет по курсовой работе должен содержать следующие разделы:
1. Постановка задачи.
2. Описание математического метода.
3. Описание алгоритма реализации математического метода в виде блок-схемы или по шагам.
4. Листинг программы.
5. Контрольный пример. Анализ полученных результатов.
Темы курсовых работ
Решение нелинейных уравнений
Указание. В курсовых работах 1 - 10 необходимо проанализировать два предложенных метода решения нелинейных уравнений, написать алгоритмы и программы этих методов. С помощью этих программ решить контрольный пример, предварительно локализовав корни уравнения (п. 2.2). Дать сравнительный анализ полученных результатов.
1. Решение нелинейных уравнений методом деления отрезка пополам и методом простых итераций.
Контрольный пример. Найти один действительный корень уравнения x5 - x - 1 = 0 с точностью = 10-5.
Указание. При применении метода простых итераций преобразовать исходное уравнение так, чтобы итерационный процесс сходился (п. 2.4).
2. Решение нелинейных уравнений методом деления отрезка пополам и методом секущих.
Контрольный пример. Найти три корня уравнения x3 - 4x2 + 2 = 0 с точностью = 10-5.
3. Решение нелинейных уравнений методом деления отрезка пополам и методом Ньютона.
Контрольный пример. Найти три корня уравнения x3 + 3x2 - 1 = 0 с точностью = 10-5.
4. Решение нелинейных уравнений методом деления отрезка пополам и методом ложного положения.
Контрольный пример. Найти три корня уравнения x3 + 3x2 - 1 = 0 с точностью = 10-5.
5. Решение нелинейных уравнений методом простых итераций и методом Ньютона.
Контрольный пример. Найти один действительный корень уравнения x = 0.5 с точностью = 10-5.
6. Решение нелинейных уравнений методом простых итераций и методом секущих.
Контрольный пример. Найти один действительный корень уравнения x = 0.5 с точностью = 10-5.
7. Решение нелинейных уравнений методом простых итераций и методом ложного положения.
Контрольный пример. Найти один действительный корень уравнения x = 0.5 с точностью = 10-5.
8. Решение нелинейных уравнений методом секущих и методом Ньютона.
Контрольный пример. Найти три корня уравнения x3 + 3x2 - 3 = 0 с точностью = 10-5.
9. Решение нелинейных уравнений методом Ньютона и методом ложного положения.
Контрольный пример. Найти три корня уравнения x3 + x2 - 10x +8 = 0 с точностью = 10-5.
10. Решение нелинейных уравнений методом секущих и методом ложного положения.
Контрольный пример. Найти три корня уравнения x3 - x2 - 4x +4 = 0 с точностью = 10-5.
Решение систем линейных алгебраических уравнений
11. Решение системы линейных алгебраических уравнений простым методом исключения Гаусса.
Контрольный пример. Решить систему уравнений
2.1x1 - 4.5x2 - 2.0x3 = 19.07
3.0x1 + 2.5x2 + 4.3x3 = 3.21
-6.0x1 + 3.5x2 + 2.5x3 = -18.25
12. Решение системы линейных алгебраических уравнений методом исключения Гаусса с выбором главного элемента по столбцу
Контрольный пример. Решить систему уравнений
1.00x1 + 0.42x2 + 0.54x3 + 0.66x4 = 0.3
0.42x1 + 1.00x2 + 0.32x3 + 0.44x4 = 0.5
0.54x1 + 0.32x2 + 1.00x3 + 0.22x4 = 0.7
0.66x1 + 0.22x2 + 1.00x3 - 1.0x4 = 0.9
13. Решение системы линейных алгебраических уравнений методом простых итераций Якоби.
Контрольный пример. Решить систему уравнений с точностью = 10-5.
-3.0x1 + 0.5x2 + 0.5x3 = -56.65
0.5x1 - 6.0x2 + 0.5x3 = -160
0.5x1 + 0.5x2 - 3.0x3 = -210
14. Решение системы линейных алгебраических уравнений методом Зейделя.
Контрольный пример. Решить систему уравнений с точностью = 10-5.
10x1 + 2x2 + x3 = 10
x1 + 10x2 + 2x3 = 12
x1 + x2 + 10x3 = 8
15. Вычисление определителя методом исключения Гаусса.
