Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Курсовая работа

Дифференциальные уравнения как математические модели реальных процессов

Введение

Понятия, созданные современной математикой, часто кажутся весьма далекими от реального мира. Но именно с их помощью людям удалось проникнуть в тайны строения атомного ядра, рассчитать движение космических кораблей, создать весь тот мир техники, на котором основано современное производство. Одним из основных методов познания природы является опыт, эксперимент. С помощью экспериментов были установлены многие законы природы (закон сохранения вещества и энергии, периодическая система элементов Д.И. Менделеева и т.д.). Однако не всегда целесообразно проводить эксперимент. За последнее столетие в самых различных областях науки и техники все большую роль стал играть метод математического моделирования.

Чтобы изучить какое-нибудь явление природы или работу машины, предварительно изучают всевозможные связи между величинами, их характеризующими. Затем полученные связи выражают математически и приходят к системе уравнений. Решая эти уравнения или системы уравнений, ученые и инженеры делают выводы о том, как в дальнейшем будет развиваться это явление или как будет работать машина, что надо сделать, чтобы получить требуемые результаты.

При этом уравнения и системы уравнений бывают алгебраическими и дифференциальными. Чтобы получить уравнения, допускающие решения, приходиться упрощать задачу, отбрасывая некоторые величины как несущественные. Но чем точнее нужен результат, тем больше величин приходиться учитывать, тем сложнее получается математическая модель.

Математические модели, которые строили в XIX веке, были сравнительно простыми. Но возрастающие требования к точности ответа, развитие техники, познание разнообразных явлений привели к построению все более сложных математических моделей.

Целью данной курсовой работы является изучение математических моделей, построенных на основе различных процессов, таких как модель рекламной компании - это модель экономического процесса и моделей физических процессов: истечение жидкости из сосудов (водяные часы), кривая погони, невесомость и прогиб балок.

Все эти модели построены помощью теории дифференциальных уравнений. Это говорит о том, что дифференциальные уравнения выступают как мощное средство моделирования. Развитие теории дифференциальных уравнений позволяло и позволяет двигаться научному прогрессу вперед, а использование в процессе моделирования ЭВМ делает модели еще более сложными, полными и гибкими.

1. Теоретические основы математического моделирования

1.1 Определения математических моделей

математический дифференциальный уравнение

Никакое определение не может в полном объёме охватить реально существующую деятельность по математическому моделированию. Несмотря на это, определения полезны тем, что в них делается попытка выделить наиболее существенные черты.

Определение модели по А.А. Ляпунову: Моделирование - это опосредованное практическое или теоретическое исследование объекта, при котором непосредственно изучается не сам интересующий нас объект, а некоторая вспомогательная искусственная или естественная система (модель):

1) находящаяся в некотором объективном соответствии с познаваемым объектом;

2) способная замещать его в определенных отношениях;

3) дающая при её исследовании, в конечном счете, информацию о самом моделируемом объекте.

По учебнику Советова и Яковлева: «модель - это объект-заместитель объекта-оригинала, обеспечивающий изучение некоторых свойств оригинала». «Замещение одного объекта другим с целью получения информации о важнейших свойствах объекта-оригинала с помощью объекта-модели называется моделированием». «Под математическим моделированием будем понимать процесс установления соответствия данному реальному объекту некоторого математического объекта, называемого математической моделью, и исследование этой модели, позволяющее получать характеристики рассматриваемого реального объекта. Вид математической модели зависит как от природы реального объекта, так и задач исследования объекта и требуемой достоверности и точности решения этой задачи».

По Самарскому и Михайлову, математическая модель - это «эквивалент» объекта, отражающий в математической форме важнейшие его свойства - законы, которым он подчиняется, связи, присущие составляющим его частям, и т.д.» Существует в триадах «модель-алгоритм-программа». «Создав триаду модель-алгоритм-программа», исследователь получает в руки универсальный, гибкий и недорогой инструмент, который вначале отлаживается, тестируется в пробных вычислительных экспериментах. После того, как адекватность (достаточное соответствие) триады исходному объекту установлена, с моделью проводятся разнообразные и подробные опыты», дающие все требуемые качественные и количественные свойства и характеристики объекта».

