Поверхностные интегралы

Размещено на http://www.allbest.ru/

СОДЕРЖАНИЕ

• 1. Введение
• 2. Основная часть. Математическое исследование
• 2.1 Поверхностный интеграл первого рода
• 2.2 Поверхностный интеграл второго рода
• 2.3 Связь между поверхностными интегралами первого и второго рода
• 2.4 Формула Остроградского
• 2.5 Формула Стокса
• 3. Приложения поверхностных интегралов
• 4. Тесты
• 5. Практические задания
• 1. Введение
• Интеграл - одно из основных понятий математического анализа возникшее в связи с потребностью, с одной стороны, отыскивать функции по их производным, например находить длину пути, пройденного движущейся точкой, по её скорости. С другой стороны, измерять площади, объемы, работу сил за определенный промежуток времени и т.п.
• Поверхностный интеграл - интеграл от функции заданной какой-либо поверхности. К поверхностному интегралу приводит, например, задача вычисления массы, распределенной плотностью f(М).Для этого разбивают поверхность на части S1, S2, …, Sn и выбирают в каждой их них по точке Mi. Если эти части достаточно малы, то их массы приближенно равны f(Mi) Si, а масса всей поверхности будет равна ni=1 f(Mi) Si. Поэтому точное значение массы поверхности есть lim ni=1 f(Mi) Si, где предел берется при условии, что размеры всех частей Si (и их площади) стремятся к нулю. К аналогичным пределам приводят и другие задачи физики. Эти пределы называются поверхностными интегралами первого рода от функции f(M) по поверхности S.
• Целью моей работы стало составление пособия для студентов по теме "Поверхностные интегралы".
• Задачи работы.
• 1. Систематизировать теоретический материал по данной теме.
• 2. Разработать тесты.
• 3. Подобрать практические задания.
• 4. Выявить практическое применение данного материала.

2. Основная часть. Математическое исследование

2.1 Поверхностный интеграл первого рода

Пусть в точках некоторой поверхности S гладкой или кусочно-гладкой определена ограниченная функция f(M)=f(x,y,z). Разобьем поверхность S произвольно на n частей с площадями ДS1, ДS2, …, ДSn.

Рис. 1

Размещено на http://www.allbest.ru/

Выбрав на каждой частичной поверхности произвольную точку Mi(оi,зi, жi) составим формулу

ni=1 f(Mi) ДSi (1)

Сумма (1) называется интегральной суммой для функции f(M) по поверхности S. Обозначим через л наибольший из диаметров частей поверхности.

Определение. Если интегральная сумма (1) при л>0 имеет предел, равный J, то этот предел называется поверхностным интегралом первого рода от функции f(x,y,z) по поверхности S и обозначается одним из следующих символов

J =S?? f(M) dS = S?? f(x,y,z) dS

В этом случае функция f(x,y,z) называется интегрируемой по поверхности S, а S - областью интегрирования.

Данное определение по сути аналогично определению двойного интеграла. Поэтому свойства и условия существования двойных интегралов без особых изменений переносятся на поверхностные интегралы.

Вычисление поверхностных интегралов первого рода производится сведением поверхностного интеграла к двойному.

Пусть поверхность S задана уравнением z=z (x,y), где функция z (x,y) вместе с производными z'x (x,y) и z'y (x,y) непрерывна в замкнутой области G - проекция S на плоскость Oxy (рис 2) и пусть функция f(x,y,z) непрерывна на поверхности S и следовательно, интегрируема по этой поверхности.

Рис. 2

Размещено на http://www.allbest.ru/

Разобьем поверхность S произвольно на n частей и спроектируем это разбиение на плоскость Oxy. Получим соответственно разбиение области G на части G1, G2, …, Gn. Площадь ?Si каждой части поверхности может быть представлена в виде

?Si =Gi?? v 1+z'x2(x,y)+ z'y2(x,y) dx dy(2)

Применяя к двойному интегралу теорему о среднем, получаем

?Si = v 1+z'x2(оi,зi)+ z'y2(оi,зi) ?Si, где (оi,зi) - некоторая точка области Gi, ?Si - площадь Gi.

Обозначим через Mi - точку на частичной поверхности с координатами (оi,зi,жi), где Si = z (оi, зi), а (оi,зi) - точка которая имеется в формуле (2). Составим интегральную сумму для функции f(x,y,z) по поверхности S, выбирая точки Mi в качестве промежуточных:

ni=1 f (оi,зi,жi) ДSi = ni=1 f [оi,зi, z(оi,зi)] v 1+z'x2(оi,зi)+ z'y2(оi,зi) ?Si (3)

В правой части равенства находится интегральная сумма для двойного интеграла от непрерывной в области G функции

f[x,y,z(x,y)] v1+z'x2(x,y)+ +z'y2(x,y).

Поэтому limл>0ni=1 f [оi,зi, z(оi,зi)] v 1+z'x2(оi,зi)+ z'y2(оi,зi) ?Si =

= S?? f[x,y,z(x,y)] v 1+z'x2(x,y)+ z'y2(x,y) dx dy

Так как функция f(x,y,z) интегрируема по поверхности S, то

limл>0ni=1 f (оi,зi,жi) ДSi = S?? f(x,y,z) dS.