Контрольный пример. Вычислить определитель
det A = 3.0 1.5 0.1 1.0
0.4 0.5 4.0 6.5
0.3 1.2 3.0 0.7
1.8 2.2 2.5 1.4
16. Вычисление обратной матрицы методом исключения Гаусса.
Контрольный пример. Вычислить обратную матрицу A-1 для матрицы
A = 6.4375 2.1849 -3.7474 1.8822
2.1356 5.2101 1.5220 -1.1234
-3.7362 1.4998 7.6421 1.2324
1.8666 -1.1004 1.2460 8.3312
17. Интерполяция функции многочленами Лагранжа.
Контрольный пример. Построить интерполяционный многочлен Лагранжа для функции y = eпо точкам, заданным таблицей
|
x |
0.00 |
0.25 |
0.50 |
0.75 |
1.00 |
|
|
e |
1.0000000 |
0.9394131 |
0.7788008 |
0.7389685 |
0.3678794 |
Оценить погрешность интерполяции на отрезке [0, 1]. Вычислить y(0.4) и y(0.8).
18. Метод наименьших квадратов. Линейная и квадратичная аппроксимация
Численное интегрирование функций одной переменной
Указание. В курсовых работах 19 - 22 необходимо проанализировать предложенные методы численного интегрирования функций одной переменной, написать алгоритмы и программы этих методов. С помощью этих программ решить контрольный пример. Проконтролировать погрешность, использовав правило Рунге (п. 5.5). Если можно, вычислить точное значение интеграла. Дать сравнительный анализ полученных результатов.
19. Решение задачи численного интегрирования методом средних, левых и правых прямоугольников.
Контрольный пример. Вычислить , n = 10.
20. Решение задачи численного интегрирования методом средних прямоугольников и трапеций.
Контрольный пример. Вычислить , n = 10.
21. Решение задачи численного интегрирования методом средних прямоугольников и Симпсона.
Контрольный пример. Вычислить , n = 10.
22. Решение задачи численного интегрирования методом трапеций и Симпсона.
Контрольный пример. Вычислить , n = 10.
Численное решение дифференциальных уравнений
Указание. В курсовых работах 23 - 26 необходимо проанализировать предложенные методы численного решения задачи Коши, написать алгоритмы и программы этих методов. С помощью этих программ решить контрольный пример. Проконтролировать погрешность, использовав правило Рунге (пп. 6.2, 6.3, 6.4). Найти точное решение. Дать сравнительный анализ полученных результатов.
23. Решение задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений простым методом Эйлера и первым модифицированным методом Эйлера.
Контрольный пример. Найти численное решение задачи Коши
y' = y3, y(0) = 0.5
на отрезке [0, 2] с шагом h = 0.2.
24. Решение задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений простым методом Эйлера и вторым модифицированный метод Эйлера - Коши.
Контрольный пример. Найти численное решение задачи Коши
y' = t2, y(0) = 1
на отрезке [0, 2] с шагом h = 0.2.
25. Решение задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений первым модифицированным методом Эйлера и вторым модифицированный метод Эйлера - Коши.
Контрольный пример. Найти численное решение задачи Коши
y' = sint, y(0) = 1
на отрезке [0, 2] с шагом h = 0.2.
26. Решение задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений простым методом Эйлера и методом Рунге - Кутта четвертого порядка точности.
Контрольный пример. Найти численное решение задачи Коши
y' = 2cost, y(0) = 0.
на отрезке [0, 2] с шагом h = 0.2.
Краткие сведения о математиках
Гаусс Карл Фридрих (1777 - 1855) - немецкий математик и физик, работы которого оказали большое влияние на развитие высшей алгебры, геометрии, теории чисел, теории электричества и магнетизма.
Зейдель Людвиг (1821 - 1896) - немецкий астроном и математик.
Коши Огюстен Луи (1789 - 1857) - французский математик, один из создателей современного математического анализа, теории дифференциальных уравнений и др.
Крамер Габриэль (1704 - 1752) - швейцарский математик.
Кутта В. М. (1867 - 1944) - немецкий математик.
Лагранж Жозеф Луи (1736 - 1813) - французский математик, механик и астроном. Один из создателей математического анализа, вариационного исчисления, классической аналитической механики.
Липшиц Рудольф (1832 - 1903) - немецкий математик.
Лейбниц Готфрид Вильгельм (1646 - 1716) - немецкий математик, физик и философ. Один из создателей дифференциального и интегрального исчислений.