1.2 Классификация математических моделей

В основу классификации математических моделей можно положить различные принципы. Можно классифицировать модели по отраслям наук (математические модели в физике, биологии, социологии и т.д.). Можно классифицировать по применяемому математическому аппарату (модели, основанные на применении обыкновенных дифференциальных уравнений, дифференциальных уравнений в частных производных, стохастических методов, дискретных алгебраических преобразований и т.д.). Наконец, если исходить из общих задач моделирования в разных науках безотносительно к математическому аппарату, наиболее естественна такая классификация:

дескриптивные (описательные) модели;

оптимизационные модели;

многокритериальные модели;

игровые модели.

Поясним это на примерах:

Дескриптивные (описательные) модели. Например, моделирование движения кометы, вторгшейся в Солнечную систему, производится с целью предсказания траектории ее полета, расстояния, на котором она пройдет от Земли, и т.д. В этом случае цели моделирования носят описательный характер, поскольку нет никаких возможностей повлиять на движение кометы, что-то в нем изменить.

Оптимизационные модели используются для описания процессов, на которые можно воздействовать, пытаясь добиться достижения заданной цели. В этом случае в модель входит один или несколько параметров, доступных влиянию. Например, меняя тепловой режим в зернохранилище, можно задаться целью, подобрать такой режим, чтобы достичь максимальной сохранности зерна, т.е. оптимизировать процесс хранения.

Многокритериальные модели. Нередко приходится оптимизировать процесс по нескольким параметрам одновременно, причем цели могут быть, весьма противоречивыми. Например, зная цены на продукты и потребность человека в пище, нужно организовать питание больших групп людей (в армии, детском летнем лагере и др.) физиологически правильно и, одновременно с этим, как можно дешевле. Ясно, что эти цели совсем не совпадают, т.е. при моделировании будет использоваться несколько критериев, между которыми нужно искать баланс.

Игровые модели могут иметь отношение не только к компьютерным играм, но и к весьма серьезным вещам. Например, полководец перед сражением при наличии неполной информации о противостоящей армии должен разработать план: в каком порядке вводить в бой те или иные части и т.д., учитывая и возможную реакцию противника. Есть специальный раздел современной математики - теория игр, - изучающий методы принятия решений в условиях неполной информации.

2. Примеры использования дифференциальных уравнений при моделировании реальных процессов

2.1 Модель рекламной компании

Фирма начинает рекламировать новый товар или услугу. Разумеется, что прибыль от будущих продаж должна с лихвой покрывать издержки на дорогостоящую кампанию. Ясно, что вначале расходы могут превышать прибыль, поскольку лишь малая часть потенциальных покупателей будет информирована о новинке. Затем, при увеличении числа продаж, уже возможно рассчитывать на заметную прибыль, и, наконец, наступит момент, когда рынок насытится, и рекламировать товар, далее станет бессмысленно.

Модель рекламной кампании основывается на следующих основных предположениях. Считается, что величина скорость изменения временем числа потребителей, узнавших о товаре и готовых купить его (t - время, прошедшее с начала рекламной кампании, N(t) - число уже информированных клиентов), - пропорциональна числу покупателей, еще не знающих о нем, т.е. величине a₁(t) (N₀ - N(t)), где N₀ - общее число потенциальных платежеспособных покупателей, а₁(t)>0 характеризует интенсивность рекламной кампании (фактически определяемую затратами на рекламу в данный момент времени). Предполагается также, что узнавшие о товаре потребители тем или иным образом распространяют полученную информацию среди неосведомленных, выступая как бы дополнительными рекламными «агентами» фирмы. Их вклад равен величине a₂ (t) N(t) (N₀-N (t)) и тем больше, чем больше число агентов. Величина а₂(t) > 0 характеризует степень общения покупателей между собой (она может быть установлена, например, с помощью опросов).