Следовательно, переходя к пределу в (3) при л>0, получаем искомую формулу

S?? f(x,y,z) dS = G?? f[x,y,z(x,y)] v 1+z'x2(x,y)+ z'y2(x,y) dx dy,(4)

выражающую поверхностный интеграл первого рода через двойной интеграл по проекции поверхности S на плоскость Oxy.

Аналогично получаются формулы, выражающие интеграл по поверхности S через двойные по её проекциям на плоскости Oyz.и Oxz.

2.2 Поверхностный интеграл второго рода

Введем предварительно понятие стороны поверхности. Возьмем на гладкой поверхности S произвольную точку М и проведем через неё нормаль к поверхности (вектор n). Рассмотрим теперь на поверхности S какой-либо замкнутый контур, проходящий через точку М и не имеющий общих точек с границей поверхности S. Будем перемещать точку М по замкнутому контуру вместе с вектором n так, чтобы вектор n все время оставался нормальным к S и чтобы его направление менялось при этом перемещении непрерывно (рис. 3).

Рис. 3

Рис. 4

В начальное положение точка М вернется либо с тем же направлением нормали, либо с противоположным.

Если обход по любому замкнутому контуру, лежащему на поверхности S и не пересекающему её границы, при возвращении в исходную точку не меняет направления нормали к поверхности, то поверхность называется двусторонней. Примерами двусторонних поверхностей служат плоскость, сфера, любая поверхность, заданная уравнением z = f(x,y), где f(x,y), fx'(x,y), fy'(x,y) - функции непрерывные в области G плоскости Oxy.

Если же на поверхности S существует замкнутый контур, при обходе которого направление нормали меняется после возвращения в исходную точку на противоположное, то поверхность называется односторонней.

Простейшим примером односторонней поверхности является лист Мебиуса (рис. 4). При обходе листа Мебиуса по его средней линии и возвращении в исходную точку направление нормали меняется на противоположное.

В дальнейшем рассматриваются только двусторонние поверхности. Для двусторонней поверхности совокупность всех ее точек с выбранным в них направлением нормали, изменяющимся непрерывно при переходе от точки к точке, называется стороной поверхности, а выбор определенной ее стороны - ориентацией поверхности. Двустороннюю поверхность называют также ориентируемой, а одностороннюю - не ориентируемой. С понятием стороны поверхности тесно связано понятие ориентации ее границы.

Пусть S - ориентированная (сторона уже выбрана) поверхность, ограниченная контуром L, не имеющим точек самопересечения. Будем считать положительным направлением обхода контура L то, при движении по которому наблюдатель, расположенный так, что направление нормали совпадает с направлением от ног к голове оставляет поверхность слева от себя (рис. 5). Противоположное направление обхода называется отрицательным.

Рис. 5

Если изменить ориентацию поверхности, то есть изменить направление нормали на противоположное, то положительное и отрицательное направление обхода контура L поменяются ролями. Перейдем теперь к определению поверхностного интеграла второго рода. Пусть S - гладкая поверхность, заданная уравнением z = f(x,y) и R(x,y,z) - ограниченная функция, определенная в точках поверхности S. Выберем одну из двух сторон поверхности, то есть одно из двух возможных направлений нормали в точках поверхности (тем самым мы ориентировали поверхность). Если нормали составляют острые углы с осью oz, то будем говорить, что выбранная верхняя сторона поверхности z = f(x,y), если тупые углы, то нижняя сторона поверхности. Разобьем поверхность S произвольно на n частей и обозначим через Gi проекцию i-й части поверхности на плоскость Oxy. Выбрав на каждой частичной поверхности произвольную точку Mi(оi,зi, жi), сумму ni=1 R(оi,зi, жi) ДSi,(5)

где ДSi - площадь Gi, взятая со знаком плюс, если выбрана верхняя сторона поверхности S, и со знаком минус, если выбрана нижняя сторона поверхности S. Сумма (5) называется интегральной суммой для функции R(M) = R(x,y,z). Обозначим через л наибольший из диаметров частей поверхности S.

Определение. Если интегральная сумма (5) при л>0 имеет предел, равный J , то этот предел называется поверхностным интегралом второго рода от функции R(x,y,z) по выбранной стороне поверхности S и обозначается

J = S?? R(M) dx dy = S?? R(x,y,z) dx dy

В этом случае функция R(x,y,z) называется интегрируемой по поверхности S по переменным x и y.

Аналогично определяется поверхностный интеграл второго рода по выбранной стороне S по переменным y и z [z и x] от функции P(x,y,z) [Q(x,y,z)], которая определена на поверхности S:

S?? P(x,y,z) dy dz [S?? Q(x,y,z) dz dx]

Сумму S?? P(x,y,z) dydz + S?? Q(x,y,z) dzdx + S?? R(x,y,z) dxdy называют общим поверхностным интегралом второго рода и обозначают

S?? P(x,y,z) dydz + Q(x,y,z) dzdx + R(x,y,z) dxdy(6)

Поверхностный интеграл второго рода обладает такими же свойствами, как и поверхностный интеграл первого рода, но в отличие от последнего при изменении стороны поверхности (переориентации) он меняет знак. К понятию поверхности интеграла второго рода приводит, например, задача о потоке векторного поля. Для односторонней поверхности понятие поверхностного интеграла второго рода не вводится. Поверхностные интегралы второго рода вычисляются сведением их к двойным интегралам.

