Вычисление интеграла по поверхности

Поверхностный интеграл второго рода, вычисление поверхности. Теорема Остроградского-Гаусса. Дивергенция, векторное поле скоростей. Поток вектора через замкнутую поверхность, направления внешней нормали. Поверхность произвольных частей.

Рубрика Математика
Вид реферат
Язык русский
Дата добавления 23.02.2011
Размер файла 354,0 K

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Содержание

1)Поверхностный интеграл второго рода

2)Вычисление интеграла по поверхности

3)Теорема Остроградского-Гаусса

4)Дивергенция

Литература

интеграл теорема доказательство

Интеграл по поверхности

Поверхность будем рассматривать

1. как образ замкнутой области при непрерывном отображении

2. Отображение можно задать в векторном виде в каждой точке гладкой поверхности

3. Для существует нормаль , перпендикулярный к касательным кривым в точке . Следовательно равен векторному произведению касательных к векторов:

,

поверхность

-

направление касательных прямых к и в т. к поверхности

.

Направляющие косинусы нормали к поверхности

Задание векторного поля характеризует задание вектор функции:

Примеры векторных полей:

- поле скоростей текущей жидкости или газа.

- гравитационное поле

- электростатистическое поле.

Если в какой то области , заполненной жидкостью (или газом), текущей с некоторой скоростью , к каждой точке можно поставить в соответствие векторное поле , то получим векторное поле скоростей текущей жидкости.

Поверхностный интеграл второго рода.

Определение интеграла по поверхности.

Вычисление.

Дано: - область ограниченная поверхностью

Дано: - поверхность

-векторное поле скоростей текущей жидкости или газа через поверхность в направлении нормали .

Функции - непрерывны в области с границей .

Т/н : поток жидкости (или газа) через поверхность в направлении .

Решение.

1. Поверхность разобьем на произвольных частей.

2. Выберем по точке

3. Вычислим скорость течения жидкости в точке

4. Определим , где -скалярное произведение

-единичная нормаль к поверхности в точке

- вектор в точке .

5. Составим

6. Найдем

Механический смысл интеграла по поверхности

-

объем цилиндра с основанием и высотой .

Если -скорость течения жидкости , то равно количеству жидкости или газа протекающий через поверхность за единицу времени в направлении нормали .

- общее количество жидкости или газа протекающей через поверхность в положительном направлении нормали равен потоку векторного поля через поверхность в направлении нормали .

Вычисление интеграла по поверхности

Пусть нормаль :

Заметим, что

Действительно, как углы со взаимно перпендикулярными сторонами. Следовательно , -угол между касательной плоскостью к и его проекцией на плоскость

Следовательно

Вычисление интеграла по поверхности.

1.

Аналогично

Пример 1.

Найти поток вектора через часть поверхности параболоида

в направлении внутренней нормали.

-проектируется на с двух сторон и образует с осью Ох углы (острый и тупой )

Аналогично

Пример 2. Вычислить , где -сфера , нормаль внешняя.

Пример 3. Найти поток вектора через часть сферы в направлении внешней нормали

Пример 4.

Пример 5.

Теорема Остроградского-Гаусса.

Дивергенция.

-поток вектора через поверхность в направлении за единицу времени есть разность между количеством жидкости вытекающей из области и количеством жидкости втекающей в область .

1. . Следовательно из области жидкости вытекает столько же сколько втекает.

2. жидкости или газа вытекает больше, внутри существует источник.

3. жидкости или газа втекает больше чем вытекает , внутри существует сток.

Чтобы оценить мощность источников и стоков внутри нам необходима теорема Остроградского-Гаусса.

Если -непрерывна вместе с частными производными в области то:

Поток изнутри равен суммарной мощности источников и стоков в области

за единицу времени.

Величина потока вектора через замкнутую поверхность :

является глобальной характеристикой векторного поля в области и очень приблизительно позволяет судить о наличии источников и стоков в области .

· Поток представляет собой избыток жидкости протекающей в сторону положительной нормали , а не абсолютное количество жидкости прошедшей через независимо от направления течения. В связи с этим удобно ввести локальную характеристику распределения стоков и источников. Такой характеристикой является дивергенция (плотность потока в точке):

Дивергенция:

Определение:- стягивается в точку.

