Итерационные методы решения системы линейных алгебраических уравнений

Одной из самых распространенных и важных задач вычислительной математики является решение системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ):

a₁₁ x₁ + a₁₂ x₂ + … + a_1n x_n = b₁

a₂₁ x₁ + a₂₂ x₂ + … + a₂₁ x_n = b₂

……………………………………. .

a_n1 x₁ + a_n1 x₂ +… + a_nn x_n = b_n,

или в векторно-матричном виде:

Ax = B, (1)

где

а11 а12 ......а1n

а21 а22 -… .. а2n

А = ................

аn1 аn2 … . ann

b1

b2

B =

bn

x1

x2

x =

xn

Итерационные методы решения СЛАУ используются для решения СЛАУ большой размерности с разреженными матрицами, а также для уточнения решения СЛАУ, полученного с помощью прямого метода. Формулировка и применение итерационных методов требует определенных знаний и определенного опыта. Выбор эффективного итерационного метода решения конкретной задачи существенно зависит от ее характерных свойств и от архитектуры вычислительной машины, на которой будет решаться задача. Поэтому никаких общих правил выбора наилучшего итерационного метода решения не существует. Метод простой итерации приведен здесь как иллюстрация действия механизма вычисления решения на основе итерационной процедуры.

Суть метода состоит в следующем. От системы уравнений вида Ах = в (2) переходят к системе уравнений

x=Dх + С (3)

Например, от системы уравнений

а₁₁х₁+а₁₂х₂+а₁₃х₃=в₁

а₂₁х₁+ а₂₂х₂+а₂₃х₃=в_{2 (}4)

а₃₁х₁+а₃₂х₂+а₃₃х₃=в₃

можно перейти к виду (3), выразив из первого уравнения х₁, из второго - х₂, из третьего - х₃:

х₁= - а₁₂/а₁₁х₂ - а₁₃/а₁₁х₃+в₁/а₁₁

х₂= - а₂₁/а₂₂х₁ - а₂₃/а₂₂х₃+в₂/а_{22 (}5)

х₃= - а₃₁/а₃₃х₁ - а₃₂/а₃₃х₂+ в₃/а₃₃

Приведение исходной системы уравнений в виду (3) можно осуществить различными способами. Например, в СЛАУ (4) из первого уравнения можно выразить х₂, из второго - х₁, из третьего - х₃ и, переставив уравнения для сохранения порядка следования переменных в векторе решения х, снова прийти к виду (3). Естественно, что матрица D и вектор с будут уже иными. Возможны и другие способы преобразования исходных уравнений.

После преобразования (2) к виду (3) назначается нулевое приближение решения х ^(0):

х₁ ⁽⁰⁾

х ⁽⁰⁾ = х₂ ⁽⁰⁾

х₃ ^(0).

Если приблизительно известны значения х_i вектора решения х, то они выбираются в качестве нулевого приближения, если нет, то в качестве вектора х ⁽⁰⁾ выбирается любой вектор, например х ⁽⁰⁾ =С.

Первый шаг итерационного процесса состоит в вычислении приближения х ^(1):

х ⁽¹⁾ = Dx ⁽⁰⁾ +С.

Например, назначив х ⁽⁰⁾ и подставив его в систему уравнений (3), получим:

х₁ ⁽¹⁾ = - а₁₂/а₁₁х ^{(0) -} а₁₃/а₁₁х₃ ⁽⁰⁾ +в₁/а₁₁

х₂ ⁽¹⁾ = - а₂₁/а₂₂х₁ ^{(0) -} а₂₃/а₂₂х₃ ⁽⁰⁾ +в₂/а₂₂

х₃ ⁽⁰⁾ = - а₃₁/а₃₃х₁ ^{(0) -} а₃₂/а₃₃х₂ ⁽⁰⁾ +в₃/а_33.

Далее вычисляем:

х ⁽²⁾ = Dx ⁽¹⁾ +C

х ^(к) =Dх ^(к-1) +С

и т.д.

Достаточное условие сходимости метода итерации заключается в следующем, если норма матрицы D (обозначается ¦D¦) меньше 1, то система уравнений (3) имеет единственное решение х^* и итерации сходятся к этому решению со скоростью геометрической прогрессии Иными словами, если

¦D¦<1, (6)

то

?im ¦х ^{(к) -} х^*¦= 0

^к>?

и выполняется тождество

х^*=Dх^*+С.

В качестве нормы матрицы D используются нормы ¦D¦₁ или

¦D¦_?: _n

¦D¦₁ = max ? | d_ij |,

^{j i=1}

_n

¦D¦_?= max ? | d_ij |.

^{i j=1}

Аналогично вводятся нормы вектора х:

_n

¦х¦₁ = ? |х_i|

_i=1

¦х¦_?= max |x_i|.

ⁱ

Из условия сходимости (6) ясно, что не всякое преобразование исходной системы (2) к виду (3) позволит получить решение уравнения на основе итерационного процесса, а только такое, которое обеспечит выполнение условия ¦D¦<1. Важно иметь в виду, что при выполнении этого условия итерационный процесс сходится для любого начального приближения х ⁽⁰⁾ и выбор х ⁽⁰⁾ =С диктуется просто соображениями удобства назначения х ^(0).

Если задана допустимая погрешность вычислений Д, то для оценки погрешности к - го приближения широко используется следующее неравенство:

¦х ^{(к) -} х*¦?¦D¦ ? (1-¦D¦) *¦х ^(к) - х ^(к-1) ¦<Д (7)

Из этого неравенства следует критерий окончания итерационного процесса

¦х ^{(к) -} х ^(к-1) ¦ < (1-¦ D¦) *? ? ¦D¦ (8)

Каждый раз при вычислении очередного приближения х ^(k) проверяется выполнение неравенства (8).

Выполнение неравенства (8) означает выполнение неравенства

¦х ^(к) - х^*¦ < ?

и, следовательно, прекращение итерационного процесса.

ЗАДАНИЕ НА ВЫПОЛНЕНИЕ РАБОТЫ