Пусть ориентированная (выберем верхнюю сторону) гладкая поверхность S задана уравнением z = f(x,y), где функция f(x,y) определена в замкнутой области G - проекции поверхности S на плоскость Oxy, а R(x,y,z) - непрерывная функция на поверхности S.

Разобьем поверхность S на n частей произвольно и спроецируем это разбиение на плоскость Oxy (рис. 6). Область G разобьется на части G1, G2, …, Gn .

Рис. 6

Выберем на каждой части поверхности произвольную точку Mi(оi,зi, жi) и составим интегральную сумму ni=1 R(оi,зi, жi) ?Si, где ?Si - площадь Gi. Так как Si = f(оi,зi), то

ni=1 R(оi,зi, жi) ?Si = ni=1 R[оi,зi, f(оi,зi)] ?Si (7)

В правой части равенства находится интегральная сумма для двойного интеграла от непрерывной в области G функции R [x, y, f(x,y)]. Переходя к пределу в формуле (7) при л>0, получаем искомую формулу

S?? R(x,y,z) dxdy = G?? R[x, y, f(x,y)] dxdy(8)

выражающую поверхностный интеграл второго рода по переменным x и y через двойной интеграл. Кроме того формула (8) доказывает существование поверхностного интеграла от функции R(x,y,z), непрерывной на рассматриваемой поверхности S.

Если выбрать нижнюю сторону поверхности, то перед интегралом в правой части формулы (8) появится знак минус.

Аналогично устанавливается справедливость следующих формул:

S?? P(x,y,z) dydz = G?? P[f(y,z), y, z] dydz(9)

S?? Q(x,y,z) dzdx = G?? Q[x, f(x,z), z] dzdx(10)

где поверхность S задана соответственно уравнением x = f(y,z), y = f(x,z), а G1 и G2-проекции поверхности S на плоскость Oyz и Oxz соответственно.

Для вычисления интеграла общего вида (6) используют те же формулы (8) - (10), если поверхность S однозначно проектируется на все три координатные плоскости. В более сложных случаях поверхность S разбивают на части, обладающие указанными свойствами, а интеграл (6) - на сумму интегралов по этим частям.

2.3 Связь между поверхностными интегралами первого и второго рода

Поверхностные интегралы второго рода можно ввести и другим способом, а именно как поверхностные интегралы первого рода, в которых под знаком интеграла стоят некоторые специальные выражения, Обозначим через cos б, cos в, cos г направляющие косинусы нормали ориентированной поверхности в произвольной ее точке. Поверхностные интегралы второго рода различаются своим отношением к координатным плоскостям:

поверхностный интеграл второго рода для плоскости Oxy от функции R(x,y,z) выражается через поверхностный интеграл первого рода с помощью следующей формулы:

S?? R(x,y,z) dxdy = S?? R(x, y, z) cosг dS(11)

поверхностный интеграл второго рода плоскости Oxz от функции Q(x,y,z) выражается через поверхностный интеграл первого рода с помощью следующей формулы:

S?? Q(x,y,z) dzdx = S?? Q(x, y, z) cosв dS(12)

поверхностный интеграл второго рода плоскости Oyz от функции P(x,y,z) выражается через поверхностный интеграл первого рода с помощью следующей формулы:

S?? P(x,y,z) dydz = S?? P(x, y, z) cosб dS(13)

Суммируя формулы (11) - (13), получаем формулу, выражающую поверхностный интеграл второго рода общего вида по выбранной стороне поверхности через поверхностный интеграл первого рода:

S?? (P dydz + Q dzdx + R dxdy) = S?? (P cosб + Q cosв + R cosг) dS(14)

Если выбрать другую сторону поверхности, то направляющие косинусы нормали cos б, cos в, cos г изменят знак и, следовательно, изменит знак поверхностный интеграл второго рода.

2.4 Формула Остроградского

Формула Остроградского устанавливает связь между поверхностным интегралом по замкнутой поверхности и тройным интегралом по пространственной области, ограниченной этой поверхностью. Формула Остроградского имеет широкое применение как в самом анализе, так и в его приложениях.

Выведем эту формулу для замкнутой пространственной области, граница которой пересекается с любой прямой, параллельной осям координат, не более чем в двух точках. Назовем для краткости области простыми. При этом будем рассматривать внешнюю сторону поверхности, ограничивающей эту область. Предполагается, что поверхность гладкая или кусочно-гладкая.

Теорема. Пусть V простая замкнутая область, ограниченная поверхностью S и пусть функции P (x,y,z), Q (x,y,z) и R (x,y,z) непрерывны вместе со своими частными производными первого порядка в данной области. Тогда имеет место следующая формула:

V??? (дP/дx + дQ/дy + дR/дz) dxdydz = S?? (P dydz + Q dzdx + R dxdy)(15)

называется формулой Остроградского.