Определение: Дивергенцией векторного поля в точке называется предел отношения потока векторного поля через поверхность к объему , ограниченному этой поверхностью, при условии что поверхность стягивается в точке .

Дивергенция характеризует отнесенную к единице объема мощность потока векторного поля исходящего из точки , т.е. мощность источника и стока находящегося в точке .

- средняя объемная мощность потока .

-существует источник в точке .

- существует сток в точке

Теорема 2.

Доказательство:

ч.т.д.

Пример 1. . Найти поток вектора через всю поверхность тела , в направлении внешней нормали.

Решение:

1.

2.

Литература

Ефимов А.В. Математический анализ (специальные разделы). - М. Высшая школа, 1980

Ильин В.А., Садовничий В.А., Сендов Б.Х. Математический анализ, I,II ч. М. Издательство МГУ, 1987

Шилов Г.Е. Математический анализ функции нескольких вещественных переменных. ч. 1 - 2, М., Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1972.

Сборник задач по математике для втузов. Специальные разделы математического анализа I,II ч. М. Наука 1981.

Размещено на Allbest.ru


Подобные документы

  • Специальные векторные поля. Теорема Стокса. Потенциальное, соленоидальное поле. Теорема Остроградского-Гаусса. Поток и определение вектора, направленного в отрицательную сторону оси. Дивергенция, свойства и интенсивностью векторной трубки.

    реферат [369,7 K], добавлен 23.02.2011

  • Поверхностный интеграл как интеграл от функции, заданной какой-либо поверхности. Сущность и понятие поверхностного интеграла первого и второго рода, взаимосвязь между ними и вычисление. Формулы Остроградского и Стокса, их доказательство и применение.

    курсовая работа [321,7 K], добавлен 09.10.2011

  • Поверхности и ориентация. Теория внутренней поверхности. Выбор ориентации поверхности при помощи выбора базиса касательных векторов. Выбор вектора единичной нормали. Внутренняя геометрия поверхности, определение развертки и теорема Александрова.

    реферат [144,0 K], добавлен 07.12.2012

  • Математическое объяснение понятия и свойств скалярного поля. Формулы расчета нормали к поверхности. Вычисление потока векторного поля через прямой круговой цилиндр с заданным радиусом основания. Доказательство теорем Остроградского-Гаусса и Стокса.

    реферат [264,0 K], добавлен 11.02.2011

  • Определение понятия поверхностного интеграла первого и второго рода, их основные свойств, примеры вычисления и его перевода в обыкновенный двойной. Рассмотрение потока векторного поля через поверхность, как механического смысла поверхностного интеграла.

    контрольная работа [157,6 K], добавлен 24.01.2011

  • Криволинейные и поверхностные интегралы. Криволинейный интеграл I и ІІ рода. Поверхностный интеграл I и ІІ рода. Формулы Грина, Остроградского-Гаусса, Стокса. Основные понятия теории поля. Скалярное поле. Производная скалярного поля по направлению.

    курсовая работа [1,2 M], добавлен 09.12.2008

  • Определение криволинейного интеграла по координатам, его основные свойства и вычисление. Условие независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования. Вычисление площадей фигур с помощью двойного интеграла. Использование формулы Грина.

    контрольная работа [257,4 K], добавлен 23.02.2011

  • Классификация различных точек поверхности. Омбилические точки поверхности. Строение поверхности вблизи эллиптической, параболической и гиперболической точек. Линии кривизны поверхности и омбилические точки. Поверхность, состоящая из омбилических точек.

    дипломная работа [956,7 K], добавлен 24.06.2015

  • Понятие двойного интеграла по плоской области. Конечный предел интегральной суммы при стремлении к 0. Способы разбиения поверхности и выбора точек. Свойства поверхностных интегралов. Интегрирование по поверхности. Непрерывная функция на поверхности.

    презентация [45,9 K], добавлен 17.09.2013

  • Криволинейный интеграл первого рода. Двойной интеграл в декартовой и полярной системе координат. Интеграл по поверхности (первого рода). Приложение определенного интеграла в геометрии: площадь плоской фигуры и цилиндрической поверхности, объем тела.

    методичка [517,1 K], добавлен 27.01.2012

Работы в архивах красиво оформлены согласно требованиям ВУЗов и содержат рисунки, диаграммы, формулы и т.д.
PPT, PPTX и PDF-файлы представлены только в архивах.
Рекомендуем скачать работу.