В итоге получаем уравнение

=[a₁ (t) + a₂ (t) N (t)] (N₀ - N). (1)

При a₁(t) >> a₂N(t) из (1) получается модель типа модели Мальтуса при противоположном неравенстве - уравнение логистической кривой

= N(N₀ - N), dф = a₂ (t) dt,

Рассмотрим модель в окрестности точки N (t = 0) = N(0) = 0; t=0 - (момент начала компании), считая, что N << N₀, a₂ (t) N << a₁(t) то уравнение примет вид=a₁(t) N₀ и имеет решение

N(t) = N₀a₁(t) dt (2)

удовлетворяющее естественному начальному условию при t=0. Из (2) относительно легко вывести соотношение между рекламными издержками и прибылью в самом начале кампании. Обозначим через Р величину прибыли от единичной продажи, какой бы она была без затрат на рекламу. Считаем для простоты, что каждый покупатель приобретает лишь одну единицу товара. Коэффициент а₁(t) по своему смыслу - число равнозначных рекламных действий в единицу времени, например, расклейка одинаковых афиш. Через S обозначим стоимость элементарного акта рекламы. Тогда суммарная прибыль есть

P=сN(t)=сN₀ a₁(t) dt (3)

а произведенные затраты

S=sa₁(t) dt (4)

И в силу независимости a₁ от времени

Р = сN(t)=с • N₀ • a_a • t;

S=s • a₁ • t;

Итак, мы получили простейшие линейные зависимости прибыли от времени.

Разумеется, данные зависимости не отражают реальную картину, возникающую в ходе рекламной компании. Делаем вывод, что в случае краткосрочной модели, при которой покупатели не успевают передать информацию о продукте, и при небольших по сравнению с оборотом фирмы зарплатах на рекламу, прибыль растет линейно.

2.2 Истечение жидкости из сосудов. Водяные часы

Рассмотрим сосуд (рис. 1), площадь горизонтального сечения, которого является произвольной функцией расстояния сечения от дна сосуда.

Пусть высота уровня жидкости в сосуде в начальный момент времени t=0 равна h метров. Пусть, далее, площадь сечения на высоте х равна S(x), а площадь отверстия на дне сосуда есть S.

Известно, что скорость истечения жидкости U в тот момент, когда высота ее уровня равна x, определяется равенством U=k, где g=9,8 м/с², k - коэффициент скорости истечения жидкости из отверстия. На бесконечно малом промежутке времени dt истечение жидкости можно считать равномерным, а потому за время dt вытечет столбик жидкости, высота которого Udt и площадь сечения S, что в свою очередь вызовет понижение уровня жидкости в сосуде на - dх.

В результате этих рассуждений приходим к дифференциальному уравнению

ksdt = - S(x) dx; (5)

которое можно переписать в виде

dt=-dx; (6)

Решим теперь следующую задачу. Цилиндрический резервуар с вертикальной осью высотой 6 м и диаметром 4 м имеет на дне круглое отверстие радиусом 1/12 м. Требуется установить зависимость уровня воды в резервуаре от времени t, а также определить время, в течение которого вытечет вся вода.

По условиям задачи S(x)=4р; S=1/144. Так как для воды k=0,6, то уравнение (6) примет вид dt = -dx;

Интегрируя это дифференциальное уравнение, приходим к соотношению t= 434,304 ;которое и дает искомую зависимость уровня воды от времени t. Если теперь в последнем равенстве положить х=6, то получим, что вся вода вытечет из резервуара приблизительно через 18 минут.

Вторая задача состоит в следующем. Известно, что древние водяные часы представляли собой чашу (рис. 2), из которой через небольшое отверстие на дне вытекала вода. Такие часы использовались в греческих и римских судах для хронометрирования речей адвокатов, чтобы не допускать слишком долгих выступлений. Требуется найти форму водяных часов, при которой уровень воды убывал бы в чаше с постоянной скоростью.

Задача легко решается с помощью выведенного выше уравнения (6), которое мы только перепишем в виде

=-; (7)

Именно, учитывая, что чашу можно рассматривать как поверхность вращения, в соответствии с обозначениями на (рис. 2) из уравнения (7) получаем, что

(8)

Где a=U_x=- проекция свободной поверхности жидкости на ось x, которая по условию задачи есть величина постоянная. Возведя обе части уравнения (8) в квадрат приходим к уравнению

x=cr⁴; (9)

где c=a²р²/(2gk²s²). Последнее означает, что форма поверхности водяных часов получается вращением кривой (9) вокруг оси х.

2.3 Кривая погони

Приведем один из примеров использования дифференциальных уравнений для выбора правильной стратегии при решении задач поиска.

Пусть, например, миноносец охотится за подводной лодкой в густом тумане. В какой-то момент времени туман поднимается и подводная лодка оказывается обнаруженной на поверхности воды на расстоянии 3 миль от миноносца. Скорость миноносца вдвое больше скорости подводной лодки. Требуется определить траекторию (кривую погони), по которой должен следовать миноносец, чтобы он прошел точно над подводной лодкой, если последняя сразу же погрузилась после ее обнаружения и ушла на полной скорости прямым курсом в неизвестном направлении.