Доказательство.

Пусть область G -проекция поверхности S (и области V) на плоскость Oxy (рис. 7), а z = z1(x,y) и z = z2(x,y) - уравнения соответствующих частей поверхности S - нижней части S1 и верхней S2.

Рис. 7

Преобразуем тройной интеграл V??? дR/дz dxdydz в поверхностный.

Для этого сведем его к повторному интегралу по формуле Ньютона-Лейбница выполним интегрирование по z.

Получим V??? дR/дz dxdydz = S?? dxdy Z1(x,y)? Z2(x,y) дR/дz dz = = G?? R[x,y,z1(x,y)]dxdy - G?? R[x,y,z2(x,y)]dxdy

Так как область G является проекцией на плоскость Oxy и поверхность S1 и поверхность S2, то двойные интегралы можно заменить равными им поверхностными интегралами (формула (8)), взятыми соответственно по верхней стороне поверхности z = z1(x,y) и верхней стороне поверхности z = z2(x,y), то есть

V??? дR/дz dxdydz = S2?? R(x,y,z)dxdy - S1?? R(x,y,z)dxdy

Меняя в интеграле по S1 сторону поверхности, получаем

V??? дR/дz dxdydz = S2?? R(x,y,z)dxdy + S1?? R(x,y,z)dxdy(16)

где S - внешняя сторона поверхности, ограничивающей область V.

Аналогично доказываются формулы

V??? дP/дx dxdydz = S?? P dydz(17)

V??? дQ/дy dxdydz = S?? Q dzdx(18)

Складывая почленно равенства (16), (17), (18) приходим к формуле (15).

Замечание. Формула Остроградского верна для любой замкнутой пространственной области V, которую можно разбить на конечное число простых областей. В самом деле, применяя формулу (15) к каждой из областей разбиения и складывая результаты, получаем в левой части равенства тройной интеграл по всей области V, а в правой - поверхностный интеграл по поверхности S, ограничивающий область V, так как поверхностные интегралы по вспомогательным поверхностям берутся дважды по противоположным сторонам и при суммировании взаимно уничтожаются. С помощью формулы Остроградского удобно вычислять поверхностные интегралы по замкнутым областям.

Из формулы Остроградского легко получить выражение для объема области в виде поверхностного интеграла по замкнутой поверхности S - границе этой области. Действительно подберем функции P, Q, R так, чтобы дP/дx + дQ/дy + дR/дz = 1.

Тогда получим

U = V??? dxdydz = S?? P dydz + Q dzdx + R dxdy,

где, U объем, ограниченный поверхностью S.

В частности полагая P = x/3, Q = y/3, R = z/3, получаем для вычисления объема формулу

U = 1/3 S?? x dydz + y dzdx + z dxdy

2.5 Формула Стокса

поверхностный интеграл

Формула Стокса устанавливает связь между поверхностным и криволинейным интегралом. Формулу Стокса широко применяют как в самом анализе, так и в его приложениях.

Пусть S - поверхность, заданная уравнением z = z (x,y), где функции z(x,y), z'x(x,y), z'y(x,y), непрерывны в замкнутой области G - проекции S на плоскость Oxy, являющаяся контуром, ограничивающим область G. Выберем верхнюю сторону поверхности S (рис. 8).

Рис. 8

Тогда при сделанных предположениях справедлива следующая теорема.

Если функция P (x,y,z) непрерывна вместе со своими частными производными первого порядка на поверхности S, то имеет место следующая формула:

L§ P (x,y,z) dx = S?? (дP/дz cosв - дP/дy cosг) dS,(19)

где cosв, cosг - направляющие косинусы нормали к поверхности S, а контур L пробегается в положительном направлении.

Доказательство.

Преобразуем криволинейный интеграл L§ P (x,y,z) dx, взятый по контуру L в интеграл по поверхности S. Это преобразование проведем по следующей схеме:

L§ > l§ > G?? >S??, то есть криволинейный интеграл по пространственному контуру L преобразуем сначала в криволинейный интеграл по плоскому контуру l, затем переведем его в двойной интеграл по области G и, наконец, этот последний интеграл преобразуем в интеграл по поверхности S. Так как контур L лежит на поверхности S, то координаты его точек удовлетворяют уравнению z = z (x,y) и поэтому значение функции P (x,y,z) в точках контура L равны значениям функции P [x, y, z (x,y)] в соответствующих точках контура l, являющегося проекцией L. Проекции же соответствующих участков разбиения контуров L и l на ось Oх совпадают. Поэтому совпадают также интегральные суммы для криволинейных интегралов второго рода от функции P по контурам L и l, а значит, равны и интегралы:

L§ P (x,y,z) dx = l§ P [x,y, z(x,y)] dx

Далее применяя формулу Грина, перейдем к двойному интегралу по области G. Получаем

l§ P [x,y, z(x,y)] dx = -G?? (дP/дy + дP/дz * z'y) dx dy

Здесь подинтегральная функция равна частной производной по y от сложной функции, получающейся из P (x,y,z) после подстановки z (x,y) вместо z. Поскольку S - верхняя сторона поверхности, то есть cos г > 0(г - острый угол между нормалью и осью Оz), нормаль имеет проекции -z'x, -z'y, 1. А так как направляющие косинусы нормали пропорциональны соответствующим проекциям, то

cos в / cos г = -z'y /1 = -z'y

Поэтому -G?? (дP/дy + дP/дz * z'y) dx dy = -G?? (дP/дy - дP/дz * cos в/cos г) dx dy