Ньютон Исаак (1643 - 1727) - английский физик, механик, астроном, заложивший основы современного естествознания.
Рунге Карл Давид Тольме (1856 - 1927) - немецкий физик и математик.
Симпсон Томас (1710 - 1761) - английский математик.
Тейлор Брук (1685 - 1731) - английский математик и философ. Широко известная формула разложения функции в степенной ряд была получена им в 1712 г.
Эйлер Леонард (1707 - 1783) - математик, физик, механик, астроном. Родился в Швейцарии, с 1726 по 1741 г. и с 1776 по 1783 г. работал в России.
Якоби Карл Густав Якоб (1804 - 1851) - немецкий математик.
Список литературы
1. Амосов А., Дубинский Ю. А., Копченова Н.В. Вычислительные методы для инженеров: Учеб. пособие. - М.: Высш. шк., 1994.
2. Бахвалов Н. С. Численные методы. - М.: Наука, 1973.
3. Волков Е. А. Численные методы. - М.: Наука, 1987.
4. Дьяконов В. П. Математическая система Maple V R3/R4/R5. - М.: Изд-во "СОЛОН", 1998.
5. Калиткин Н.Н. Численные методы. - М.: Наука, 1978.
6. Копченова Н.В., Марон И. А. Вычислительная математика в примерах и задачах. - М.: Наука, 1972.
7. Пирумов У.Г. Численные методы.: Учебное пособие. - М.: Изд-во МАИ, 1998.
Подобные документы
Решение систем линейных алгебраических уравнений методом простой итерации. Полиномиальная интерполяция функции методом Ньютона с разделенными разностями. Среднеквадратическое приближение функции. Численное интегрирование функций методом Гаусса.
курсовая работа [2,4 M], добавлен 14.04.2009Метод Зейделя как модификация метода простой итерации. Особенности решения систем линейных алгебраических уравнений. Анализ способов построения графика функций. Основное назначение формул Симпсона. Характеристика модифицированного метода Эйлера.
контрольная работа [191,3 K], добавлен 30.01.2014Решение систем линейных алгебраических уравнений методом исключения Гаусса. Табулирование и аппроксимация функций. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Приближенное вычисление определенных интегралов. Решение оптимизационных задач.
курсовая работа [1,6 M], добавлен 21.11.2013Задачи вычислительной линейной алгебры. Математическое моделирование разнообразных процессов. Решение систем линейных алгебраических уравнений большой размерности. Метод обратной матрицы и метод Гаусса. Критерии совместности и определенности системы.
курсовая работа [220,0 K], добавлен 21.10.2011Формирование системы их пяти уравнений по заданным параметрам, ее решение методом Гаусса с выбором главного элемента. Интерполяционный многочлен Ньютона. Численное интегрирование. Решение нелинейных уравнений. Метод Рунге-Кутта четвертого порядка.
контрольная работа [115,5 K], добавлен 27.05.2013Геометрическая интерпретация методов Ньютона, итерации и спуска. Определение корня уравнения с заданной степенью точности. Решение систем нелинейных алгебраических уравнений. Нахождение эквивалентного преобразования для выполнения условия сходимости.
курсовая работа [371,6 K], добавлен 14.01.2015Решение системы линейных уравнений с неизвестными методами Гаусса, Зейделя и простой итерации. Вычисление корня уравнения методами дихотомии, хорды и простой итерации. Нахождение приближённого значения интеграла с точностью до 0,001 методом Симпсона.
контрольная работа [1,7 M], добавлен 05.07.2014Приближенные числа и действия над ними. Решение систем линейных алгебраических уравнений. Интерполирование и экстраполирование функций. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Отделение корня уравнения. Поиск погрешности результата.
контрольная работа [604,7 K], добавлен 18.10.2012Основные понятия теории систем уравнений. Метод Гаусса — метод последовательного исключения переменных. Формулы Крамера. Решение систем линейных уравнений методом обратной матрицы. Теорема Кронекер–Капелли. Совместность систем однородных уравнений.
лекция [24,2 K], добавлен 14.12.2010Численные методы решения систем линейных уравнений: Гаусса, простой итерации, Зейделя. Методы аппроксимации и интерполяции функций: неопределенных коэффициентов, наименьших квадратов. Решения нелинейных уравнений и вычисление определенных интегралов.
курсовая работа [322,7 K], добавлен 27.04.2011