Для решения сформулированной задачи введем полярные координаты r, O таким образом, чтобы полюс О находился в точке обнаружения подводной лодки, а полярная ось r проходила через точку, в которой в момент обнаружения подводной лодки был миноносец (рис. 3). Дальнейшие рассуждения основаны на следующих соображениях. Прежде всего, миноносцу надо занять такую позицию, чтобы он и подводная лодка находились на одном расстоянии от полюса О. Затем миноносец должен двигаться вокруг полюса О по такой траектории, чтобы оба движущихся объекта все время находились на одинаковом расстоянии от точки О. Только в этом случае миноносец, обходя вокруг полюса О, пройдет над подводной лодкой. Из вышесказанного следует, что сначала миноносец должен идти прямым курсом к точке О до тех пор, пока он не окажется на том же расстоянии х от полюса О, что и подводная лодка.

Очевидно, что расстояние х можно найти либо из уравнения

,

либо из уравнения

,

где u - скорость подводной лодки, а 2u - скорость миноносца. Решая последние уравнения, находим, что либо расстояние х равно одной, либо трем милям.

Теперь, если «встречи» не произошло, то миноносец должен в дальнейшем двигаться вокруг полюса О (по направлению движения часовой стрелки или против), удаляясь от последнего со скоростью подводной лодки u. Разложим скорость миноносца 2u на две составляющие: радиальную u_r и тангенциальную u_t (рис. 3).

Радиальная составляющая - это скорость, с которой миноносец удаляется от полюса О, т.е.

u_r=.

Тангенциальная составляющая - это линейная скорость вращения миноносца относительно полюса. Она, как известно, равна произведению угловой скорости на радиус r, т.е.

u_r=r.

Но так как u_r = u, то

u_r==u.

Итак решение исходной задачи сводится к решению системы двух дифференциальных уравнений

, r= u,

Которая, в свою очередь, может быть сведена к одному уравнению

исключением переменной t.

Решая последнее дифференциальное уравнение, получаем, что

r=C,

где С - произвольная постоянная.

Учитывая теперь, что миноносец начинает движение вокруг полюса О с полярной оси r на расстоянии х миль от точки О, т.е. учитывая, что r=1 при O=0 и r=3 при O=-р я, приходим к выводу, что в первом случае C=1, а во втором С = З. Таким образом, чтобы выполнить свою задачу, миноносец должен пройти две или шесть миль прямым курсом по направлению к месту обнаружения подводной лодки, а затем двигаться либо по спирали r= либо по спирали r=3.

2.4 Невесомость

Состояние невесомости может быть достигнуто различными способами, хотя оно (вольно или невольно) и ассоциируется с «плаванием» космонавтов в кабине космического корабля.

Рассмотрим следующую задачу. Пусть человек весом Р находится в кабине пассажирского лифта, движущегося вниз с ускорением а=бg, где 0<б<1, а-ускорение силы тяжести. Требуется определить давление человека на дно кабины, а также ускорение лифта, при котором это давление отсутствует.

На человека в лифте действуют две силы (рис. 4): вес человека Р и сила реакции дна кабины лифта Q (равная давлению человека на дно кабины). Дифференциальное уравнение движения человека запишется в виде

m=P-Q; (10)

Так как =а=ag, m=P/g то из уравнения (10) получаем соотношение

Q=P-m; (11)

Q=P (1-б);

Принимая, далее, во внимание, что 0<б <1 приходим к выводу, что Q<P. Итак, давление человека на дно кабины движущегося вниз лифта задается силой Q=P (1-б). В том же случае, когда кабина лифта поднимается вверх с ускорением а=бg, где 0<б<1 давление человека на дно кабины определяется силой Q=P (1+б). Выясним теперь, при каком ускорении лифта давление человека на дно кабины отсутствует. Для этого достаточно обратиться к равенству (11), положив Q=0. В результате приходим к выводу, что б =1, т.е. для того, чтобы Q=0, ускорение лифта обязано равняться ускорению силы тяжести. Таким образом, при свободном падении лифта с ускорением силы тяжести g давление человека на дно кабины лифта отсутствует. Именно это состояние и называют состоянием невесомости. При невесомости отсутствуют взаимные давления отдельных частей тела человека. Это вызывает у него необычные ощущения. При состоянии невесомости все точки тела имеют равные ускорения. Конечно, состояние невесомости может иметь место и не только при свободном падении. Для иллюстрации рассмотрим такую задачу.