Теперь, воспользовавшись формулами (8) и (11), можно этот двойной интеграл преобразовать в поверхностный. Получаем

-G?? (дP/дy - дP/дz*cos в/cos г) dx dy = -S?? (дP/дy*cos г - дP/дz*cos в) dS

Итак,

L§ P (x,y,z) dx = S?? (дP/дz*cos в - дP/дy*cos г) dS

Аналогично доказывается при соответствующих условиях справедливость имеющихся формул:

L§ Q (x,y,z) dy = S?? (дQ/дx*cos г - дQ/дz*cos б) dS (20)

L§ R (x,y,z) dz = S?? (дR/дy*cos б - дR/дx*cos в) dS (21)

Складывая почленно равенства (19), (20), (21) получаем формулу

L§ P dx + Q dy + R dz = S?? [(дQ/дx - дP/дy) cos г + (дR/дy - дQ/дz) cos б +(дP/дz - дR/дx) cos в] dS, которая называется формулой Стокса.

С помощью формулы (14), связывающей поверхностные интегралы, можно переписать формулу Стокса в следующем виде:

L§ P dx + Q dy + R dz = S?? (дQ/дx - дP/дy) dx dy + (дR/дy - дQ/дz) dy dz +(дP/дz - дR/дx) dz dx,

Формула Стокса позволяет вычислять криволинейные интегралы по замкнутым контурам с помощь поверхностных интегралов.

3. Приложения поверхностных интегралов

Механические приложения поверхностных интегралов первого рода.

1.С помощью названных интегралов можно определить массы, моменты, координаты центров тяжести и т.п. величины для материальных поверхностей, вдоль которых распределены массы с определенной в каждой точке поверхностной плотностью.

2.Притяжение простого слоя.

Поверхностные интегралы первого рода естественно входят в рассмотрение при изучении притяжения масс, распределенных на поверхности.

Пусть по поверхности S непрерывным образом распределены массы с заданной в каждой точке M (x,y,z) поверхности плотностью с (M) = с (x,y,z). Пусть, далее, в точке А(о, з, ж), вне поверхности, находится единица массы. Требуется найти, с какой величине и по направлению силой F притягивается точка А поверхностью S, если в основу положен ньютонов закон притяжения (закон всемирного тяготения).

Если бы точка А притягивалась одной лишь материальной точкой M(x,y,z) с сосредоточенной в ней массой m, то величина силы притяжения была бы равна F = m/r2 , где r2 есть расстояние АМ, то есть

r = v (x - о) 2 - (y - з) 2+ (z - ж) 2 (1)

Так как сила направлена от А к М, то её направляющие косинусы будут

(x - о)/r, (y - з)/r, (z - ж)/r и следовательно, проекции силы притяжения F на оси координат выразятся так:

Fx = m (x - о)/r, Fy = m (y - з)/r, Fz = m (z - ж)/r(2)

В случае системы притягивающих материалы точек эти выражения заменились бы суммами подобных выражений, наконец при непрерывном распределении масс по поверхности появляется вместо сумм интегралы.

Применяя обычный прием изложения, можно было бы рассмотреть элемент dS поверхности с массой сdS , как бы сосредоточенной в одной из его точек М (x,y,z). Оказываемое им на точку А притяжение будет иметь проекции на оси

dFx = с (x - о)/r2 dS, dFy = с (y - з)/r2 dS, dFz = с (z - ж)/r2 dS,

где r означает расстояние АМ, выражаемое формулой (1). Теперь остается лишь "просуммировать" эти выражения, что приведет к следующим формулам для проекции силы F притяжения простого слоя на оси:

Fx = S?? с (x - о)/r2 dS, Fy = S?? с (y - з)/r2 dS, Fz = S?? с (z - ж)/r2 dS(3)

Этим сила F определена полностью как по величине, так и по направлению. Если бы и сама притягиваемая точка А лежала на поверхности S, то проекции притяжения на оси по-прежнему выражались бы интегралами (3), но на этот раз интегралы были бы несобственными, поскольку вблизи точки А подынтегральные функции все перестают быть ограниченными.

3.Потенциал простого поля.

В случае одной притягивающей точки M (x,y,z), как мы видели, проекции притягивающей силы на оси имеют выражения (2). Легко усмотреть, что эти проекции являются частными производными по о, з, ж от функции

щ (о,з,ж) = m/r, которая называется ньютоновским потенциалом на точку А поля точки М.

В случае поля, созданного системой материальных точек, потенциал выразился бы суммой дробей этого вида, причем производные потенциала по о, з, ж по-прежнему давали бы проекции силы притяжения на оси.

Отсюда естественно приходим и такому выражению для потенциала простого слоя, расположенного по поверхности S, с плотностью с на точку А:

щ (о,з,ж) = S?? с dS/r (4)

Возникает лишь вопрос, сохраняется ли для этого потенциала фундаментальное свойство:

дщ / до = Fx, дщ / дз = Fy, дщ / дж = Fz (5)

где Fx, Fy, Fz суть проекции силы F притяжения простого слоя на оси и определяются формулами (3).

Если точка А не лежит на поверхности, так что никаких нарушений непрерывности нет, то легко показать, что к интегралу (4) при дифференцировании его по о, з, ж применимо правило Лейбница (для этого понадобилось бы лишь повторение уже знакомых нам рассуждений). Таким путем оправдываются и для рассматриваемого случая распределения масс соотношения (5).

4. Тесты

1.Если интегральная сумма ni=1 f(Mi) ДSi при л>0 имеет предел, равный J и обозначается J=S?? f(M) dS= S?? f(x,y,z) dS, то этот предел называется:

а) поверхностным интегралом первого рода;

б) поверхностным интегралом второго рода;

в) двойным интегралом от функции f (x,y,z).

2.Вычисление поверхностного интеграла первого рода производится сведением поверхностного интеграла к

а) тройному интегралу;

б) двойному интегралу;

в) криволинейному интегралу.

3.Формула, выражающая поверхностный интеграл первого рода через двойной по проекции поверхности S на ось Oxy записывается так;

а) S?? f(x,y,z) dS = G?? f[x,y(x,z),z] v 1+y'x2(x,y)+ y'z2(x,y) dx dz;

б) S?? f(x,y,z) dS = G?? f[x(y,z),y,z] v 1+x'y2(y,z)+ x'z2(y,z) dy dz;

в) S?? f(x,y,z) dS = G?? f[x,y,z(x,y)] v 1+z'x2(x,y)+ z'y2(x,y) dx dy.

4.Поверхность называется двусторонней, если

а) на поверхности S существует замкнутый контур, при обходе которого направление нормали меняется после возвращения в исходную точку на противоположное;

б) обход по любому замкнутому контуру, лежащему на поверхности S и не пересекающему её границы, при возвращении в исходную точку не меняет направление нормали к поверхности;

в) обход по любому замкнутому контуру, лежащему на поверхности S и не пересекающему её границы, при возвращении в исходную точку меняет направление нормали к поверхности на противоположное.

5.Примером односторонней поверхности служит

а) лист Мебиуса;

б) сфера;

в) плоскость.

6.По каким переменным определен следующий поверхностный интеграл второго рода: S?? Р(x,y,z) dy dz

а) x и y;

б) x и z;

в) y и z.

7.Общий поверхностный интеграл второго рода обозначается символом

а) S?? P(x,y) dydz + Q(x,z) dzdx + R(y,z) dxdy

б) S?? P(x,y,z) dydz + Q(x,y,z) dzdx + R(x,y,z) dxdy

в) S?? P(x,y) dxdy + Q(x,z) dzdy + R(y,z) dzdx

8.Выберите формулу, выражающую поверхностный интеграл второго рода по переменным x и y через двойной:

а) S?? R(x,y,z) dxdy = G?? R[x, y, f(x,y)] dxdy

б) S?? P(x,y,z) dxdy = G?? P[f(y/z), y, z] dzdy

в) S?? Q(x,y,z) dxdy = G?? Q[x, f(x,z), z] dzdx

9.Выберите формулу, выражающую поверхностный интеграл второго рода для плоскости Oxz через поверхностный интеграл первого рода

а) S?? R(x,y,z) dxdy = S?? R(x, y, z) cosг dS

б) S?? Q(x,y,z) dzdx = S?? Q(x, y, z) cosв dS

в) S?? P(x,y,z) dydz = S?? P(x, y, z) cosб dS

10.Если выбрать другую сторону поверхности, то поверхностный интеграл второго рода, выраженный через поверхностный интеграл первого рода

а) никогда не изменит знак;

б) изменит знак на противоположный;

в) оставит прежний знак.

11.Какая из формул является формулой Остроградского

а) V??? (дP/dx + дQ/dy + дR/dz) dxdydz = S?? P dydz + Q dzdx + R dxdy;

б) V??? (дP/dy + дQ/dx + дR/dz) dxdydz = S?? P dydz + Q dzdx + R dxdy;

в) V??? (дP/dx + дQ/dz + дR/dy) dxdydz = S?? P dydz + Q dzdx + R dxdy.

12.Формула, устанавливающая связь между поверхностным и криволинейным интегралами называется

а) формулой Остроградского;

б) формулой Грина;

в) формулой Стокса.

13.При каком условии имеет место следующая формула

L§ P (x,y,z) dx = S?? (дP/дz*cos в - дP/дy*cos г) dS, где cos в и cos г - направляющие косинусы нормали к поверхности S, а контур L пробегается в положительном направлении

а) если функция P (x,y,z) непрерывна, а её частные производные первого порядка не являются на поверхности S таковыми ;

б) если функция P (x,y,z) непрерывна вместе со своими частными производными первого порядка на поверхности S;

в) если функция не является непрерывной, а её частные производные первого порядка непрерывны на поверхности.

5. Практические задания

Примеры решения.