Какова должна быть скорость космического корабля, движущегося вокруг Земли как искусственный спутник, чтобы человек находился в кабине в состоянии невесомости?



Задачу будем решать в предположении, что космический корабль движется по круговой орбите радиуса r+h, где r - радиус Земли, а h - высота полета космического корабля над поверхностью Земли. Из предыдущей задачи следует, что в состоянии невесомости давление на дно кабины космического корабля, а следовательно, и реакция Q дна кабины равны нулю. Итак, Q=0. Обратимся теперь к (рис. 5). Ось x направлена вдоль главной нормали n круговой траектории космического корабля. Воспользовавшись дифференциальным уравнением движения материальной точки в проекции на главную нормаль, которое имеет вид ; и где с=r+h, , причем сила F направлена по главной нормали к траектории движения, придем к уравнению , Или к уравнению . Подставив значение из последней формулы в соотношение (10) Получим равенство

. (12)

Здесь сила Р равна силе F притяжения к Земле, которая в соответствии с всемирным законом тяготения обратно пропорциональна квадрату расстояния r+h до центра Земли, т.е. F=, где т - масса космического корабля, а постоянная k определяется из следующих соображений. На поверхности Земли, т.е. при h=0, сила притяжения F=mg. Из предыдущей формулы тогда получаем, что k=gr² и, таким образом, P=F=, где g - ускорение силы тяжести на поверхности Земли. Подставив теперь полученное значение Р в формулу (12) и учтя тот факт, что Q=0, приходим к выводу, что требуемая в задаче скорость находится из равенства .

2.5 Прогиб балок

Рассмотрим горизонтально расположенную балку АВ (рис. 6) постоянного поперечного сечения, сделанную из однородного материала. Ось симметрии балки указана на (рис. 6) пунктирной линией. Предположим, что под влиянием сил, которые действуют на балку в вертикальной плоскости, содержащей ось симметрии, балка прогибается (рис. 7).

Действующие силы могут быть обусловлены весом балки, внешне приложенной нагрузкой или как той, так и другой силами вместе. Понятно, что под действием сил ось симметрии будет искривляться. Обычно искривленную ось симметрии называют упругой линией. Определение формы этой линии играет важную роль в теории упругости.

Отметим, что существуют различные типы балок в зависимости от способов их крепления или опоры. Например, на (рис. 8) изображена балка, у которой конец А жестко закреплен, а конец В свободен. Такая балка называется консольной балкой. На (рис. 9) показана балка, лежащая свободно на опорах А и В. Еще один тип балок с опорами показан па (рис. 10). Существуют и различные способы приложения внешних нагрузок. Например, на (рис. 8) показана равномерно распределенная нагрузка. Конечно, нагрузка может быть и переменной вдоль всей длины балки или некоторой ее части (рис. 9). На (рис. 10) указан случай сосредоточенной нагрузки.

Рассмотрим горизонтальную балку ОА (рис. 11). Пусть ее ось симметрии (показанная на рисунке пунктиром) лежит на оси х, где за положительное направление выбирается направление вправо от точки О, являющейся началом координат. За положительное направление на оси у выберем направление вниз от точки О. Под действием внешних сил F₁, F₂,… (и веса балки, если он большой) ось симметрии искривляется в упругую линию, которая показана на (рис. 12) пунктиром. Смещение y упругой линии от оси х называется прогибом балки в положении х. Таким образом, если известно уравнение упругой линии, то всегда можно указать и прогиб балки. Ниже мы покажем, как это может быть сделано практически.

Обозначим через М(х) изгибающий момент в вертикальном поперечном сечении балки с координатой х. Изгибающий момент определяется как алгебраическая сумма моментов тех сил, которые действуют с одной стороны балки в положении х. При подсчете моментов будем считать, что силы, которые действуют на балку снизу вверх, дают отрицательные моменты, а силы, действующие сверху вниз, дают положительные моменты.