Пример 1. Вычислить интеграл S?? v 1 + 4x2 + 4y2 dS, где S - часть параболоида вращения z = 1 - x2 - y2, отсеченного плоскостью z = 0 (рис. 9).

Решение: Поверхность S, заданная уравнением z = 1 - x² - y², проектируется на плоскость O_xy в область G, ограниченную окружностью x² + y² = 1 (уравнение окружности получается из уравнения параболоида при z = 0). Следовательно областью G является круг x² + y² ? 1.

В этом круге функции z = 1 - x² - y², z^'_x (x,y) = - 2x, z^'_y (x,y) = 2y непрерывны. По формуле (4) получаем _S?? f(x,y,z) dS = _S?? v 1 + 4x² + 4y² dS =

= _G?? v 1 + 4x² + 4y² v 1 + 4x² + 4y² dx dy =

= _G?? (1 + 4x² + 4y²) dx dy.

Переходя в полученном интеграле к полярным координатам x = с cos, y = с sin ц, находим

_G?? (1 + 4x² + 4y²) dx dy = ₀?^2рdц₀?¹(1 + 4с²) с dс =

₀?^2р[с²/2 + с⁴]₀¹ dц = 3/2 ₀?^2рdц = 3/2 ц|₀¹= 3р.

Пример 2. Вычислить интеграл _S?? (y² + z²) dxdy, где S - верхняя сторона поверхности z = v1 - x², отсеченная плоскостями y = 0, y = 1 (рис. 10).

Решение: Проекцией G данной поверхности на плоскость О_xy является прямоугольник, определяемый неравенствами - 1 ? x ? 1, 0 ? y ? 1. По формуле (8) находим

?? (y² + z²) dxdy = _G?? [y² + (v1 - x²)²] dxdy =

=_-1?¹dx₀?¹(y² + 1 - x²) dy =_-1?¹[y³/3 + y - x²y]₀¹ dx =

=_-1?¹(4/3 - x²) dx = [4x/3 - x³/3]_-1¹ = 2.

Пример 3. Вычислить интеграл _S?? x dydz + y dzdx + z dxdy, где S - верхняя сторона плоскости x + z - 1 = 0, отсеченная плоскостями y = 0, y = 4 и лежащая в первом октанте (рис. 11).

Решение: По определению, _S??xdydz+ydzdx+zdxdy=

=_G1?? x (y,z) dydz + _S?? y dzdx + _G2?? z (x,y) dxdy.

Здесь G₁ и G₂ - проекции поверхности S на плоскости О_xy и О_yz, а _S?? y dzdx = 0, так как плоскость S параллельна оси О_y. По формулам (8) и (9) соответственно находим

_S?? z dxdy =_G2?? (1 - x) dxdy =₀?⁴dy₀?¹(1 - x) dx = 2,

_S?? x dydz =_G1?? (1 - z) dydz =₀?⁴dy₀?¹(1 - z) dz = 2.

Следовательно

_S?? x dydz + y dzdx + z dxdy = 2 + 0 + 2 = 4.

Пример 4. Вычислить интеграл _S?? z cos г dS, где S - верхняя сторона полусферы x² + y² + z² = 1, расположенной над плоскостью О_xy, а г - острый угол между нормалью к поверхности S и осью О_z (рис. 12).

Решение: По формуле (11), связывающей поверхностные интегралы обоих типов, имеем

_S?? z cos г dS = _S?? z dx dy.

Проекцией G данной поверхности S на плоскость О является круг x² + y² ? 1. По формуле (8) получаем

_S??. z dx dy = _G?? v1 - x² - y² dx dy.

Переходя в двойном интеграле к полярным координатам, находим

_G?? v1 - x² - y² dx dy = ₀?^2рdц₀?¹v1 - с² с dс =

₀?^2р[- (1 - с²)^3/2/3]₀¹ dц = 1/3 ₀?^2рdц = 2р/3.

Пример 5. Вычислить интеграл _S?? x dydz + y dzdx + z dxdy, где S - внешняя сторона пирамиды, ограниченной плоскостями x + y + z = 1, x = 0, y = 0, z = 0 (рис. 13).

Решение: Используя формулу Остроградского, получаем

_S?? x dydz + y dzdx + z dxdy =_V??? (1 + 1 + 1) dx dy dz = 3 _V??? dx dy dz = 3₀?¹dx₀?^1-xdy¹₀?^1-x-ydz = 3₀?¹dx₀?^1-x[z] ₀^1-x-ydy = 3₀?¹[y - xy - y²/2]₀^1-x

dx = 3₀?¹[1 - x - x (1 - x) - (1 - x)²/2] dx = 3/6 = Ѕ.

Пример 6. Вычислить интеграл _S?? x³ dydz + y³ dzdx + z³ dxdy , где S - внешняя сторона сферы x² + y² + z² = R².

Решение: Применяя формулу Остроградского, имеем

_S?? x³ dydz + y³ dzdx + z³ dxdy = _V??? (x² + y² + z²) dx dy dz,

откуда, введя сферические координаты, получаем

_V??? (x² + y² + z²) dx dy dz = 3₀?^2рdц₀?^р sin и dи₀?^R с⁴ dс = 12 р R⁵/5.