В сопротивлении материалов доказывается, что изгибающий момент в положении х связан с радиусом кривизны упругой линии соотношением

EJ=M(x); (13)

где Е - модуль упругости Юнга, который зависит от материала, J - момент инерции поперечного сечения балки в положении х относительно горизонтальной прямой, проходящей через центр тяжести этого поперечного сечения. Произведение EJ обычно называют жесткостью при изгибе, ее величину в дальнейшем будем считать постоянной. Теперь, если предположить, что балка лишь слегка прогибается, что часто бывает на практике, то угловой коэффициент у' упругой линии будет очень мал, и поэтому вместо уравнения (13) можно рассматривать приближенное уравнение

EJy''=М(x). (14)



Чтобы показать, как на практике используется уравнение (14), рассмотрим следующую задачу. Горизонтальная однородная стальная балка длины , свободно лежащая на двух опорах, прогибается под действием собственного веса, равного р кгc на единицу длины. Требуется найти уравнение упругой линии и максимальный прогиб балки. На (рис. 13) упругая линия показана пунктиром. Поскольку балка является двухопорной, то каждая из опор создает направленную вверх реакцию, равную половине веса балки (равную р/2). Изгибающий момент М(х) есть алгебраическая сумма моментов этих сил, действующих на балку с одной стороны от точки Q (рис. 13). Рассмотрим сначала действие сил слева от точки Q. На расстоянии х от точки Q сила р/2 действует на балку снизу вверх и создает отрицательный момент. Сила же рх, которая действует на балку сверху вниз на расстоянии х/2 от точки Q, создает положительный момент.

Таким образом, суммарный изгибающий момент в точке Q задается формулой

M(x)=-x+px()=-. (15)

Если же рассмотреть действие сил справа от точки Q, то в этом случае на расстоянии (-х)/2 от точки Q на балку действует сверху вниз сила р(-x), которая создает положительный момент. Отрицательный же момент создает сила р/2, которая действует на балку снизу вверх на расстоянии -x от точки Q. Суммарный изгибающий момент подсчитывается в данном случае по формуле

M(x)=p(-x) (16)

Как показывают формулы (15) и (16), изгибающие моменты в обоих случаях оказываются равными. Теперь, зная, как находится изгибающий момент, легко выписать и основное уравнение (14), которое в нашем случае принимает вид

EJy''=. (17)

Учитывая же, что на концах О и А балка не прогибается, для нахождения у из уравнения (17) воспользуемся условиями на концах балки:

у=0 при х=0 и у=0 при х=.

А тогда интегрирование уравнения (17) с учетом последних условий дает

y=(x⁴-2x³+³x). (18)

Уравнение (18) является уравнением упругой линии. Формула (18) используется на практике для определения максимального прогиба. Так, в нашем конкретном случае, основываясь на соображениях симметрии (это можно сделать и прямыми вычислениями), находим, что максимальный прогиб будет при х=/2 и равен он 5p⁴/(384EJ) где

E=21•10⁵кгс/см², J=3•10⁴см⁴.

Заключение

Широкое применение дифференциальных уравнений достаточно актуально в современном научном мире. Практически любой процесс может быть описан с помощью дифференциального уравнения.

В данной курсовой работе были рассмотрены пять математических моделей, построенных на основе различных процессов, модель рекламной компании, процесс истечения жидкости из сосудов (водяные часы), кривая погони, невесомость и прогиб балок. Эти модели построены помощью теории дифференциальных уравнений. Задачи, поставленные в курсовой работе, считаем решенными, цель достигнута.

Список используемой литературы

Самарский А.А., Михайлов А.П. Математическое моделирование: Идеи. Методы. Примеры. - 2-е изд., испр. - М.: Физматлит, 2001.

Агафонов С.А., Герман А.Д., Муратова Т.В. Дифференциальные уравнения.

Введение в математическое моделирование Издательства: Университетская книга, Логос, 2007 г.

Амелькин В.В. Дифференциальные уравнения в приложениях. Москва «Наука». Главное издательство физико-математической литературы 1987 г.

Е. Пикуль Математические модели физических процессов Газета «Физика» №12 за 2009 год.

6. Владимиров В.С. «Уравнения математической физики», М., «Наука», 1988 г.

7. И. М Уваренков, М.З. Малер «Курс математического анализа», М., «Просвещение», 1976.

Размещено на Allbest.ru