Пример 7. Вычислить с помощью формулы Стокса интеграл

_L§ P x² y³ dx + dy + z dz, где L- окружность, заданная уравнениями x² + y² = 1, z = 0, а поверхностью S служит верхняя сторона полусферы x² + y² + z² = 1 (z > 0) и контур L проходится в положительном направлении.

Решение : Так как

дQ/дx - дP/дy = - 3 x² y²; дR/дy - дQ/дz = 0; дP/дz - дR/дx = 0,

то по формуле Стокса получаем

_L§ P x² y³ dx + dy + z dz = -3 _S?? x² y² dx dy = - р/8.

Практические задания.

1.Вычислить поверхностные интегралы первого рода.

а) _S?? x (y+z) dS; где S - часть цилиндрической поверхности x = v 1-y², отсеченная плоскостями z = 0, z = 1;

б) _S?? (3x² + 5y² + 3z² -2) dS; где S - часть поверхности y = v x² +z², отсеченная плоскостями y = 0, y = 1;

в) _S?? (x² + y² + 3z²) dS; где S - часть поверхности z = v x² +y², отсеченная плоскостями z = 0, z = 1;

г) _S?? (x² + y² + z - Ѕ) dS; где S - часть поверхности 2z=2-x²-y², отсеченная плоскостью О_xy;

д) _S?? v 1 + 4x² + 4z² dS; где S - часть поверхности y = 2-x²-z², отсеченная плоскостями y = 0.

2. Вычислить поверхностные интегралы второго рода.

а) _S?? (x² + y² + z²) dxdz; где S - внешняя сторона поверхности x² = 2y, отсеченная плоскостями y = 2, z = 0, z = 1;

б) _S?? (x² + z² + y²) dxdz; где S - внутренняя сторона поверхности y = v x² +z², отсеченная плоскостями y = 0, y = 1;

в) _S?? (x² + z² + y²) dydz; где S - внутренняя сторона части полусферы y = v R² - y² -z², вырезанная конусом x = v y² +z²;

г) _S?? (5x² + 5y² + z²) dxdy; где S - внешняя сторона части внешней полусферы z = v 4 - x² - y², вырезанная конусом z = v x² +y²;

д) _S?? (x² + y² + 3z²) dxdy; где S - внешняя сторона поверхности

z = v x² +y², отсеченная плоскостями z = 0, z = 2.

3.Выразить поверхностный интеграл второго рода через поверхностный интеграл первого рода.

а) _S?? (x² - 2y² + 6z²) dxdy;

б) _S?? (x²/9 + y²/4 + 2z) dxdy;

в) _S?? (2x + 3y + 4z) dxdy;

г) _S?? (x² + z²) dydz;

д) _S?? (x dydz + y dzdx + z dxdy.

4.Применяя формулу Остроградского, преобразовать поверхностные интегралы в интегралы по объему

а) _S?? (x cosб + y cosв + z cosг) dS;

б) _S?? (x² + y² + z²) (dydz + dxdz + dxdy);

в) _S?? (xy dxdy + yz dydz + zx dzdx);

г) _S?? (дu/дx dydz + дu/дy dxdz + дu/дz dxdy);

д) _S?? (x dydz + y dzdx + z dxdy).

5.С помощью формулы Остроградского вычислить следующие интегралы

а) _S?? (x cosб + y cosв + z cosг) dS; где S - поверхность эллипсоида x²/a² + y²/b² + z²/c² = 1;

б) _S?? (x³ cosб + y³ cosв + z³ cosг) dS; где S - поверхность сферы x² + y² + z² = R²;

в) _S?? x² dydz + y² dzdx + z² dxdy; где S - поверхность конуса x²/a² + y²/b² - z²/c² = 0, (0 ? z ? b);

г) _S?? x dydz + y dzdx + z dxdy; где S - поверхность цилиндра x² + y² = а², (-1 ? z ? 1);

д) _S?? x dydz + y dzdx + z² dxdy; где S - внешняя сторона поверхности куба -0 ? x ? 1, 0 ? y ? 1, 0 ? z ? 1.

6.С помощью формулы Стокса вычислить криволинейные интегралы

а) _L§ y dx + z dy + x dz; где L - окружность x² + y² + z² = a², S - часть плоскости x + y + z = 0 ограниченная данной окружностью;

б) _L§ (y+z) dx + (z+x) dy + (x+y) dz; где L - окружность x² + y² + z² = a², S - часть плоскости x + y + z = 0 ограниченная данной окружностью;

в) _L§ x y dx + dy + z dz; где L - окружность x² + y² = R², z = 0;

г) _L§ (y²-z²) dx + (z²-x²) dy + (x²-y²) dz;где L - сечение поверхности куба 0 ? x ? а, 0 ? y ? а, 0 ? z ? а плоскостью x + y + z = 3a/2, пробегаемое против хода часовой стрелки, если смотреть с положительной стороны оси OX;

д) _L§ y² z² dx + x² z² dy + x² y² dz; где L - замкнутая кривая x = a cost, y=a cos2t, z = a cos3t, пробегаемая в направлении возрастания параметра t.

Размещено на Allbest.ru